Chuyên đề 7 10T1

b Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.. c Tìm m để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt.. Không giải phương trình, hãy tính.. b Tìm a để phương trình có 3 nghiệm phân biệt,

Chuyên đề 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

VÀ BẬC BỐN DẠNG ĐẶC BIỆT

I Phương trình bậc 3 có dạng:

ax +bx + + =cx d a≠

1 Một số trường hợp đặc biệt:

• Nếu a b c d+ + + =0

thì

( )1

có nghiệm x=1

• Nếu a b c d- + - =0

thì

( )1

có nghiệm x=- 1

• Nếu a b c d, , , Î ¢ thì

( )1 thì có nghiệm hữu tỉ

p q

thì p q, theo thứ tự là ước của d và a

• Nếu

3 3 , 0

ac =db a d ¹

thì

( )1

có nghiệm

c x b

=-Khi đã tìm được một nghiệm x0

thì phân tích phương trình về:

0 0

0

x x

x x f x

f x

 =

=



để tìm các nghiệm còn lại

Ví dụ 1 Giải phương trình bậc ba:

a)

3 6 4 0

x - x+ =

3 6 2 15 2 0

x - x - x+ =

.

b)

3 2

2x - 11x +11x- =3 0

3 6 2 6 4 0

x - x + x+ =

.

c) x3+ -(2 3)x2+ -(2 2 3)x- 2 3=0

.

Ví dụ 2: Cho phương trình: x3−(2m+1)x2+(3m+1) (x− m+ =1) 0

(1)

a) Tìm m để phương trình chỉ có một nghiệm

b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt

2 Định lý Viete cho phương trình bậc 3:

a Định lý Viète thuận:

Nếu phương trình bậc 3:

ax bx cx d a

có 3 nghiệm 1 2 3

, ,

x x x

thì:

1+ 2+ 3= −b, 1 2+ 2 3+ 1 3= c, 1 2 3= −d

b Định lý Viète đảo

Nếu tồn tại 3 số thực 1 2 3

, ,

x x x

sao cho 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3

Thì 1 2 3

, ,

x x x

là 3 nghiệm của phương trình bậc 3:

3+ 2+ − =0

Việc chứng minh định lý Viète đảo xem như một bài tập tự luyện

Ví dụ 3: Gọi a, b, c là 3 nghiệm của phương trình

Không giải phương trình, hãy tính

P

Ví dụ 4: Gọi 1 2 3

, ,

x x x

là 3 nghiệm của phương trình

3− + =1 0

Hãy tính

Lời giải:

Thực hiện phép chia đa thức

8

x

cho đa thức

3− +1

ta được kết quả:

8= 3− +1 5+ −3 2+ − +2 2 2−3 +2

Do đó, nếu

, =1,2,3

i

x i

là các nghiệm của phương trình

3− + =1 0

thì ta được:

8=2 2−3 +2, =1,2,3

Sử dụng định lý Viète thuận, ta có: 1 2 3 1 2 2 3 3 1

Từ đó suy ra:

Một số bài tập tự luyện

Bài 1 Cho phương trình

x − + a x + a − a+ x a− + a− =

a) Chứng minh phương trình có 1 nghiệm không phụ thuộc vào a

b) Tìm a để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng trung bình cộng của hai nghiệm kia

Bài 2 Hãy tìm tất cả các giá trị của a để các nghiệm x x x1, ,2 3

của phương trình:

3−6 2+ + =0

Thỏa mãn( ) (3 ) (3 )3

1− 3 + 2− 3 + 3− 3 = 0

Bài 3 Giải hệ phương trình



 + + =





 + + =



6 14

1 1 1 11

6

x y z

x y z

Bài 4 Giả sử phương trình

x +sx + px r+ =

có 3 nghiệm Chứng minh rằng

2≥3

Bài 5 Giả sử phương trình

x +ax +bx c+ =

có ba nghiệm 1 2 3

, ,

x x x

Hãy tìm mối liên hệ giữa

, ,

a b c

khi

2

1 3 2

x x =x

II Phương trình bậc 4 Ax +Bx +Cx +Dx+ =E 0,A¹ 0

1 1 Phương trình trùng phương

Phương trình có dạng

Đặt

2 0

ta đưa về việc giải

0

ay by c y

ìï + + = ïí

ïî

1 2 Phương trình dạng

( )4 ( )4

x+a + +x b =c

Có thể đưa về phương trình trùng phương nhờ phép đặt ẩn phụ 2 2

y x + x y +

= + Þ =

- Khi đó

( ) ( )

x a x b æçy + aö æ÷ çy - bö÷ æçy - ö æ÷ çy - ö÷

+ + + =çç - + ÷÷+ +çç + ÷÷=çç + ÷÷+ +çç ÷÷

Đặt 2

a b

-=

Ta có

( )4 ( )4 4 2 2 4

y+k + -y k = y + y k + k =c

Vậy ta có phương trình trùng phương

4 2 2 4

2 y + 12 y k + 2 k - = c 0

với 2

a b

-Ví dụ 5 Giải phương trình

( )4 ( )4 ( )

x- + +x =

*Chú ý Nếu cần kiểm tra phương trình bậc bốn dạng tổng quát

,

(a¹ 0)

có

trùng phương hay không ,ta chỉ cần đặt ẩn phụ 4

b

a

= +

Nếu sau khi thay vào phương trình đã cho ta không được phương trình trùng phương theo biến t

thì phương trình đã cho không thuộc thuộc dạng trùng phương

1.3 Phương trình dạng

(x a x b x c x d+ )( + )( + )( + =) m

với a b c d+ = +

.

Viết phương trình đã cho dưới dạng

x a b x ab x c d x cd m

é + + + ùé + + + ù=

Đặt t= + +x2 (a b x ab) +

đưa về phương trình bậc hai theo t

Ví dụ 6 Giải phương trình

(x+1)(x+2)(x+3)(x+ =4) 3 ( )1

Chú ý Phương trình trên mở rộng thành

(a x a b x b c x c1 + 2)( 1 + 2)( 1 + 2)(d x d1 + 2)=m

, với điều kiện 1 1 1 1

và 1 2 2 1 1 2 2 1

Khi đó ta đặt

t= a x a b x b+ +

Ví dụ 7 Giải phương trình

(2x- 1)(x- 1)(x- 3 2)( x+ =-3) 9

1.4 Phương trình đối xứng bậc bốn (Phương trình h ồ i quy)

Phương trình đối xứng bậc bốn là phương trình có dạng

(a¹ 0

)

Cách giải.

Bước 1 Kiểm tra x=0

có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2 Tìm nghiệm x¹ 0

Chia cả hai vế của phương trình cho

2

x

ta được

æ ö÷ æ ö÷

+ + + + = Û çç + ÷÷+ çç + + =÷÷

(2) Đặt

2

2

- Khi đó phương trình (2) trở thành

a t - + + = Û bt c at + + = bt c

Với cách đặt

1

x

= +

, sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có

2

Như vậy từ phương trình đối xứng bậc 4 ta chuyển về phương trình bậc 2 theo biến t

với

2

t ³

Ví dụ 8 Giải phương trình

x + x +x + x+ =

Chú ý Đối với phương trình bậc 4 có hệ số đối xứng lệch (phương trình phản hồi quy), dạng

thì ta vẫn có cách tương tự và đưa phương trình đã cho về dạng

at +bt+ +c a=

1.5 Phương trình bậc 4 có hệ số đối xứng tỉ lệ (phương trình phản hồi)

Phương trình phản hồi là phương trình có dạng

4 3 2 2 0( 0, 0)

Cách giải

Tương tự như cách giải các phương trình trên hồi quy và phản hồi quy, bằng cách chia hai vế cho

2

x

(nếu 0

x=

không là nghiệm ), và đặt ẩn phụ

k

x

= +

, ta được phương trình

Ví dụ 9 Giải phương trình

2x - 21x + 34x + 105x+ 50 = 0

1.6 Dạng khác:

Ví dụ 10: Giải phương trình:

a)

4 8 3 3 2 32 4 0

x − x − x + x− =

16

7

c

2 Định lí Viète cho phương trình bậc 4

Nếu phương trình bậc bốn

ax +bx +cx + + =d e (a¹ 0)

có bốn nghiệm thì

1 2 3 4

1 2 2 3 3 4 1 3 1 4 2 4

1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4

1 2 3 4

b

x x x x

a

c

x x x x x x x x x x x x

a d

x x x x x x x x x x x x

a e

x x x x

a

=-ïï

ïï

ïïï

íï

=-ïï

ïï

ïï

ïïî

Ví dụ 11 Cho phương trình

Biết rằng phương trình có bốn nghiệm

1, , ,2 3 4

x x x x

thoả mãn điều kiện 1 2 3 4

x + = + x x x

Hãy tìm a và giải phương trình đã cho.

III

.Phương trình đối xứng bậc n

Phương trình đối xứng bậc n là phương trình có dạng

1

a x + a x - + + a x a- + =

Trong đó dãy các hệ số là đối xứng, nghĩa là 0

0

n

, 1 n 1

-…

Cách giải

- Đối với phương trình đối xứng bậc chẵn, giả sử bậc của phương trình là n=2m

Do x=0

không thể là nghiệm nên ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho

m

x

Sau đó bằng cách nhóm thích hợp, vế trái của phương trình có thể đưa về dạng

1

k k

x x

+ Chúng đều là các biểu thức đối xứng với x

và

1

x

Do đó, nếu ta biết đặt

1

x

= +

thì sẽ đưa đến phương trình bậc k đối với t

- Đối với phương trình đối xứng bậc lẻ, ta dễ dàng thử lại rằng phương trình luôn nhận x=- 1

là 1 nghiệm

Do vậy, với giả thiết x+ ¹1 0

sao cho khi chia hai vế cho x+1

, ta sẽ được 1 phương trình đối xứng bậc chẵn

Ví dụ 12 Giải phương trình

a)

b)

2x - 5x - x - 8x - 8x - 5x+ = 2 0

Bài tập tự luyện

Bài 6: Giải phương trình a) x4+ = 4 5 x x ( 2− 2 )

b) 2( ) (2 )2

Bài 7: Chứng minh điều kiện cần để phương trình ax4+bx2+ =c 0 (a≠0)

có bốn nghiệm thỏa: 1 2 2 3 3 4

t t − = − = − t t t t

là

2

9b = 100ac

Bài 5: Biết rằng phương trình

x +bx +cx +bx+ =

có nghiệm Chứng minh 2 ( )2

2 3

Bài 8: [ Phương trình (ax2+bx ka ax+ ) ( ′ 2+bx ka′ + ′)+px3+qx2+kpx=0; k aa′≠0

] Giải các phương trình:

a) (x−1) ( x−2) (x−4) (x− =8) 70x2

2 3 1 2 1 12 2

 + +  − + =

Bài 9: Giải các phương trình:

a) (2x2−3x−18 3) ( x2+2x−27) =41x3+10x2−369x

b)

2 2

7 101 42

11 6

+ +

c)

3

2

x x

x − + =x +