Lý thuyết và bài tập tĩnh điện

Thực nghiệm cho thấy, mọi điện tích q dương hoặc âm phát hiện được trong mọi vật đều là bội của một lượng điện tích cơ bản e: q = n e 1 với n = 1, 2, 3,… Các hạt quark tạo nên proton

1

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH BẮC GIANG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG

TRẦN VĂN HÙNG ONG THẾ HÙNG

HÀ VĂN OÁNH

HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

PHẦN TĨNH ĐIỆN

Tổ: Vật lí – KTCN Năm học: 2013 – 2014

Mã số:………

Bắc Giang, tháng 04 năm 2014

MỤC LỤC

Mở đầu

Phần thứ nhất

ĐIỆN TRƯỜNG KHÔNG ĐỔI TRONG CHÂN KHÔNG

I ĐIỆN TÍCH ……….….……….….…….2

I.1 Cấu tạo của vật chất ……….……….……….….…….2

I.2 Định luật bảo toàn điện tích…… …… ……… ………….………….…….2

I.3 Chất dẫn điện và chất cách điện… ……….……….…… ……2

II LỰC ĐIỆN ……….……….…….….…….3

II.1 Quy tắc cơ banrcuar sự tương tác giữa các điện tích……….….…… ……3

II.2 Định luật Cu - lông……….…… ……….….…… … 3

II.3 Nguyên lý chồng chất….……….…… ……….….… ….4

III ĐIỆN TRƯỜNG….……….…… ……… ……… ………….… …4

III.1 Điện trường… ……….…… ……….………….… … 4

III.2 Điện trường của điện tích điểm…… ……… … … … 5

III.3 Điện trường của một lưỡng cực điện ……… … … 5

III.4 Điện trường của các vật tích điện… ……… … … 6

IV ĐIỆN TÍCH VÀ LƯỠNG CỰC ĐIỆN TRONG ĐIỆN TRƯỜNG……… ….… … 9

IV.1 Điện tích trong điện trường ……….…… ……… … 9

IV.2 Lưỡng cực điện trong điện trường ……… ……… ……… … … 9

V ĐIỆN TRƯỜNG TRONG CHẤT ĐIỆN MÔI.…… ……… ………… ….10

V.1 Chất điện môi phân cực và chất điện môi không phân cực……… …….10

V.2 Sự phân cực của chất điện môi ……….…… ……… ….11

V.3 Vectơ phân cực ……… ……….…… ……… ….11

VI ĐỊNH LUẬT GAU - XƠ…… ……….…… ……… …13

VI.1 Đường sức điện trường……… ……….…… ……… ….14

VI.2 Thông lượng điện trường……… ……….…… ……….………… ….14

VI.3 Định luật Gau – xơ cho điện trường trong chân không … ……… ….14

VI.4 Áp dụng định luật Gau – xơ ……… ……….…… ……… ….16

VI.5 Định luật Gau – xơ cho chất điện môi……… ……… ……… 19

Phần thứ hai HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ……… 21

I Điện tích – điện trường ……… 21

II Lưỡng cực điện – điện thế - Điện trường……….… 47

III Phương pháp ảnh điện – Lực điện – Điện thế - Điện trường ……… 58

IV Chuyển động của điện tích trong điện trường ……… 86

KẾT LUẬN 100

Tài liệu tham khảo 101

Việc nghiên cứu các hiện tượng về tĩnh điện học luôn là một thách thức thật sự đối với những ai đang quan tâm và tìm hiểu về nó Với vai trò của một người hướng dẫn học sinh tìm hiểu các hiện tượng về điện để rút ngắn phần nào đó thời gian nghiên cứu và tăng hiệu quả của việc nghiên cứu đồng thời trên cơ sở của yêu cầu hiện tại cần thiết cho

mục đích làm tốt hơn nhiệm vụ của mình chúng tôi đã chọn: “Hệ thống lí thuyết và bài tập phần tĩnh điện” làm đề tài nghiên cứu

II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Hệ thống lý thuyết và bài tập nâng cao về điện trường tĩnh trong chân không

III MỤC ĐÍCH VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

- Khái quát hóa một số kiến thức cơ bản phần tĩnh điện học và các kiến thức toán học cần

sử dụng

- Xây dựng được các dạng bài tập chất lượng cao theo một hệ thống nhất định phục vụ cho việc giảng dạy lớp chuyên và đội tuyển

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

IV.1 Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

- Phân tích và tổng hợp lí thuyết

- Xây dựng hệ thống bài tập chọn lọc nhằm đáp ứng được yêu cầu đã đề ra

IV.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Sử dụng trực tiếp cho các lớp 11 chuyên lí, cho đội dự tuyển, đội tuyển HSG Quốc gia

và dần đi tới hoàn thiện đề tài

Phần thứ nhất

CƠ SỞ LÍ THUYẾT ĐIỆN TRƯỜNG KHÔNG ĐỔI TRONG CHÂN KHÔNG

I ĐIỆN TÍCH

I.1 Cấu tạo của vật chất

Mọi chất đều được tạo nên từ các nguyên tử hoặc phân tử Theo mô hình đơn giản, nguyên tử gồm có proton và neutron tạo nên hạt nhân của nó và các electron chuyển động quanh hạt nhân Điện tích của 1 proton và của 1 electron có cùng độ lớn nhưng khác nhau

về dấu Proton, theo quy ước, tích điện dương còn electron tích điện âm Neutron trung hoà điện Một nguyên tử trung hoà về điện vì có số electron và proton bằng nhau Mọi vật đều chứa một số rất lớn các diện tích nhưng điều đó thường bị che dấu vì chúng chứa hai loại điện tích (điện tích dương và điện tích âm) với số lượng bằng nhau: Vật trung hoà về điện Một vật tích điện khi có sự mất cân bằng về điện tích

Thực nghiệm cho thấy, mọi điện tích q dương hoặc âm phát hiện được trong mọi vật đều là bội của một lượng điện tích cơ bản e: q = n e (1) với n = 1, 2, 3,…

Các hạt quark (tạo nên proton và neutron) có điện tích  hoặc  nhưng vì các hạt đó không thể tồn tại một cách riêng lẻ nên người ta không lấy điện tích của chúng làm điện tích cơ bản có thể phát hiện được Culông (C), là đơn vị SI của điện tích

Điện tích của một proton bằng + e và của neutron bằng 0

Như vậy, điện tích chỉ có các giá trị gián đoạn mà không phải liên tục Ta nói điện tích bị lượng tử hoá Lượng tử của điện tích rất nhỏ Ta không cảm thấy sự gián đoạn đó với các hiện tượng thường gặp trong thực tế Ngoài điện tích, còn có các đại lượng vật lí khác cũng bị lượng tử hoá (năng lượng, động lượng)

I.2 Định luật bảo toàn điện tích

Các điện tích không tự sinh ra và cũng không tự mất đi, chúng chỉ được truyền từ vật này sang vật khác hoặc di chuyển ở bên trong một vật Như vậy, trong một hệ cô lập, điện tích được bảo toàn Định luật này đúng cho mọi trường hợp từ các vật khổng lồ cho đến các nguyên tử, hạt nhân và hạt cơ bản

I.3 Các chất dẫn điện và chất cách điện

Trong một số vật liệu như kim loại, nước sinh hoạt, cơ thể người,… các điện tích

âm có thể chuyển động tự do Các vật liệu đó được gọi là các chất dẫn điện Trong một số chất khác, như thuỷ tinh, nước tinh khiết,… không có điện tích chuyển động tự do Đó là các chất cách điện hay chất điện môi

II LỰC ĐIỆN

II.1 Quy tắc cơ bản của sự tương tác giữa các điện tích

Các vật tích điện tương tác với nhau bằng cách tác dụng lực lên nhau Các điện tích cùng dấu đẩy nhau và các điện tích trái dấu hút nhau Các lực đó được gọi là lực tĩnh điện hay lực điện Thuật ngữ "tĩnh điện" được dùng ở đây để nhấn mạnh các điện tích hoặc đứng yên hoặc chuyển động rất chậm đối với nhau

II.2 Định luật Cu - lông

Lực tĩnh điện (đẩy hoặc hút) giữa hai điện tích điểm q1 và q2 ở trong chân không

 ,là một hằng số, được đưa vào để đảm bảo cho vế phải có thứ nguyên

là lực Nó có tên là hằng số điện môi của môi trường Khi các điện tích được đặt trong chân không

0

14

Với cách chọn k như vừa nói, (3) có dạng:

* Khi các điện tích ở trong môi trường

1 2 2

14

q q F

dấu (hoặc đều âm hoặc đều dương), tích q1q2 dương và lực F12 cùng chiều với r: q1 đẩy

q2 Nếu hai điện tích trái dấu, q1q2 âm và lực F12 ngược chiều với r, nghĩa là q1 hút q2 Lực F21 mà điện tích q2 tác dụng lên q1 cũng có cùng độ lớn như F12 và có chiều được xác định theo cùng quy tắc như với F12 Như vậy, điện lực cũng tuân theo định luật thứ

ba Niu – tơn

Định luật Cu - lông đã được kiểm tra bằng thực nghiệm Nó đúng cho mọi trường ngay với nguyên tử là nơi mà cơ học cổ điển không còn đúng nữa Định luật Cu - lông cho phép tính lực tương tác giữa các electron và hạt nhân trong nguyên tử, lực liên kết giữa các nguyên tử và phân tử để tạo thành chất lỏng, chất rắn Bản thân chúng ta là tập hợp của các hạt nhân và electron liên kết với nhau bởi các lực tĩnh điện

Lực hút và đẩy giữa các vật tích điện có nhiều ứng dụng trong thực tế: sơn tĩnh điện, lọc bụi trong các ống khói, in bằng phương pháp phun mực, photocopy,…

II.3 Nguyên lý chồng chất

Định luật Cu - lông xác định lực tác dụng giữa hai điện tích Khi ta có nhiều hơn hai điện tích thì lực tác dụng lên một điện tích được tính như thế nào? Giả sử có 3 điện tích Để tính lực tác dụng lên điện tích q3 từ hai điện tích kia, ta tính lực F13và F23 nhờ công thức (7) rồi cộng vectơ của hai lực đó

Ta tính được như vậy vì lực mà q1 tác dụng lên q3 không bị ảnh hưởng bởi sự có mặt của

q2 và lực mà q2 tác dụng lên q3 độc lập với sự hiện diện của q1 Tính chất đó được thực nghiệm xác nhận Ta nói các lực điện tuân theo nguyên lí chồng chất

Tổng quát, sự tương tác giữa bất kỳ hai điện tích nào là độc lập với sự có mặt của các điện tích khác Cụ thể hơn, khi có n hạt tích điện, chúng tương tác với nhau theo từng đôi một cách độc lập với nhau và lực tác dụng lên một hạt nào đó (hạt 1 chẳng hạn) được xác định bởi tổng vectơ

nl

F F

F F

Nhờ có nguyên lí này, ta có thể giải các bài toán khá phức tạp bằng cách phân tích chúng thành các phần đơn giản hơn

III ĐIỆN TRƯỜNG

III.1 Điện trường

Nhờ định luật Cu - lông, ta có thể xác định lực tác dụng giữa hai điện tích ở cách nhau một khoảng cách nào đó Khi các điện tích ở cách xa nhau, bằng cách nào chúng có thể tương tác với nhau? Ở phần cơ học, ta đã biết khái niệm về trường hấp dẫn Nhờ nó ta

đã hiểu được cơ chế tác dụng từ xa là thông qua trường hấp dẫn Chẳng hạn, Trái Đất có thể hút Mặt Trăng là nhờ nó đã tạo ra quanh nó một trường và Mặt Trăng tác dụng với trường đó ở tại vị trí của nó Người ta cũng đưa ra khái niệm trường tương tự để giải quyết bài toán tác dụng từ xa giữa các điện tích Theo đó, điện tích q thiết lập trong không gian bao quanh nó một điện trường Ở một điểm xác định P trong không gian đó, điện trường có thể được biểu thị bởi một vectơ Độ lớn của vectơ đó phụ thuộc vào độ

Để xác định điện trường của một vật tích điện nào đó, ta dùng một điện tích thử dương q0 và đặt nó tại một số điểm quanh vật Ở mỗi vị trí đó, ta đo lực điện F tác dụng lên điện tích thử Điện trường E ở một điểm nào đó được định nghĩa bằng

E = F

Đơn vị SI của điện trường là vôn/m (V/m)

III.2 Điện trường của điện tích điểm

Để tìm điện trường do một điện tích điểm q, ta đặt một điện tích thử dương q0 ở một điểm cách q một khoảng r Theo định luật Cu - lông, độ lớn của lực điện tác dụng lên

2 0

14

qq F

E

và có chiều trùng với chiều của lực tác dụng lên điện tích thử

Điện trường của một điện tích điểm có thể xác định nhờ nguyên lí chồng chất Giả sử có

n điện tích điểm q1, q2, q3, …, qn Đặt một điện tích thử q0 gần các điện tích đó Theo (8), lực tổng cộng F0 mà n điện tích điểm tác dụng lên điện tích thử bằng

E E q

III.3 Điện trường của một lưỡng cực điện

Hai điện tích có cùng độ lớn q nhưng ngược dấu ở cách nhau một khoảng d Cấu hình này được gọi là lưỡng cực điện Ta hãy tính điện trường của lưỡng cực ở điểm P nằm trên trục của lưỡng cực và cách trung điểm của nó một khoảng bằng z

Điện tích +q tạo ở P điện trường E(+) còn

điện tích - q điện trường E(-) Hai điện

trường này đều hướng dọc theo trục của

lưỡng cực điện nhưng ngược chiều nhau Áp

dụng nguyên lí chồng chất cho các điện trường này, ta tính được độ lớn của điện trường tổng cộng E ở điểm P

Thường người ta quan tâm đến tác dụng điện của một lưỡng cực điện chỉ ở các

khoảng cách đủ lớn so với kích thước của nó, nghĩa là z >> d Khi đó, d/2z << l nên có

thể khai triển hai đại lượng trong dấu ngoặc của (12)

2 0

(1 ) (1 ) 4

trong đó ta không viết các số hạng bậc cao của d/z vì chúng rất nhỏ

Như vậy, ở các khoảng cách lớn, gần đúng ta có

12

p E

z



(15) Momen lưỡng cực điện là một vectơ pcó độ

lớn bằng qd và có chiều hướng dọc theo trục

của lưỡng cực từ điện tích âm đến điện tích

dương (hình 2)

Phương trình (15) cho thấy nếu đo điện trường của một lưỡng cực điện ở một điểm khá xa nó, ta không thể xác định q và d một cách riêng biệt mà chỉ biết được tích của chúng Momen lưỡng cực là một tính chất cơ bản của lưỡng cực điện Công thức (15) được suy cho một điểm nằm trên trục và cách xa tâm của lưỡng cực Trên thực tế, E của một lưỡng cực điện thay đổi theo r13 (r là khoảng cách từ điểm đang xét đến tâm của lưỡng cực) cho mọi điểm ở xa không kể chúng có nằm trên trục lưỡng cực hay không Từ đây, ta có nhận xét: điện trường của lưỡng cực điện giảm theo khoảng cách theo r13 , trong khi đó điện trường của điện tích điểm giảm theo r12 Nguyên nhân của sự giảm nhanh của điện trường lưỡng cực theo khoảng cách là do với các điểm ở xa, một lưỡng cực được xem gồm hai điện tích bằng và ngược dấu và gần như - nhưng không hoàn toàn - trùng nhau Do đó, điện trường tổng cộng ở các điểm xa lưỡng cực gần như - chứ không hoàn

Hình 2

p

z

9

III.4 Điện trường của các vật tích điện

Các vật tích điện gồm một số rất lớn các điện tích điểm phân bố một cách gần như liên tục dọc theo một trường, trên một mặt hoặc trong một thể tích nào đó

Để tính điện trường của các vật đó tại một điểm P, ta chia một cách tưởng tượng sự phân

bố của các điện tích thành các yếu tố điện tích vi phân đủ nhỏ để xem chúng là các điện tích điểm, nhờ đó có thể áp dụng (10) để tính điện trường cho mỗi yếu tố đó Sau đó, theo nguyên lí chồng chất, ta tính tổng vectơ của chúng để được điện trường do vật tạo ra ở P

Khi thực hiện tính toán nói trên, ta cần chú ý đến các điểm sau:

+) Căn cứ vào tính đối xứng của sự phân bố điện tích mà chọn các yếu tố điện tích vi phân dq để tính toán được đơn giản nhất

+) Để xác định điện tích của yếu tố vi phân, thuận lợi hơn cả là dùng các đại lượng mật

độ điện tích được ký hiệu và định nghĩa như sau:

trong đó dl, dS và dV lần lượt là yếu tố dài, yếu tố diện tích và thể tích của vật tích điện

+) Nói chung, cộng vectơ điện trường của các yếu tố điện tích thường khá phức tạp Ta có thể chuyển cộng vectơ thành cộng đại số bằng cách chiếu các vectơ lên các trục toạ độ

III.4.1.Ví dụ 1:

Để cộng vectơ E1 và E2, trước hết ta chiếu hai vectơ đó lên các trục toạ độ (E1x,

E1y) và (E2x, E2y) Sau đó cộng đại số các thành phần nằm trên cùng trục toạ độ

Giả sử vòng dây được tích điện đều với mật độ điện

tích dài  Tính điện trường ở điểm P (hình 3) Yếu tố dài

dli (có điện tích dqi = dli) tạo điện trường d E iở P

Theo (10), độ lớn của d E bằng i

2 0

1dE

4

i i

i

dl r

Để có điện trường do toàn vòng dây, cần cộng vectơ các vectơ d E do tất cả các i

yếu tố của vòng dây gây ra tại P Các thành phần chiếu của chúng trên cùng 1 trục được cộng đại số với nhau:

dl = 2a)Điện trường do vòng dây gây ra ở P có độ lớn bằng

0

2E4

a z

Hình 4 cho thấy một đĩa nhựa tròn, bán kính R

được tích điện dương đều ở mặt trên với mật độ điện tích

điện mặt  Tính điện trường ở điểm P nằm trên trục đi

qua tâm đĩa và ở cách nó một khoảng z

Từ tính đối xứng của bài toán, ta chọn yếu tố diện tích

dSi là hình vành khăn có bán kính ri Khi đó, yếu tố điện

tích dqi =  2ri.dri nằm trên một vòng tròn

Ở trên ra đã tính điện trường của 1 vòng điện tích (18) Ở

đây, yếu tố điện tích dqi tạo ở điểm P điện trường

11

Vì các vòng điện tích với các bán kính ri khác nhau đều tạo điện trường hướng theo cùng một chiều (thẳng đứng) nên độ lớn của điện trường tổng cộng do toàn bộ điện tích có trên mặt gây ra tại P bằng tổng đại số

i

r z

dr r z dE

rdr r

z z r

z

rdr z

0

2 / 3 2 2 0 2 / 3 2 2

0 0

2 ) (

4 ) (

1 (

IV ĐIỆN TÍCH VÀ LƯỠNG CỰC ĐIỆN TRONG ĐIỆN TRƯỜNG

IV.1 Điện tích điểm trong điện trường

Giả sử có một điện trường E do các vật tích điện đứng yên hoặc chuyển động sinh

ra Bây giờ, nếu có một hạt tích điện q rơi vào trường đó, nó sẽ chịu một lực tĩnh điện tác

IV.2 Lưỡng cực điện trong điện trường

Ta hãy xét một lưỡng cực điện được đặt trong một điện trường ngoài đều E Giả

sử momen lưỡng cực p tạo một góc  với E (hình 5)

Ở các điện tích của lưỡng cực có các lực điện F và E tác dụng theo các chiều ngược nhau và với cùng độ lớn F = qE Do đó, tổng hợp các lực do điện trường tác dụng lên

lưỡng cực bằng 0 Nhưng các lực đó tác dụng một momen ngẫu lực tổng cộng  quanh trọng tâm O của lưỡng cực

Độ lớn của momen  đó bằng:

 = Fd

2 sin + Fd2 sin = F d sin (23)

Có thể viết lại (23) thông qua độ lớn

của điện trường E và momen lưỡng cực

p = qd Muốn vậy, trong (23) thay F

Khi xét về thế năng, ta hoàn toàn tự do chọn giá trị 0 cho nó, vì chỉ có hiệu thế năng mới có ý nghĩa vật lí Vì vậy, để cho biểu thức của thế năng của một lưỡng cực điện trong điện trường ngoài được đơn giản nhất, ta chọn thế năng bằng 0 khi góc  bằng 900

Từ cơ học ta đã biết, thế năng U có thể tính theo công thức U = - W, với W là công mà trường thực hiện trên lưỡng cực khi nó quay từ góc 900 đến góc 

U = - W =        

90 90

cos sin d pE pE

d

Ta có thể viết công thức của U dưới dạng vectơ

Từ đây ta thấy, thế năng của lưỡng cực nhỏ nhất (bằng - pE) khi  = 1800, nghĩa là khi

pvà E ngược chiều nhau

V ĐIỆN TRƯỜNG TRONG CHẤT ĐIỆN MÔI

V.1 Chất điện môi phân cực và chất điện môi không phân cực

Các chất điện môi là các chất mà trong các điều kiện bình thường gần như không

có các hạt tích điện có thể di chuyển tự do Các chất điện môi bao gồm tất cả các chất khi khi không bị ion hoá, một số chất lỏng và một số chất rắn Tất cả các phân tử của chất điện môi đều trung hoà về điện: số điện tích âm của các electron bằng số điện tích dương của hạt nhân nguyên tử có trong phân tử Tuy nhiên, sự phân bố của các electron trong phân tử của chất điện môi có momen lưỡng cực điện hay không

13

+) Nếu sự phân bố của các electron sao cho "trọng

tâm" của electron trong phân tử và "trọng tâm" của các

điện tích dương của các hạt nhân nguyên tử không trùng

nhau mà cách nhau một khoảng d (hình 6) thì mỗi phân

tử có thể xem như một lưỡng cực điện với momen điện

e

p qd, trong đó q là điện tích dương tổng cộng của tất cả các hạt nhân nguyên tử trong phân tử, d là vectơ vẽ từ "trọng tâm" của electron trong phân tử đến "trọng tâm" của các điện tích dương của các hạt nhân nguyên tử Ví dụ cho các phân tử loại này là các phân

tử H2O, rượu,…

Các chất điện môi trong đó các phân tử có sẵn momen điện như vậy được gọi là các chất điện môi có phân tử phân cực (hay chất điện môi phân cực) Trong chất điện môi thuộc loại này, tuy từng phân tử có thể xem là một lưỡng cực điện, nhưng do chuyển động nhiệt hỗn loạn, sự định hướng của các lưỡng cực đó hoàn toàn ngẫu nhiên Kết quả

là momen điện tổng cộng của tất cả các phân tử khi không có điện trường ngoài bằng 0

+) Nếu sự phân bố của các electron sao cho "trọng tâm" của electron trong phân tử

và "trọng tâm" của các điện tích dương của các hạt nhân nguyên tử trùng nhau d = 0 Khi

đó, các phân tử không có momen điện Ví dụ cho các phân tử thuộc loại này là các phân

tử H2, N2, O2, CCl4, Si,…Các chất điện môi có các phân tử như vậy được gọi là các chất điện môi có các phân tử không phân cực hay chất điện môi không phân cực

V.2 Sự phân cực của chất điện môi

Khi không có điện trường ngoài, chất điện môi, bất kể thuộc loại nào, không có momen điện tổng cộng bằng không Bây giờ, ta hãy xét một chất điện môi khi đặt nó vào trong một điện trường ngoài Dưới tác dụng của điện trường, chất điện môi sẽ có momen điện tổng cộng khác không Hiện tượng xuất hiện momen điện tổng cộng trong chất điện môi khi đặt nó trong điện trường ngoài được gọi là sự phân cực điện môi

Khi đặt một chất kim loại hoặc một chất điện môi vào trong một điện trường, ở trên mặt của chúng đều xuất hiện các điện tính cảm ứng Tuy nhiên có một sự khác nhau quan trọng giữa hai trường hợp này Đó là, trong các kim loại, các điện tích âm tồn tại dưới dạng linh động (electron tự do) có thể di chuyển khá xa Do đó, các điện tích cảm ứng trong kim loại có thể tách nhau ra Trong các chất điện môi, các điện tích trái dấu liên kết với nhau và chỉ có thể dịch chuyển một khoảng cách rất ngắn Có hai cơ chế phân cực trong chất điện môi

V.2.1 Chất điện môi được cấu tạo từ các phân tử vốn không bị phân cực (không có momen lưỡng cực điện)

Trong điện trường ngoài, sự phân bố của các điện tích bị thay đổi, "trọng tâm" của electron trong phân tử và "trọng tâm"của các điện tích dương của các hạt nhân nguyên tử trỡ nên không trùng nhau nữa mà dịch đi một khoảng d Như vậy, phân tử vốn không có

Hình 6

momen điện, trong điện trường ngoài đã trở thành một lưỡng cực điện với momen điện cảm ứng p e tỷ lệ với cường độ điện trường ngoài E Chuyển động nhiệt của các phân tử không ảnh hưởng đến các momen lưỡng cực điện cảm ứng: vectơ p e bao giờ cũng cùng chiều với E và độ phân cực không phụ thuộc nhiệt độ

V.2.2 Chất điện môi phân cực, gồm các phân tử có momen lưỡng cực điện xác định (p e = const)

Trong điện trường ngoài đều, các lưỡng cực điện chịu tác dụng của momen ngẫu lực  = [p eE] làm cho chúng định hướng theo chiều của E Ở T = 0K ngay với điện trường yếu, tất cả các lưỡng cực điện đều định hướng theo chiều của điện trường Tuy nhiên, khi T 0 K, năng lượng nhiệt của các lưỡng cực điện có thể làm cho chúng quay

đi một góc nào đó so với chiều của điện trường ngoài Khi đó, nhìn chung các lưỡng cực điện định hướng có tự hơn theo hướng ưu tiên dọc theo chiều của điện trường Mức độ trật tự của sự sắp xếp các lưỡng cực điện quyết định đến độ lớn của momen điện tổng cộng của chất điện môi Như vậy, khi đặt chất điện môi phân cực vào trong một điện trường ngoài, momen điện tổng cộng xuất hiện khi có độ lớn phụ thuộc vào nhiệt độ

V.3 Vectơ phân cực

Để đặc trưng cho sự phân cực của một chất điện môi, người ta dùng một đại lượng vật lí, được gọi là vectơ phân cực Vectơ phân cực p của một chất điện môi được định nghĩa là momen lưỡng cực điện của một đơn vị thể tích chất điện môi Nếu chất điện môi

có thể tích bằng V trong đó chứa N nguyên tử (hay phân tử), thì





l i ei

P V

trong đó P ei là momen lưỡng cực điện của nguyên tử (phân tử) thứ i

Nếu chất điện môi là đồng nhất, và độ dịch chuyển d của các điện tích là như nhau ở mọi điểm, vectơ phân cực pcó cùng độ lớn và cùng chiều tại mọi điểm của chất điện môi Sự phân cực như vậy được gọi là sự phân cực đều

Với cả hai cơ chế phân cực vừa nói đến ở trên, ta thấy: trong điện trường ngoài, mỗi phân

từ có thể xem như một lưỡng cực điện với momen lưỡng cực điện

e

Ở trong thể tích chất điện môi, các điện tích dương và âm triệt tiêu lẫn nhau Chỉ có hai mặt đối diện dọc theo phương của điện trường, hiệu ứng dịch chuyển đó mới được thể hiện bởi sự xuất hiện của các điện tích phân cực mặt ngoài Các điện tích đó liên kết chặt với các phân tử của chất điện môi do đó được gọi là điện tích liên kết Khác với các điện tích tự do, các điện tích liên kết không tham gia vào quá trình dẫn điện Tuy nhiên, các điện tích liên kết không cân bằng đó cũng tạo nên điện trường như các điện tích tự do không cân bằng Ta có thể dễ dàng tính mật độ điện tích mặt  của các điện tích đó với

15

chất điện môi có phân tử không phân cực vì trong chất này, tất cả các lưỡng cực đều như nhau và đều định hướng theo chiều của điện trường ngoài

Xét một yếu tố thể tích dV ở mặt ngoài có chiều dài d và tiết diện dS và giả sử trong yếu

tố đó có dN phân tử và các vectơ p ei vuông góc với mặt ngoài (hình 9.11a)

Với sự phân cực đều, từ (27) và (28), ta có

1

ei i

Giả sử trên một đáy có điện tích phân cực âm với mật độ - và ở đáy đối diện điện tích dương với mật độ + Momen điện của khối chất điện môi bằng

dQ = q dN = n.q.d.cos dS = pdS trong đó p = p.cos

Do đó, mật độ điện tích mặt của điện tích phân cực mặt ngoài

 = dQ

trong đó P là thành phần của p vuông góc với mặt

Như vậy, mật độ mặt của điện tích phân cực ở một điểm bằng thành phần vuông góc của vectơ phân cực p ở điểm đó

VI ĐỊNH LUẬT GAU - XƠ

Về nguyên tắc ta có thể tính điện trường của một sự phân bố điện tích bất kỳ bằng cách lấy tổng các phần đóng góp của các điện tích trong phân bố đó Tuy nhiên, trong thực tế cách tính đó bao gồm việc lấy tích phân các đại lượng vectơ gây khó khăn cho việc tính Trong phần này, ta sẽ xét một cách tính điện trường khác khá đơn giản, đặc biệt

là cho các sự phân bố đối xứng của điện tích

VI.1 Đường sức điện trường

Ở trên, để biểu diễn điện trường, ta vẽ các vectơ E được xác định từ (9) tại các điểm khác nhau của không gian Một cách khác để biểu diễn điện trường là dùng các đường sức điện trường Các đường sức được vẽ theo cách sau

+) Ở một điểm nào đó, đường sức có tiếp tuyến trùng với phương của E ở điểm đó +) Số đường sức đi qua một đơn vị diện tích vuông góc với chúng bằng độ lớn của vectơ E Đường sức điện có các tính chất sau:

- Các đường sức đi ra từ các điện tích dương và đi vào các điện tích âm

- Hai đường sức không bao giờ cắt nhau

- Đường sức điện vuông góc với bề mặt của vật dẫn trong điều kiện vật dẫn đó cân bằng tĩnh điện

VI.2 Thông lượng điện trường

Xét một mặt bất kỳ trong một điện trường

không đều (hình 7) Ta hãy chia mặt đó thành các

hình vuông với điện tích S đủ nhỏ để có thể xem

các hình vuông đó là phẳng Với mỗi yếu tố diện

tích đó, ta định nghĩa một vectơ diện tích S có độ

lớn bằng diện tích S và có phương vuông góc với

mặt và hướng ra xa nó

Vì các hình vuông được lấy nhỏ tùy ý nên điện

trường E có thể xem là không đổi cho mọi điểm

nằm trên một hình vuông Với mỗi hình vuông,

vectơ S và E hợp với nhau một góc  nào đó Tạm thời ta định nghĩa thông lượng 

của điện trường cho mặt ở hình 7 bằng

Có thể diễn tả phương trình này như sau: lần lượt xét mỗi hình vuông ở trên mặt, xác định E i và S iở đó rồi tính tích vô hướng E i.S i, xong cộng đại số (có tính đến dấu) các kết quả thu được từ tất cả các hình vuông tạo thành mặt Dấu của mỗi tích vô hướng trong (33) có thể dương, âm hoặc bằng 0 tuỳ theo sự định hướng tương đối giữa E và

S



Định nghĩa đúng của thông lượng điện trường qua một mặt kín có được bằng cách thu nhỏ dần diện tích của các hình vuông ở hình 7 đến giới hạn vi phân dS Khi đó, vectơ diện tích S tiến đến giới hạn vi phân dS và tổng ở (33) trở thành tích phân





S

S d E

Vòng tròn ở dấu tích phân chỉ ra rằng tích phân được lấy trên một mặt kín S

Thông lượng của điện trường là một đại lượng vô hương và đơn vị SI của nó là Nm2

17

Vì số đường sức đi qua một đơn vị diện tích vuông góc với chúng có số trị bằng

độ lớn của điện trường E, nên từ định nghĩa (34) cũng có thể phát biểu như sau: Thông lượng của điện trường  (gọi tắt là điện thông) qua một mặt nào đó có số trị bằng số đường sức đi qua mặt đó

Với mặt kín, đường sức đi ra khỏi mặt được xem là dương, ngược lại xem là âm (vì góc giữa E và dS là tù)

VI.3 Định luật Gau - xơ cho điện trường trong chân không

Cho một điện tích điểm dương q Xét một mặt cầu bán kính r bao quanh điện tích

có tâm trùng với điện tích điểm (hình 8) Mặt này, chỉ là một

mặt tưởng tượng để tính toán không có ý nghĩa vật lí gì, được

gọi là mặt Gau - xơ

Ta hãy tính điện thông  (hay số đường sức) qua mặt

cầu đó Theo định nghĩa  = E d S (34)

Với bài toán này, E có độ lớn như nhau tại mọi điểm nằm trên

mặt cầu (đều cách điện tích một khoảng r) và hướng theo bán

kính của mặt cầu nên E cùng chiều với dS (cos = 1)

Do đó

= E d S = EdSEdS

04

q E

r r

 đường sức đi vào một điện tích âm

Nếu có các điện tích q1, q2, q3, …, qn nằm trong một mặt Gau - xơ kín, tổng số các đường sức đi ra từ các điện tích đó bằng 1 2

q S

d E

có trong mặt đó chia cho 0

Ở trên ta đã suy định luật Gau - xơ từ định luật Cu - lông (dùng công thức 9) Vì vậy, với các bài toán tĩnh điện hai định luật này hoàn toàn tương đương nhau Tuỳ theo trường hợp cụ thể mà ta dùng định luật Cu - lông hay định luật Gau - xơ Với các bài toán trong đó có ít hoặc không có yếu tố đối xứng ta dùng định luật Cu - lông Ta sẽ dùng định luật Gau - xơ để giải các bài toán có tính đối xứng cao Trong các bài toán như vậy, định luật Gau - xơ không những làm đơn giản đáng kể việc giải mà nhiều khi, nhờ sự đơn giản, còn cho những hiểu biết sâu sắc mới

VI.4 Áp dụng định luật Gau - xơ

VI.4.1 Vật dẫn cô lập tích điện

Định luật Gau - xơ cho phép chứng minh một tính chất quan trọng của các vật dẫn

cô lập sau đây: Nếu điện tích dư (điện tích không được trung hoà bởi điện tích trái dấu) được đưa vào một vật dẫn cô lập, điện tích đó sẽ di chuyển hoàn toàn ra mặt ngoài của vật dẫn Một cách định tính, ta có thể hiểu được điều đó là do các điện tích cùng dấu đẩy nhau Bằng cách di chuyển ra mặt ngoài, các điện tích có thể ở xa nhau nhất mà chúng có thể Bây giờ, ta hãy dùng định luật Gau - xơ để kiểm tra đoán nhận đó

Trong kim loại và trong các vật dẫn có các electron dẫn tự do Nếu không có dòng chạy trong vật dẫn thì điện trường phải bằng 0 trong vật dẫn đó Nếu E  0, các electron chuyển động có hướng dưới tác dụng của điện trường đó và tạo nên dòng điện, trái với điều kiện cân bằng tĩnh điện

Chú ý: Khi nói điện trường E = 0 là nói ở tại các vị trí trong vật dẫn mà ở đó có

electron tự do Như vậy, trong hốc của vật dẫn, điện trường có thể khác không

Xét một vật dẫn có mang điện tích dư Q Áp dụng định luật Gau - xơ với mặt nằm sát mặt ngoài của vật



i i

q S

d E

0

1



Vì E = 0 ở trong vật dẫn nên điện trường cũng phải bằng 0 tại mọi điểm trên mặt Gau -

xơ vì mặt này tuy rất sát với mặt ngoài vẫn hoàn toàn nằm trong vật dẫn Điều đó có nghĩa là thông lượng điện trường qua mặt Gau - xơ bằng 0 và do đó, theo định luật Gau -

xơ, điện tích tổng cộng ở trong mặt Gau - xơ cũng phải bằng 0 Điều đó chứng tỏ điện tích dư nằm hết ở mặt ngoài

Bây giờ, ta khoét bỏ một phần ở bên trong vật dẫn để tạo thành một hốc Nhờ định luật Gau - xơ với mặt Gau - xơ bao quanh hốc và nằm ở phí trong vật dẫn ta có thể kết luận rằng không có điện tích dư trên các cách của hốc, chúng vẫn nằm hết ở ngoài mặt

VI.4.2 Vỏ cầu tích điện

Xét một vỏ cầu có điện tích tổng cộng q và bán kính R Tính điện trường ở một điểm cách tâm của vỏ cầu một khoảng r, với r < R và r > R (hình 9)

Đây là bài toán trong đó sự phân bố của điện tích có

sự đối xứng cầu Do đó ta sẽ sử dụng mặt Gau - xơ có

dạng cầu đồng tâm với lớp vỏ tích điện

+) Với r  R, áp dụng định luật Gau - xơ với mặt S2 ta

d

E



Tại mọi điểm trên mặt đó, điện trường có độ lớn bằng

nhau và có chiều vuông góc với mặt, nên

2

4

q r E dS E S

+)Với các điểm có r < R, áp dụng định luật Gau - xơ với mặt S1, ta suy được E = 0 vì mặt

đó không chứa điện tích ở trong Điều này xác nhận cho định lí: một vỏ cầu có điện tích phân bố đều không tác dụng lực tĩnh điện lên hạt tích điện nằm ở trong lớp vỏ đó

VI.4.3 Thanh trụ dài tích điện

Giả sử ta có một thanh trụ rất dài có điện tích phân bố

đều dọc theo thanh với mật độ điện tích dài  Ta hãy xác định

điện trường do thanh ở tại một điểm P cách trục của nó một

khoảng r

Với bài toán có tính đối xứng trụ này, ta chọn mặt Gau

- xơ có dạng trụ qua điểm P như ở hình 10 Tại mọi điểm ở

mặt bên của mặt trụ, điện trường E đều bằng nhau về độ lớn

và có phương vuông góc với mặt (nghĩa là, với mặt bên E //

dS) Trong khi đó, với hai đáy trái và phải, E  dS nên E dS = 0

Điện tích có trong mặt Gau - xơ bằng qL áp dụng định luật Gau - xơ, ta có

0

1 2

VI.4.4 Bảng phẳng không dẫn điện

Giả sử ta có một bản chất dẻo, mỏng, rất rộng được

tích điện đều trên một mặt cho đến mật độ điện tích mặt 

Ta hãy tính điện trường E ở một điểm cách mặt bản một

khoảng r Với bài toán này, mặt Gau - xơ thích hợp có thể là

mặt trụ hoặc hình hộp chữ nhật Ở đây, ta chọn mặt trụ như ở

hình 11 với hai mặt đáy có điện tích bằng S

Với mặt đã chọn, áp dụng định luật Gau - xơ, ta có

0

0

1 cos 90 cos 0 cos 0

VI.5 Định luật Gau - xơ cho chất điện môi

Ở trên, ta đã biết định luật Gau - xơ cho trường tĩnh điện trong chân không được viết dưới dạng

21

chất điện môi là điện tích tự do vì điện trường tạo nên bởi các electron liên kết xuất hiện

do sự phân cực chất điện môi khi đặt nó trong điện trường được tạo nên bởi hệ điện tích

tự do Theo nguyên lí chồng chất, cường độ điện trường

E

E tự do + Eliên kết

Do đó, định luật Gau - xơ cho điện trường tĩnh điện trong chân không có thể mở rộng cho điện trường trong chất điện môi nếu chú ý là ngoài điện tích tự do q còn có điện tích cảm ứng liên kết qlk tạo nên điện trường trong chất điện môi

Như vậy, nếu trong mặt Gau - xơ vừa có điện tích tự do q, vừa có điện tích cảm ứng qlk, thì định luật Gau - xơ có dạng

d

E

trong đó điện tích cảm ứng mặt ngoài qlk có thể tính từ lập luận sau

Vì các lưỡng cực điện của phân tử trung hoà về điện, nên chỉ có các lưỡng cực nào bị mặt Gau - xơ cắt với chiều của điện trường ngoài cho thấy một yếu tố diện tích dS của mặt Gau - xơ là S

Vectơ E tại mọi điểm trên yếu tố dS đều bằng nhau và lập một góc  với pháp tuyến ngoài của yếu tố đó

S d P q S

d P

Thông lượng của độ điện dịch qua một mặt kín nào đó nằm trong trường, bằng tổng đại

số của các điện tích tự do có trong mặt đó

Như vậy, cường độ điện trường E được tạo thành bởi mọi điện tích, tự do và liên kết Trong khi đó, độ điện tích D chỉ do điện tích tự do gây ra, còn độ phân cực P thì chỉ liên quan đến các điện tích phân cực liên kết

Đặc trưng cơ bản cho điện trường là vectơ cường độ điện trường E Các vectơ D và P

là các đặc trưng bổ sung hữu ích cho sự phân tích sâu hơn

Trong chất điện môi bằng hướng, khi E không quá lớn, có hệ thức

trong đó hệ số tỷ lệ  được gọi là độ cảm điện

Từ (43) và (45), ta có

E E

trong đó  được gọi là hằng số điện môi của chất điện môi

Bảng 1 Hằng số điện môi của một số chất

23

Phần thứ hai

HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I ĐIỆN TÍCH – ĐIỆN TRƯỜNG

Bài 1 Hãy tính tỷ số giữa lực tĩnh điện và lực hấp dẫn tương tác giữa hai electron, giữa

hai prôton Với giá trị nào của điện tích riêng q/m của hạt thì các lực này có mô-đun bằng

1

4 4

Bài 2 Hai quả cầu bằng đồng, mỗi quả có khối lượng 1g, được đặt cách nhau 1m Tính

lực tương tác giữa chúng nếu tổng các điện tích của tất cả các electron trong mỗi quả cầu

sai khác tổng các điện tích của các hạt nhân là 1%

Bài 3 Hai quả cầu nhỏ tích điện giống hệt

nhau, mỗi quả có khối lượng m, được treo vào

một điểm bằng các sợi dây cách điện độ dài l Khoảng cách giữa các quả cầu là x << l

Hãy tìm độ hao hụt điện tích dp/dt của mỗi quả cầu nếu vận tốc của chúng tiến lại nhau là

Theo hình vẽ:

2 2 0

l





Bài 4 Hai điện tích dương q1 và q2 được đặt tại hai điểm có bán kính vectơ là r1 và r2

Hãy tìm độ lớn của một điện tích âm q3 và bán kính vectơ r3 của điểm M để khi đặt q3 tại

M thì các lực điện tác dụng lên mỗi điện tích đều bằng không

Lời giải

a) Lực q1 tác dụng lên q3: 1 3

0 14

q q F

q q F

q q F

r3 r1

q1

Hình 13

50C Nếu tại tâm của vòng tròn đặt một điện

tích điểm q0 = 7,0 C thì lực căng của sợi dây

sẽ tăng lên bao nhiêu?

Lời giải

Xét một đoạn dây AB, hai đầu AB chịu

tác dụng các số gia của lực căng và đoạn AB

chịu tác dụng lực culông F AB nằm cân

bằng nên      T A T B F 0

Nếu chiều xuống trục đối xứng Iy đi

qua tâm I của AB và tâm O đường tròn ta có:

Bài 6 Một điện tích điểm dương q = 50C được đặt trong mặt phẳng xy tại một điểm có bán kính vectơ r0  2i 3j trong đó i và j là các vectơ đơn vị của trục x và y Hãy xác định vectơ cường độ điện trường E gây bởi q tại điểm có bán kính vectơ r8r5g Ở đây, r0 và r tính ra mét

Bài 7 Tại các đỉnh của một hình vuông ABCD

có các đường chéo là 2l người ta đặt các điện

tích điểm +q tại A và B và -q tại C và D Hãy

tính môđun của vectơ cường độ điện trường tại

một điểm M nằm trên trục Oy qua O, vuông

+q +q

Hình 15

27

Bài 8 Một nửa đường tròn mảnh, bán kính R = 20cm, tích điện đều, với q = 0,7nC Hãy

tính môđun của vectơ cường độ điện trường tại tâm O của đường tròn

Lời giải

Vì lí do đối xứng nên E tại O nằm trên trục Oy

Mật độ điện dài của dây là q

Bài 9 Một sợi dây đồng uốn thành vòng tròn bán

kinh r, điện tích q Hãy tính theo l, môđun của

vectơ cường độ điện trường Etại điểm M trên

trục đường tròn với l là khoảng cách từ M tới tâm

O của đường tròn Xét kết quả thu được khi l >>

r Hãy xác định lại giá trị cực đại Emax và khoảng

cách l ứng với Emax Biểu diễn theo l trên đồ thị

1

4 2 ( )

qd dE

dE

dEy

O α

Hình 16

d E d E y

2 2 3/ 2 0

3 ( ) ( ) 2

Bài 10 Một điện tích điểm q nằm tại tâm O của một dây đồng mảnh được uốn thành một

đường tròn bán kính R tích điện -q Hãy tìm môđun của vectơ cường cường độ điện trường E tại một điểm trên trục đường tròn cách O một khoảng x, nếu x >> R

R qx

29

Bài 11 Một hệ gồm l sợi dây đồng uốn thành một đường tròn tâm O bán kính R tích điện

q và một sợi dây đồng AB thẳng rất dài tích điện đều với mật độ điện dài  AB trùng với trục đường tròn và đầu A trùng với O) Hãy tìm lực tương tác giữa sợi dây AB và đường tròn mang điện tâm O nói trên

Lời giải

Theo bài 9 điện trường do vòng dây gây tại M(l) là: 0 0

0

3 ( 1) ( 1)

Bài 12 Một vòng tròn mảnh không dẫn điện, bán kính R tích điện với mật độ điện dài 

= 0cos, với 0 là một hằng số,  là góc phương vị Hãy tìm môđun của vectơ cường độ điện trường:

a) Tại tâm O của đường tròn

b) Tại một điểm A trên trục đường tròn cách tâm O một khoảng OA = x Xét biểu thức thu được khi x >> R

sin sin

2 2 3 0

E dF B

Hình 20 20dEP

2 0

2 2 3 0

cos cos

a) Tại tâm O của đường tròn thì x = 0 nên (1) thành d 0  0 E0E0

b) Tại một điểm rất xa: x >> R

p R là momen điện của đường tròn mang điện

Bài 13 Một thanh thẳng mảnh dài 2a, tích điện đều, mang điện tích q Hãy tính môđun

của vectơ cường độ điện trường Etheo khoảng cách r từ tâm O của thanh tới một điểm M trên đường thẳng

a) Vuông góc với thanh và đi qua O

b) Trùng với trục của thanh, nếu r > a

Xét biểu thức thu được khi x >> a

Do có đối xứng nên phần tử NN' đối xứng đối

với MM' qua O cùng gây tại C điện trường

y dE

dEM dEN

x α α

Hình 21

31

vậy

1 2

điện tích điểm q đặt tại O

Bài 14 Một dây thẳng dài tích điện đều với mật độ điện dài  Hãy xác định môđun và hướng của vectơ cường độ điện trường E tại một điểm cách sợi dây là y và nằm trên đường thẳng vuông góc với sợi dây và đi qua đầu một sợi dây

Bài 15 Một sợi dây có dạng như hình 23

tích điện đều với mật độ điện dài  Bán

kính cong R rất nhỏ so với độ dài sợi

α

α r

x

M M' O

a A dE

dEx

dEy y

Hình 22

R O

dây Dùng kết quả của bài toán trước, hãy tính môđun của vectơ cường độ điện trường 0

E tại điểm O đối với hình a, b

Lời giải

a) Theo nguyên lí chồng chất điện trường: E  Ex Ey Ec (1)

với E , E , Ex y c là các điện trường gây tại O bởi các đoạn dây Ox, Oy và BCA

Theo bài 14 thì E , Ex y là 2 vectơ trực dối Ex   Ey

Vì Ey = Ex nên E tạo với phương x một góc 450

b) Theo bài tập 14 đoạn dây By2 gây tại O điện trường

B

E k 2 /R

Đoạn dây By1 gây tại O điện trường EA k 2 /R

Vì lí do đối xứng nên E A và E B đối xứng với nhau qua

trục Oy và tạo với Oy góc 450.Tổng E1 của E A và E B

nằm trên trục Oy, ngược chiều với Oy và có cường độ

E E  k R

Ta phải tính cường độ điện trường E2 do nửa đường

tròn BCA gây tại O

Từ câu a) ta có dE dEsin ksin d

Ey

x y

Hình 24

θ dθ O

dEy dE dEx

A M’

C

kaRcos sin d d    (với k = 1/40) (1)

Hình chiếu của d E lên trục Oz là:

dEz = dEcos(-) = -dEcos (2)

Thay (1) vào (2):

dEz = -kaRcos2sindd = - aRcos2d(cos)d

Và trục Oz là trục đối xứng nên điện trường E do mặt cầu gây ra tại O nằm trên trục Oz Vậy:

2 z

  , với k là vectơ đơn vị trên trục oz (3)

Bài 17 Một quả cầu dẫn điện bán kính R, tích điện với mật độ điện mặt  = 0cos, với

0 = cost > 0 Hãy tính cường độ điện trường tại một điểm ở bên trong mặt cầu

Đối chiếu với đề bài 16 thì 0 = aR Vậy cách giải bài toán này tương tự bài 16 ta được cường độ điện trường do quả cầu gây tại tâm O theo (3) của bài 16 là:

0 03

Bài 18 Hãy tính cường độ điện trường tại tâm O một quả cầu bán kính R, mật độ điện

tích ar, với a = const, r là bán kính vectơ vẽ từ tâm O

Lời giải

Cách giải tương tự bài 16 Tính cường độ điện trường dE rồi dEz tại tâm O do điện tích

dq chứa trong thể tích nguyên tố dV quanh điểm M Ta có dV = ds.dr = r2sindddr;

cos (cos )4

35

Bài 19 Hai sợi dây thẳng dài song song tích điện đều theo độ dài với mật độ điện dài  =

0,5C/m; khoảng cách giữa các sợi dây là l = 0,45m Hãy tìm giá trị cực đại của môđun

cách cường độ điện trường tại mặt phẳng đối xứng của hệ này đặt giữa hai sợi dây

Lời giải

a) Hãy tính cường độ điện trường E do một sợi dây

thẳng dài tích điện gây ra tại A cách sợi dây một

khoảng OA = a

Xét đoạn MM' = dy mang điện tích dq = dy

Nó gây điện trường tại A là dE và hình chiếu dEx

b) Đặt A và B là 2 dây vuông góc với một hình vẽ Xét cường độ điện trường tại một

điểm M trên mặt phẳng Oz

Từ (2) suy ra điện trường E1 do A gây ra tại M:

dE a

r M'

M dy

y

O y

Hình 28

B A

θ

θ z

z

E1 E2

M

O l/2 l/2

a

Hình 29

Vậy (3) thành 2

2 0

4

z E

l z

Bài 20 Một mặt trụ tròn dài vô hạn tích điện

đều theo độ dài với mật độ điện  = 0cos, với

 là góc độc cực của hệ toạ độ trụ, trục z của hệ

trùng với trục của mặt trụ này Hãy tìm môđun

và hướng của vectơ cường độ điện trường E

trên trục z

Lời giải

Xét điện trường d E gây ra tại O bởi điệntích

nguyên tố dq chứa trong điện tích dS ở quanh

H z

y x

dE dEz

φ

φ

Hình 30

Dấu trừ tức là E hướng ngược chiều trục Oz tức là tạo với Oz góc  = 

Bài 21 Vectơ cường độ điện trường chỉ phụ thuộc vào toạ độ x và y theo quy luật

   2 2

Ea xiy j x y , với a là một hằng số, i và f là các vectơ đơn vị của trục x, y Hãy tìm thông lượng của vectơ Egửi qua quả cầu bán kính R có tâm ở gốc O của các trục toạ độ

Tính dS như ở bài 16: dS = 2Rsindd (3)

dS tạo với Oz góc , và Ez = 0 tức E so với mặt phẳng Oxy và nằm trong mặt phẳng

Bài 22 Một hình cầu bán kính R có điện tích dương với mật độ thể tích chỉ phụ thuộc

khoảng cách r đến tâm quả cầu là 0 1 r

R

    

 , với 0 là một hằng số Giả sử rằng, hằng

số điện môi ở mọi nơi là  = 1, hãy tìm:

a) Môđun của vectơ cường độ điện trường ở bên trong và ngoài hình cầu theo r

b) Giá trị cực đại của môđun của cường độ điện trường Emax và giá trị rm tương ứng với Emax

3 4 3

R R

Bài 23 Một hệ gồm một quả cầu bán kính R được tích điện đối xứng cầu và môi trường

xung quanh chứa đầy điện môi tích điện với mật độ thể tích

39

Lời giải

Vì hệ có đối xứng cầu nên cường độ điện

trường E tại M cách tâm O của quả cầu một khoảng

OM = r bằng cường độ điện trường gây ra tại M của

một điện tích điểm Q đặt tại O Giá trị của Q bằng

tổng các điện tích chứa trong quả cầu tâm O, bán

kính OM = r, nghĩa là Q = q0 + q trong đó q0 là điện

tích quả cầu bán kính R và q là điện tích chứa trong

khoảng giữa mặt cầu tâm O bán kính R và mặt cầu

r3 >> 1

Lời giải

Cường độ điện trường EM tại điểm M cách tâm của trường một khoảng OM = r bằng cường độ điện trường tại M gây bởi một điện tích điểm q đặt tại O, với q là tổng các điện tích chứa trong quả cầu tâm O, bán kính OM = r

0

4 exp( ).4

Lời giải

Ta có E0  E E1 E E0E1 với vectơ E0 là

vectơ cường độ điện trường do quả cầu chưa bị khoét lỗ gây

ra tại M, và E1 là do quả cầu nhỏ vừa vặn bằng lỗ gây tại

tâm M của nó; còn E là điện trường phải tìm

04

qa E

a



 Điện trường E1 do quả cầu mang điện

đều gây tại tâm M của nó sẽ bằng không (E1 = 0) vì đối

xứng

04

qa E

3

a v

qdq r dr  a

Thay vào (1):

03

qa E



  đó là một điện trường

đều

Bài 26 Hãy tìm vectơ cường độ điện trường E

trong miền giao nhau giữa hai hình cầu tích điện

đều trái dấu với các mật độ điện thể tích  và -,

nếu khoảng cách giữa hai tâm của hai quả cầu

được đặc trưng bằng vectơ a