De de nghi HSG cap truong k10 NH 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH LONGTRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018– 2019.. Hãy chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.. Kẻ các đường kín

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH LONG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

NGUYỄN BỈNH KHIÊM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018– 2019 Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 20/4/2019

Học sinh làm 6 bài toán sau

Bài 1 (4,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau

a) 3x+ −1 6− +x 3x2−14x− =8 0.

2

2

10 1

x x

y y

y

 + + =





 + + =



Bài 2 (4,0 điểm)

a) Cho 2019 số nguyên x x x1; ; ; ;2 3 x2019 sao cho

2019

1

0

i i

x

=

=

∑ Chứng minh rằng 2019

81 1

i i

=

=∑ chia hết cho 255

b) Cho đa giác ( )H có n đỉnh (nÎ ¥ , n> 4) Tìm n, biết số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của ( )H và không có cạnh nào là cạnh của ( )H gấp 5 lần số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của ( )H và có đúng 1 cạnh là cạnh của ( )H

Bài 3 (3,0 điểm) Cho a b, là hai số thực dương có tổng bằng1 Chứng minh rằng:

2 2

6

a b +ab ≥

+

Bài 4 (4,0 điểm)

a) Cho tam giác nhọn ABC với H là trực tâm Giả sử ta có

AH BH CH+ + = AB +BC +CA Hãy chứng minh tam giác ABC là tam giác đều

b) Cho tam giác ABC có góc µA=2Bµ và Cµ >900 đồng thời các cạnh đều là các số nguyên dương Tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất ?

Bài 5 (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không là tam giác vuông và nội tiếp đường tròn (I) ( đường tròn (I) có tâm là I ); điểm H( )2; 2 là trực tâm tam giác ABC Kẻ các đường kính AM, BN của đường tròn (I) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết

( )5;3 , ( )1;3

M N và đường thẳng BC đi qua điểm P( )4; 2

Bài 6 (2,0 điểm)

Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 100 Chứng minh rằng có thể chọn ra bốn số a b c d, , , sao choa b c< < và a b c d+ + =

HẾT

• Học sinh không được phép sử dụng tài liệu;

• Học sinh không được phép sử dụng máy tính cầm tay.

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH LONG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM

HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG

LỚP 10 THPT MÔN TOÁN 10 KHÓA THI NGÀY ………

Bài 1a Giải phương trình 3x+ −1 6− +x 3x2−14x− =8 0 (1) 2,0

Điều kiện: 1 6

3 x

(1)⇔( 3x+ − + −1 4) (1 6−x)+3x2−14x− =5 0

0,25

( 5)(3 1) 0

3 1 4 1 6

0,5

5

3 1 0( )

3 1 4 1 6

x

=







5

x

⇔ =

0,25 0,25 0,25

- Kết luận Tập nghiệm của phương trình đã cho là: T={ }5 0,25 Bài 1b

Giải hệ phương trình

2 2

2

10 1

x x

y y

y

 + + =





 + + =



(*)

3,0

ĐK: y≠0 Đặt a x 1;b 1

y

Ta có hệ phương trình trở thành

2 2

11 13

( )

a b ab

a b

VN





( ; ) 1;

a

x y b

=



( ; ) 2;

a

x y b

=



0,25

0,25x2 0,25 0,25 0,25

Bài 2a

Cho 2019 số nguyên x x x1; ; ; ;2 3 x2019 sao cho

2019

1

0

i i

x

=

=

∑ Chứng minh rằng

2019 81 1

i i

=

=∑ chia hết cho 255

2,0

Theo định lí Fermat nhỏ ta có:

Với mọi x nguyên tố cùng nhau với 3, 2 80

1(mod 3) 1(mod 3)

Với mọi x nguyên tố cùng nhau với 5, 4

1(mod 5)

1(mod 5)

x

Với mọi x nguyên tố cùng nhau với 17, 16 80

1(mod17) 1(mod17)

0,25 0,25 0,25

Do đó với mọi số nguyên x ta có:

2019

2019 81

1 81

2019

1

0(mod 3) (mod 3)

(mod 5) 0(mod 5) (mod17)

0(mod17)

i i

i i

i i

x x

x x

=

=

=

 ≡ =



 ≡ ⇒ ≡ =

≡ =





∑

∑

∑

0,5x2

Bài 2b Cho đa giác ( )H có n đỉnh (nÎ ¥ , n> 4) Tìm n, biết số các tam giác có 3 đỉnh là

đỉnh của ( )H và không có cạnh nào là cạnh của ( )H gấp 5 lần số các tam giác có

3 đỉnh là đỉnh của ( )H và có đúng 1 cạnh là cạnh của ( )H

2,0

Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là Cn3

Số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n Số tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n n-( 4) .

0,25 0,25 0,25

Suy ra số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là

n

Theo giả thiết, ta có C n3- n n n- ( - 4)=5.n n( - 4)

0,25 0,25

3

2

!

3! 3 !

4 6

n

n

n

n

-é

0,5

Do n> nên ta chọn 4 n= 35 thỏa mãn yêu cầu bài toán 0,25 Bài 3

Cho ,a b là hai số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 21 2 1 6

a b +ab≥ +

3,0

a b +ab= a b + ab+ ab

0,5

*Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars:

2

4

a b ab a b ab a b

+

*Áp dụng bất đẳng thức AM – GM:

2

4

a b

ab

+

  (2)

0,75

Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2

a b +ab = a b + ab+ ab

1

4 4 6

2

≥ + = Hay 21 2 1 6

a b +ab≥ +

0,5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2

2

a b a b

a b ab

a b

> + =



 =

 +



=



1 2

a b

Bài 4

a)

Cho tam giác nhọn ABC với H là trực tâm Giả sử ta có

AH BH CH+ + =AB +BC +CA Hãy chứng minh tam giác ABC là tam

giác đều

2,0

ABC là tam giác nhọn, gọi ', ', ' A B C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ

, ,

A B C xuống các cạnh BC CA AB , ,

Xét tứ giác nội tiếp BC HA' ' có:

2 2 2

2

b c a

AH AA = AC AB bc cosA= = + −

Tương tự

2 2 2

'

2

a c b

BH BB = + − , 2 2 2

.CC'

2

a b c

CH = + − Suy ra

2 2 2

' ' '

2

a b c

AH AA BH BB CH CC+ + = + +

0,5

HBC HCA HAB ABC ABC ABC

AA + BB + CC = S +S +S = ⇒ AA +BB +CC = 0,5

Áp dụng bđt Cauchy- Schwarz, ta được

2 2 2

2

' ' '

2

AA BB CC AA AH BB BH CC CH

AH BH CH AH BH CH

a b c

AH AA BH BB CH CC

+ +

AH BH CH a b c

Theo đề bài, đẳng thức ở (*) xảy ra khi và chỉ khi AA'=BB'=CC' hay tam giác

4b Cho tam giác ABC có góc µ A=2µB và µC>900 đồng thời các cạnh đều là các số

nguyên dương Tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất ?

2,0

Ta có µA=2Bµ nên µ 0 µ 0 µ 0 3

2

C= − B> ⇒ <B ⇒ < B< 0,5 Theo định lý sin thì

sin 2 sin 2 sin 3

B = C = B do đó

2 2

2 cos 4 cos (3 4sin ) (4cos 1) cos

4

b c

b

+

Suy ra a2 =b b c( + ) với , ,a b c nguyên dương mà a b c+ + nhỏ nhất thì ( , , ) 1a b c = , do đó ( , ) 1b c = , hơn nữa ,b b c+ phải là các số chính phương nên tồn tại m n, ∈¥ sao cho * b m b c n a m n= 2; + = 2; = 0,5

Do đó 3 cos 1 3 2cos 2 3 2 3 2

2

< < ⇒ < < ⇒ < < ⇒ < <

Ta được m=7;n=4 là cặp số nguyên dương nhỏ nhất thỏa các yêu cầu của

đề bài Vậy ( , , ) (28,16,33)a b c = là số đo ba cạnh của tam giác có chu vi nhỏ

nhất là minP=77

0,5 Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không là tam giác vuông

và nội tiếp đường tròn (I) ( đường tròn (I) có tâm là I ); điểm H( )2; 2 là trực tâm

tam giác ABC Kẻ các đường kính AM, BN của đường tròn (I) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M( )5;3 , N( )1;3 và đường thẳng BC đi qua điểm P( )4; 2 .

3,0

Nhận xét Các tứ giác BHCM, AHCN là các hình bình hành suy ra nếu gọi E, F lần

lượt là trung điểm của BC, CA thì E, F cũng tương ứng là trung điểm của HM, HN. 0,5

Do đó 7 5; , 3 5;

2 2 2 2

E  F 

 ÷  ÷

Đường thẳng BC đi qua điểm ( ) 7 5;

2 2 4;2 ,

P E 

 ÷

  nên viết được phương trình

AH vuông góc với BC suy ra AH có vtpt nrAH = −(1; 1), kết hợp với AH đi qua điểm

( )2; 2

A AH∈ ⇒ A a a C BC∈ ⇒C b −b

Do F là trung điểm AC nên:

( ) ( )

2

A C F

F

x x

y

+

 =

 +  + − =  =

 =



0,5

Do E là trung điểm của BC nên tìm được B( )5;1

Vậy A( ) ( ) ( )1;1 ,B 5;1 ,C 2; 4 .

0,5

F

E H

P I

N

M

C B

A

Bài 6 Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 100 Chứng minh rằng có thể

chọn ra bốn số , , ,a b c d sao cho a b c< < và a b c d+ + = 2,0 Giả sử 69 số đó là 0< <a1 a2< < a69 <101

Xét các 68 tổng a69+a a1, 68+a1, ,a2+a1 và 67 hiệu a69−a a2, 68−a2, ,a3−a2, có

135 số tất cả (1)

0,5

Ta có a69+ >a1 a68+ > > +a1 a2 a1 và a69− >a2 a68− > > −a2 a3 a2 0,5

Mặt khác 1≤ −a j a a2, i+ ≤a1 100 32 132+ = (2) 0,5

Từ (1) và (2) kết hợp với nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai số ,i j sao cho

a + = −a a a i≠ ⇒j a = + +a a a là 4 số thỏa đề bài 0,5