Tìm m để phương trình có nghiệm.. @ Phương pháp lôgarit hóa Nếu cả hai vế của phươnh trình đều dương ta có thể giải phương trình bằng cách lấy lôgarit hai vế lôgarit hóa Ví dụ 1: Giải
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A/TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
I) CÁC ĐỊNH NGHĨA :
1) Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
an = a.a…a ( tích của n số a) với n>1
2) Luỹ thừa với số mũ 0 và nguyên âm :
a0 = 1 và a-n = n
a
1
( với a 0 và n nguyên dương )
3) luỹ thừa với số mũ hữu tỉ :
n m
n
m
a a
a ( Với a > 0 và ,mZ,nZ*
n
m
4) Lôga rit cơ số a của b: loga b a b (0 a 1, b 0)
II) CÁC TÍNH CHẤT VÀ CÔNG THỨC :
1) Luỹ thừa : Với các số a> 0 , b> 0 , ; tuỳ ý ta có:
a
a
a ;
a a
a : ; (a ) a
a a
b
( ; (a:b) a :b
2) Lôgarit: Với giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa , ta có ;
0
1
loga
; logaa 1
log b
a a b; aloga b b
c b
c
c b
c
b
a a
b
log ( với tuỳ ý ) ; b
n
n
b
x x
a
a b
log
log
log , tức là loga b logb a 1 ( Công thức đổi cơ số)
1
B/ PHẦN BÀI TẬP :
I/ PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Một số phương pháp giải phương trình mũ
@Phương trình mũ cơ bản : x log (0 1; 0)
a
@ Phương pháp đưa về cùng cơ số
*Biến đổi 2 vế về cùng cơ số rồi sử dụng phép biến đổi sau để giải
( ) ( )
( ) ( )
a
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a./
2
x 3x 1
1
3 3
b./ x 1 x 2
2 2 36
Giải:
1
Trang 2a./ 2
x 3x 1
1
x 2 3
b./
9.2 36.4 2 16 2 x 4
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a x 2 x 8 1 3x
2 4 b 2 5
x 6x 2
2 16 2
2 2 2 3 3 3 d 2 x2 1
(x x 1) 1
@ Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 1 : A.a2f(x) + B.af(x) + C = 0 (1)
Đặt t = af(x) > 0
Ta có phương trình : At2 + Bt + C = 0 (2)
* Phương trình ( 1) có nghiệm khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t > 0
Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau
2.16 15.4 8 0 b) 3 2x 8 4.3 x 5 27 0
Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(m 4).9 2(m 2).3 m 1 0
Dạng 2 : A.af(x) + B.bf(x) + C = 0 (1) trong đó a.b=1
Đặt t = af(x) > 0 bf(x)=1
t
Ta có phương trình : At + B
t + C = 0
At Ct B
(2)
* Phương trình ( 1) có nghiệm khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t > 0
Ví dụ1 : Giải các phương trình sau
(3 5) 16(3 5) 2
b) ( 2 3 ) x( 2 3 ) x 4
c) 3 os2x 1 os 2
4 c 7.4c x 2 0
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình
(m 2).2 m.2 m 0
Dạng 3 : A.a2f(x) + B.af(x).bf(x) + C.b2f(x) = 0 (1)
Chia cả hai vế cho b2f(x) > 0 ta có : A
0
Đăt t =
( )
f x
a
b
= t > 0 ta được At2 + Bt + C = 0 (2)
Phương trình ( 1) có nghiệm khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t > 0
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a./ 25x 2 5 x 15 0 b./ 43 x-4.32x 127 0
c./ 3x2 32x 24
d) 64 9x – 84 12x + 27 16x = 0
Giải:
2
Trang 3a./ 25x 2 5 x 15 0 5x 2 2 5 x 15 0
Đặt t = 5x, t >0 ta có phương trình: t2 – 2t – 15= 0
5
3 (loai)
x
t
b./
2x2 2
2
4x 2x+1
3 - 4.3 +27=0 3 12 3 27 0
Nêu t=3 t>0 ta có : t 12 27 0
1
2
;
x
x
x
t
c./ Đặt t , ta có 3x 0 2
3
( loai) 3
x
t
t
d/64 9x – 84 12x + 27 16x = 0
2
2
1
x
x
x x
Bài tập áp dụng:
1 : Giải các phương trình sau
a) 6.9 x 13.6 x6.4 x b) 0 3 8x 4 12x 18x 2 27x 0
c) 2 2 2 9 14 7 7 2 0
x d) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
e) 2x2x 4.2x2x 22x 40 g) 12 3 3 15 5 1 20
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: 4 1 x 4 1 x (m 1 )( 2 2 x 2 2 x) 2m
có nghiệm thuộc đoạn [0;1]
3. Cho phương trình : 9 1 1 2 ( 2 ) 3 1 1 2 2 1 0
x m x m Tìm m để phương trình có nghiệm
@ Phương pháp lôgarit hóa
Nếu cả hai vế của phươnh trình đều dương ta có thể giải phương trình bằng cách lấy lôgarit hai vế ( lôgarit hóa)
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a./ 32x5 5 b./ 5 2x 2x1 50
Giải:
3
5 5
2
log log
b./ 2 1
20
4
2
Ví dụ 2: Giải các phương trình :
a) 3 8 1 0
x
x x
b) x6.5 log 5x 5 5
c) 2 log 3
3 x 81
x
@ Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
Ví dụ 1 : Giải các phương trình
3
Trang 4a) 3x + 4x = 5x b) 2x = 1+ 3 x2
c) ( ) 1 x 2x 1
3 d) 9x + 2(x -2)3x + 2x - 5 = 0
Giải:
a) 3x + 4x = 5x
1
(*)
Dễ thấy phương trình có một nghiệm x=2
.Với x>2
do
2
2
1
2
x
x x
ph tr (*) không có nghiệm x 2
.Với x<2
do
2
2
4 1, 3 1
2
x
x x
ph tr (*) không có nghiệm x 2
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=2
Bài tập
Bµi 1: Giải các phương trình :
a x 2 x 8 1 3x
2 4 b 2 5
x 6x 2
2 16 2
2 2 2 3 3 3 d x x 1 x 2
2 3 .5 12
(x x 1) 1 f 2 x 2
( x x ) 1
(x 2x 2) 1
Bµi 2:Giải các phương trình :
a 4x 8 2x 5
3 4.3 27 0 b 2x 6 x 7
2 2 17 0
(2 3) (2 3) 4 0 d x x
2.16 15.4 8 0
(3 5) 16(3 5) 2 f x x
(7 4 3) 3(2 3) 2 0
3.16 2.8 5.36 h 1x 1x 1x
2.4 6 9
i 2x 3x 3x
j x x 1 x 2 x x 1 x 2
5 5 5 3 3 3
(x 1) 1
Bµi 3:Giải các phương trình :
3 4 5 b x
3 x 4 0
x (3 2 )x 2(1 2 ) 0 d 2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 2
2 3 5 2 3 5
II PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
* Phương trình lôgarit cơ bản log a x c x a c(x > 0, 0< a 1)
* Một số phương pháp giải phương trình lôgarit
4
Trang 5@ Phương pháp đưa về cùng cơ số
Biến 2 vế đưa về dạng:
log log
x=b
0 a 1, b>0
Tổng quát: logg(x) ( x ) logg(x)h ( x )
0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) ( )
g x
f x
f x h x
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a./ log2xlog (2 x3)2 b./ log2xlog2x2 log29x
Giải:
a./ log2xlog (2 x3)2 (1)
0
x
2 2
2
1
4
(loại)
( ) log (x x ) x x( )
x
x
b./ log2xlog2x2 log29x (1) ĐK: x>0
1
2
( ) log log log log log log
log log log log
x=3>0 thỏa điều kiện Vậy phương trình cĩ nghiệm là x=3
Ví dụ 2: Giải phương trình:log2x log3x log4x log10 x ( 1 )
Giải
đk: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 2:
x log log x
log3 32 2 ; log4x log42 log2x; log10x log102 log2x
(1) log2x ( 1 log32 log42 log102 ) 0 log2x 0 x = 1
Ví dụ 3 : (Đề 81) Giải phương trình
3 4
1 3 4
1 2
4
1 ( x 2 ) 3 log ( 4 x ) log ( x 6 )
log
2
3
Giải.
4 1 2
4
1(x ) log x log log (4 x) 3log 4 x
4 1 3
4
4 1 3
4
1(x ) log x log
Đk:
0 6
0 4
0 2
x x
4 2
2 6
x x
(1) 3log x 2 3 3log (4 x) 3log (x 6)
4 1 4
1 4
1 log x 2 1 log [(4 x)(x 6)]
4 1 4
log 4x 2 log [(4 x)(x 6)]
4 1 4
1 4 x 2 ( 4 x )( x 6 ) 0
24 2 2
4
24 2 2
4
2 2
x x ) x
(
x x ) x
(
0 22 2
0 16 6
2 2
x x
x x
33 1 8 2 x x x
nghiệm:
33 1
2 x x
Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình:
5
Trang 62 x x
3
, a > 0 (1)
Giải.
Đk: 2
x – 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0 x > 2
Ta có: ( 2 3 )( 2 3 ) = 1 log2 3 x 1 = 2 3 1 1
log
) ( = log2 3 x 1 2
3
2 3
1
2 3
2 3 2
x
x x
2
1
3
2
a ( x )
log74 3 2 = log(2 3)2a(x2) = log a ( x 2 )
2
1
3
2 = log a ( x 2 )
2
1
3
(1) log ( x 2 )
2
1
3
2 = log a ( x 2 )
2
1
3
2
) x (
x – 4 =
a 1
2
x = 4 +
a 1
a > 0 nghiệm: x =
a
1
4
x > 2 x =
a
1
4
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình:
a) log (4x 1 4)
2 log2(4x 1) =
8
1
2 1
log
b) logx3 + log3x = log x3 + log3 x +
2 1
c) logx(125x).log252x = 1
d) log (sinx sin x )
2
3 + log (sinx cos 2 x )
2
3
2) Xác định m để phương trình:
) m m x x (
log4 2 2 2 4 2
2 + log (x2 mx m2)
2
có nghiệm x 1, x 2thoả mãn: x12+x22 > 1
Hướng dẫn:
pt 2log2(2x2 x2m 4m2) = log2(x2mx 2m2)
0 2
2 4
2 2
2 2
2 2
2 2
m mx x
m mx x
m m x x
0 2
0 2
2 1 2 2
2 2
m mx x
m m x ) m ( x
) ( m
mx
x
m
x
m
x
2 0 2
1
2
2
2
2
1
phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên x1, x2 điều kiện (2) – 1 < 0 m <
2 1
2
1
x +x22 > 1
2
1 5
2
0 1
m m
3) Tìm a để phương trình
) x
(
log
) ax (
log
1
5
5
= 2 có nghiệm duy nhất
Hướng dẫn:
pt
2 5
1 1 0
1 0
) x ( log )
ax ( log
x
; x
ax
2
0
2 – a x 1 0 2
ax x x
6
Trang 7phương trình có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn: 1 x 0
4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29)
@ Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1 Giải phương trình
( x )
log ) x
( 1 2 4 1
= 8( x 1) 3
Giải.
Đk:
0 1
0 1 4
x
) x
(
Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế, ta được:
( x )
log
) x (
log2 1 2 4 1
2 8(x 1) log log24(x 1).log2(x 1) = 3 + 3log2(x 1)
2log2(x 1).log2(x1) = 3 + 3log2(x 1) (1)
Đặt t = log2(x1) (1) 2
t – t – 3 = 0
phương trình có nghiệm:
2
13 1
1
2
13 1
2
t
2
13 1
1
13 1
x
2
13 1
2
13 1
2 1 2
x
Ví dụ 2 Giải phương trình
2.2( x 2 ) 2 = log2(2x)
Giải.
Đk:
0 2 0 2
x
x
x2 Đặt 2x 1 = y; y 2 x = log2y + 1 Ta được hệ phương trình:
y log x
x log y
2 2
2 2
y
x
x
y
2
2
2
2
y.2 = x.y 2 (1)x
Xét hàm số: f(z) = z z
e ; f'(z) = e + 2z e > 0 z z 2 f(z) đồng biến trên [2; ) Từ (1) x = y 2 x 2x
Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y = 2 tại 2 điểm: x x 1 = 1; x 2 = 2
từ x2 x = 2 là nghiệm
Ví dụ 3 Giải phương trình
9
2
log
x = 2
x 3log2x – log 2 3
x (1)
Giải.
Đk: x>0
áp dụng công thức: logbc
a = logba
c
(1) 9log2x = 2
x 3log2x – 3log2x 3log2x = 2
x – 1
Đặt t = log2x 3 t + 1 = 4 t
t
4
3
+
t
4
1
= 1 (2) Xét f(t) =
t
4
3 +
t
4
1 là hàm nghịch biến (2) có nghiệm duy nhất t = 1 x = 2 là nghiệm của (1)
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
a./ log22x2log2 x 2 0 b./ 1log (2 x 1) log x14
c./ lg2x 5lgxlgx3 7 d./ 2 log2x log216x 7 0
Giải:
7
Trang 82
2 2 0 (1) x>0
log log
2
2
2
1 1
t= ta cĩ : t 2 0
2 1
2 4
log log ,
log
x t
x x
Thỏa điều kiện x>0 Vậy phương trình cĩ nghiệm là: x=2 và x=1/4
b./ 1log (2 x 1) log x14 (1)
ĐK:
2
2
(*)
log
log ( ) log ( )
Đặt: tlog (2 x 1), ta cĩ : 2 1
2 0
2
t
t t
t
2
2
1 1
log ( ) log ( )
x
thỏa (*)
Vậy phương trình cĩ nghiệm là : x = 3 và x = 5/4
c./ lg2x 5lgxlgx3 7 (1)
ĐK: x>0 (*)
( ) lg x lgx lgx lg x lgx
8 7 0
lg lg
x
Vậy phương trình cĩ nghiệm là: x = 10 và x = 107
d./ 2 log2x log216x 7 0 (1)
1 0
16 0
x x
x
( ) log x log log x log x log x
3 0 (loại) log
t
t
Thỏa (*)
Vậy phương trình cĩ nghiệm là x=2
8
Trang 9Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình
a) log ( x x 2 1 )
2 log ( x x 2 1 )
6 x x log
b) log3( 3 x 1 ) log ( 3 x 1 3 )
3 = 6 c) log4log2x + log2log4x = 2
d) logx3 + log3x = log x3 + log3 x +
2 1
2) Giải và biện luận theo a
a) logxax.logax = – 2
b) (loga2x + 2).log a
x
a2 = logxa
a
x loga
2
3) Cho phương trình: (m – 3)log2(x 4)
2
1 – (2m + 1)log (x 4)
2
1 + m + 2 = 0 tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 4 < x 1 < x 2 < 6
4) Giải phương trình
a 1 2 1
4 lg x2lg x
b.log x2 10 log x2 6 0
c. log0,04x 1 log0,2x 3 1
d.3log 16x 4 log x16 2 log x2
e.log 16x2 log2x64 3
f.lg(lg x)lg(lg x3 2)0
@ Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
Ví dụ 1 Giải phương trình: lg( x 2 x 6 )
+ x = lg( x 2 ) + 4 (1)
Giải.
Đk: 2 6 0
x
x , x + 2 > 0 x > 3
(1) lg( x 2 x 6 )
– lg( x 2 ) = 4 – x
2
6
2
x
x x
lg = 4 – x lg(x – 3) = 4 – x (2) Nhận xét: x = 4 là nghiệm của (2)
y = lg(x – 3); y' =
3
1
x > 0 là hàm đồng biến
y = 4 – x là nghịch biến
x = 4 là nghiệm duy nhất
Ví dụ 2 Giải phương trình
) x x (
3 2
3
2 (1)
Giải.
Đk:
0 3 2
0 2 2 2
2
x x
x x
3
1 x x (1) log ( x 2 2 x 2 )
3 4
3 4
Đặt: a = 7 + 4 3; t = 2 2 3
x x
(2) loga1(t1) = logat (3)
Đặt: y = logat (3)
y y ) a ( t a t
1
) a ( 1
y
a
a
1 +
y
a
1
1
= 1 (4)
y = 1 là nghiệm của (4)
9
Trang 10y > 1 VT < VP
y < 1 VT > VP
y = 1 là nghiệm duy nhất
Ví dụ 3 Giải phương trình: 2log5( x 3 ) = x
Giải.
Đk: x > – 3
– 3 < x 0: phương trình vô nghiệm
x > 0: Đặt log 5 ( x 3 ) = t
x
t ) x ( log
t
2
3
5
t t x
x 2 5 3
3
t
5
1
+
t
5
2
=1 (*)
t = 1 là nghiệm VT của (*) là hàm nghịch biến t = 1 là nghiệm duy nhất x = 2 là nghiệm duy nhất
Bái tập áp dụng:
1) Tìm m để phương trình: lg 2 ( 10 x )
+ lgx = m a) có nghiệm
b) có nghiệm thoả mãn: 1 < x < 10
2) Giải phương trình: log ( x 3log x)
Bài tập Bài tập 1: Giải các phương trình sau
a log x5 log5 x 6 log x5 2 b log x5 log x25 log0,2 3
x log 2x 5x 4 2 d 2 x 3
x 1
e.1 lg(5x 4) lg x 1 2 lg 0,18
Bài tập 2: Giải các phương trình sau
4 lg x 2 lg x b.log x2 10 log x2 6 0
c log0,04x 1 log0,2x 3 1 d.3log 16x 4 log x16 2 log x2
e.log 16x2 log2x64 3 f 3
lg(lg x) lg(lg x 2) 0
Bài tập 3: Giải các phương trình sau
a.log3 log x9 1 9x 2x
2
b x x
log 4.3 6 log 9 6 1
2
1
8
lg 6.5 25.20 x lg 25
2 lg 2 1 lg 5 1 lg 5 5 f x
x lg 4 5 x lg 2 lg3
g lg x lg5
5 50 x h lg x lg x2 2 3
x 1 x 1
i 2
log x log x
Bài tập 4: Giải các phương trình sau
x lg x x 6 4 lg x 2 b.log x 13 log 2x 15 2
x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0 d log x 3 5
10
Trang 11III/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
Các phương pháp giải thường sử dụng
1 Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương và phép thế
Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau :
1)
3 log (9x ) log y 3
6)
4 ) ( log ) ( log
) 3
1 ( ) 3 (
2 2
2
y x y
x
y x y x
2)
25
1 1 log ) (
log
2 2
4 4
y x
y x
y
7)
y
3
3 4 x ( x 1 1)3
x
y log x 1
3)
y y y
x x x
2 2 2 4
4 5
2
1 3
8)
1 log
log
4
4 4
8 log 8
log
y x
y
4)
10 2
1
y x
x x y
9) x 4 y 3 0
log x4 log y 02
5)
4 log
log
2
5 ) (
log
2 4
2 2 2
y x
y x
10)
3 64 4
2
y x
y x
2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ
Ví dụ 2 : Giải các hệ phương trình sau :
1)
1
4 6.3 2 0
2) log2 log 2
y
3)
16 2
3 2
1 4 2
4
2 2 2
2
2 2 2 2
2
y x y
y y x x
4)
1 log
1 log 3
5 log
5 3 log
3 2
3 2
y x
y x
5)
2 ) (
log
1152 2
.
3
y x
Bài tập
Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau :
a/ lg x2 lg y2 1
b/
c/ 4 2
log x log y 0
d/
x y
y x
d/
y
2
2 log x
log xy log x
Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau :
a
x y
3x 2y 3
x y (x y) 1
c
2x y
d
11