KINH TẾ LƯỢNG - ECONOMETRICS

Định nghĩaPhân tích hồi qui là phân tích mối liên hệ phụ thuộc giữa một biến gọi là biến phụ thuộc biến được giải thích, biến nội sinh phụ thuộc vào một hoặc một số biến khác gọi là các

KINH TẾ LƯỢNG - ECONOMETRICS

Tài liệu

[1] Nguyễn Quang Dong, (2002), Bài giảng Kinh tế lượng, NXB

Thống kê.(Tái bản các năm 2000, 2001, 2002, 2003)

[2] Vũ Thiếu, Nguyễn Quang Dong (2001), Kinh tế lượng - Bài tập

& Hướng dẫn thực hành Mfit4, NXB KHKT.

Tham khảo và nâng cao

[3] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, (1998), Lý thuyết Xác suất

[4] Nguyễn Quang Dong, (2002), Kinh tế lượng - Chương trình

nâng cao, NXB KHKT.

[5] Nguyễn Quang Dong, (2002), Bài tập Kinh tế lượng với sự trợ

giúp của phần mềm Eviews, NXB KHKT.

[6] Nguyễn Khắc Minh, (2002), Các phương pháp Phân tích & Dự

báo trong Kinh tế, NXB KHKT.

[7] Graham Smith, (1996), Econometric Analysis and Applications,

Bµi më ®Çu

1 Khái niệm về Kinh tế lượng (Econometrics)

- Nhiều định nghĩa, tùy theo quan niÖm cña mçi t¸c gi¶

- Econo + Metric

Khái niệm: KTL nghiên cứu những mối quan hệ Kinh tế Xã hội;

thông qua việc xây dựng, phân tích, đánh giá các mô hình để cho ralời giải bằng số, hỗ trợ việc ra quyết đinh

Kinh tÕ lîng lµ kinh tÕ häc thùc chøng

Econometrics – Pragmatic Economics

- KTL sử dụng kết quả của :

+ Lý thuyết kinh tế+ Mô hình toán kinh tế+ Thống kê, xác suất

2 Phương pháp luận (các bước tiến hành)

- Xác định phạm vi, bản chất, tính chất của các đối tượng vàmối quan hệ giữa chúng

- Xác định mô hình lý thuyết kinh tế hợp lý

2.2 Xây dựng mô hình kinh tế to¸n :

+ Mỗi đối tượng đại diện bởi một hoặc một số biến số.+ Mỗi mối quan hệ: Phương trình, hàm số, bất phươngtrình…

+ Giá trị các tham số : cho biết bản chất mối quan hệ

2.3 X©y dùng m« h×nh kinh tÕ lîng t¬ng øng

- M« h×nh kinh tÕ to¸n: phô thuéc hµm sè

- M« h×nh kinh tÕ lîng: phô thuéc t¬ng quan vµ håi quy

2.4 Thu thập số liệu

- Số liệu được dùng : từ thống kê

2.5 Uớc lượng các tham số cña m« h×nh

-Với bộ số liệu xác định và phương pháp cụ thể, kết quả ướclượng là những con số cụ thể

2.6 Kiểm định mô hình.

- Bằng phương phỏp kiểm định thống kờ: kiểm định giỏ trị cỏctham số, bản chất mối quan hệ

- Kiểm định tớnh chớnh xỏc của mụ hỡnh

- Nếu khụng phự hợp : quay lại cỏc bước trờn

- Biến đổi, xõy dựng mụ hỡnh mới để cú kết quả tốt nhất

2.7 Dự bỏo

- Dựa trờn kết quả được cho là tốt : dự bỏo về mối quan hệ, vềcỏc đối tượng trong những điều kiện xỏc định

2.8.Kiểm soát và Đề xuất chính sách

- Dựa vào kết quả phân tích của mô hình mà

đề xuất chính sách kinh tế

Ví dụ: Nghiên cứu tính quy luật của tiêu dùng.

1.Xây dựng một luận thuyết kinh tế về tiêu dùng

Trong tác phẩm: Lý thuyết về việc làm, lãi suất và tiền

tệ, Keynes viết:” Luật tâm lý cơ bản là một ngời sẽ tăng tiêu dùng khi thu nhập của ngời đó tăng lên, song không thể tăng nhiều bằng mức tăng của thu nhập”

2.Xây dựng mô hình kinh tế toán tơng ứng

Ký hiệu: Y là tiêu dùng

X là thu nhập

Và giả sử Y phụ thuộc tuyến tính vào X Ta có mô

hình kinh tế toán sau đây:

Mô hình trên thờng đợc gọi là Hàm tiêu dùng của

Keynes và phải thoả mãn điều kiện:

Có số liệu sau về tổng mức tiêu dùng cá nhân ( Y )

và tỏng thu nhập gộp GDP ( X ) của Mỹ giai đoạn 1980 –

1991 ( đơn vị: tỷ USD ) tính theo giá cố định năm 1987:

5.Ước lợng mô hình.

Dùng phơng pháp bình phơng nhỏ nhất, tìm đợc các uoc lợng sau:

H0: Sai số ngẫu nhiên phân phối chuẩn

H1: Sai số ngẫu nhiên không phân phối chuẩn

Mục đích của kiểm định là kiểm chứng lại mô hình hoặc lý thuyết kinh tế

7.Dự báo

Chẳng hạn có cơ sở để cho rằng GDP của Mỹ vào năm

1994 là 6000 tỷ USD Lúc đó có thể tìm đợc một dự

báo điểm cho Tổng mức tiêu dùng cá nhân của Mỹ vào năm đó là:

mức tiêu dùng cá nhân là 4000 tỷ USD thì sẽ duy trì

đ-ợc tỷ lệ thất nghiệp ở mức 6,5% Từ đó để duy trì đđ-ợc

tỷ lệ thất nghiệp nói trên cần phải có đợc GDP là:

GDP  ( 4000 + 231,8 )/ 0,7194  5882 tỷ USD

3 Số liệu dựng trong KTL

3.1 Phõn loại

- Số liệu theo thời gian

- Số liệu theo khụng gian

- Số liệu ngẫu nhiên phi thực nghiệm.

- Phù hợp mục đích nghiên cứu

Chó ý: DÆc ®iÓm chung cña c¸c sè liÖu kinh tÕ x· héi

lµ kÐm tin cËy

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Phân tích hồi qui – Regression Analysis

1.1 Định nghĩa

Phân tích hồi qui là phân tích mối liên hệ phụ thuộc giữa một biến gọi là biến phụ thuộc (biến được giải thích, biến nội sinh) phụ thuộc vào một hoặc một số biến khác gọi là (các) biến giải thích (biến độc lập, biến ngoại sinh, biến hồi qui).

1.2 Ví dụ Tiªu dïng vµ Thu nhËp

- Biến phụ thuộc (dependent variable) ký hiệu là Y

- Biến giải thích( Explaine variable(s)) / hồi qui (regressor(s))

ký hiệu là X, hoặc X2, X3….

- Biến giải thích nhận những giá trị xác định, trong điều kiện

đó biến phụ thuộc là một biÕn ngẫu nhiên

Phân tích hồi qui nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc giữa biến phụ thuộc Y mµ thùc chÊt lµ mét biÕn ngÉu nhiªn, phụ thuộc vào các giá trị xác định của (các) biến giải thích như thế nào

- Kiểm định về mối quan hệ.

- Dự báo giá trị biến phụ thuộc khi biến giải thích thay đổi

1.4 So sánh với các quan hệ toán khác

- Quan hệ hàm số : x  y

- Quan hệ tương quan xy

- Quan hệ nhân quả X  Y X

2 Mô hình hồi qui Tổng thể

- Tổng thể : toàn bộ những cá thể mang dấu hiệu nghiên cứu

- Phân tích hồi qui dựa trên toàn bộ tổng thể

Gi¶ sö biến phụ thuộc Y chØ phụ thuộc một biến giải thích X

2.1 Hàm hồi qui tổng thể (PRF: Population Regression Function).

Xột quan hệ hồi qui:

X i (i =1ữn)

  F(Y/X i) Tồn tại Phõn phối xỏc suất cú điều kiện

  E(Y/X i) Tồn tại duy nhất giỏ trị Kỡ vọng cú điều

kiện

X i  E(Y/X i) Quan hệ hàm số

Nếu: hàm hồi qui tổng thể cú dạng tuyến tính

E(Y/X i) = 1 + 2X i

Trong đó: 1 = E(Y/X i = 0): hệ số chặn (INPT : intercept term)

2.3 Sai số ngẫu nhiờn.

- Xột giỏ trị cụ thể Yi  (Y/X i), thụng thường Yi ≠ E(Y/X i)

- Đặt ui = Y i – E(Y/X i) : là sai số ngẫu nhiờn (nhiễu, yếu tố ngẫu nhiờn: random errors)

- Tớnh chất của SSNN : + Nhận những giỏ trị dương và õm

+ Kỡ vọng bằng 0: E(ui) = 0  i

Bản chất của SSNN : đại diện cho tất cả những yếu tố khụng

phải biến giải thớch nhưng cũng tỏc động tới biến phụ thuộc:

+ Những yếu tố khụng biết

+ Những yếu tố khụng cú số liệu

+ Những yếu tố không ảnh hởng nhiều đếnbiến phụ thuộc

+ Sai số của số liệu thống kê

3 Mô hình hồi qui mẫu

- Không biết toàn bộ Tổng thể, nên dạng của PRF có thể biết nhưnggiá trị j thì không biết.

- Mẫu : một bộ phận mang thông tin của tổng thể

- W = {(Xi , Y i), i = 1÷ n} được gọi là một mẫu kích thước n, có n quan sát (observation).

3.1 Hàm hồi qui mẫu (SRF : Sample Regression Function)

- Trong mẫu W, tồn tại một hàm số mô tả xu thế biến động của

biến phụ thuộc theo biến giải thích về mặt trung bình, Yˆ= f ˆ X( )

gọi là hàm hồi qui mẫu (SRF)

- Hàm hồi qui mẫu có dạng giống hàm hồi qui tổng thể

- Vì có vô số mẫu ngẫu nhiên, nên có vô số giá trị của ˆ 1và ˆ 2

 ˆjlà biÕn ngẫu nhiên

- Với một mẫu cụ thể w kích thước n, ˆjsẽ là con số cụ thể

Yˆ, ˆ 1,ˆ 2, ei là ước lượng điểm tương ứng của E(Y/Xi), 1, 2, u i.

3.3 Mô hình hồi quy mầu

SRM: Sample regression model

Yi = ˆ1 + ˆ2 X i + e i

Với mỗi mẫu cụ thể sẽ tìm đợc một SRF tơng ứng nên phải tìm một ớc lợng tốt nhất

Chương 2 ƯỚC LƯỢNG VÀ Kiểm định

Mễ HèNH HỒI QUI đơn

1 Mụ hỡnh

- Mụ hỡnh hồi qui đơn ( Simple regression ) là mụ hỡnh

một phơng trình gồm một biến phụ thuộc (Y) và một biến giải thớch (X).

- Mụ hỡnh cú dạng: PRF E(Y/X i)= 1 + 2 X i

PRM Y i = 1 + 2 X i + u i

- Với mẫu W = {(Xi , Y i), i = 1ữ n}, tỡm ˆ 1,ˆ 2 sao cho

SRF Yˆ i = ˆ 1+ ˆ 2X i

SRM Yi = ˆ 1+ ˆ 2Xi + ei

phản ỏnh xu thế biến động về mặt trung bỡnh của mẫu

2 Phương phỏp bỡnh phương nhỏ nhất( Ordinary least squares -OLS)

Y

1

2 1

 ˆ1n + ˆ2Xi = Yi

ˆ1Xi + ˆ2Xi2 = XiYi

Đặt: X = (Xi)/n ; Y = (Yi)/n ; X Y = (XiYi)/n ; X2

= (Xi2)/n

y x

1 2 1

 yˆi = ˆ2xi gọi là hàm hồi quy mẫu đi qua gốc toạ độ

1

ˆ

 , ˆ2 ước lượng bằng phương phỏp bỡnh phương nhỏ nhấtnên đợc gọi là cỏc ước lượng bỡnh phương nhỏ nhất (OLS)của 1 và 2

2.2.Phương phỏp OLS cú cỏc tớnh chất sau:

a SRF đi qua điểm trung bình mẫu ( X , Y )

b Trung bình của các giá trị ớc lợng bằng trungbình mẫu Y ˆ Y

e Các phần d không tơng quan với các giá trị ớc

l-ợng của biến phụ thuộc Y : cov(ei,yˆ i) = 



n i

i Y ei

1

ˆ = 0

3 Cỏc giả thiết cơ bản của OLS

Một ước lượng sẽ dựng được khi nú là tốt nhất Để ước lượng OLS

là tốt nhất thỡ tổng thể phải thỏa món một số giả thiết sau:

Giả thiết 1: Mô hình hồi quy có dạng tuyến tính đối với

tham số

Giả thiết 2: Biến giải thớch là phi ngẫu nhiờn

Giả thiết 3: Trung bỡnh của các sai số ngẫu nhiờn bằng 0

Giả thiết 9: Mô hình đợc chỉ định đúng.

Giả thiết 10: Không có đa cộng tuyến giữa các biến giải

thích của mô hình hồi quy bội

Định lý Gaus-Markov: Nếu tổng thể thỏa món cỏc giả thiết

trờn thỡ ước lượng OLS sẽ là ước lượng tuyến tớnh, khụng chệch, tốt nhất (trong số cỏc ước lượng khụng chệch) của cỏc tham số (Best Linear Unbiassed Estimator - BLUE).

4 Cỏc tham số của ước lượng OLS

Cỏc ước lượng ˆj là biến ngẫu nhiờn tựy thuộc mẫu, nờn cú cỏc tham số đặc trưng

Kỡ vọng : E(ˆ 1) = 1 E(ˆ 2) = 2

Phương sai : Var(ˆ 1) = 2

1 2 1

n i i

x n

X

1 2

i với 2 là số tham số cần phải ước lượng của mụ hỡnh.

ˆ=  ˆ 2 là độ lệch chuẩn của đường hồi qui :

(Standard error of Regression)

n i i

x n X

1 2 1

2

ˆ



Se(ˆ 2) = 



n i i

x

1 2

ˆ



Các sai số chuẩn phản ánh độ chính xác của ớc lợng

Cov(ˆ1, ˆ2) = - X Var(ˆ2)

Hiệp phơng sai phản ánh mối quan hệ giữa ˆ1 và ˆ 2

Các tham số trên thờng đợc cho trong ma trận sau:

)

, cov(

) , cov(

)

var(

2 1

2

2 1 1

i i







 ˆ

1

0 ˆ

n i

n

e y

y

1

2 1

2 1

Ký hiệu: 



n i i

ESS (Explained Sum of Squares): tổng biển động của biến phụ

thuộc được giải thớch bởi MH – biến giải thớch

RSS (Residual Sum of Squares) : tổng biến động của biến phụ

thuộc được giải thớch bởi cỏc yếu tố nằm ngoài mụ hỡnh –Sai số ngẫu nhiờn

Đặt R2 = TSS ESS 1  TSS RSS gọi là hệ số xỏc định, 0  R2  1

í nghĩa: Hệ số xỏc định R 2 là tỉ lệ (hoặc tỉ lệ %) sự biến động của biến phụ thuộc được giải thớch bởi biến giải thớch (theo mụ hỡnh, trong mẫu).

6 Hệ số tơng quan R :

Là căn bậc hai của hệ số xác định và đo mức độ

t-ơng quan tuyến tính giữa Y và X

Hệ số tơng quan thờng đợc cho trong ma trận sau:

1

r r

7 Phân phối xác suất của sai số ngẫu nhiên

Muốn tiến hành các suy diễn thống kờ, thỡ phải biết phõn phốixỏc suất của cỏc ước lượng, phõn phối đú tựy thuộc phõn phối xỏcsuất của SSNN

Giả thiết 11: Các SSNN ui cú phõn phối chuẩn

Cơ sở của giả thiết này là:

+ Do ui thờng là sự tổng hợp của một số lớn các nhân

tố ngấu nhiên độc lập và ảnh hởng bế đều nh nhau nên theo hệ quả của định lý giới hạn trung tâm thì có thể xem là ui phân phối chuẩn

+ Phân phối chuẩn chỉ có hai tham số là  và 2 nên

dễ sử dụng

+ Phân phối chuẩn có tính chất là nếu ui phân phối chuẩn thì mọi hàm tuyến tính của nó cũng phân phối chuẩn

+ Phân phối chuẩn có tính chất là tính độc lập và không tơng quan là đồng nhất

Kết hợp các giả thiết 3,4,5 và 11 ta có giả thiết chung là: ui  n.i.d (0, 2 )

Mô hình thoả mãn các giả thiết trên gọi là mô hình hồi

quy tuyến tính cổ điển ( Clasic Linear Regression Model

9.1 Ước lượng khoảng

Với độ tin cậy 1 -  cho trước:

Kho¶ng tin cËy tæng qu¸t:

Kho¶ng tin cËy cho sai sè ngÉu nhiªn:

Kho¶ng tin cËy tæng qu¸t:

9.2 Kiểm định giả thuyÕt

Với mức ý nghĩa  cho trước, kiểm định mối quan hệ thứ tựcủa hệ số với các số thực cho trước

* 0

: H

: H

j j

j j

Tiêu chuẩn kiểm định : Tqs = ˆ ( ˆ )*

j

j j

* 0

: H

: H

j j

j j

* 0

: H

: H

j j

j j

H

0 :

NÕu cho tríc  th× quy t¾c kÕt luËn nh sau:

iii CÆp gi¶ thuyÕt

2 1

2 0

2 0

: H

: H

1 

 hoÆc qs >  2/ 2th× b¸c bá H0

2 1

2 0

2 0

: H

: H

2 1

2 0

2 0

: H

: H

H

0 :

H

2 1

2 0

R

R Biến giải thích không giải thích cho Y

Biến giải thích có giải thích cho Y 

H

0 : H

2 1

2 0

RSS ESS

- Nếu Fqs > F( 1; n - 2) thì bác bỏ H0 : biến giải thích giảithích được cho sự biến động của biến phụ thuộc, hàm hồi quiđược gọi là phù hợp.

- Ngược lại, Y không phụ thuộc vào biến giải thích, hàm hồi

Là ước lượng khoảng cho giá trị trung bình và cá biệt của biến phụ

thuộc khi biến giải thích nhận giá trị xác định X = X0

11.1 Dự báo giá trị trung bình

Kho¶ng tin cËy tæng qu¸t:

ˆ

Y – Se( Yˆ 0)t 2(n – 2) < E(Y/X0) < Yˆ 0 + Se( Yˆ 0)t 1 (n – 2)

Khoảng tin cậy đối xứng:

Yˆ 0 – Se( Yˆ 0)t/2(n – 2) < E(Y/X0) < Yˆ 0 + Se( Yˆ 0)t/2(n – 2)

Khoảng tin cậy bên phải:

i

x

X X







11.2 Dự bỏo giỏ trị cỏ biệt

Yˆ 0– Se( Yˆ0 - Y0)t 2(n – 2) < Y0 < Yˆ 0 + Se( Yˆ0 - Y0) t 1(n – 2)

Với Se( Yˆ 0 - Y 0) = 2

2

( 1 1 ˆ

i

x

X X

Trong đó: Ri là lợi tức của công ty i

Rm là lợi tức của chỉ số thị trờng

 thể hiện tác động của các yếu tố khác ngoài Rm

động của chỉ số thị trờng thì  > 1 và gọi là chứngkhoán năng động Mô hình SIM giả định rằng lợi tức củamỗi chứng khoán đều có ba bộ phận hợp thành:

 đại diện cho phần lợi tức không phụ thuộc vào lãI suetthị trờng

 đo lờng mức độ nhạy cảm của lợi tức chứng khoán

đang xét trớc những thay đổi của lợi tức của chỉ sốchứng khoán

Nh vậy mô hình SIM chỉ ra hai loại rủi ro khác nhautrong đầu t chứng khoán:

 Rủi ro thị trờng, đợc đo bằng , là rủi roliên quan đến sự biến động của toàn

bộ thị trờng và không thể giảm thiểubằng cách đa dạng hóa trong phạm vithị trờng

 Rủi ro riêng chỉ liên quan đến cổphiếu đang xét Nó có thể đo bằng sai

số chuẩn của  Nhà đầu t chỉ có thểloại trừ rủi ro riêng bằng các đa dạng hóadanh mục đầu t

Ta chuyển sang mô hình kinh tế lợng:

Chương 3 MÔ HÌNH HỒI QUI béi (Multiple regression)

1 Mô hình hồi qui 3 biến.

Y

1

2 1

2

) ˆ

Q/ˆ2 = 0 Q/ˆ3 = 0

x3iyix2i2 - x2iyix2i x3i

ˆ3 = x2i2x3i2 – (x2i x3i)2

 yˆ i = ˆ2x2i  ˆ3x3i  Hàm hồi quy mẫu đi qua gốc toạ độ

2

3 2 3 2

2 2

2 3

2 3

2 2

) (

i i

x x x

x

x x X X x

X x X

2

Var(ˆ2) =     2

3 2

2 3

2 2

2 3

)

i i

i

x x x

2 3

2 2

2 2

)

i i

i

x x x

2 23

2 23

) 1 ( r x i x i

ˆ

i

i i i

i

y

y x y



số xác định bội và đo mức độ tơng quan tuyến

tính chung giữa Y, X2 và X 3

tuyến tính giữa biến i và biến j của mô hình

i i

y x

y x

2 13

i i

y x

y x

2 23

3

2 2

2 3

(

i i

i i

x x

x x

c.Hệ số tơng quan riêng phần rij , k : Đo mức độ tơng

quan tuyến tính giữa biến i và biến j của mô hình với điều kiện biến k không đổi

r 12,3 = (1 )(1 2)

23

2 13

23 13 12

r r

r r r

23 12 13

r r

r r r

1

13

2 12

13 12 23

r r

r r r

1981 10.24 7.6 10.81

1982 5.99 9.7 8.00

a.Hồi quy Y với X2 và cho nhận xét.

b.Hồi quy Y với X2 và X 3 và so sánh với kết quả thu đợc ở

phần a

c Hãy phân tích kết quả thu đợc ở mô hình 3 biến

2 Mô hình hồi quy tổng quát k biến - Dạng ma trận của

kn n

k k

n

n

u u

u u

X X

X X

X X

X X

Y Y

Y Y

1

2 1

2 1

2

1 1

2

2 22

1 21

1

2 1

Y Y

ˆ ˆ

ˆ ˆ

1

2 1

e e

1

2 1

Khi đó βˆ = (X’X)-1X’Y là ước lượng tuyến tính không chệch

tốt nhất của 

2.4 Các tham số của ước lượng

Kì vọng : E(βˆ) = Phương sai – hiệp phương sai

) ˆ , ˆ ( )

ˆ , ˆ (

) ˆ ( )

ˆ , ˆ (

) ˆ , ˆ (

) ˆ , ˆ ( )

ˆ (

2 1

2 2

1 2

1 2

1 1

k k

k

k k

Var Cov

Cov

Cov Var

Cov

Cov Cov

Với 2 được ước lượng bởi  ˆ 2= n e' ek

2.5 Sự phù hợp của hàm hồi qui

Hệ số xác định béi.

R2 = TSS ESS = 1 - TSS RSS

Cho biết tỉ lệ sự biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởi tất

cả các biến giải thích có trong mô hình.

thêm biến giải thích vào mô hình Khi đa thêm biến vàomô hình mà 2

R còn tăng hoặc khi giá trị t của kiểm

định về sự bằng không của hệ số hồi quy tơng ứng với biến đa thêm còn lớn hơn 1 thì việc đa thêm biến còn hợp lý

2.7 Hệ số tơng quan.

a. Hệ số tơng quan bội R.

b. Hệ số tơng quan cặp rij (i,j = 1 ,k)

Các hệ số tơng quan cặp thờng đợc cho trong ma trận sau:

2 23 21

1 13 12

k k k

k k

r r r

r r

r

r r

r

c.Hệ số tơng quan riêng phần r12,34 k r k-1k,12 k-2

 Các hệ số tơng quan cặp đợc gọi là hệ số tơng quan riêng phần bậc 0

3 Suy diễn thống kê.

3.1 Ước lượng khoảng

i Khoảng tin cậy cho từng hệ số

j

ˆ – Se(ˆj )t2(n – k) < j < ˆj + Se(ˆj )t1(n – k) (j = 1 ,k )

 Khoảng tin cậy đối xứng, bên phải, bên trái

ii Khoảng tin cậy cho hai hệ số

( ˆ i  ˆj ) – Se( ˆ i  ˆj )t2(n – k) < i  j <( ˆ i  ˆj ) + Se( ˆ i  ˆj )t1(n – k) Với Se( ˆ i  ˆj) = Var(  ˆi ˆj)= Var( ˆi)  2Cov( ˆi, ˆj) Var( ˆj)

iii Khoảng tin cậy cho sai số ngẫu nhiờn

) ( 2 2

ˆ

k n

k n

ˆ

k n

k n