Định lý viet và ứng dụng

CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU1.1 Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai • Phương trình vô nghiệm ⇐⇒ • Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ⇐⇒... Tìm

Trang 1

(theo từng chuyên đề và có lời giải chi tiết)

TOÁN 10

Sài Gòn, mùa Giông Bão – 2017

Tài liệu lưu hành nội bộ

Trang 2

Mục lục

1 CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU 1

1.1 Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai 1 1.1.1 Tìm tham số m 2

1.1.2 Biểu thức nghiệm đối xứng 3

1.1.3 Biểu thức nghiệm không đối xứng 5

1.1.4 Tìm giá trị min/max của biêu thức nghiệm 6

1.1.5 Bài tập tổng hợp 7

1.1.6 Bài tập nâng cao 7

1.1.7 Phương trình trùng phương 8

1.1.8 Các bài tập trắc nghiệm 9

1.1.9 Lời giải chi tiết 10

Trang 3

Chương 1 CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU

1.1 Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai

• Phương trình vô nghiệm ⇐⇒

• Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ⇐⇒

Trang 4

• Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇐⇒ ac < 0.

Các biểu thức đối xứng qui về S, P:

Dạng 1.1.1.1 Tìm m để phương trình có nghiệm cho trước

Thay nghiệm vào phương trình, từ đó giải ra tham số m, sau đó thay giá trị m vừa tìm được vào phương trìnhban đầu, giải ra nghiệm còn lại

Ví dụ 1.1.1.

Biết phương trình x2+2mx − 12=0có một nghiệm x1=3 Tìm m và nghiệm còn lại

• Thay x1=3vào phương trình ta được

Vậy nghiệm còn lại là x=−4

Bài tập 1.1.1. Tìm m để phương trình x2− 9x+m=0có một nghiệm là −3 Khi đó tìm nghiệm còn lại

Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 10

Ví dụ 1.1.2.

Cho phương trình x2− 2(m− 1)x+m2− 4m+3=0 (1) Tìm m để phương trình(1)

1 có hai nghiệm trái dấu

2 có hai nghiệm dương phân biệt

1 Phương trình(1)có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

Trang 5

Bài tập 1.1.3. Cho phương trình bậc hai x2− 2(k− 2)x− 2k − 5=0(với k là tham số)

1 Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị k

2 Gọi x1, x2là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị k sao cho x21+x22=18

Bài tập 1.1.4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2− 2mx+m− 1=0có hai nghiệmphân biệt x1, x2thỏa mãn 2(x1+x2) +x12x22=0

Bài tập 1.1.5. Cho phương trình x2− 2x − m=0(m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình cóhai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn điều kiện:(x1x2+1)2− 2(x1+x2) =0

Bài tập 1.1.6. Cho phương trình x2+2(m+2)x+4m − 1=0(x là ẩn số, m là tham số) (1) Chứng minhrằng với mọi giá trị của tham số m thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2là hai nghiệmcủa phương trình (1), tìm m để x2

1+x22=30

Trang 6

Bài tập 1.1.7. Cho phương trình: x2− 2(m+1)x+m2+m− 1=0(m là tham số) Tìm m để phương trình

có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn điều kiện: 1

x1+ 1

x2 =4

Bài tập 1.1.8. Cho phương trình sau: x2− 6x+m+1=0(1)(với x là ẩn số, m là tham số)

a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình(1)có nghiệm

b) Gọi x1, x2là hai nghiệm của phương trình(1) Tìm m để x21+x22=20

Bài tập 1.1.9. Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2+ (4m+1)x+2m − 8=0(m là tham số)

a Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2với mọi tham số m

b Tìm m để hai nghiệm x1; x2của phương trình đã cho thỏa mãn điểu kiện |x1− x2|=17

Bài tập 1.1.10. Cho phương trình x2− 2(m− 1)x−(2m+1) =0 (1) (m là tham số)

1 Chứng minh rằng phương trình(1)luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2 Tìm m để phương trình(1)luôn có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

Bài tập 1.1.11. Cho phương trình x2−(2m − 1)x+m2− 2m − 1=0(m là tham số) Tìm tất cả giá trị của

mđể phương trình có hai nghiệm x1, x2thỏa mãn x21+x22− x1x2=4

Bài tập 1.1.12. Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2−(m+4)x+3(m+1) =0có hai nghiệm là

độ dài hai cạnh của một tam giác vuông, biết độ dài cạnh còn lại là 5

Bài tập 1.1.13. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình x2− 2x+m− 1=0có hai nghiệm x1, x2 thoảmãn điều kiện x21+x22− x1x2+x21x22− 14=0

Bài tập 1.1.14. Cho phương trình: x2−(m−1)x−m=0(1)(với x là ẩn số, m là tham số) Xác định các giátrị của m để phương trình(1)có hai nghiệm phân biệt x1; x2thỏa mãn điều kiện: x1(3 − x2) +20 ≥ 3(3 − x2)

Bài tập 1.1.15. Tìm các giá trị m để phương trình x2+2(m+1)x+m2+2m − 1=0(m là tham số) luôn

có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn hệ thức 1

Trang 7

Bài tập 1.1.17. Cho phương trình x2− 2(m+1)x+m2=0(m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m đểphương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2thỏa mãn(2x1+1) (2x2+1) =13

Bài tập 1.1.18. Cho phương trình x2− 10mx+9m=0(1)(m là tham số) Tìm các giá trị của tham số m

để phương trình(1)có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa điều kiện x1− 9x2=0

Bài tập 1.1.19. Tìm m để phương trình x2− 2(m+2)x+6m+2=0có hai nghiệm mà nghiệm này gấpđôi nghiệm kia

Bài tập 1.1.20. Biết phương trình x2− x+m− 7=0có hai nghiệm x1, x2với x1< x2và x2− x1=5 Tìmm

Bài tập 1.1.21. Cho phương trình x2−(2m+1)x+m2+1=0

1 Tìm m để phương trình có nghiệm

2 Gọi x1, x2là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x1=2x2

Bài tập 1.1.22. Cho phương trình x2− 2x+m− 1=0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có hainghiệm x1, x2thỏa mãn 2x1− x2=7

Trang 8

Ví dụ 1.1.5.

Cho phương trình x2− 2(m− 2)x− 6m=0(1)(với m là tham số)

1 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

2 Gọi x1, x2là hai nghiệm của phương trình(1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x21+x22

2.

Bài tập 1.1.24. Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình x2+ (2m − 1)x+m2− 1=0có hainghiệm phân biệt x1, x2sao cho biểu thức P=x21+x22đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 1.1.25. Tìm m để phương trình x2− 2(m− 1)x+m2− 3m=0có hai nghiệm phân biệt x1và x2sao cho T =x21+x22−(m− 1)(x1+x2) +m2− 3m đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 1.1.26. Cho phương trình x2− 2x+3 − m=0(1)(m là tham số)

1 Tìm m để phương trình có nghiệm

2 Giả sử x1, x2là hai nghiệm của phương trình(1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A=−x1 x2 − 3 x1 +x2 +4

Bài tập 1.1.27. Cho phương trình 2x2− 2mx+m2− 2=0(1)với m là tham số

a) Giải phương trình(1)khi m=2

b) Tìm các giá trị của m để phương trình(1)có hai nghiệm x1, x2thỏa mãn hệ thức A=|2x1x2− x1− x2− 4|đạt giá trị lớn nhất

Trang 9

Bài tập 1.1.28. Cho phương trình bậc hai x2− 2x+m+3=0(m là tham số).

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn hệ thức x3

1+x32=8

Bài tập 1.1.29. Cho phương trình x2−(m+5)x− m+6=0 (1)

1 Tìm m để phương trình(1)có hai nghiệm trái dấu

2 Tìm m để phương trình(1)có một nghiệm x=−2 Tìm nghiệm còn lại

3 Tìm m để phương trình(1)có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn x21+x22=13

Bài tập 1.1.30. Cho phương trình mx2− 6(m− 1)x+9(m− 3) =0 Tìm giá trị của tham số m để phươngtrình có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn x1+x2=x1x2

Bài tập 1.1.31. Cho phương trình x2− x+m+1=0(1)(m là tham số)

1 Tìm các giá trị của m để phương trình(1)có hai nghiệm phân biệt

2 Gọi x1, x2là hai nghiệm phân biệt của phương trình(1) Tìm các giá trị của m sao cho x21+x1x2+3x2=

7

Bài tập 1.1.32. Tìm m để phương trình x2+x− m+2=0có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa x31+x32+

x21x22=17

Bài tập 1.1.33. Cho phương trình x2−(m− 1)x− m2+m− 1(1) Chứng minh rằng với mọi m phươngtrình(1)luôn có hai nghiệm phân biệt Giả sử hai nghiệm là x1; x2(x1< x2), khi đó tìm m để |x2| − |x1|=2

Bài tập 1.1.34. Cho phương trình: x2− mx+m− 1=0(có ẩn số x)

a Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1, x2với mọi m

x21+x22+2(1+x1x2) Tìm giá trị của m để B=1.

Bài tập 1.1.35. Tìm m để phương trình x2+5x+3m − 1=0(với m là tham số) có hai nghiệm x1và x2thỏa mãn x31− x3

2+3x1x2=75

Trang 10

Bài tập 1.1.36. Cho phương trình: x2−(2m − 1)x+m2− 1=0 (1)(x là ẩn số)

1 Tìm điều kiện của m để phương trình(1)có 2 nghiệm phân biệt

2 Định m để hai nghiệm x1, x2của phương trình(1)thỏa mãn(x1− x2)2=x1− 3x2

Bài tập 1.1.37. Tìm m để phương trình:(m− 1)x2− 2mx+m+2=0có hai nghiệm phân biệt x1, x2khác

0và thỏa mãn hệ thức: x1

x2+x2

x1+5

2 =0.

Bài tập 1.1.38. Cho phương trình(m− 1)x2− 2(m− 2)x+m+3=0 (1)

1 Tìm m để phương trình(1)có hai nghiệm phân biệt x1, x2

2 Với các giá trị m trong câu a) Tìm một hệ thức giữa x1, x2độc lập đối với m

Dạng 1.1.7.1 Phương trình bậc bốn trùng phương

Để giải phương trình trùng phương dạng ax4+bx2+c=0(?)ta đặt t =x2≥ 0 để đưa về phương trình bậchai at2+bt+c=0(?0)

• Nếu phương trình(?0)vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thì phương trình(?)vô nghiệm

• Nếu phương trình(?0)có nghiệm t=0thì phương trình(?)có nghiệm x=0

• Nếu phương trình(?0)có một nghiệm t =t0> 0 thì phương trình(?)có hai nghiệm x=±√t0

Ví dụ 1.1.6.

Giải phương trình 2x4− 7x2+5=0

Đặt t=x2≥ 0 ta được phương trình 2t2− 7t+5=0 ⇔ t=1,t= 5

2.Với t=1thì x2=1 ⇔ x=±1

r5

2.

Ví dụ 1.1.7.

Tìm m để phương trình x4− 2mx2+2m − 1=0có bốn nghiệm phân biệt

Đặt t=x2≥ 0 ta được phương trình t2− 2mt+2m − 1=0

Phương trình x4− 2mx2+2m − 1=0có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình t2− 2mt+2m −

Trang 11

Bài tập 1.1.39. Giải phương trình x4− 5x2+4=0.

Bài tập 1.1.40. Cho phương trình: x4+2(m− 3)x2+3m+9=0(với m là tham số) Tìm tất cả các giá trị

mđể phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Bài tập 1.1.41. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x4−(3m+2)x2+3m+1=0 có bốnnghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

Câu 1.1.3 Cho phương trình(m− 1)x2− 2mx+3m − 5=0, với m là tham số Tìm giá trị của tham số m để có

tổng các nghiệm bằng 2 lần tích các nghiệm của nó.

A m=1 B m=5

1

Câu 1.1.4 Cho phương trình(m+2)x2+ (2m+1)x+2=0, với m là tham số Tìm giá trị của tham số m để có

hai nghiệm trái dấu và tổng của chúng bằng 3.

A m=−7

5. B m=1. C m=2. D Không tồn tại m.

Câu 1.1.5 Tìm tổng các giá trị của tham số k để phương trình kx2− 2x+k− 5=0 có tổng bình phương các

nghiệm bằng 2 lần tích các nghiệm của nó.

Câu 1.1.8 Cho hai phương trình x2− 5x+k=0(1)và x2− 7x+2k=0(2) Biết rằng hai phương trình(1)và

(2)có một nghiệm chung là x0> 0 khi k=k0 Tính giá trị của biểu thức A=x20+k20.

A A= 20

6

Câu 1.1.9 Cho phương trình 2x2−(a+1)x+a+3=0, với a là tham số Tìm tổng tất cả giá trị của a để phương

trình có hai nghiệm phân biệt và hiệu của chúng bằng 1.

A.−25

7 . B. −3 C 6 D.−46

7 .

Câu 1.1.10 Cho phương trình 2x2−(k+2)x+7 − k=0 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của k để phương

trình có hai nghiệm phân biệt không nhỏ hơn 1?

A 4 B 3 C 2 D 1.

Trang 12

Câu 1.1.11 Cho phương trình(k+2)x2− 2k2x− 1=0 Gọi K là tập hợp các giá trị của k để phương trình có hai

nghiệm phân biệt x1, x2đối xứng nhau qua điểm x=1 trên trục số Tổng lập phương các phần tử của K bằng

A 8 B. −9 C 7 D. −7.

Câu 1.1.12 Cho phương trình 3x2+5x+2m+1=0 Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có hai

nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn x31+x32=10?

A 0 B 1 C 2 D 3.

Đáp án phần trắc nghiệm

1.1.1.B 1.1.2.D 1.1.3.B 1.1.4.D 1.1.5.B 1.1.6.B 1.1.7.D 1.1.8.C 1.1.9.C 1.1.10.D

1.1.11.C 1.1.12.A

Bài giải 1.1.1 (của Bài tập 1.1.1 ở trang 2)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt và trái dấu thì:

2 Áp dụng Viet ta có x1+x2=2(k− 2), x1x2=−2k − 5

⇒ x2

1+x22= (x1+x2)2− 2x1x2=4(k− 2)2+2(2k+5) =2(2k2− 6k+13).Theo đề bài x21+x22=18 ⇔ 2k2− 6k+13=9 ⇔ k2− 3k+2=0 ⇔ k=1, k=2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔∆0=m2− m+1 > 0

Trang 13

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔∆0> 0 ⇔ 1+m> 0 ⇔ m > −1

(−m+1)2− 2.2=0 ⇔(1 − m)2− 4=0 ⇔

∆0= (m+2)2− 4m+1=m2+5 > 0với mọi m cho nên phương trình có nghiệm với mọi m Theo định lí

1; −32

Vậy m=7thỏa mãn yêu cầu bài toán

a Ta có:∆= (4m+1)2− 4(2m − 8) =16m2+33 > 0, ∀m ∈R.

Do đó, phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

b Do phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2, nên theo định lý Vi-et ta có: x1+x2=−4m − 1

Trang 14

Vậy khi m=1thì phương trình(1)có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

Ta có∆= (m− 2)2≥ 0, ∀m Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x=3, x=m+1 Ta xét haitrường hợp sau

Trường hợp 1: m+1và 3 là độ dài hai cạnh góc vuông Khi đó

Phương trình đã cho có hai nghiệm khi∆0=2 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2

Trang 15

Kết hợp với điều kiện m ≤ 2, ta được giá trị cần tìm là m=−1.

Phương trình(1)có hai nghiệm phân biệt ⇔∆ > 0

(thỏa điều kiện m 6=−2 ±√2)

Đây chính là lúc sự tìm tòi, kiên trì của học sinh phát huy sức mạnh ?

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	913,45 KB