HẾT • Học sinh không được phép sử dụng tài liệu; • Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN NBK ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ HỌC KÌ 2 (2018-2019)
Ngày
Học sinh làm 4 bài toán sau đây
Bài 1 ( 3 điểm)
Bài 2 ( 2 điểm)
Bài 3 ( 3 điểm)
a) Giải phương trình
2 8cos 4 cos 2x x+ 1 cos 3− x+ =1 0
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x +y −x y xy− =
Bài 4 ( 2 điểm)
a) Tìm số dư trong phép chia
2019 2018
cho 13
b) Cho p là số nguyên tố bất kỳ khác 2 và khác 5 Chứng minh rằng trong dãy
9,99,999,9999,
có vô số số hạng chia hết cho p
HẾT
• Học sinh không được phép sử dụng tài liệu;
• Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN LỚP 10 – HỌC KÌ 1 - NĂM 2017 – 2018
Bài 1
Bài 2
a)
Bài 2
b)
Bài 3a)
1đ Giải phương trình
2 8cos 4 cos 2x x+ 1 cos3− x+ =1 0
2
8cos 4 cos 2 1 cos3 1 0 4cos 4 (1 cos 4 ) 1 cos3 1 0
(4cos 4 4 cos 4 1) 1 cos 3 0 (2cos 4 1) 1 cos3 0 2cos 4 1 0
1 cos3 0
1 cos 4
2 cos3 1
3
x x
k
k
π
+ =
⇔
0,25 0,25 0,25x2
Bài 3b
(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x +y −x y xy− =
2
5 ( )( ) xy(x y) 5 (x y)(x 2 ) 5 (x y)(x y) 5
x y x y xy
x y x xy y
xy y
Do (x-y)2≥
0 và x, y thuộc Z nên xảy ra hai trường hợp:
Th1:
2
5
x y
<=>
+ =
=>
Th2:
2
1 1
=> (L)
x y
x y
+ =
− = ±
0,5
0,5
0,5 0,5
Trang 3Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên ( ; ) {(3;2);(2;3)}x y ∈
Bài 4a
(1đ) Tìm số dư trong phép chia
2019 2018
cho 13
Ta có: 2018 3(mod13)≡
33 ≡ 1 (mod 13)
( )673
2019 3
2018 3 = 3 ≡1 ≡1(mod13)
Vậy
2019
2018 ≡1(mod13)
hay
2109 2018
chia 13 dư 1
0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 4b
(1đ) Cho p là số nguyên tố bất kỳ khác 2 và khác 5 Chứng minh rằng trong dãy 9,99,999,9999, có
vô số số hạng chia hết cho p
Do p là số nguyên tố khác 2 và khác 5 nên gcd( p,10) =1
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có:10p−1≡1 mod( p)
Do đó, với mọi n
nguyên dương thì
( 1 ) ( ) ( 1 )
10n p− ≡1 mod p ⇒10n p− −1Mp
với n
nguyên dương
Mặt khác,
( )
( )
{
1
1
n p
−
−
− =
Từ đó suy ra tồn tại vô số số hạng của dãy 9,99,999,9999, chia hết cho p
0.25 0,25 0.25 0,25