1 toán 9 (lập THẠCH 2018 2019)

Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H.. Chứng minh rằng AM AN.. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh bên bằng a.Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi bằng 2a và E�AB F; �AC.. Chứng minh rằng

PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2018 – 2019 MÔN: TOÁN 9

(Thời gian làm bài 150 phút)

Câu 1 (3,5 điểm) Cho x 2 3 2 2 3 11   3 

Tính giá trị của biểu thức:

2

2 3

A





Câu 2 (3 điểm) Cho ax3 by3 cz3 và

1 1 1

1

x  y z

Chứng minh rằng:

3 ax2by2cz2  3 a3b3c

Câu 3 (3 điểm) Giải phương trình: x2   12 5 3x x25

Câu 4(1điểm) Tìm các số tự nhiên a b c, , phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên

ab 1 bc 1 ca 1

P

abc



Câu 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Trên đoạn BH lấy điểm M

và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho �AMC�ANB 900 Chứng minh rằng AM AN .

Câu 6 (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh bên bằng a.Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi bằng 2a và E�AB F; �AC

a) Hỏi điểm M di động trên đường nào ?

b) Từ M vẽ đường thẳng MN EF N EF �  Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định

Câu 7 (1 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn abc a b   3ab Chứng minh

rằng:

1 1 1 3

Câu 8 (1 điểm) Trong mặt phẳng cho 2019 điểm M M1 , 2 , ,M2019 Vẽ đường tròn bán kính 1 tùy ý Chứng minh rằng tồn tại điểm S trên đường tròn sao cho

1 2 2019 2019.

-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 9, NĂM HỌC 2018 -2019

Câu 1

(3,5

điểm)

Ta có

      

2 3 2 3 2 3 2

2 3 2 2 3 1 2 3 2 2 3 2

*) Tử

2019 2018

 �� ��  �� ��  

*) Mẫu

2

Vậy

3 2 3

3 3

3 1 3 1 2

1,5

1

1

Câu 2

(3

điểm)

Đặt ax3by3 cz3k Ta có

      �  �

� � (1)

      �   �

� � (2)

Từ (1) và (2), ta được 3 ax2by2cz2  3 a3b3c

0,5

1,25

1,25

Câu 3

(3

điểm)

5 3 12 5

5 3 3 6 12 4 0

2

x

x

x

       

�

�



�

�

�

Từ đặc điểm của phương trình suy ra

5

3 5

3

, do đó

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2

0,5

0,5

0,5

1

0,5

Câu 4 Ta có

điểm) P abc a b c 1 1 1 1

a b c abc

       

1 1 1 1

M

a b c abc

   

là số nguyên

Suy ra a� �1;b 2;c�3, suy ra

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

       �    �   � 

Suy ra

     

1 1 1 1

1 1 1 2 (*)

a b c abc

   

      

� Nếu a 1 b � 1 4 thì với a b c  ta có

3c a b c   � 3c a 1 b 1 c  1 2 � 3c 4 c  1 2 � 3c 4c 2 �c 2

trái với điều kiện c� 3.

Do a b c  � 6 nên từ (*) suy ra a  1 0 �b  1 1, suy ra a 1 b 1 chỉ

có thể nhận giá trị là 2 hoặc 3 Từ đây ta tìm được bộ số a b c; ;  thỏa mãn

là 2;3;5

Vậy các bộ số tự nhiên phân biệt a b c; ;  thỏa mãn bài toán gồm các hoán

vị của 2;3;5 Khi đó P 21

0,5

0,5

Câu 5

(3

điểm)

Ta có �ANB90 ,0 NI AB�AN2 AI AB. (1)

Vì �AMC90 ,0 MD AC� AM2 AD AC. (2)

Mạt khác, ta có

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AM AN .

0,5

1,25

1,25

Câu 6

(4,5

điểm)

b) Vẽ hình vuông ABDC D, là điểm cố định MNEF�M�1 E�1 (cùng

phụ với EMN� )

Gọi H là giao điểm của FM và BD HMD MEF�M�2 �E1 ��M1 M�2

suy ra M N D, , thẳng hàng

Dẫn tới MN luôn đi qua điểm cố định D

1

0,5

0,5

Câu 7

(1điểm

) Ta có

1 1

b a

   �    Đặt

; ;

, ta có x y z  3 và ta chứng minh

3

A

Ta có  2  

1 3

2

2 2

2 2

1 3

1

Đẳng thức xảy ra khi x y 1 Do đó

1

x y

 

  Tương tự, ta được

1

1

y z

yz y z

z x

zx z x

�

 

 

�

 

 

0,5

Suy ra

A

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y z 1�a b c  1

0,5

Câu 8

(1

điểm)

Xét đường kính S S1 2 tùy ý của đường tròn S S1 , 2 là hai điểm mút của

đường kính Vì S S1 2  2, nên ta có

1 1 2 1 1 2

1 2 2 2 1 2

1 2019 2 2019 1 2

2 2

2

�

�

�

�

� Cộng vế theo vế ta được

S M1 1 S M1 2   S M1 2019  S M2 1 S M2 2   S M2 2019� 2.2019 4038  (1)

Từ (1) ta có trong hai tổng trên có ít nhất một tổng lớn hơn hoặc bằng

2019

Giả sử S M1 1 S M1 2   S M1 2019 � 2019 Khi đó lấy S�S1 ta có điều phải

chứng minh

0,5

0,5