Bài giảng Xử lý số tín hiệu: Chương 2 - ĐH Sài Gòn

Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền phức Z cung cấp cho người học các kiến thức: Biến đổi Z, các tính chất biến đổi Z, biến đổi Z ngược, biểu diễn hệ thống trong miền Z. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

• Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)

Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía

• Biến đổi Z của dãy x(n):

Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):

2

2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)

• Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)

là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ.

1 ( )

0 ( )

(

0

x x

x n

x

n

1 )

( lim

tiêu chuẩn Cauchy

• Tiêu chuẩn Cauchy:

Một chuỗi có dạng:

hội tụ nếu:

3

Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=a n u(n)

a z

az lim

n n

z ) n ( u

z a

Theo tiêu chuẩn Cauchy,





 ROC : Z1

4

 m

m

z a

z a lim

n

n n

1

1 1

z ) n

( u

z a

2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z

2.2.1 Tuyến tính

R ROC

: ) ( )

R ROC

: ) ( )

) ( )

( )

( )

Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của

x(n)=a n u(n) - b n u(-n-1) với /a/</b/

ROC chứa R 1  R 2

6

Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:

1

1

1)

1 1

1

1 1

1

) n

( u b )

R1 : 

b z

a R

2.2.2 Dịch theo thời gian

a az

n u

a

z az

: 



 X ( z ) )

n (

R'ROC

:

0

 n ) z X ( z ) n

(

R

RR'

2.2.3 Nhân với hàm mũ a n

a

R' az

) az ( X )

n ( u a )

n ( x

R ROC

: ) ( )

RROC

: )(

Nếu:

Thì:

Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của

x 1 (n)=u(n) và x 2 (n)=a n u(n)

1

z 1

2.2.4 Đạo hàm X(z) theo z

a az

z X n

u a n

( )

( )

R ROC

: ) ( )

R ROC

: )

dz

dX(z) z

n x

dz

) z (

dX z

) z ( G )

n ( nx )

2.2.5 Đảo biến số

Nếu:

Thì:

a az

z X n

u a n

( )

( )

R ROC

: ) ( )

R X

a 1

1 )

z ( X )

2.2.6 Liên hiệp phức

R ROC

: ) ( )

R X

n

x * ( )  Z * (z*) : ROC 

2.2.7 Tích 2 dãy

RR

ROC :

d)

(2

1)

()

n x n x

RROC

: )()

RROC

: )()

Ví dụ 2.2.6: T ìm x(0), biết X(z)=e 1/z và x(n) nhân quả

X(z) lim

: )()

RROC

: )()

)()

()

(

*)

1 e

0 5

0 1

1 5

z

) z ( X )

n ( u ) ( )

1

11

n ( u )

n

(

2 5

0 2

1

1 5

0 1

) z (

) z ( H ) z ( X )

z

(

Y

25

02

1

13

45

01

13

)

z (

.

)1(

23

4)

()5.0

(3

1)

(

*)()

z X

v

X

j C

1 2

1 ( ) 2

BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG

cos(on)u(n) (1-z-1coso)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >1 sin(on)u(n) (z-1sino)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >1

11

1) 1

2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

2.3.1 C ÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

) z (

X j

) n (

2

1



Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong

mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theochiều (+) ngược chiều kim đồng hồ

 Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chấtphức tạp của phép lấy tích phân vòng

• Các phương pháp biến đổi Z ngược:

 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa

 Phân tích thành tổng các phân thức tối giản

(*)

17

r Z

dz

d r

z F

1 )

(

) 1 (

• Thặng dư tại điểm cực đơn Z ci của F(z) được định nghĩa:

Re

a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực:

18

z

X j

n

2

1)

(



• Z ci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C

• Res[X(z)z n-1]z=z ci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zciTrong đó:

được x(n)

n i

z z X

z

X j

n

2

1)

(

z j

1

22

Thay X(z) vào (*), ta được

19

• n0:

)2(

z X

n n

có 1 điểm cực đơn Zc1=2

Thặng dư tại Zc1=2:

2

)2(

()2

z z





)2(

1)

1Res

()

2(

)!

1(

Res

z

z n

0 2

1 2

1Res

1)!

1(

m

z z z

dz

d m

21

2.3.3 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN CHUỖI LUỸ THỪA

Giả thiết X(z) có thể khai triển: 

X ( ) ( )

(*) (**)

Đồng nhất (*) & (**), rút ra: x ( n )  an

Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết X(z) = z 2 + 2z + 3 - 4z -1 - 5z -2

ROC: 0</z/<∞

2 1

0 1

2 2

2

21

01

22

1

2

1  z1

2 1

1 )

Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả

và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:

0

z a z

a a

z a )

Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:

(*)

-1

2z - 1

1

z 2 - 2

z1 2 -2

z 2

2 -2

2 2

(

n

n n

z z

X

) ( 2

0 :

2 )



23

1 1 1

1

2

2

2

: 2

1

1 )

Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân

quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:

1 1 1

z a z

a z

a z

a )

Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:

(**)

1 z

2 -

1

21z1

2 2

2 z



z 2 -

21 z1 -2 2

z 2 -2 2

3 3

(

n

n n

z z

X

) 1 (

2 0

: 2 )

(       

Ví dụ: 2.3.4: Tìm x(n) biết:

24

2.3.4 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH TỔNG

CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN

Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng:

) (

)

( )

(

z B

z

D z

X 

0 1

1 1

0 1

1 1

b z

b z

b z

b

d z

d z

d z

d

N N

N N

K K

K K

)

( )

(

z B

z

D z

X 

) (

)

( )

(

z B

z

A z

C 



0 1

1 1

0 1

1 1

b z

b

a z

a z

a z

a z

N

N N

M M

M M

Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc MN

• Nếu KN, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)

Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn đề phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc MN

25

Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc MN :

) (

) ( )

(

z B

z A z

z

X



Xét đến các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là

đơn, bội và phức liên hiệp

0 1

1 1

0 1

1 1

b z

b z

b z

b

a z

a z

a z

a

N N

N N

M M

M M

) ( )

(

z B

z A z

z

X



)(

))(

(

)(

) ( )

(

z B

z A z

z

X



)(

)(

)

2 1

1

cN

N c

K z

z

K z

i

z B

z

A K





)('

)(

26

Suy ra X(z) có biểu thức:

)1

()

1()

1(

)

2

2 1

K z

z

K z

z

K z

X

cN

N c

1 ci

i

)zz1(

K

) 1

K z

X

ci

i i

x

1

) ( )

(

Xét:

27

) 3 )(

2 (

5 2

z

) 3 (

) 2 (

2 1

K

6 5

5 2

z z

z

X

)3(

52

z

X

)2(

52

) 3 (

1 )

2 (

1 )

z

z

X

) 3

1 (

1 )

2 1

(

1 )

z X

ROC : a) /z/>3, b) /z/<2, c) 2</z/<3

6 5

5

2 )

z

z z

X

Ví dụ: 2.3.5: Tìm x(n) biết

28

Với các miền hội tụ:

) 3

1 (

1 )

2 1

(

1 )

b) Xét X(z)/z có điểm cực Z c1 bội r và các điểm cực đơn:

Z c(r+1) ,…,Z cN ,

) (

) ( )

(

z B

z A z

z

X



)(

)(

)(

)(

) 1 (

r c

b

z A

K z

z

K z

z

K z

z

X

)(

)(

)(

)

(

1

2 1

2 1

i

i

i

z z

K z

Z Z

r 1 c )

i r (

) i r

z

)z(Xdz

d)!

ir

(

1K





)(

)( ( 1)

1

cN

N r

c

r

z z

K z

Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:

Với giả thiết ROC của X(z): /z/ > max{ /z ci / }: i=1N,

biến đổi Z ngược của thành phần K i /(z-z ci ) r sẽ là:

) 2 ) (

a i

n n

n a

)

( )!

1 (

) 2 ) (

1

( )

K n

u i

a i

n n

n K n

x

N

r l

n cl l

i n r

45

2

2

2 3

( ) z

(

z z

z )

z ( X

) 1 (

) 2 (

4 5

2 )

z z

z

z

X

) 1 (

) 2 (

) 2 (

3 2

2 1

K z

K

31

Vậy X(z)/z có biểu thức là:

Với các hệ số được tính bởi:

)1(

1)

2(

2)

2(

1)

z z

z

X

1 )

1 (

4 5

dz

d

2

2 )

1 2 (

) 1 2 (

)!

1 2

z X dz

d K

2 )

1 (

4 5

2

2 )

2 2 (

) 2 2 (

)!

2 2

z X dz

d K

z

X

) 2 (

4 5

2

1 2

) 1

(

1 )

2 1 (

2 )

2 1 (

1 )

z z

z

) ( )

( 2

) ( 2

)

x  n  n 

c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Z c1 và Z* c1 phức liên hiệp,

các điểm cực còn lại đơn: Z c3 ,…,Z cN ,

) (

) ( )

(

z B

z A z

z

X



)(

))(

)(

(

)(

3

* 1

)(

)(

)(

2 1

1

cN

N c

c

K z

z

K z

z

K z

z

K z

K z

z

K z

z

K z

z

X

3

* 1

2 1

1

)(

)(

)(

)

(

Với các hệ số K 1 , K i được tính giống điểm cực đơn:

N i

: )

z z

( z

) z (

X

K

ci

Z Z

Xét :

Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K 2 =K 1 *

) z z (

* K )

z z (

K z

) z ( X

* c

1 1

1 1

* K )

z z (

K )

z (

c c

1 1

1 1

1

1 1



j c

) n

cos(

z K )

n ( x

N

i

n ci i

n c

Vậy:

34

: ) 1 )(

2 2

z

z z

X

Ví dụ: 2.3.7: Tìm x(n) biết:

)1)(

22

(

1)

z z

z j

z

 ( 1 )   ( 1 )  ( 1 )

3

* 1 1

z

K j

z

K

1 )

1 (

) 1

z j

z

K

) ( )

(

) 4

cos(

) 2 (

2 2

K

1 )

1 ( 1

2 / 1 )

1 ( 1

2 /

1 )

j z

j

z

35

2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z

h(n) Z H(z): gọi là hàm truyền đạt H(z)=Y(z)/X(z)

 Trong miền phức Z, H(z) đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống

36

2.4.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT ĐƯỢC BIỂU DIỄN THEO

CÁC HỆ SỐ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

k

a

0 0

) (

) (

k

k

kz X z b z a

z

Y

0 0

) ( )

M

r

r r

z a

z b )

z ( X

) z (

Y )

z ( H

0 0

• Phương trình sai phân TTHSH có dạng:

• Lấy biến đổi Z 2 vế PTSP & áp dụng tính chất dịch theo t/g:

37

Ví dụ: 2.4.1: Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi:

y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1)

2 1

1

6 5

1

5 2 )

(

) ( )

z z

X

z Y z

H

)3(

)2(

2 1

K

) 3

1 (

1 )

2 1 (

1 )

)(6

51

)

(z  z  z  X z  z

Y

6 5

z z

)3)(

2(

52

z z

z

H

Do hệ thống nhân quả nên: h(n) = ( 2 n + 3 n ) u(n)

1 2 )

3 (

5 2

z

3 )

2 (

5 2

z K

38

2.4.4 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

))(

(

)

()

z

A z

ROC

Im(z)

/z c / max

42

z n

(*)

43

Re(z) 0

)2/1(

2 1

K

1)

2/1(1

1)

z

H

)2)(

2/1(

2

54

z z

1)

2/1(

b Hệ thống ổn định (1/2</z/<2): h(n)=(1/2) n u(n) - 2 n u(-n-1)

c Hệ thống nhân quả và ổn định:

ROC: /z/>2 không thể chứa /z/=1  không tồn tại h(n)

45

2.4.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA

z r y

z Y

z

1

) (

) (

Z

1 phía

) 1

0 ( )

1 ( )

1 ( z 1Y z



) 2

1 ( )

2 ( )

1 ( )

2 ( y z 1 z 2Y z



46

Ví dụ 2.4.4: Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía

y(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n0

biết: x(n)=3n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9

Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP:

Y(z) - 3[y(-1)+z-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1+z-2Y(z)] = X(z) (*)

Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3-2/(1-3z-1) vào (*), rút ra:

)3(

1

2

1)

1(

1

2

1)

3)(

1(

1)

z z

z

z

Y

) 3

1 (

1

2

1 )

1 (

1

2

1 )

z

Y

 3 1  ( ) 2

1 )

y  n 



47