Hướng dẫn học sinh kỹ thuật chọn “điểm rơi” trong bất đẳng thức Cauchy

Nghiên cứu này nhằm trình bày kỹ thuật chọn điểm rơi thông qua hệ thống bài tập. Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán trong một số tình huống cụ thể. Từ đó bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng giải toán và khả năng tư duy sáng tạo.

 M C L CỤ Ụ

A. PH N M  Đ UẦ Ở Ầ  

 I. LÝ DO CH NỌ  Đ  TÀIỀ

       1.C  s  lý lu n:ơ ở ậ  

       2.Th c tr ng c a v n đ  nghiên c u:ự ạ ủ ấ ề ứ

   II .Đ I TỐ ƯỢNG NGHIÊN C UỨ

  III. NHI M V  C A NGHIÊN C U  Ệ Ụ Ủ Ứ

 IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C UỨ

B . PH N N I DUNGẦ Ộ  

   I. GI I PHÁP TH C HI NẢ Ự Ệ

  II. BI N PHÁP T  CH C TH C HI NỆ Ổ Ứ Ự Ệ

        1.Ki n th c toán có liên quanế ứ

         2.M t s  bài toán thộ ố ường g p và phặ ương pháp ti pế  

c n ậ   v n đấ ề

      D ng 1:K  thu t ch n đi m r i trong bài toán c cạ ỹ ậ ọ ể ơ ự  

trị

      X y ra t i biênả ạ

       D ng 2:K  thu t ch n đi m r i trong bài toán c cạ ỹ ậ ọ ể ơ ự  

trị

      X y ra t i tâmả ạ

  C. K T LU N Ế Ậ

         1 .K t qu  đ t đế ả ạ ược 

         2 .Bài h c kinh nghi m  ọ ệ

         3 .Tài li u tham kh o      ệ ả  

2 2 2 2 2 3 3 4 4 4       4

4 6

  11 20

20 20 20

A.PH N M  Đ UẦ Ở Ầ

I. LÝ DO 

   CH N  Ọ     Đ  TÀI  Ề  

   1.C  s  lý lu n:  ơ ở ậ     

Bài toán tìm giá tr  nh  nh t (GTNN), giá tr  l n nh t (GTLN) c a m t bi u th cị ỏ ấ ị ớ ấ ủ ộ ể ứ  

là m t bài toán b t đ ng th c và đây là m t trong nh ng d ng toán khó   chộ ấ ẳ ứ ộ ữ ạ ở ương trình 

ph  thông. Trong đ  thi h c sinh gi i THPT hay tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng hàngổ ề ọ ỏ ể ạ ọ ẳ   năm(nay là Thi t t nghi p THPT Qu c Gia), n i dung này thố ệ ố ộ ường xu t hi n   d ngấ ệ ở ạ   câu khó nh t. ấ

Qua quá trình gi ng d y trên l p:B i dả ạ ớ ồ ưỡng nâng cao ki n th c cho HS kháế ứ  

gi i,b i dỏ ồ ưỡng thi HSG các c p,luy n thi Đ i H c(Thi t t nghi p THPT Qu c Gia) tôiấ ệ ạ ọ ố ệ ố  

đã tích lũy được m t s  kinh nghi m cho n i dung này. Các v n đ  trình bày trongộ ố ệ ộ ấ ề   sáng ki n kinh nghi m là chuyên đ  đế ệ ề ượ ức  ng d ng trong gi ng d y l p b i dụ ả ạ ớ ồ ưỡ  ng nâng cao ki n th c cho h c sinh khá gi i l p 10,luy n thi h c sinh gi i và tôt nghi pế ứ ọ ỏ ớ ệ ọ ỏ ệ   THPT Qu c Gia cho h c sinh l p 12 đã đố ọ ớ ược đúc k t trong quá trình gi ng d y nhi uế ả ạ ề   năm cùng v i s  góp ý  sâu s c c a các th y cô giáo trong t  Toán trớ ự ắ ủ ầ ổ ường THPT Lê 

L i.ợ

 2.Th c tr ng c a v n đ  nghiên c u:ự ạ ủ ấ ề ứ

    Khi d y h c sinh ph n b t đ ng th c hay bài toán tìm GTLN,GTNN th c t  đa sạ ọ ầ ấ ẳ ứ ự ế ố 

h c sinh r t b  t c   cách dùng k  thu t này.ọ ấ ế ắ ở ỹ ậ

M t là: không đ nh hộ ị ướng được cách dùng b t đ ng th c Cauchy trong trấ ẳ ứ ường h pợ   nào

Hai là: bi t c n dùng b t đ ng th c Cauchy cho bài toán ,xong không bi t v n d ngế ầ ấ ẳ ứ ế ậ ụ   cho m y s  và nh ng s  nào thì h p lý,th a mãn yêu c u bài toán.ấ ố ữ ố ợ ỏ ầ

   Trong khi đó,hi n nay trên th  trệ ị ường sách tham kh o có r t nhi u ch ng lo i sáchả ấ ề ủ ạ   cùng v i hàng trăm tác gi  và đa ph n sách vi t   d ng trình bày l i gi i không có sớ ả ầ ế ở ạ ờ ả ự  phân tích,gi i thích c n k  làm cho h c sinh khi đ c sách b  gò bó,áp đ t,không tả ặ ẽ ọ ọ ị ặ ự  nhiên

II .Đ I TỐ ƯỢNG NGHIÊN C UỨ

   Rèn luy n cho h c sinh bi t cách khai thác k  thu t ch n đi m r i trong b t đ ngệ ọ ế ỹ ậ ọ ể ơ ấ ẳ  

th c Cauchy qua các bài toán tìm c c tr  hay ch ng minh b t đ ng th c.ứ ự ị ứ ấ ẳ ứ  Phân lo i bàiạ  

t p thậ ường g p và cách gi i cho m i d ng.ặ ả ỗ ạ

III. NHI M V  C A NGHIÊN C U  :Ệ Ụ Ủ Ứ   

    Trình bày k  thu t ch n đi m r i thông qua h  th ng bài t p. Hỹ ậ ọ ể ơ ệ ố ậ ướng d n h c sinhẫ ọ  

gi i quy t các bài toán trong m t s  tình hu ng c  th  T  đó b i dả ế ộ ố ố ụ ể ừ ồ ưỡng cho h c sinhọ  

k  năng gi i toán và kh  năng t  duy sáng t o .ỹ ả ả ư ạ

IV. 

   PH  ƯƠNG PHÁP NGHIÊN C UỨ  

1. Phương pháp nghiên c u lý lu n: ứ ậ Nghiên c u sách giáo khoa bài t p ,sách tài li uứ ậ ệ  

và các đ  thi HSG,thi Đ i h c,m ng internet.ề ạ ọ ạ

2. Phương pháp đi u tra th c ti n : ề ự ễ D   gi  ,quan sát vi c d y và h c ph n bài t pự ờ ệ ạ ọ ầ ậ   này

3. Phương pháp th c nghi m s  ph m ự ệ ư ạ

4 .Phương pháp th ng kêố

 B . PH N N I DUNGẦ Ộ

I. Các gi i pháp th c hi n.ả ự ệ

    Khi ti p c n các bài toán, giáo viên ph i giúp h c sinh bi t nh n d ng đ c bài toánế ậ ả ọ ế ậ ạ ượ  

đ  đ a ra các d  đoán h p lý. Sau đó hể ư ự ợ ướng d n h c sinh phân tích ,xây d ng phẫ ọ ự ươ  ng pháp gi i phù h p.ả ợ

II. Bi n pháp t  ch c th c hi n.ệ ổ ứ ự ệ

   Đ  giúp h c sinh s  d ng k  thu t ch n đi m r i trong b t đ ng th c Cauchy khiể ọ ử ụ ỹ ậ ọ ể ơ ấ ẳ ứ  

gi i quy t các bài toán tìm Giá tr  l n nh t (GTLN) ,giá tr  nh  nh t(GTNN) hay ch ngả ế ị ớ ấ ị ỏ ấ ứ   minh b t đ ng th c, trấ ẳ ứ ước h t giáo viên c n yêu c u h c sinh ôn t p các ki n th c cế ầ ầ ọ ậ ế ứ ở 

b n v  b t đ ng th c . Sau đó giáo viên phân d ng phù h p,ch n m t s  bài toán đi nả ề ấ ẳ ứ ạ ợ ọ ộ ố ể   hình phù h p cho các d ng giúp HS hi u và n m k  k  thu t ch n đi m r i trong b tợ ạ ể ắ ỹ ỹ ậ ọ ể ơ ấ  

đ ng th c Cauchy.  ẳ ứ

1. Ki n th c toán có liên quanế ứ

Tính ch t c a b t đ ng th c: ấ ủ ấ ẳ ứ

+ A>B 

+ A>B và B >C  

+ A>B A+C >B + C

   + A>B và  C > D  A+C > B + D

   + A>B và C < 0   A.C < B.C

   + 0 < A < B và 0 < C <D    0 < A.C < B.D

   + A > B > 0      A >  B

   + A > B      A > B  v i n lớ ẻ

   +  >      A > B  v i n ch nớ ẵ

   + m > n > 0 và A > 1   A >A  

   + m > n > 0 và 0 <A < 1     A <   A  

   +A < B và A.B > 0       

B t đ ng th c Cauchy và d ng t ấ ẳ ứ ạ ươ ng đ ươ ng:

B t đ ng th c Cauchy cho 2 s :ấ ẳ ứ ố

     Cho 2 s  không âm a,b thì ta luôn có:  .D u b ng x y ra khi  a=b ố ấ ằ ả

      B t đ ng  th c d ng tấ ẳ ứ ạ ương đương:

­ (a+b)2 ≥ 4ab

B t đ ng th c cauchy cho 3 s :ấ ẳ ứ ố

    Cho 3 s  không âm a,b,c thì ta luôn có:  .D u b ng x y ra khi  a=b=c ố ấ ằ ả

     B t đ ng  th c d ng tấ ẳ ứ ạ ương đương

­

­

B t đ ng th c cachy cho 4 s :ấ ẳ ứ ố

      Cho 4 s  không âm a,b,c,d thì ta luôn có:  .D u b ng x y ra khi    a=b=c ố ấ ằ ả

      B t d ng th c d ng tấ ẳ ứ ạ ương t :ự

­

T ng quát:ổ Cho n s  th c không âm  ố ự , , ta luôn có:

      D u “=” x y ra khi và ch  khi  ấ ả ỉ

Giá tr  l n nh t, giá tr  nh  nh t c a bi u th c:ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ

* Đ nh nghĩa. ị Gi  s  hàm s   xác đ nh trên t p h p  ả ử ố ị ậ ợ

a) N u t n t i m t đi m  sao cho  v i m i  thì s   đ c g i là  ế ồ ạ ộ ể ớ ọ ố ượ ọ giá tr  l n nh t  ị ớ ấ c a hàmủ  

s   trên , kí hi u là  ố ệ  

b) N u t n t i m t đi m  sao cho  v i m i  thì s   đ c g i là  ế ồ ạ ộ ể ớ ọ ố ượ ọ giá tr  nh  nh t  ị ỏ ấ c aủ   hàm s   trên , kí hi u là  ố ệ  

*  Nh n xét.ậ  Nh  v y, mu n ch ng t  r ng s   (ho c ) là giá tr  l n nh t (ho c giá tr ư ậ ố ứ ỏ ằ ố ặ ị ớ ấ ặ ị 

nh  nh t) c a hàm s   trên t p h p  c n ch  rõ ỏ ấ ủ ố ậ ợ ầ ỉ  :

a)  (ho c ) v i m i  ặ ớ ọ  ;

b) T n t i ít nh t m t đi m  sao cho  (ho c ) ồ ạ ấ ộ ể ặ

2. M t s  bài toán thộ ố ường g p và phặ ương pháp ti p c n v n đ :ế ậ ấ ề

 M t vài khái ni m:ộ ệ

Đi m r i trong các b t đ ng th c là giá tr  đ t để ơ ấ ẳ ứ ị ạ ược c a bi n khi d u “=” trong b tủ ế ấ ấ  

đ ng th c x y ra.ẳ ứ ả

Trong các b t đ ng th c d u “=” thấ ẳ ứ ấ ường x y ra   các trả ở ường h p sau:ợ

Khi các bi n có giá tr  t i biên. Khi đó ta g i bài toán có ế ị ạ ọ c c tr  đ t đ ự ị ạ ượ ạ c t i   biên

Khi các bi n có giá tr  b ng nhau(thế ị ằ ường x y ra v i bi u th c đ i x ng ). Khiả ớ ể ứ ố ứ  

đó ta g i bài toán có ọ c c tr  đ t đ ự ị ạ ượ ạ c t i tâm.

Căn c  vào đi u ki n x y ra c a d u “=” trong b t đ ng th c ta xét các k  thu t ch nứ ề ệ ả ủ ấ ấ ẳ ứ ỹ ậ ọ  

đi m r i trong các trể ơ ường h p trên.ợ

D ng 1:K  thu t ch n đi m r i trong bài toán c c tr  x y ra   biênạ ỹ ậ ọ ể ơ ự ị ả ở

BÀI TOÁN M  Đ U:Ở Ầ

Bài toán 1: Cho s  th c . Tìm giá tr  nh  nh t (GTNN) c a ố ự ị ỏ ấ ủ

Sai l m thầ ường g p làặ : Khi g p bài toán này h c sinh thặ ọ ường áp d ng ngay b t đ ngụ ấ ẳ  

th c Cauchy:. V y GTNN c a ứ ậ ủ A là  .

Nguyên nhân sai l mầ : Ch a xét đi u ki n d u b ng x y raư ề ệ ấ ằ ả

Ta th y:GTNN c a ấ ủ A là 2 <1 vô lý vì theo gi  thuy t thì .ả ế

L i gi i đúngờ ả :  

       D u “=” x y ra  th a mãn gi  thi t.     ấ ả ỏ ả ế

       V y GTNN c a ậ ủ A là . 

Vì sao chúng ta l i bi t phân tích đạ ế ược nh  l i gi i trên. Đây  chính là k  thu t ch nư ờ ả ỹ ậ ọ  

đi m r i trong b t đ ng th c.ể ơ ấ ẳ ứ

Quay l i bài toán trên, d  th y ạ ễ ấ a càng tăng thì A càng tăng. Ta d  đoán  ự A đ t GTNNạ  

khi . Khi đó ta nói A đ t GTNN t i “ạ ạ Đi m r iể ơ  ” .  Ta không th  áp d ng b t đ ng th cể ụ ấ ẳ ứ   Cauchy cho hai s  3và vì không  th a quy t c d u “=”. Vì v y ta ph i tách 3 ho c  đố ỏ ắ ấ ậ ả ặ ể  khi áp d ng b t đ ng th c Cauchy thì th a quy t c d u “=”. Gi  s  ta s  d ng b tụ ấ ẳ ứ ỏ ắ ấ ả ử ử ụ ấ  

đ ng th c Cauchy cho c p s  sao cho t i  “ẳ ứ ặ ố ạ Đi m r iể ơ  ” thì , ta có s  đ  sau:ơ ồ

Nh  v y ph i áp d ng BĐT Cauchy cho 2 s  hay .V y thì ph i làm xu t hi n s  h ngư ậ ả ụ ố ậ ả ấ ệ ố ạ   Khi đó:  và ta có l i gi i nh  trên.ờ ả ư

L u ý:ư  Đ  gi i bài toán trên, ngoài cách ch n c p s    ta có th  ch n các c p s  sau: ể ả ọ ặ ố ể ọ ặ ố  

ho c  ho c  ặ ặ

Bài toán 2: Cho s  th c . Tìm giá tr  nh  nh t c a ố ự ị ỏ ấ ủ

S  đ  đi m r i:ơ ồ ể ơ Kinh nghi m t  bài toán 1 giáo viên có th  h i h c sinh GTNN đ tệ ừ ể ỏ ọ ạ  

được khi nào và h c sinh tr  l i ngay đọ ả ờ ược khi a=2.Khi đó GTNN là A=

Giáo viên hướng d n h c sinh l p s  đ  đi m r i sau:ẫ ọ ậ ơ ồ ể ơ

Sai l m thầ ường g p làặ : . D u “=” x y ra .ấ ả

V y GTNN c a ậ ủ A là 

Nguyên nhân sai l mầ :  M c dù GTNN c a ặ ủ A là  là đáp s  đúng nh ng  cách gi i trên ố ư ả

m c sai l m trong đánh giá m u s : “   là sai”.ắ ầ ẫ ố

V y làm th  nào đ  kh c ph c đậ ế ể ắ ụ ược sai l m trên?nh n đ nh th y b c c a a   m u ầ ậ ị ấ ậ ủ ở ẫ

b ng 2,v y ph i ghép c p v i 2 s  h ng b c 1 c a a.ằ ậ ả ặ ớ ố ạ ậ ủ

L i gi i đúngờ ả :   (k  thu t tách ngh ch đ o)ỹ ậ ị ả

D u “=” x y ra ấ ả

       V y GTNN c a ậ ủ A là   

BÀI T PẬ  RÈN LUY N:Ệ

Bài 1: Cho 2 s  th c d ng  ố ự ươ a, b th a . Tìm GTNN c a ỏ ủ

Phân tích:

Ta có:      

S  đ  đi m r i:ơ ồ ể ơ

Gi i:ả

Ta có:       

D u “=” x y ra ấ ả

V y GTNN c a ậ ủ A là  

Bài 2: Cho  s  th c  . Tìm GTNN c a ố ự ủ

Phân tích:

Ta có

D  th y ễ ấ a càng tăng thì A càng tăng. Ta d  đoán  ự A đ t GTNN khi . Ta có s  đ  đi mạ ơ ồ ể  

r i:ơ

Gi i:ả  C1 :

Ta có:      

D u “=” x y ra ấ ả

V y GTNN c a ậ ủ A là 39 

C2 :chon α sao cho αa2=  khi a = 6 suy ra α= 1/12. 

 A = 

Bài 3 (Đề thi HSG HÀ Nội-2013) :cho x,y dương thỏa mãn :x≥ 2y.Tìm GTNN của :

Phân tích : Đưa S về dạng Dấu bằng xảy ra khi x= 2y

Khi x=2y  nên 

(Do gi  thi t )ả ế

Bài 4:   Cho 3 s  th c d ng  ố ự ươ a, b, c  th a   . Tìm GTNN c a ỏ ủ

Phân tích:

D  đoán  GTNN c a ự ủ A đ t đạ ược khi  ,t i đi m r i .ạ ể ơ

S  đ  đi m r i:ơ ồ ể ơ

Gi i:ả  Ta phân tích nh  sau:ư

D u “=” x y ra ấ ả

V y GTNN c a ậ ủ A là  

Bài 5:   Cho3 s  th c d ng  ố ự ươ a, b, c  th a   . Ch ng minh r ng: ỏ ứ ằ

Phân tích:

D  đoán  GTNN c a ự ủ A đ t đạ ược khi  ,t i đi m r i .ạ ể ơ

Gi i:ả

      Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có:ụ ấ ẳ ứ

       C ng theo v  các b t đ ng th c trên ta độ ế ấ ẳ ứ ược:

      (đpcm)

D ng 2:K  thu t ch n đi m r i trong bài toán c c tr  đ t đạ ỹ ậ ọ ể ơ ự ị ạ ượ ạc t i tâm BÀI TOÁN M  Đ UỞ Ầ : 

Bài toán 1:Cho a,b>0.Tìm min c a  ủ

Sai l m thầ ường g p là:ặ  

Nguyên nhân sai l mầ  :ch a xét đi u ki n d uư ề ệ ấ   “=” x y ra.ả

Phân tích:

Do S là bi u th c đ i x ng v i  ể ứ ố ứ ớ a, b nên ta d  đoán GTNN c a ự ủ A đ t t i ạ ạ

      khi đó GTNN c a A= ủ

Ta không th  áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho hai s  vì không  th a mãn quy t cể ụ ấ ẳ ứ ố ỏ ắ  

d u “=”. Vì v y ta ph i tách  ho c   đ  khi áp d ng b t đ ng th c Cauchy thì th a quyấ ậ ả ặ ể ụ ấ ẳ ứ ỏ  

t c d u “=”. Gi  s  ta s  d ng b t đ ng th c Cauchy cho c p s  sao cho t i  “ắ ấ ả ử ử ụ ấ ẳ ứ ặ ố ạ Đi mể  

r iơ  ” thì , ta có s  đ  sau:ơ ồ

S  đ  đi m r i:ơ ồ ể ơ

Gi i đúng:ả

D u = x y ra khi a=bấ ả

Bài toán 2:    Cho 2 s  th c d ng  ố ự ươ a, b th a   Tìm GTNN c a ỏ ủ

Sai l m thầ ường g p làặ : 

       V y GTNN c a ậ ủ A là 4.

Nguyên nhân sai l mầ : GTNN c a ủ A là 4 . Khi đó  trái  gi  thi t .ả ế

Phân tích:

Do A là bi u th c đ i x ng v i  ể ứ ố ứ ớ a, b nên ta d  đoán GTNN c a ự ủ A đ t t i ạ ạ

S  đ  đi m r i:ơ ồ ể ơ

L i gi i đúngờ ả :   

D u “=” x y ra      ấ ả

V y GTNN c a ậ ủ A là 

BÀI T PẬ  RÈN LUY N:Ệ

Bài 1:    Cho 3 s  th c d ng  ố ự ươ a, b, c  th a . Tìm GTNN c a ỏ ủ

Phân tích:

Do A là bi u th c đ i x ng v i  ể ứ ố ứ ớ a, b, c  nên ta d  đoán GTNN c a ự ủ A đ t t i ạ ạ

        2  

1

c b a

S  đ  đi m r i:ơ ồ ể ơ

Gi i:ả  Ta phân tích bi u th c nh  sau:ể ứ ư

D u “=” x y ra ấ ả

 V y GTNN c a ậ ủ A là  

Bài 2:    Cho 3 s  th c d ng  ố ự ươ a, b, c  th a . Tìm GTNN c aỏ ủ

Phân tích:

Do A là bi u th c đ i x ng v i  ể ứ ố ứ ớ  a, b, c  nên ta d  đoán GTNN c a ự ủ A đ t t i ạ ạ

        2  

1

c b a

S  đ  đi m r i:ơ ồ ể ơ

Gi i:ả

Ta có th  phân tích ể

D u “=” x y ra ấ ả

V y GTNN c a  ậ ủ A  là   

Bài 3:    Cho 3 s  th c d ng  ố ự ươ a, b, c. Tìm GTNN c a ủ

Do A là bi u th c đ i x ng v i ể ứ ố ứ ớ a, b, c  nên ta d  đoán GTNN c a ự ủ A đ t t i ạ ạ        

S  đ  đi m r i:ơ ồ ể ơ

Gi i:ả

D u “=” x y ra ấ ả

V y GTNN c a ậ ủ A là  

 Bài 4:    Cho 2 s  th c d ng  ố ự ươ a, b th a mãn . Tìm GTNN c a :ỏ ủ

Phân tích:

Do A là bi u th c đ i x ng v i ể ứ ố ứ ớ a, b  nên ta d  đoán GTNN c a ự ủ A đ t t i ạ ạ        

S  đ  đi m r i:ơ ồ ể ơ

Gi i:ả

D u “=” x y ra ấ ả

V y GTNN c a ậ ủ A là 4

 Bài 5:    Cho 2 s  th c d ng   ố ự ươ a, b  th a . Tìm GTNN c a ỏ ủ

Phân tích:

Do A là bi u th c đ i x ng v i ể ứ ố ứ ớ a, b  nên ta d  đoán GTNN c a ự ủ A đ t t i ạ ạ        

S  đ  đi m r i:ơ ồ ể ơ

Gi i:ả       

D u “=” x y ra ấ ả V y GTNN c a ậ ủ A là  Bài 6:    Cho 2 s  th c d ng  ố ự ươ a, b th a . Tìm GTNN c a ỏ ủ Phân tích: Do A là bi u th c đ i x ng v i ể ứ ố ứ ớ a, b  nên ta d  đoán GTNN c a ự ủ A đ t t i ạ ạ        

S  đ  đi m r i:ơ ồ ể ơ        

Gi i:ả        

D u “=” x y ra       V y GTNN c a ấ ả ậ ủ A là 7 Bài 7:    Cho 2 s  th c d ng  ố ự ươ a, b th a . Tìm GTNN c aỏ ủ Phân tích: Do A là bi u th c đ i x ng v i ể ứ ố ứ ớ a, b  nên ta d  đoán GTNN c a ự ủ A đ t t i ạ ạ        

S  đ  đi m r i:ơ ồ ể ơ

Gi i:ả  Ta có       

D u “=” x y ra ấ ả

     V y GTNN c a ậ ủ A là 20

 Bài 8:    Cho ba s  th c d ng  th a . Tìm GTLN c aố ự ươ ỏ ủ

      Đ  thi Đ i h c kh i A năm 2005 ề ạ ọ ố

 Phân tích:Bi u th c P là bi u t th c đ i x ng nên d u b ng x y ra khi x=y=z= nên ể ứ ể ứ ố ứ ấ ằ ả GTLN c a P= 1.Do  gi  thi t cho đi u ki n nên ta c n đánh giá P xu t hi n  t ng ủ ả ế ề ệ ầ ấ ệ ổ

 Gi i:ả

Th t v y áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 4 s  x,x,y,z ta có       .d u = x yậ ậ ụ ấ ẳ ứ ố ấ ả  

ra khi x=y=z

Tương t :ự

C ng theo v  3 b t đ ng th c trên, ta có:ộ ế ấ ẳ ứ

D u “=” x y ra ấ ả

     V y GTLN c a ậ ủ P là 1

I.K T QU  Đ T ĐẾ Ả Ạ ƯỢC :

Sáng ki n này đã đ t đế ạ ược m t s  k t qu  sauộ ố ế ả  :

+ Nh c l i cách tìm GTNN, GTLN c a hàm s  .ắ ạ ủ ố

+ H  th ng m t s  tính ch t c a b t đ ng th c. ệ ố ộ ố ấ ủ ấ ẳ ứ

+ Hướng d n h c sinh bi t cách s  s ng k  thu t ch n đi m r i trong b t đ ng th cẫ ọ ế ử ụ ỹ ậ ọ ể ơ ấ ẳ ứ   Cauchy  thông qua h  th ng bài t p.ệ ố ậ

+ Sau khi v n d ng chuyên đ  vào gi ng d y tôi th y h c sinh không còn lúng túng khiậ ụ ề ả ạ ấ ọ  

v n d ng b t đ ng th c Cauchy.T  tin x  lý ,v n d ng t t k  thu t ch n đi mậ ụ ấ ẳ ứ ự ử ậ ụ ố ỹ ậ ọ ể  

r i,tranh đơ ược nh ng sai làm thữ ường g p trặ ước đây

II.BÀI H C KINH NGHI MỌ Ệ

Qua th c t  gi ng d y chúng tôi th y r ng v n đ  nào dù khó mà giáo viên quan tâmự ế ả ạ ấ ằ ấ ề  

và truy n th  cho h c sinh b ng lòng say mê và nhi t tình c a mình thì s  cu n hút cácề ụ ọ ằ ệ ủ ẽ ố  

em vào con đường nghiên c u. S  d ng k  thu t ch n đi m r i đ  tìm GTNN, GTLNứ ử ụ ỹ ậ ọ ể ơ ể  

c a m t bi u th c không ph i là m t v n đ  m i, xong l i là v n đ  ủ ộ ể ứ ả ộ ấ ề ớ ạ ấ ề « Khó «  muôn  thu  đ i v i h c sinh mà đôi khi còn nhi u giáo viên ng i quan tâm và đào sâu nó.ở ố ớ ọ ề ạ

III.TÀI LI U THAM KH OỆ Ả  :

1. Các phương pháp ch ng minh b t đăng th c c a tác gi  Võ Qu c Bá C nứ ấ ứ ủ ả ố ẩ

2. M t s  sai làm thộ ố ường g p khi gi i toán c a tác gi  Tr n Phặ ả ủ ả ầ ương

3. M t s  trang m ng Internet:Vnmath.com,….ộ ố ạ