Bài giảng Cơ lý thuyết: Phần 2 - ĐH Phạm Văn Đồng

(NB) Phần 2 Bài giảng Cơ lý thuyết gồm 5 chương: nói về động học của chất điểm, chuyển động cơ bản của vật rắn, cơ sở động lực học chất điểm, cơ sở động lực học hệ chất điểm, các định lý tổng quát của động lực học.

57

PHẦN II ĐỘNG HỌC

Động học nghiên cứu các tính chất hình học của chuyển động vật thể mà không

quan tâm đến nguyên nhân gây ra chuyển động (lực tác dụng và khối lượng)

Đối tượng khảo sát của động học là động điểm (chất điểm chuyển động) và vật rắn

Nội dung khảo sát chuyển động của vật thể gồm các vấn đề chính:

- Lập phương trình chuyển động

- Xác định các đặc trưng của chuyển động (vận tốc, gia tốc)

- Tìm quan hệ giữa vận tốc, gia tốc của điểm thuộc vật, với chuyển động của vật

Kết quả nghiên cứu trong phần động học sẽ được ứng dụng để phát triển ở phần Động lực học và các học phần Nguyên lý máy, Thiết kế máy, Cơ học kết cấu,

6.1 Khái niệm về động học chất điểm

6.1.1 Nhiệm vụ của động học chất điểm

Động học chất điểm nghiên cứu hai vấn đề chính:

- Thiết lập phương trình chuyển động của chất điểm

- Tìm các đặc trưng động học của chất điểm (vận tốc và gia tốc)

6.1.2 Các khái niệm

Chuyển động của chất điểm là sự thay đổi vị trí của nó trong không gian và theo

thời gian so với một vật được chọn trước gọi là hệ qui chiếu

Hệ qui chiếu là vật mốc để so sánh vị trí của chất điểm khảo sát thường được chọn là một hệ trục toạ độ

58

Tập hợp các vị trí của chất điểm trong không gian qui chiếu đã chọn gọi là quĩ đạo của chất điểm trong hệ qui chiếu đó

Khi đối tượng nghiên cứu có kích thước quá nhỏ so với quỹ đạo của nó, hoặc

không cần chú ý tới, thì coi là chất điểm chuyển động (động điểm)

Ta có chuyển động thẳng hay chuyển động cong là tùy thuộc quĩ đạo của chất điểm là đường thẳng hay đường cong

6.1.3 Các phương pháp khảo sát động học chất điểm

Có nhiều phương pháp để khảo sát chuyển động của chất điểm, nhưng có ba phương pháp thường sử dụng là: phương pháp vector, phương pháp tọa độ Descartes

và phương pháp tọa độ tự nhiên

6.2 Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp vector

6.2.1 Phương trình chuyển động của chất điểm

x 0

r

y

z

M

Hình 6.1 Vector định vị của chất điểm M

Khảo sát chất điểm M trong hệ quy chiếu cố định Oxyz Tại mỗi thời điểm, vị trí của điểm M được xác định bởi vector định vị O Muuuur r= r

Khi M chuyển động thì vector

Biểu thức (6.1) là phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng vector và

đồng thời cũng là phương trình quỹ đạo của điểm M trong hệ Oxyz

6.2.2 Vận tốc chuyển động của chất điểm

Gọi vận tốc trung bình của điểm trong khoảng thời gian Δt là: v tb r, v tb

M1

v r

Đơn vị đo vận tốc: m/s hay km/h

Phương của vận tốc của điểm luôn cùng phương với tiếp tuyến của quỹ đạo chuyển động

6.2.3 Gia tốc chuyển động của chất điểm

Hình 6.3 Xác định gia tốc chuyển động của chất điểm

Gia tốc của điểm là một đại lượng vector đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc theo thời gian

Tại thời điểm t, động điểm M có vận tốc là vr

Tại thời điểm lân cận: t1 = t + Δt, động điểm M có vận tốc là: vur r1 = + ∆v vr

=

∆

ruur

Khi Δt → 0, wuuurtb

sẽ tiến đến gia tốc tức thời ( )wur

của điểm M tại thời điểm t:

hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của vector định vị rr

Đơn vị đo gia tốc: m/s2 hay km/h

tăng, do đó vuur r r2 = v.v

tăng, từ đó suy ra

động điểm chuyển động đều

6.3 Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp tọa độ Descartes

6.3.1 Phương trình chuyển động của chất điểm

Vị trí của động điểm M trong hệ tọa độ Descartes Oxyz được xác định bởi các tọa độ x, y và z Khi điểm M chuyển động thì các tham số x, y, z biến đổi liên tục theo thời gian t Cho nên:

( ) ( ) ( )

61

Hình 6.4 Vị trí của động điểm M trong hệ tọa độ Descartes

Khi khử biến số thời gian t trong các phương trình chuyển động, ta có phương trình quỹ đạo

6.3.2 Vận tốc chuyển động của chất điểm

Vậy: Hình chiếu của vector vận tốc lên một trục tọa độ nào đó bằng đạo hàm bậc

nhất theo thời gian của tọa độ tương ứng

Ta cũng dễ dàng xác định được độ lớn cũng như hướng của vector vận tốc vr

theo các hình chiếu vx, vy, vz:

x

y

z

v v v v v v

α β γ

j i

62

6.3.3 Gia tốc chuyển động của chất điểm

Hoàn toàn tương tự như xác định vận tốc Gọi hình chiếu của vector gia tốc lên

các trục tọa độ là wx, wy, wz và dựa vào kết quả của phần trước:

2 2

w

w

w

x x

y y

z z

Vậy: Hình chiếu véctơ gia tốc lên một trục tọa độ bằng đạo hàm bậc nhất theo

thời gian của hình chiếu vận tốc lên trục đó hay bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của phương trình động theo trục tương ứng

Trị số của vector gia tốc được xác định theo công thức:

w cos =

w w cos

w w cos

* Chú ý: Căn cứ vào tích: v.wr uur = x.x+y.y+z.z

& && & && & && ta xác định tính chất chuyển động, kết quả cụ thể:

động điểm chuyển động đều

6.4 Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp tọa độ tự nhiên

Phương pháp tọa độ tự nhiên dùng để nghiên cứu chuyển động của điểm khi biết đường cong quỹ đạo của nó

Hệ trục có ba trục:

63

+ Trục tiếp tuyến (trục τ): hướng theo chiều dương với véctơ đơn vị τr

+ Trục pháp tuyến chính (trục n): nằm trong mặt phẳng đường cong và hướng

về phía lõm đường cong với véctơ đơn vị nr

+ Trục trùng pháp tuyến (trục b): có véctơ đơn vị b,r

tạo với trục τ và trục n

thành một tam diện thuận(br r r=τ ^ n )

6.4.1 Phương trình chuyển động của chất điểm

n n b

r

Hình 6.5 Vị trí của động điểm M trong hệ tọa độ tự nhên

Hệ trục tọa độ tự nhiên: trên đường cong phẳng chọn gốc O và chiều dương đường cong như hình 6.5

Vị trí điểm M được xác định bằng cung O M¼ = s(s được gọi là tọa độ cong hay hoành độ cong của điểm M như hình 6.6) Khi điểm M chuyển động thì tọa độ cong s biến thiên theo thời gian:

Để xác định vận tốc của điểm ta dựa vào sự biến thiên của tọa độ cong s

Giả sử ở thời điểm t, động điểm ở M được xác định bởi tọa độ cong OM = s Tại thời điểm lân cận: t1 = t + Δt, động điểm ở tại M1 có tọa độ cong OM1 = s1 = s + Δs

Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian Δt: v tb s

t

∆

=

Khi Δt → 0, v tb sẽ tiến đến vận tốc tức thời ( )vr

của điểm M tại thời điểm t:

Vậy: Giá trị vận tốc tại thời điểm t nào đó bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian

của tọa độ cong s trên quỹ đạo

1

O

M

M1

Hình 6.6 Biến thiên tọa độ cong s theo thời gian

Phương chiều vector vận tốc vr

luôn hướng theo tiếp tuyến của đường cong quỹ đạo tại M, do đó chiều của vector phụ thuộc vào dấu của giá trị v = s&:

& && & & && &&

b) Chuyển động biến đổi đều

Chuyển động biến đổi đều là chuyển động có gia tốc tiếp không đổi (wτ =

const) Vận tốc và đoạn đường được xác định bởi công thức:

+ wτ > 0 khi chuyển động là nhanh dần đều

+ wτ < 0 khi chuyển động là chậm dần đều

6.5 Bài toán động học của chất điểm

6.5.1 Các loại bài toán

Ta có hai loại bài toán động học của chất điểm:

- Bài toán 1: Biết phương trình chuyển động Tìm các đặc trưng chuyển động

như: quĩ đạo, vận tốc, gia tốc, tính chất chuyển động của chất điểm?

66

- Bài toán 2: Biết một số điều kiện của chuyển động Tìm phương trình chuyển

động và các đặc trưng chuyển động?

6.5.2 Phương pháp giải bài toán

Khi giải bài toán cần chú ý một số nội dung sau:

1) Chọn phương pháp để giải:

- Phương pháp vector dùng để nghiên cứu lý thuyết bài toán chuyển động

- Để giải cụ thể bài toán chuyển động ta sử dụng hai phương pháp: toạ độ Descartes và toạ độ tự nhiên Phương pháp toạ độ tự nhiên được dùng khi ta biết quỹ đạo của chất điểm

* Chú ý: Đối với phương trình dạng lượng giác để khử t ta thường dùng các

công thức của lượng giác như: sin2α + cos2α = 1

- Trong toạ độ Descartes: v.w= x& x&& + y& y&& + z& z&&

- Trong toạ độ tự nhiên: v.w=v.w τ

Ta có tính chất chuyển động của các dạng chuyển động trong bảng Tính chất chuyển động của các dạng chuyển động

6) Tìm bán kính cong của quĩ đạo:

Nên chất điểm chuyển động nhanh dần đều

Ví dụ 6.2. Một viên đạn bay trong mặt phẳng Oxy với quy luật:

0 2 0

os ( )

sin ( )2

a) Quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viên đạn?

b) Độ cao và tầm xa mà viên đạn đạt được? Với góc α bằng bao nhiêu thì độ cao

Hình 6.7 Minh họa cho ví dụ 6.2

a) Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viên đạn

- Xác định quỹ đạo:

69

Rút t từ (a) ta được:

0

(c)os

x t

ossin

2 sin

2

v gt

g

α α

Nghĩa là thời điểm để viên đạn đạt tầm xa khi 2v0sin

t

g α

=

- Xác định α để độ cao đạt giá trị cực đại:

Như đã giải ở trên ta có độ cao: H =

2 2 2

v H

C CÂU HỎI ÔN TẬP

1 Viết phương trình chuyển động, công thức tính vận tốc và gia tốc của chất điểm bằng phương pháp vector

2 Viết phương trình chuyển động, công thức tính vận tốc và gia tốc của chất điểm bằng phương pháp tọa độ Descartes

3 Viết phương trình chuyển động, công thức tính vận tốc và gia tốc của chất điểm bằng phương pháp tọa độ tự nhiên

4 Một số chuyển động đặc biệt

D BÀI TẬP ÔN TẬP

Bài tập 1: Cho phương trình chuyển động của chất điểm:

2 2

2

Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc và tính chất của mỗi chuyển động trên?

Bài tập 2: Một viên đạn bay trong mặt phẳng Oxy với quy luật:

71

0 2 0

os ( )

sin ( )2

a) Quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viên đạn?

b) Độ cao và tầm xa mà viên đạn đạt được? Với góc α bằng bao nhiêu thì độ cao và tầm xa đạt giá trị cực đại?

Định nghĩa: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động sao cho hai điểm

bất kỳ thuộc vật luôn luôn chuyển động song song với chính nó

Ví dụ: Toa tàu hỏa đang chuyển động trên đường ray, trong quá trình chuyển

động ta luôn có đoạn thẳng AB // A1B1 // Δ (H 7.1) Thanh AB chuyển động nhờ cơ cấu bốn khâu, trong quá trình chuyển động ta luôn có thanh AB // A1B1 // Δ (H 7.2)

A

A1

B

B1 O1

Hình 7.1 Chuyển động của toa tàu Hình 7.2 Chuyển động của Cơ cấu bốn khâu 7.1.2 Tính chất cơ bản của chuyển động tịnh tiến

Định lý: Trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn, mọi điểm thuộc vật sẽ chuyển

động giống hệt nhau, nghĩa là quỹ đạo của mọi điểm trùng khít lên nhau, tại mỗi thời điểm vận tốc và gia tốc các điểm đều bằng nhau

Chứng minh: Xét đoạn thẳng AB thuộc vật rắn đang chuyển động tịnh tiến trong

hệ quy chiếu Oxyz (H 7.3) Theo định nghĩa chuyển động tịnh tiến ta có AB // A1B1 //

… // AnBn (tức là uuurA B

= const)

Theo hình 7.3, ta có: ruur uur uuurA = r B + A B

(7.1) Lần lượt đạo hàm bậc nhất và bậc hai hàm biểu thức (7.1) theo thời gian ta được:

Định nghĩa: Vật rắn chuyển động quay quanh một trục là chuyển động mà trong

suốt quá trình chuyển động luôn có hai điểm cố định

Ví dụ: Cách cửa quay quanh trục đi qua hai bản lề (H 7.4) Tấm phẳng quay

0

Hình 7.6 Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định

Qui ước dấu: Để xác định chiều quay của vật, ta quy ước:

+ φ > 0: nếu nhìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay ngược chiều kim

0 17’ 44,8”

* Chú ý: Trong kỹ thuật góc quay ϕ còn được tính theo số vòng quay N

Trong chuyển động quay, góc φ là một hàm số phụ thuộc vào thời gian Để đặc trưng cho chiều quay và tốc độ nhanh chậm của chuyển động, người ta dùng khái niệm vận tốc góc ω

Giả sử trong khoảng thời gian Δt = t1 - t, góc quay biến đổi một lượng Δφ = φ1 -

Vậy: Vận tốc góc của vật rắn quay quanh một trục cố định có giá trị bằng đạo

hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay φ

Quy ước dấu của ω:

+ ω > 0: nếu nhìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay ngược chiều

+ Chiều dương sao cho nhìn từ ngọn của trục quay thấy vật quay ngược chiều kim đồng hồ

+ Trị số d

dt

ϕ

ω = =ϕ&

* Chú ý: trong kỹ thuật người ta còn biểu diễn vận tốc góc bằng số vòng quay

trong một phút, kí hiệu là n (vòng/phút) Biểu thức liên hệ giữa n và ω là:

∆ là gia tốc góc trung bình của vật rắn

Khi Δt → 0, εtb → ε ε là gia tốc góc tức thời của vật tại thời điểm t:

Vậy: Gia tốc góc của vật rắn quay quanh một trục cố định có giá trị bằng đạo

hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của góc quay

Đơn vị tính gia tốc góc là: rad/s2

+ Phương: ở trên trục quay

+ Chiều dương: sao cho nhìn từ ngọn của trục quay thấy vật quay ngược chiều kim đồng hồ

+ Trị số: d

dt

ω

ε = = ω&

7.2.2.4 Tính chất của chuyển động quay

- Nếu ε = 0: chuyển động quay đều

- Nếu ε = const(ε ≠ 0), ta xét dấu:

2

d dt

ω = εω

+ Nếu ω.ε > 0: chuyển động quay nhanh dần đều

+ Nếu ω.ε < 0: chuyển động quay chậm dần đều

7.2.2.5 Các chuyển động quay đặc biệt

a) Chuyển động quay đều

Vật rắn chuyển động quay đều khi ε = 0 và ω = const, phương trình chuyển động:

φ = φ0 + ω0t

77

Trong đó: φ0 là góc quay ban đầu lúc t = 0

φ là góc quay tại thời điểm t lúc khảo sát

b) Chuyển động quay biến đổi đều

Vật rắn chuyển động quay biến đổi đều khi ε = const

Trong đó: φ0, ω0 lần lượt là góc quay và vận tốc góc ban đầu

ε là gia tốc của vật đang xét

ε > 0: vật chuyển động nhanh dần đều

ε < 0: vật chuyển động chậm dần đều

7.2.3 Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật

7.2.3.1 Quỹ đạo và phương trình chuyển động

Giả sử xét vật rắn chuyển động quay quanh một trục z cố định Ta lấy một điểm

M bất kỳ trên vật cách trục quay một đoạn CM = r Khi chuyển động quay chất điểm

M vạch ra quỹ đạo là một đường tròn tâm C (H 7.7)

z

r

V

M C

O

Hình 7.7 Khảo sát chuyển động của điểm M thuộc vật

Vậy: Các điểm trên vật quay có quĩ đạo là những đường tròn vuông góc với trục

quay có tâm nằm trên trục quay, có bán kính là khoảng cách từ các điểm đó tới trục quay

Chọn điểm O trên đường tròn tâm C bán kính r làm gốc, chiều dương ngược chiều với kim đồng hồ Điểm M được xác định bởi cung:

+ Phương: vuông góc với bán kính

+ Chiều: cùng chiều với vận tốc góc ω

O M = O N = ω 2) Trên cùng một vật rắn chuyển động quay, khoảng cách từ điểm đến trục quay càng lớn thì giá trị vận tốc của điểm càng lớn và ngược lại (H 7.8).

Hình 7.8 Vận tốc các điểm cùng thuộc một vật rắn quay

3 ) Vận tốc của điểm trên vật quay còn có thể tính theo công thức:

v = r ω = r.

30

n π

Gia tốc của điểm M được chia thành hai thành phần: gia tốc pháp tuyến và gia tốc pháp tuyến:

+ Phương: vuông góc với bán kính của quỹ đạo

+ Chiều: cùng với chiều quay của vật rắn

+ Phương: theo bán kính của quỹ đạo

+ Chiều: hướng vào tâm quay

2 2

.

ω

ω R R

R R

M

Hình 7.9 Gia tốc điểm cùng thuộc một vật rắn quay

2) Gọi α là góc hợp bởi gia tốc toàn phần wn

r r

7.3 Các ví dụ về bài toán chuyển động cơ bản của vật rắn

Ví dụ 7.1. Trục một động cơ trong giai đoạn khởi động máy chuyển động biến

đổi đều Sau 5 phút đạt vận tốc n =120 vòng/phút

Tính gia tốc góc của trục và số vòng quay được trong thời gian đó?

⇒ Trục động cơ quay nhanh dần đều

Phương trình chuyển động quay của trục:

Ví dụ 7.2. Một vô lăng đang quay với vận tốc n = 60 vòng/phút thì chuyển động

quay chậm dần đều và sau 16s thì dừng hẳn

Tìm gia tốc góc của vô lăng và số vòng vô lăng quay được trong 16s đó?

⇒ Vô lăng quay chậm dần đều

Phương trình chuyển động quay của trục:

a) Xác định thời gian để thanh OA quay được 32 vòng

b) Tính chất chuyển động ở thời điểm thanh quay được 32 vòng

c) Tìm vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp và gia tốc toàn phần của A tại thời điểm thanh quay được 32 vòng Biết OA = 10cm

Bài giải:

a) Thời gian để thanh OA quay được N = 32 vòng:

Góc quay: φ = 2π N = 2 32π = 64πrad

Hình 7.10 Minh họa cho ví dụ 7.3

b) Tính chất chuyển động ở thời điểm thanh quay được 32 vòng: Theo câu a, thời điểm thanh quay được 32 vòng là t = 8s

⇒ Thanh OA quay nhanh dần đều

c) Tìm vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp và gia tốc toàn phần của A

- Vận tốc của A:

23

A n A

+ Chiều: theo chiều quay (ngược chiều kim đồng hồ như hình 7.10)

+ Trị số của gia tốc toàn phần:

C CÂU HỎI ÔN TẬP

1 Khái niệm chuyển động tịnh tiến? Tính chất cơ bản của chuyển động tịnh tiến?

2 Trình bày phương trình chuyển động, vận tốc góc, gia tốc góc của vật rắn quay quanh một trục cố định

3 Phương trình chuyển động của vật rắn quay đều, quay biến đổi đều

4 Trình bày phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp, gia tốc toàn phần của điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định

D BÀI TẬP ÔN TẬP

Bài tập 1: Trục một động cơ trong giai đoạn khởi động máy chuyển động biến đổi đều Sau 10 phút đạt vận tốc n =110 vòng/phút

Tính gia tốc góc của trục và số vòng quay được trong thời gian đó?

Bài tập 2: Một vô lăng đang quay với vận tốc n = 50 vòng/phút thì chuyển động quay chậm dần đều và sau 20s thì dừng hẳn

Tìm gia tốc góc của vô lăng và số vòng vô lăng quay được trong 20s đó?

a) Xác định thời gian để thanh OB quay được 16 vòng

b) Tính chất chuyển động ở thời điểm thanh quay được 16 vòng

c) Tìm vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp và gia tốc toàn phần của B tại thời điểm thanh

quay được 16 vòng Biết OB = 10cm

85

PHẦN III ĐỘNG LỰC HỌC

Động lực học là phần tổng quát nhất của Cơ lý thuyết, nó nghiên cứu chuyển

động cơ học của các vật thể dưới tác dụng của lực

Mục đích của động lực học là thiết lập mối liên hệ giữa các đại lượng đặc trưng cho tác dụng của lực và những đại lượng đặc trưng cho chuyển động của vật thể

Chương 8

CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

A MỤC TIÊU

- Giúp sinh viên nắm vững các tiên đề cơ bản của động lực học

- Giúp sinh viên nắm vững phương trình vi phân chuyển động của chất điểm và giải được hai bài toán cơ bản động lực học

- Giúp sinh viên có kĩ năng tính toán được lực quán tính và áp dụng nguyên lý D’Alembert để giải các bài toán trong kỹ thuật

Như vậy nếu không có lực tác dụng lên chất điểm thì nó có trạng thái quán tính

Do đó lực là nguyên nhân làm biến đổi trạng thái chuyển động

Hệ qui chiếu thoả mãn định luật 1 gọi là hệ qui chiếu quán tính

m = (8.1)

86

Trong đó: + m: hệ số tỉ lệ có giá trị không đổi, là số đo quán tính của chất điểm được gọi là khối lượng của chất điểm

+ w: gia tốc của chất điểm

Biểu thức (8.1) được gọi là phương trình cơ bản của động lực học

3 Khi v < < c, ta xem khối lượng m là hằng số

4 Khi chất điểm rơi tự do trong trọng trường, ta có trọng lượng là:

P = mg (8.2) Trong đó: g gọi là gia tốc trọng trường (gia tốc của rơi tự do), g thay đổi theo vĩ

độ và độ cao, thường lấy g = 9,81 m/ 2

s Biểu thức (8.2) cho ta quan hệ giữa khối lượng và trọng lượng chất điểm

Do vậy, vật có khối lượng m= 1kg thì có trọng lượng là 9,81 N

8.1.3 Tiên đề 3

Hai lực tác dụng tương hỗ giữa hai chất điểm sẽ có cùng đường tác dụng (giá), cùng cường độ và ngược chiều nhau

Định luật này là cơ sở để nghiên cứu bài toán cơ hệ trong động lực học

* Chú ý: Lực tác dụng và lực phản tác dụng không phải là cặp lực cân bằng vì

chúng đặt lên hai chất điểm khác nhau

8.2 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm Hai bài toán cơ bản của động lực

8.2.1 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong chuyển động phẳng

8.2.1.1 Dạng vector

Xét chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của hệ lực (F Fuur uur 1 , 2 , , uurF n)

Gọi r là bán kính vector (vector định vị) của chất điểm Ta có: m w=∑F k

Mà:

2 2

87

Ta được: m r &&r =∑Fuurk (8.3) Biểu thức (8.3) là phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng vector 8.2.1.2 Dạng tọa độ Descartes

Chọn hệ trục toạ độ Descartes gắn vào hệ qui chiếu quán tính Khi chiếu (8.3) lên các trục toạ độ, ta được:

.

độ Descartes

* Chú ý: Khi chất điểm chuyển động trong mặt phẳng hoặc trên đường thẳng thì

số phương trình giảm xuống còn tương ứng hai hoặc một

8.2.1.3 Dạng toạ độ tự nhiên

Chọn hệ toạ độ tự nhiên M nb τ (H 8.1) Chiếu biểu thức (8.3) lên ba trục: tiếp tuyến, pháp tuyến chính và trùng pháp tuyến, ta có:

.w w w

độ tự nhiên

88

Hình 8.1 Chất điểm M trong hệ tọa độ tự nhiên

* Chú ý: Phương trình này thường được áp dụng khi ta biết quĩ đạo chuyển động

của chất điểm

8.2.2 Hai bài toán cơ bản của động lực học

Ta có sơ đồ biểu diễn mối quan hệ của hai bài toán cơ bản như sau:

1 Xác định vật thể khảo sát dưới dạng một chất điểm

2 Đặt các lực tác dụng lên chất điểm: các lực hoạt động và các phản lực liên kết

3 Chọn hệ trục toạ độ thích hợp và viết phương trình vi phân chuyển động

4 Tìm gia tốc: bằng cách tính đạo hàm hoặc hình chiếu của vector gia tốc lên trục toạ độ

5 Tìm lực: bằng cách thay gia tốc vào các phương trình đã có

Bài toán thuận m.w = ∑Fe k

Bài toán ngược

LỰC

89

8.2.2.2 Bài toán ngược

a) Bài toán

Biết: các lực tác dụng lên chất điểm và các điều kiện ban đầu của chuyển động

à Xác định: Chuyển động của chất điểm (phương trình chuyển động, hoặc vận tốc, hoặc gia tốc, hoặc thời gian chuyển động)

b) Phương pháp giải

Khi biết các lực, ta lập các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm, đây

là các phương trình vi phân cấp hai và giải phương trình vi phân ta xác định được các yêu cầu

4 Giải hệ phương trình vi phân:

Ví dụ 8.1: Một thang máy trọng lượng P đi lên với gia tốc w

Xác định sức căng T của dây cáp (H 8.2)

Hình 8.2 Minh họa cho ví dụ 8.1

Giải: (Bài toán thuận)

Thang máy chuyển động tịnh tiến nên có thể coi như một chất điểm chuyển động thẳng đứng dưới tác dụng của trọng lực P và sức căng T

Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm theo trục z:

m.w = - P + T à T = m.w + P = ( 1 )

g

w P P w g

- Khi thang máy đứng yên, hoặc chuyển động thẳng đều (w = 0) thì: T = P

- Khi thang máy đi xuống thì: ( 1 )

g

w P

T = − < P

- Đặc biệt, khi thang đi xuống với với w = g thì T = 0

Ví dụ 8.2: Một vật nặng có trọng luợng P treo vào đầu sợi dây dài l và buộc vào

điểm O Vật nặng quay quanh trục thẳng đứng và vạch nên một vòng tròn trong mặt phẳng nằm ngang, dây treo tạo với đường thẳng đứng một góc α (H 8.3)

Xác định vận tốc v của vật nặng và sức căng của dây

Hình 8.3 Minh họa cho ví dụ 8.2

Giải: (Bài toán thuận)

Vật khảo sát: vật nặng coi như chất điểm

Hệ lực tác dụng: P và sức căng dây T

Chọn hệ trục toạ độ tự nhiên M nb τ như hình vẽ (H 8.3)

Ta có phương trình:

T P w g

P

+

= Chiếu phương trình trên lên hệ trục toạ độ tự nhiên, ta được:

T w g P

w g P

n α α τ

cos 0

sin

0

T R

v g P

v g P

α

α

cos 0

sin

0

;cos

Ví dụ 8.3: Một quả cầu khối lượng m rơi thẳng đứng từ điểm O, không vận tốc

đầu, duới tác dụng của trọng lực và sức cản không khí F c =km (k là hằng số) (H 8.4) Tìm qui luật chuyển động của quả cầu

Giải:(Bài toán ngược)

Hình 8.4 Minh họa cho ví dụ 8.3

Xem quả cầu như một chất điểm chuyển động theo phương thẳng đứng hướng xuống

Lập phương trình vi phân chuyển động của quả cầu theo trục z là:

(g k)

m km mg F P z

m && = − c = − = −

k g

z&& = & = − ⇔ & = −

Giải phương trình ta được: