2 Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 14 và tổng bình phương của chúng là 94 Bài 4 :Cho hình chóp S.ABCD là hình thang với đáy lớn là AD.Gọi M, N, P lần
Trang 1Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1) 3 cos x sin x 1 0− + = ; 2) 4 4 1
sin x cos x sin 2x
2
+ = − ; 3) 2cos3x + cos2x + sinx = 0 ; 4) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 ; 5) 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
Bài 2 : 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số và chia hết cho 2
2) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
18 2
2
x x
+
3) Một hộp có 10 viên bi đỏ và 20 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên hai viên Tính xác suất sao cho hai viên được chọn đều là viên bi đỏ
Bài 3 : 1) Cho cấp số cộng (un) có 1 3
4 2
6
u u
u u
+ =
− =
a) Tìm u1 và d b) Biết Sn = 740 Tìm n
2) Chứng minh đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạp :
1 + cosx + cos2x + ……….+ cosnx =
x sin 2
+
( với ∀n ∈ N* , x ≠ k2π )
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC
a) Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD)
b) Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)
c) Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1) 4cos2x – 5sinx – 5 = 0 ; 2) sin x = 2 sin 5x cos x− ; 3) cos 2x− 3 sin 2x− 3 cosx+sinx− =4 0
4) cos x.cos 2x.cos 6x 1cos 6x
4
= ; 5) 2(tanx – sinx) + 3(cotx – cosx) + 5 = 0
Bài 2 :
1) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho các chữ số chẵn và lẻ xen kẽ nhau
2) Trong môt ban chấp hành có 8 người, người ta thành lập một ủy ban gồm 5 người trong đó có 2 người giữ hai chức
vụ khác nhau và 3 ủy viên có vai trò giống nhau ( Giả sử có sự bình đẳng về khả năng và cơ hội của 8 người nói trên) Hỏi có bao nhiêu cách thành lập ủy ban như vậy?
3) Giải phương trình : 4 3 3 215
5
2 + + =
+
x x
Bài 3 : 1) Một hộp đựng bi gồm có 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng Người ta chọn ngẫu nhiên từ hộp
đó ra 3 viên bi
a) Tính số phần tử của không gian mẫu
b) Tính xác suất để 3 viên bi được chọn có đủ ba màu
2) Cho cấp số cộng (un) có u17 = 33 và u33 = 65 Hãy tính số hạng đầu và công sai của cấp số trên
3) Xét tính tăng , giảm của dãy số (un) với un = 2n2 – n + 1 , ∀n ∈ N*
Bài 4 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.
1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
2) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SD, AM, AN
a) Chứng minh PQ // BD
b) Tìm thiết diện của (AMN) với hình chóp
§Ò 2
Trang 2Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1) sin3x − cosx + cos2x = 0 ; 2) 2cos²3x − sin6x + 3sin²3x = 2 ; 3) sin2x + cos2x + sin3x = cos3x
4) 3(2cos x cos x 2) (3 2cos x)sin x 02 + − + − = ; 5)1 sin 2 3 1 1
sin cos
x
Bài 2 : 1) Từ X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần
2) Tính a5 biết (x + 2)11 ( x – 1 ) = 12 11 10 2
x +a x +a x + a x+ +a x a+ 3) Một hộp có 4 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 viên bi, tính xác suất để lấy được:
a) 1 bi đỏ và 2 bi vàng
b) Số bi đỏ nhiều hơn số bi vàng
Bài 3 : 1) Chứng minh rằng ∀n ∈ N* , ta có 1.2 + 2.3 + ………+ n (n + 1) = n(n 1)(n 2)
3
2) Cho cấp số cộng (un) có công sai d < 0 và thỏa 312 342
31 34
+ =
Tìm số hạng tổng quát un 3) Cho dãy số (un) với un = 5.4n -1 + 3
a) Chứng minh rằng un +1 = 4un – 9 , ∀n ∈ N*
b) Hãy cho dãy số (un) bởi hệ thức truy hồi
Bài 4 : Cho hình bình hành ABCD tâm O.Ngoài mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S tùy ý và điểm M sao cho M là trung
điểm của SC
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD)
b) Tìm giao điểm N của SB và (ADM) Chứng minh N là trung điểm của SB
c) Gọi H,K lần lượt là trọng tâm của ∆ SAB, ∆SAD Chứng minh HK // (ABCD)
d) Gọi E là trung điểm của CB Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (EHK)
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1) cos2x – 3cos2x – 4 = 0 ; 2) sin(2 1) os 0
4
x− +c π = ; 3) 2sin17x –
3cos 5x + sin 5x = 0 4) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 ; 5) 2 cos 2x+4 cosx= +1 sinx−2sin cosx x
Bài 2 : 1) Có 5 bi xanh, 4 bi đỏ, 3 bi vàng khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách lấy 6 bi, sao cho sau khi lấy xong, mỗi
loại bi còn lại ít nhất 1 viên?
2) Tính giá trị biểu thức M =
n 1 n
(n 2)!
+ , biết rằng
A −8C +C =49 3) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác nhau
và trong năm chữ số đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ này không đứng cạnh nhau
Bài 3: 1) Gieo 2 con súc sắc cân đối và đồng chất
a) Tính xác suất để tổng 2 mặt xuất hiện bằng 8
b) Tính xác suất để tích 2 mặt xuất hiện là số lẻ.
2) Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 14 và tổng bình phương của chúng là 94
Bài 4 :Cho hình chóp S.ABCD là hình thang với đáy lớn là AD.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,CD, SA.
a) Tìm giao tuyến của mp (MNP) với các mp (SAB), (SAD)
b) Tìm giao điểm của mp (MNP) với SB, SD Từ đó suy ra thiết diện tạo bởi mp (MNP) với hình chóp S.ABCD c) Tìm giao điểm của SC với mp (MNP)
d) Giả sử AD = a ; BC = b và gọi I ,J lần lượt là trọng tâm của các ∆SAD , ∆SBC Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
§Ò 4
§Ò 3
Trang 31) sin x 2 cos3x
3
π
+ =
; 2) 3 cos 2x−sin 2x= 2 ; 3) cosx + cos 2x = sin x – sin 2x
4) sin x + cos x = 1 + sin 2x ; 5) tan2 x = 1 cos x
1 sin x
−
−
Bài 2 :
1) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số thỏa :
a) Các chữ số đôi một khác nhau
b) Chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nó
2) Tìm số cạnh của một đa giác lồi biết rằng đa giác đó có 35 đường chéo
3) Giải phương trình : 3A n2−A22n+ 42 0 =
Bài 3: 1) Trên một giá sách có 4 quyển sách toán, 5 quyển sách vật lý và 3 quyển sách hoá học Lấy ngẫu nhiên ra 3
quyển sách Tính xác suất để :
a) Trong 3 quyển sách lấy ra, có ít nhất một quyển sách toán
b) Trong 3 quyển sách lấy ra, chỉ có hai loại sách về hai môn học
2) Cho a , b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Chứng minh rằng :
a) a2 + 2bc = c2 + 2ab ; b) a2 + 8bc = ( 2b + c )2
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
a) Chứng minh rằng : MN // (SBC) và MN // (SAD)
b) Gọi P là trung điểm của SA CMR: SB, SC cùng song song (MNP)
c) Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm ∆ABC và ∆SBC Chứng minh rằng : G1G2 // (SAB)
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1) 3 tan2x− +(1 3 tan) x+ =1 0 ; 2) 4sin 2x 8cos x 9 02 + 2 − = ; 3) 2cos x3 sin 2x sin x 2 0
− − + + − =
4) 1 cot 2 1 cos22
sin 2
x x
x
−
1
2 cos 1
x x
x
π
=
−
Bài 2 : 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và thoả mãn điều
kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị
2) Tìm hệ số của x31 trong khai triển của 12 n
x x
, biết rằng
821 2
C +C − + A = 3) Cho cấp số cộng tăng (un) có 3 3
1 2
u +u = 302094 và S15 = 585 Tìm số hạng tổng quát un của cấp số trên
Bài 3: Có hai cái hộp chứa các quả cầu, hộp thứ nhất gồm 3 quả cầu màu trắng và 2 quả cầu màu đỏ; hộp thứ hai gồm
3 quả cầu màu trắng và 4 quả cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 quả cầu Tính xác suất để :
1) Trong 4 quả cầu lấy ra, có ít nhất một quả cầu màu trắng
2) Trong 4 quả cầu lấy ra, có đủ cả ba màu: trắng, đỏ và vàng
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
AD và SB
a) Chứng minh rằng BD // (MNP)
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với BC
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD)
d) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
§Ò 6
Trang 4Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1) 2cos 2x 2cos x+ − 2 0= ; 2) cos x cos 5x cos 2x cos 4x= ; 3) 2 x
cos 2x 3cos x 4cos
2
4) sin3 x + cos3 x = cos 2x ; 5) 2 cos2 3 3 cos2 0
4
Bài 2 :
1) Từ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thiết lập các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi trong đó các số lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau
2) Trong khai triển n
x
x 1) 2
( 2 + hệ số của x3 là 26 9
n
C Tính n?
3) Trong một hộp đựng 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra
a) Có 2 viên bi màu đỏ
b) Có ít nhất một viên bi màu đỏ
Bài 3 : 1) Xét tính tăng giảm của dãy số (un), biết n
2n 5 u
n 1
−
= + 2) Cho cấp số cộng (un) có 7 số hạng mà tổng số hạng thứ ba và số hạng thứ năm là 28 , tổng số hạng thứ năm và số hạng cuối là 140 Hãy tìm cấp số cộng đó
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SD và
P là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AP = 2PB
a) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD)
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)
c) Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP) Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ?
d) Gọi K là giao điểm của PQ và BD Chứng minh rằng ba đường thẳng NK , PM và SB đồng qui tại một điểm
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1) cos (2x +
3
π
) + cosx = 0 ; 2) 2sin( 2x + 150 ).cos( 2x + 150 ) = 1 ; 3) 3sin2x 2cos x 2+ 2 = 4) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1+ sin2x ; 5)
sin 2sin 2 5cos
0 2sin 2
x
+
Bài 2:1) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau sao cho trong mỗi số đều có mặt số 0 và số 9.
2) Tìm số nguyên dương n biết: 3 Cn 0n +3 Cn 1− 1n +3n 2− C2n +×××+3Cn 1n− =220−1
3) Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1,2, 9 Rút ngẫu nhiên 2 thẻ Tính xác suất để 2 thẻ được rút là 2 thẻ lẻ
Bài 3 : 1) Chứng minh rằng ∀n ∈ N* , ta có 11n 1 + +122n 1 − chia hết cho 133
2) Cho dãy số (un) mà tổng n số hạng đầu tiên của nó là Sn = n(7 3n)
2
− ,∀n ∈ N*
a) Hãy xác định số hạng tổng quát un của dãy số trên
b) Chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng Tìm công sai của cấp số cộng đó
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang ( AB // CD và AB > CD ) H , K lần lượt là hai điểm thuộc
hai cạnh SC , SB
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAB) và (SCD) , (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm P của AH và mặt phẳng (SBD) và giao điểm Q của DK và mặt phẳng (SAC) Chứng minh S,P,Q thẳng hàng
c) Gọi I , M , N lần lượt là ba điểm thuộc SA,AB và BC Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (IMN)
§Ò 7
§Ò 8
§Ò 9
Trang 5Bài 2 :
1) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4
2) Giải phương trình : C C2n n 2n− +2C C2n 3n +C C3n n 3n− =100
3) Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20 Tính xác suất để thẻ được lấy ghi số: a) Chẵn ; b) Chia hết cho 3 ; c) Lẻ và chia hết cho 3
Bài 3 : 1) Cho dãy số (uC n) định bởi : un =
) 1 (
1 +
−
n n n
a) Tìm u9; un – 2; u2n + 1
b) Số 3
28 là số hạng thứ mấy của dãy số.
2) Một tam giác có độ dài 3 cạnh tạo thành 1 cấp số cộng , chu vi bằng 24 cm Tìm độ dài các cạnh của tam giác
Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD, gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC Trên BD lấy một điểm K sao cho
BK = 2KD
a) Xác định giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK) và chứng minh rằng DE = DC
b) Tìm giao điểm F của đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK) và chứng minh FA = 2FD
c) Gọi M, N là những điểm bất kỳ, lần lượt trên AB, CD.Tìm giao điểm của MN với mặt phẳng(IJK)
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1) 2cos ( 4x –
6
π ) = 3 ; 2) cos5x + sin 2x = 0 ; 3) cos 2x cos 4x cos6x cos8x 0+ + + = 4) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 ; 5) (2sinx + 1) (3cos4x + 2sinx – 4) + 4cos2x = 3
Bài 2 : 1) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành
hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá
2) Chứng minh rằng ∀n∈ N* , ta có n5 – n chia hết cho 5
3) Xét tính đơn điệu của dãy số (un) định bởi : un =
n
n
− 1 , ∀n∈ N*
Bài 3 :
1) CMR : các số a2; b2; c2 lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
c
b+
1 ,
a
c+
1 ,
b
a+
1 lập thành một cấp số cộng 2) Trong kỳ thi kiểm tra chất lượng của hai khối lớp, mỗi khối có 25% học sinh trượt Toán, 15% học sinh trượt Lý và 10% trượt cả Toán và Lý Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên một học sinh Tính xác suất sao cho
a) Hai học sinh đó trượt Toán ; b) Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó
c) Hai học sinh đó không bị trượt môn nào ; d) Có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một môn
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2CD Gọi M,N lần lượt là trung điểm
của các cạnh bên SA,SB
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
b) Chứng minh MN // CD và MD // NC
c) Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SCD)
§Ò 10
§Ò 11
Trang 6Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1) cos2x + cosx − 2 = 0 ; 2) sin 3x−sinx+sin 2x=0 ; 3) cos2x – 3sin2x – 4sinx.cosx = 0
4) tan x + cot2x = 2 cot4x ; 5) 1 – sinx cosx (2sin2x – cos22x) = 0
Bài 2 : 1) Cĩ thể lập bao nhiêu số cĩ 8 chữ số trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đĩ 3 và 6 đều cĩ mặt 2 lần cịn các chữ
số khác xuất hiện 1 lần
2) Giải bất phương trình: 22 2 3
10
2A x−A x ≤ x C x + 3) Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất của các biến cố:
a) Cả 4 đồng xu đều ngửa ; b) Cĩ đúng 3 đồng xu lật ngửa ; c) Cĩ ít nhất hai đồng xu lật ngửa
Bài 3 : 1) Cho dãy số (un) với 1
n 1 n
=
= + ∀ ≥
a) Tính u2 ; u5
b) Chứng minh rằng :un = 7n – 6 , ∀n∈ N*
2) Năm số lập thành một cấp số cộng biết tổng của chúng là 5 và tích của chúng bằng 45 Tìm năm số đĩ
Bài 4: Cho hình chĩp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M và trong tam giác SCD lấy điểm N
a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC)
c) Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1) sin2 2cos 2 0
x− x+ = ; 2) cos8x−3cos 4x+ =2 0 ; 3) tan2x – 2sin2x = sin2x
4) cos2x + 4sin4x = 8cos6x ; 5 ) (1 – tanx) (1 + sin2x) = 1 + tanx
Bài 2 : 1) Một cái hộp đựng 7 quả cầu trắng và 5 quả cầu đỏ khác nhau Cĩ bao nhiêu cách lấy ra 6 quả cầu trong đĩ
cĩ nhiều nhất 3 quả cầu đỏ?
2) Cho 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau, trong đĩ nhất thiết phải
cĩ mặt chữ số 5 ?
3) Một tổ cĩ 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ.Giáo viên chủ nhiệm chọn ra 2 em đi thi văn nghệ Tính xác suất để 2
em đĩ khác phái
Bài 3 : 1) Chứng minh rằng∀n∈ N*, ta cĩ : 1 – 2 + 3 – 4 + … - 2n + (2n + 1) = n + 1
2) Xét tính tăng , giảm của dãy số (un) với 1
n 1 n
u + 2u 1, n 1
=
3) Bốn số nguyên lập thành một cấp số cộng Tổng của chúng bằng 20 , tổng các nghịch đảo của chúng là 25
24 Tìm bốn số đĩ
Bài 4: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành.Gọi G là trọng tâm ∆SAB và I là trung điểm AB Lấy M trên đoạn AD sao cho AD = 3AM
a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)
b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N Chứng minh NG // (SCD)
c) Chứng minh MG // (SAB)
HẾT
Chúc các em thành công !
6
-§Ị 12