Tìm hiểu về biến đổi fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục

Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục Page Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC CỦA NHÓM Báo cáo , Slide Nguyễn Xuân Chiến, Bùi Tuấn Anh Chỉnh sửa Trần Mạnh Hà Tìm tài liệu Cả nhóm Code Matlab Nguyễn Mạnh Cường, Phan Đình Điệp Làm video Cả nhóm Page Tìm hiểu biến đổi Fourier cho tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục I BIẾN ĐỔI FOURIER LÀ GÌ ? Biến đổi Fourier hay chuyển hóa Fourier, đặt tên theo nhà toán học người Pháp Joseph Fourier , biến đổi tích phân dùng để khai triển hàm số theo hàm số

I BIẾN ĐỔI FOURIER LÀ GÌ ? 2

II CƠ SỞ NGHIÊN CỨU BIẾN ĐỔI FOURIER CHO TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIỀN TỤC 3

1 Biến đổi Fourier thuận 3

1.1 Định nghĩa 3

1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier 3

1.3 Các dạng biểu diễn của hàm X(e j) 5

1.3.1 Dạng phần thực và phần ảo 5

1.3.2 Dạng mô đun và argumen 5

1.3.3Dạng độ lớn và pha 5

2 Biến đổi Fourier ngược 7

3 Các tính chất của biến đổi Fourier 9

3.1 Tính chất tuyến tính 9

3.2 Tính chất trễ 10

3.3 Tính chất trễ của hàm tần số 11

3.4 Tính chất đối xứng 12

3.5 Hàm tần số của tích chập hai dãy 13

3.6 Hàm tần số của tích hai dãy 14

3.7 Công thức Parseval 15

III THỰC HÀNH TRÊN MATLAB R2009a 17

BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC CỦA NHÓM

Báo cáo , Slide Nguyễn Xuân Chiến, Bùi Tuấn Anh

Code Matlab Nguyễn Mạnh Cường, Phan Đình Điệp

I BIẾN ĐỔI FOURIER LÀ GÌ ?

Biến đổi Fourier hay chuyển hóa Fourier, được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Joseph Fourier , là một biến đổi tích phân dùng để khai triển một hàm số theo các hàm số sin cơ sở, có nghĩa là dưới dạng tổng hay một tích phân của các hàm số sin được nhân với các hằng số khác nhau (hay còngọi là biên độ) Biến đổi Fourier có rất nhiều dạng khác nhau, chúng phụ thuộc vào dạng của hàm được khai triển

Biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xử lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, âm học, hải dương học, quang học, hình học và rất nhiều lĩnh vực khác Trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan, biến đổi Fourier thường được nghĩ đến như sự chuyển đổi tín hiệu thành các thành phần biên độ và tần số

Ở đây chúng ta đang tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục

Hình 1 - Mối quan hệ giữa các phép biến đổi

II CƠ SỞ NGHIÊN CỨU BIẾN ĐỔI FOURIER CHO TÍN

HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIỀN TỤC

Tổng quan biến đổi Foiurier chúng ta đang nghiên cứu là để chuyển biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền tần

Biến đổi Fourier đã chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X(e j), [2] là biểu

thức biến đổi Fourier thuận và được ký hiệu như sau :

(FT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Fourier Transform)

1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier

Theo định nghĩa, biến đổi Fourier thuận [2] chỉ tồn tại nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện khả tổng tuyệt đối [1] Điều đó có nghĩa là, nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện [1] thì chuỗi [2] sẽ hội tụ về hàm X(e j), nên x(n) tồn

tại biến đổi Fourier Ngược lại, nếu dãy x(n) không thoả mãn điều kiện

[1] thì chuỗi [2] sẽ phân kỳ, vì thế hàm X(e j) không tồn tại và x(n) không

có biến đổi Fourier.

Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn :

luôn thỏa mãn điều kiện [1] , do đó luôn tồn tại biến đổi Fourier.

Ví dụ 1 : Hãy xét sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của các dãy sau:

Có thể thấy rằng, các dãy có độ dài hữu hạn luôn tồn tại biến đổi Fourier, còn các dãy có độ dài vô hạn sẽ tồn tại biến đổi Fourier nếu chuỗi [1] của

- () được gọi là hàm pha tần số, nó là hàm lẻ và phản đối xứng qua gốc

Với Arg [A( ej)]

phụ thuộc vào dấu của hàm A( ej)

như sau :

0 0

[A( )]

j j

[A( j )] e j

j Sign e j

A( ) A( )

j e

Ví dụ 2 : Hãy xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và

argumen, độ lớn và pha của hàm tần số X( ej) cos(2 ) e j



Giải:

Theo [11] có : X( ej) cos(2 ).cos( ) j cos(2 ).sin( )

2 Biến đổi Fourier ngược

Biến đổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X(e j) Để tìm

biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược, xuất phát từ biểu thức

Ví dụ 3 : Hãy tìm tín hiệu số x(n) có hàm phổ là X( ej) cos( ) e j2

( 1) ( 1) ( 3) ( 3)1

ngoài cách tính trực tiếp tích phân [21], cũng có thể sử dụng các phương

pháp giống như tìm biến đổi Z ngược.

3 Các tính chất của biến đổi Fourier

Do biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z nên, biến đổi

Fourier cũng có các tính chất giống như biến đổi Z Dưới đây trình bầy

các tính chất thường được sử dụng khi phân tích phổ tín hiệu số và đặc

Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có :

bằng  0 , theo chiều ngược với dấu của  0

Vì x(-n) là dãy thực nên X( e j) X e*( j)

 , do đó nhận được [29].Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên

độ tần số giống nhau, còn hàm pha tần số ngược dấu

3.5 Hàm tần số của tích chập hai dãy

Hàm tần số của tích chập hai dãy bằng tích của hai hàm tần số thành phần.

Giải: Sử dụng các biểu thức [6] , [7] với k = 1 , và [3] , tìm được :

1 [2 ( )]

e e

3.6 Hàm tần số của tích hai dãy

Hàm tần số của tích hai dãy bằng tích chập của hai hàm tần số thành phần chia cho 2

1

x n

Khi cho x1(n) = x2(n) = x(n) thì theo [2.3-5], vế trái của biểu thức trên

chính là năng lượng E x của tín hiệu số x(n) :

S  được gọi là hàm mật độ phổ năng lượng của tín hiệu số x(n), nó là

hàm chẵn và đối xứng qua trục tung Về bản chất vật lý, hàm mật độ phổ năng lượng Sx( )  chính là hàm phân bố năng lượng của tín hiệu trên trụctần số

Ví dụ 9 : Hãy xác định năng lượng của tín hiệu số x n ( ) 2 nu n ( )

theo cảhàm thời gian và hàm phổ, so sánh hai kết quả nhận được

Giải: Theo hàm thời gian có :

Kết quả tính năng lượng theo hai cách là giống nhau ( ở đây, nếu lấy

artg(0) = 0 thì E x= 0 , nên phải lấy artg(0)= π )

III THỰC HÀNH TRÊN MATLAB R2009a

Đề ra: Cho đầu vào x = [ 1 2 5 6 7 8 3 -1 3 -5] , n= -2:7

Tính FT hiển thị phổ pha, phổ biên độ, phần thực phần ảo qua MatLab

Đề ra: Biến đổi Fourier ngược cho dãy sau