Sáng kiến kinh nghiệm: Bất đẳng thức Ag-Mg và các bài tập áp dụng

Nhằm giúp các em học sinh hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu mà Sáng kiến kinh nghiệm: Bất đẳng thức Ag-Mg và các bài tập áp dụng đã được thực hiện.

       I. LÍ DO CH N Đ  TÀIỌ Ề

      B t đ ng th c là m t v n đ  khó trong toán h c, đ c bi t là h c sinh ấ ẳ ứ ộ ấ ề ọ ặ ệ ọ THPT. Đ i v i nhi u trố ớ ề ường THPT trong t nh, ỉ có th  nói r ng bài toán b t ể ằ ấ

đ ng th c nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là m t trong nh÷ng ằ ứ ộ bài toán được quan tâm đ n nhi u   các k  thi h c sinh gi i, tuy n sinh Đ i ế ề ở ỳ ọ ỏ ể ạ

h c,…và đ c bi t h n n a là v i xu họ ặ ệ ơ ữ ớ ướng ra đ  chung c a B  GD – ĐT. ề ủ ộ          Riêng đ i v i trố ớ ường THPT DTNT T nh đ  h c sinh không s  h c ph n ỉ ể ọ ợ ọ ầ

b t  đ ng th c đã là m t v n đ  đ i v i giáo viên .Vì v y tìm ra phấ ẳ ứ ộ ấ ề ố ớ ậ ương pháp  giúp h c sinh không nh ng có h ng thú v i các bài toán v  b t đ ng th c đ n ọ ữ ứ ớ ề ấ ẳ ứ ơ

gi n mà còn   làm đả ược các bài b t đ ng th c trong cácấ ẳ ứ  k  thi tuy n sinh Đ i ỳ ể ạ

h c, các k  thi h c sinh gi i, tôi viọ ỳ ọ ỏ ết chuyên đ  " ề B T Đ NG TH C AG­MG  Ấ Ẳ Ứ

VÀ CÁC BÀI T P ÁP D NG' Ậ Ụ ' m  t trong nh ng b t đ ng th c c  đi n nh t , ộ ữ ấ ẳ ứ ổ ể ấ

d  ch ng minh nh ng cũng có nhi u áp d ng nh t không ch    nh ngễ ứ ư ề ụ ấ ỉ ở ữ  bài toán 

đ n gi n  mà còn   nh ng bài toán khó .ơ ả ở ữ

         Đ ng trứ ước th c tr ng trên, v i tinh th n yêu thích b  môn, nh m giúp ự ạ ớ ầ ộ ằ các em h ng thú h n, t o cho các em ni m đam mê, yêu thích môn toán, m  ra ứ ơ ạ ề ở

m t cách nhìn nh n, v n d ng, linh ho t, sáng t o các ki n th c đã h c, t o ộ ậ ậ ụ ạ ạ ế ứ ọ ạ

n n  tang cho cac h c sinh t  h c, t  nghiên c u. Đề ̉ ́ ọ ự ọ ự ứ ượ ực s  đông viên, giup đ  ̣ ́ ỡ cua Ban Giam hiêu, đông nghiêp trong tô Toan tr̉ ́ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ ương THPT DTNT T nh . Tôi ̀ ỉ

đã  manh dan vi t chuyên đ  này. ̣ ̣ ế ề

    II.TH C TR NG TRỰ Ạ ƯỚC KHI TH C HI N CÁC GI I PHÁP C A Đ  TÀIỰ Ệ Ả Ủ Ề

       1. Thu n l i ậ ợ

­   Ki n th c đã đế ứ ược h c, các bài t p đã đọ ậ ược luy n t p .ệ ậ

­  H c sinh h ng thú trong ti t h c, phát huy đọ ứ ế ọ ược kh  năng sáng t o, tả ạ ự 

h c và yêu thich môn hoc.ọ ́ ̣

­  Có s  khích l   t  k t qu  h c t p c a h c sinh khi th c hi n chuyênự ệ ừ ế ả ọ ậ ủ ọ ự ệ  

đ  ề

­ Đượ ự ộc s  đ ng viên c a BGH, nh n đủ ậ ược đ ng viên và đóng góp ý ki nộ ế  

cu  đ ng nghi p.ả ồ ệ

    2. Khó khăn

­  Đa sô hoc sinh h c yêu ph n ́ ̣ ọ ́ ầ b t đ ng th c. Có t  tấ ằ ứ ư ư ng s  h c ph nở ợ ọ ầ   này. 

      ­ Gi áo viên m t nhiêu th i gian đ  so n bài ấ ờ ể ạ

     3. S  li u th ng kê ố ệ ố

Trong các năm tr c, khi g p bài toán liên quan đ n ướ ặ ế b t đ ng th c, ấ ằ ứ s  l ngố ượ  

h c sinh bi t v n d ng đ c th  hi n qua b ng sau:ọ ế ậ ụ ượ ể ệ ả

Không 

nh nậ

  bi tế  

được

Nh n bi t, ậ ế

nh ng không ư

bi t  v n d ngế ậ ụ

Nh n bi t và ậ ế

bi t v n ế ậ

d ng ,ch a ụ ư

gi i đả ược  hoàn ch nhỉ

Nh n bi t và ậ ế

bi t v n d ngế ậ ụ   , gi i đ c ả ượ bài hoàn ch nhỉ

       III.  N I DUNG Ộ

      1.C  s  lý lu n ơ ở ậ

1. Cho hai s  dố ương a, b. Ta có:   

      D u “ = “ x y ra khi và ch  khi  a = b.ấ ả ỉ

2. Cho ba s  dố ương a, b, c . Ta có :   

3. V i hai s  dớ ố ương a, b. Ta có : 

       D u  “ = “ x y ra khi và ch  khi  a = b.ấ ả ỉ

4. T ng quát: Cho  và .ổ

Khi đó :  v i .ớ

     2 . Nôi dung ̣  

BÀI T P 1 Ậ :   Ch ng minh r ng v i m i s  th c không âm a, b, c. Ta có:ứ ằ ớ ọ ố ự

Gi iả :        Ap d ng b t đ ng th c AM – GM  cho ba s  a, b, c . Ta có:ụ ấ ẳ ứ ố       

       D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c.ấ ả ỉ T ng quát:     ; .ổ       

       D u  “ = “ x y ra khi và ch  khi .ấ ả ỉ BÀI T P 2 Ậ :    Ch ng minh r ng v i m i s  th c không âm a, b, c. Ta có:ứ ằ ớ ọ ố ự       

Gi i:ả    Ta có:         

      D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c.ấ ả ỉ BÀI T P 3 Ậ :   Ch ng minh r ng v i m i s  th c không âm a, b, c , d . Ta có:ứ ằ ớ ọ ố ự        

Gi i:ả       Đ t: S = .ặ        

       N= 

      Ta có :

      M+N=4.    Áp d ng b t đ ng th c AM­GM thì:ụ ấ ẳ ứ

      M+S= 

       N+S=  

       M+N+2S8 S2

       D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c = d.ấ ả ỉ

BÀI T P 4: Ậ     Cho   (1)

Gi iả

BÀI T P 5 Ậ  :    Cho x, y, z là các s  d ng th a mãn xyz=1, ch ng minh: ố ươ ỏ ứ

Gi i:ả

       S  d ng b t đ ng th c AM – GM cho ba s  Ta có:ử ụ ấ ẳ ứ ố

Tương t , ta có:ự

      D u “ =” x y ra khi và ch  khi x=y=z.ấ ả ỉ

BÀI T P 6 Ậ :    Ch ng minh r ng : V i m i a, b, c >0, ta có:ứ ằ ớ ọ

Gi i:ả

      Áp d ng tr c ti p b t đ ng th c AM – GM cho v  trái:ụ ự ế ấ ẳ ứ ế

M t khác:ặ

        =

= .        D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c .ấ ả ỉ

BÀI T P 7 Ậ :  Cho tam giác ABC v i a,b,c l n l t là s  đo 3 c nh c a tam ớ ầ ượ ố ạ ủ

giác.CMR 

 a)  .   

 b) 

Gi iả

a) Áp d ngụ  b t đ ng th c AM – GMấ ẳ ứ   ta có:

b) Áp d ng ụ b t đ ng th c AM – GMấ ẳ ứ  ta có:

⇒  

D u “ = ” x y ra cho c   a) và b) khi và ch  khi  đ u : a = b = cấ ả ả ỉ ề

( p là n a chu vi c a  ABC: )ữ ủ

 BÀI T P 8 Ậ  : Cho . Tìm giá tr  nh  nh t c a hàm s :ị ỏ ấ ủ ố

      ;      x>0

Phân tích:

Gi i:ả          Ta có:       

 là hàm m t bi n và .ộ ế V y giá tr  nh  nh t c a hàm s  là: .ậ ị ỏ ấ ủ ố BÀI T P 9 Ậ : Ch ng minh r ng : V i m i x, y, z >0, ta có:ứ ằ ớ ọ        

Gi i:ả       Ta có:         D u “ =” x y ra khi và ch  khi x=y=z.ấ ả ỉ BÀI T P 10 Ậ : Ch ng minh r ng : V i m i a, b, c, d >0, ta có:ứ ằ ớ ọ       

Gi i:ả        Ta có: VT =         

       D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c =d.ấ ả ỉ

BÀI T P 11 Ậ : Cho ba s  d ng a, b, c th a mãn đi u ki n: a+b+c=3. Ch ng ố ươ ỏ ề ệ ứ minh:

Phân tích:

       N u ta s  d ng tr c ti p b t đ ng th c AM – GM thì:ế ử ụ ự ế ấ ẳ ứ

       ?

      Nên không th  dùng cách này.ể

Gi i:ả

         Ta có:      

         Vì : 

       D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c =1.ấ ả ỉ  

BÀI T P 12 Ậ :  Ch ng minh r ng  :  ứ ằ

Gi iả

Ta bi n đ i BĐT nh  sau: ế ổ ư

⇔     

⇔     

⇔     

⇔     

⇔     

BÀI T P 13 Ậ : Cho a, b, c, d là các s  d ng th a mãn: a+b+c+d=4.ố ươ ỏ

Ch ng minh r ng :         ứ ằ

Gi i:ả

       Ta có:       

       Tương t  : VT.ự

       D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c =d=1.ấ ả ỉ

BÀI T P 14 Ậ :      Cho a, b, c, d là b n s  dố ố ương th a mãn : a+b+c+d=4.ỏ

Ch ng minh r ng : ứ ằ

Gi iả :

      Ta có: 

       VT 

BÀI T P 15 Ậ :        Cho     Tìm GTNN c a ủ

Gi i ả

M t khác . V y ặ ậ

D u “=” x y ra . ấ ả

      VI. B ÀI T  P ÁP D  NG Ậ Ụ

 Bài1: .  Ch ng minh r ng  : ứ ằ

Bài 2: Ch ng minh r ng  : ứ ằ

Bài 3: . Ch ng minh r ngứ ằ : 

Bài 4:  Cho  là các s  d ng th a mãn .ố ươ ỏ

Ch ng minh r ng:ứ ằ

Bài 5: Cho tam giác ABC v i a,b,c l n l t là s  đo 3 c nh c a tam giác.CMRớ ầ ượ ố ạ ủ       

Bài 6 . : Cho tam giác ABC v i a,b,c l n l t là s  đo 3 c nh c a tam ớ ầ ượ ố ạ ủ

giác.CMR

Bài 7.   Cho: 

     V. K T Q AẾ Ủ

Chuyên đê này đã đ̀ ược th c hi n gi ng d y khi tôi tham gia d y 10NC vàự ệ ả ạ ạ   Luyên thi Đai hoc trong hai năm gân đây. Trong quá trình h c chuyên đê này,̣ ̣ ̣ ̀ ọ ̀  

h c sinh th c s  th y t  tin, bi t v n d ng  khi g p các bài toán liên quan, t oọ ự ự ấ ự ế ậ ụ ặ ạ   cho h c sinh ni m đam mê, yêu thích môn toán, m  ra cho h c sinh cách nhìnọ ề ở ọ  

nh n, v n d ng, linh ho t, sáng t o các ki n th c đã h c, t o n n  tang choậ ậ ụ ạ ạ ế ứ ọ ạ ề ̉  

h c sinh t  h c, t  nghiên c u.ọ ự ọ ự ứ

K t qu  sau khi th c hi n chuyên đ :ế ả ự ệ ề

Không 

nh nậ

  bi tế  

được

Nh n bi t, ậ ế

nh ng không ư

bi t  v n d ngế ậ ụ

Nh n bi t và ậ ế

bi t v n ế ậ

d ng ,ch a ụ ư

gi i đả ược hoàn 

ch nhỉ

Nh n bi t và ậ ế

bi t v n d ng , ế ậ ụ

gi i đả ược bài  hoàn ch nhỉ

      VI. GI I PHÁP M IẢ Ớ

Dang toán ̣ trong b t đ ng th cấ ẳ ứ  nói chung r t đa d ng và phong phú. M iấ ạ ỗ   bài toán l i có r t nhi u cách gi i khác nhau, vi c l a ch n s  d ng linh ho tạ ấ ề ả ệ ự ọ ử ụ ạ   các ki n th c đã h c s  làm cho h c sinh phát tri n t  duy sáng t o. Chuyên đế ứ ọ ẽ ọ ể ư ạ ề  này ch  mang tính ch t g i m  cung c p cho h c sinh cách nhìn m i, phát huyỉ ấ ợ ở ấ ọ ớ  

s  sáng t o. Đê đat kêt qua cao  h c sinh c n  luyên tâp nhiêu, có thêm nhi uự ạ ̉ ̣ ́ ̉ ọ ầ ̣ ̣ ̀ ề  

th i gian đ  s u t m các tài li u tham kh o liên quan.ờ ể ư ầ ệ ả

       VII. TH C TI N GI NG D YỰ Ễ Ả Ạ

1. Quá trình áp d ng ụ

B ng m t chút v n hi u bi t và kinh nghi m gi ng d y m t s  năm, tôiằ ộ ố ể ế ệ ả ạ ộ ố  

đã h  th ng đệ ố ược m t s  ki n th c liên quan, s u t m và tích lũy độ ố ế ứ ư ầ ược m t sộ ố  bài t p phù h p theo m c đ  t  d  đ n khó đ  cho h c sinh tham kh o t  gi i.ậ ợ ứ ộ ừ ễ ế ể ọ ả ự ả

2. Hi u qu  sau khi s  d ng ệ ả ử ụ

Sau khi h c sinh h c xong chuyên đ  này h c sinh th y t  tin h n, h ngọ ọ ề ọ ấ ự ơ ứ   thú h n, t o cho hoc sinh ni m đam mê, yêu thích môn toán, m  ra m t cáchơ ạ ̣ ề ở ộ   nhìn nh n, v n d ng, linh ho t, sáng t o các ki n th c đã h c, t o n n tangậ ậ ụ ạ ạ ế ứ ọ ạ ề ̉   cho h c sinh t  h c  va t  nghiên c u. ọ ự ọ ̀ự ứ

3. Bài h c kinh nghi mọ ệ

T  th c t  gi ng d y chuyên đ  này, m t kinh nghi m đừ ự ế ả ạ ề ộ ệ ược rút ra là 

trước h t h c sinh ph i n m ch c các ki n th c c  b n, biêt v n d ng linhế ọ ả ắ ắ ế ứ ơ ả ́ ậ ụ  

ho t các ki n th c này, t  đó m i d y các chuyên đ  m  r ng, nâng cao, kh cạ ế ứ ừ ớ ạ ề ở ộ ắ   sâu ki n th c m t cách h p ly v i các đ i tế ứ ộ ợ ́ ớ ố ượng h c sinh nh m b i dọ ằ ồ ưỡ  ng năng khi u, rèn k  năng cho h c sinh.ế ỹ ọ

Chuyên đ  này ch  y u đ a ra các bài t p t  đ n gi n đ n nâng cao t  đóề ủ ế ư ậ ừ ơ ả ế ừ   hình thành k  năng, phỹ ương pháp gi i. Do đó khi gi ng d y ph i cung c pả ả ạ ả ấ   nhi u d ng bài t p khác nhau đ  phát tri n t  duy  cua h c sinh.ề ạ ậ ể ể ư ̉ ọ

       VII. K T LU NẾ Ậ       

       B t đ ng th c AM – GM là b t đ ng th c r t quen thu c   ph  thông ấ ẳ ứ ấ ẳ ứ ấ ộ ở ổ

nh ng đ  s  d ng đư ể ử ụ ược nó không ph i là đi u đ n gi n. Có nh ng bài ta ph i ả ề ơ ả ữ ả dùng AM – GM xuôi và ph i ch n đả ọ ược h  s  nh ng có nh ng bài l i ph i ệ ố ư ữ ạ ả dùng ngược

         Trên đây là m t s  bài toán áp d ng b t đ ng th c AM – GM mà tôi th y ộ ố ụ ấ ẳ ứ ấ hay và đã s p x p l i. Tuy nhiên, do th i gian có h n nên vi c s u t m, t ng ắ ế ạ ờ ạ ệ ư ầ ổ

h p và s p x p ch a đợ ắ ế ư ược hoàn thi n. R t mong đệ ấ ược th y giáo và các b n ầ ạ

đ ng nghi p ghóp ý.ồ ệ

       Tôi xin chân thành c m  n!ả ơ

IX. TÀI LI U THAM KH O:Ệ Ả

1. B t đ ng th c, đ nh lý và áp d ng. Tác gi : Nguy n Văn M u. Nhà xu t b nấ ẳ ứ ị ụ ả ễ ậ ấ ả   Giaó D c.ụ

2. Bai tâp đ i s  l p 10.̀ ̣ ạ ố ớ

3. Cac dang Toan LT ĐH cua Phan Huy Khai­ NXB Ha Nôi năm 2002́ ̣ ́ ̉ ̉ ̀ ̣

4. B t đ ng th c c a Tr n Văn H o­NXB Giáo D c năm 2009ấ ẳ ứ ủ ầ ạ ụ

      Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2015

       Người th c hi nự ệ

      T ạ Th ị Th úy Chinh

M C L CỤ Ụ

I. LÍ DO CH N Đ  TÀIỌ Ề

2 II. TH C TR NG TRỰ Ạ ƯỚC KHI TH C HI N CÁCỰ Ệ  

GI I PHÁP C A Đ  TÀI Ả Ủ Ề

1

3

4

IV. B ÀI T  P ÁP D  NGẬ Ụ

10

5

6

7

VII. TH C TI N GI NG D YỰ Ễ Ả Ạ 12 8

VIII. K T LU NẾ Ậ       

13

9