Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số liên tục cung cấp cho người học các kiến thức: Biến đổi fourier, các tính chất biến đổi fourier, bi ểu diễn hệ thống trong miền tần số,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1BI ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN
TẦN SỐ LIÊN TỤC
3.1 BI ẾN ĐỔI FOURIER
3.2 C ÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.3 QUAN H Ệ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F
3.4 BI ỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
3.5 L ẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Chương 3:
Trang 23.1 BI ẾN ĐỔI FOURIER TÍN HIỆU RỜI RẠC
3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:
• Ký hiệu:
x(n) X(e j ) hay X(e j ) = FT{x(n)}
X(e j ) x(n) hay x(n) = FT -1 {X(e j )}
F
1
F
Trong đó: - tần số của tín hiệu rời rạc
• Biến đổi Fourirer của dãy x(n):
e n x e
2
Trang 3• Nhận thấy X(ej) tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy:
j
e n x e
n
n j
e X e
Trang 4Ví dụ 3.1.1: Tìm biến đổi F của các dãy:
1:
)()
(
n j
n
n j
e n u a e
1
1 :
) 1 (
) (
2 n a u n a
n j
n
n j
e n
u a e
1
4
Trang 5e n x e
e n
Trang 6Ví dụ 3.1.2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:
( );
( )
( );
( 2 ) ( );
( 5 0 )
5.0
(
n
n
2 5
0 1
N n
X2(ej) không tồn tại
X3(ej) không tồn tại
6
Trang 73.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.2.1 Tuyến tính
) (
) ( n F X ej
) (
) (
) ( )
( n a x n F a X e j a X e jx
a1 1 2 2 1 1 2 2
Nếu:
Thì:
) (
) ( n F X e j
3.2.2 Dịch theo thời gian
) (
) ( n F X ej
x
Nếu:
Thì: ( ) F -jn 0 ( j)
e X e
n n
Trang 8Ví dụ 3.2.1: Tìm biến đổi F của dãy (n) và (n-2)
F
e n e
X n
n
3.2.3 Liên hiệp phức
) (
) ( n F X ej
x
Nếu:
) (
* )
Trang 93.2.4 Đảo biến số
) (
) ( n F X e j
) (
) ( n F X e j
)
(
2 1 1
e
e
X
) / (
)
(
2 1 1
Trang 103.2.5 Vi phân trong miền tần số
11
u a n
x
) (
) (n F X e j
)
n x n
j F
ae d
e
dX j
e G n
nx n
g
j
j j
j F
;
)
( )
( )
( )
Trang 113.2.6 Dịch theo tần số
11
u a n
x
) (
) (n F X e j
] [
e e
n u a n
n u a n
n x n
Trang 123.2.7 Tích 2 dãy
) (
) ( n F X e j
2
1Thì:
X e
) (
1 2
j
ae ae
e Y
) (
) ( n F X e j
d e
X e
21
F
12
Trang 133.2.8 Tổng chập 2 dãy
) (
) ( n F X e j
x1 1
) (
) (
) (
* ) (n x n F X e j X e j
) ( e j H e j e j e j
Theo ví dụ 3.2.1, có kết quả:
2 2 2
) (
) (
) (
(
* ) ( )
) 4 (
) ( 2 )
4 (
)
Trang 14- gọi là phổ mật độ năng lượng
3.2.9 Quan hệ Parseval
) (
) (n F X e j
X e
X n
x n
X n
) (
Với: ( j ) ( j ) 2
14
Trang 153.2.10 Tương quan các tín hiệu
) (
) (n F X e j
Trang 16TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
Trang 17TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
2
12
Trang 183.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z
Hay biến đổi Fourier chính là
biến đổi Z được lấy trên vòng
tròn đơn vị theo biến số
• Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1
• Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1
18
Trang 19Ví dụ 3.3.1: Tìm biến đổi ZT & FT của các dãy:
x 1 (n)=(0.5) n u(n) x 2 (n)=2 n u(n)
5 0
; 5
0 1
1 )
j
e
z X e
1 )
( )
1
2
; 2
1
1 )
Trang 203.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC
Trang 21Ví dụ: 3.4.1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:
h(n)=rect 4 (n)
Biến đổi Fourier của h(n):
n j
n
j
e n rect e
n j
)
( )
( /2 /2 /2
2 2
j
j j
j j
e e
e
e e
e e
) 2
) 2
Trang 2222
Trang 24H 1 (e j )
+
X(e j ) H 1 (e j )+H 2 (e j ) Y(e j )
24
Trang 253.4.3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức
) (
) ( )
(
* ) ( )
(
* ) ( )
) ( )
m
Ae m
h n
e H n x e
m h
1 1
1 2
) ( ) ( )
e
e H
n x n
y
3 3
2
11
j
n j
Trang 263.4.4 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin
e e
A n
A n
2
)cos(
H e
e H
A e
H n x n
2
) (
) ( )
e e
H A
e e
H e
e H
A n
2
)
Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:
Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:
) (
)(
)(e j H e j e j
Re )
( n A H e 0 e 0 A H e 0 0n 0
26
Trang 27 j n j n
e
e j
A n
A n
2
) sin(
1 1
0 0
sin
cos)
H A
n e
H A e
H A n
y
j
j j
Trang 28Ví dụ: 3.4.3: Tìm y(n) biết: h(n)=(0.5) n u(n)
1)
(
25
.01
1)
j e H
Tín hiệu vào chứa 3 thành phần tần số: = 0, /2 và
= 0:
148 0
5.01
1)
2 5
0 1
1 )
02
sin88.1720
n n
y
28
Trang 293.5 LẤY MẪU VÀ KHÔI PHỤC TÍN HiỆU
3.5.1 Khái niệm lấy mẫu tín hiệu
Mã hóa x d (n)
Rời rạc hóa
tử hóa
x q (n)
Chuyển xung sang mẫu x a (nTs)= x(n)
s a (t)
x s (t)
Quá trình lấy mẫu tín hiệu
Quá trình biến đổi tín hiệu tương tự -> tín hiệu số
Trang 30Tín hiệu tương tự
x a (t)
t 0
x a (nT s )
n
0 Ts2Ts…
Tín hiệu rời rạc Tín hiệu được lấy mẫu
x s (t)
n
0 Ts2Ts…
t 0
Chuỗi xung lấy mẫu
Trang 313.5.2 Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự
Trong đó: - tần số của tín hiệu rời rạc
- tần số của tín hiệu tương tự
T s - chu kỳ lấy mẫu
Trang 323.5.3 Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và
phổ tín hiệu tương tự
m s
tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ
tín hiệu tương tự cho như hình
vẽ, với các tốc độ lấy mẫu:
a)F s >2F M b) F s =2F M c) F s <2F M
Trong đó: X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc
X a (F) – phổ của tín hiệu tương tự
/X a (F)/
F 0
1
32
Trang 33F 0
Trang 343.5.4 Định lý lấy mẫu
“Tín hiệu tương tự x a (t) có dải phổ hữu hạn (-F M ,F M ) chỉ
có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu x a (nT s ) nếu tốc độ lấy mẫu thỏa F s ≥ 2F M ”
Ví dụ 3.5.2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự
• F s =2F M =F N: Tốc độ (tần số) Nyquist
t t
t t
xa( ) 3 cos 2000 5 sin 6000 10 cos 12000
Tín hiệu có các tần số: F 1 =1 kHz, F 2 =3 kHz, F 3=6 kHz
F M =max{F 1 , F 2 , F 3 }=6 kHz F N =2FM = 12 kHz
34
Trang 353.5.5 Khôi phục lại tín hiệu tương tự
• Để khôi phục lại tín hiệu tương tự x a (t) thì phổ của tín
hiệu được khôi phục phải giống với phổ ban đầu của x a (t).
• Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vô hạn của phổtín hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách
người ta cho các mẫu x a (nT s ) đi qua mạch lọc thông thấp
lý tưởng trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu có đáp ứngtần số:
2
f2
f- : /
1)
(
s
F f
ở các tần số khác
Trang 36) (
] ) (
sin[
) (
) ( )
( )
(
s s
s s
n
s a
lp s
a a
nT t
F
nT t
F nT
x t
h nT
x t
t
f df
e f H
d e
H t
h
s
s ft
j lp
t j lp
( 2
1 )