Xác một vectơ, sự cùng phương, cùng hướng: * Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ + K/n Véctơ + K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác A
Trang 1M
O D
A
B
C
O D
A
B
C
Dạng 1 Xác một vectơ, sự cùng phương, cùng hướng:
* Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ
+ K/n Véctơ
+ K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm cuối
là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với AB
;
b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ;
c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB;
d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB
Bài 3: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA ;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB ;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ AB
; OB
b) Có độ dài bằng OB
HD:
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C} Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ
Bài 2:
Bài 3:
a DA AD BC CB AO OD DO FE EF , , , , , , , ,
b OC ED FO , ,
c Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó BB 'AB
* FO
là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB CC'AB
+ tương tự
Bài 4:
Trang 2A
B
o
E F
D B
A
C
a AB DC
,OB DO
b |OB| |BO| |DO| |OD|
* Phương pháp : Ta cĩ thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa: | | | |
, cùng hướng
a b
a b
+ Sử dụng tính chất của các hình Nếu ABCD là hình bình hành thì
,
AB DC BC AD
,…(hoặc viết ngược lại) + Nếu a b b c , a c
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC cĩ D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Chứng minh: EF CD
Bài 2: Cho tứ giác ABCD
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC
thì AD BC
Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA
Chứng minh : MN QP ; NP MQ
HD
Bài 1:
Cách 1: EF là đường trung bình của ABC nên EF//CD,
EF=1
2BC=CD EF=CD EF CD
(1)
EF
cùng hướng CD (2)
Từ (1),(2) EF CD
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF=1
2BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF CD
Bài 2:
Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành
CD AB CD
AB //
* AB DC
CD
AB
CD
AB
//
cùng hướng và AB DC
* AB và DC cùng hướng AB // CD (1)
* AB CD AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 3 : AB DC
AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành AD BC
2AC
Và đều //AC Vậy MNPQ là hình bình hành
đpcm
Dạng 3 Chứng minh đẳng thức vectơ:
Phương pháp: cĩ thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
Trang 3Gia sư : Tạ Xuân Hiếu SĐT :0354655580
2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Cơ sở : sử dụng các quy tắc về véctơ
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB
+ BC = AC
Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì AB
+ AD = AC
Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB OA AB
(hoặc OA OB BA
)hay AB OB OA
Tính chất trung điểm của đoạn thẳng :
Tính chất trọng tâm của tam giác :
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0
BÀI TẬP
BD = AD + BC
Bài 2 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD CMR :
a/
DO + AO = AB b/ OD + OC =BC
c/ OA + OB + OC + OD = 0 d/
MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý)
Bài 3 Cho tứ giác ABCD Gọi O là trung điểm AB.
CMR : OD + OC =
AD + BC
'
AA , BB , ' CC ' CMR :
'
AA + BB ' + CC ' = BA ' + CB ' + AC '.
Bài 5 : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm
đối xứng của A qua C với một điểm O bất kỳ, ta có:
' ' ' OB OC OA
OC OB
Bài 6: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O CMR :
a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 b) OA + OC + OE = 0
c) AB
+AO +AF =AD d) MA +MC
+ME = MB +MD +MF ( M tùy ý )
Cơ sở:
sử dụng các quy tắc về véctơ :
+ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB
+BC
= AC
+ Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì AB
+ AD
= AC
AB AD AC
A
D
Trang 4Gia sư : Tạ Xuân Hiếu SĐT :0354655580
+ Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB OA AB
(hoặc OA OB BA
)hay AB OB OA
AB OB OA
+ Nếu hai véc tơ a ,b cùng hướng thì |a +b| = |a |+|b|
+ Nếu hai véc tơ a b và |b| ≥ |a | thì |a +b|=|b||a |
BÀI TẬP
Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính
AD AB
b/ Dựng u =
CA AB Tính u
Bài 2 Cho ABC đều cạnh a Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính AB AC
b/ Tính
BA BI
Tính AB
; BC ; CD ; DA theo a và b
Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính AB AD
b/ Dựng u = AB AC Tính u
BÀI TẬP
Ví dụ 1 Cho a AB
và điểm O Xác định hai điểm M và N sao cho :
OM a ON a
Giải
Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O giá của a thì d là giá của a)
Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a|, OM
và a cùng hướng khi đó OM 3a
Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|a|, ON
và a ngược hướng nên ON 4a
5AB Tìm k trong các đẳng thức sau:
a AM k AB b MA k MB c MA k AB
Giải
A
D
O
a
M N
Trang 5Gia sư : Tạ Xuân Hiếu SĐT :0354655580
| |
5
| |
AM k AB k
AB AB
k=1 5 b) k= 1
1 5
Ví dụ 3
a) Chứng minh:vectơ đối của 5a là (5) a
b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2a+3b , a2b
Giải
a) 5a=(1)(5a)=((1)5) a= (5) a
b) (2a+3b)= (1)( 2a+3b)= (1) 2a+(1)3b=(2)a+(3)b =2a3b
c) Tương tự
Ví dụ 1.Cho ABC có trọng âtm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I
là giao điểm của AD và EF Đặt ;
u AE v AF Hãy phân tích các vectơ AI AG DE DC, , ,
theo hai vectơ ,
u v
AI AD AE AF u v
AG AD u v
0 ( 1)
DE FA AF u v
DC FE AE AF u v
vectơ u AB v AC ,
Giải
3
AM AB BM AB BC
mà BCAC AB
AM AB AC AB u v
Cơ sở:
+ A, B, C thẳng hàng ABcùng phương AC
0≠k k : AB k AC
+ Nếu AB kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=1
3
AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Giải
C
A
Trang 6Gia sư : Tạ Xuân Hiếu SĐT :0354655580
Ta có
1 2
2
BI BA BC
Ta có
1 3
3
BK BI BK BI
B, I, K thẳng hàng.
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
0
BC MA
, AB NA 3AC0
Chứng minh MN//AC
Giải
/ /
Theo giả thiết BCAM
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
M không thuộc AC MN//AC
BÀI TẬP
AB + 3AC = 5 CMR : B, C, D thẳng hàng.
MB = 3MC ; NA +3 NC = 0
và
PA + PB = 0
a/ Tính
PM, PN theo AB và AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng
Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm
đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm
Cơ sở:
+ AB 0 A B
+ Cho điểm A và a Có duy nhất M sao cho : AM a
+ ABAC B C AD BD ; A B
Giải
2
AG GD
A,G,D thẳng hàng
AG=2GD gà G nằm giữa A và D
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC
G
B
A
Trang 7K I
A
B
C
D
IA IB IA IB IA IB
hay IA=2IB , IA IB
Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=1
3AB
Giải
Ta có GA GB 2GI
, trong đó I là trung điểm AB Tương tự GC GD 2GK
, K là trung điểm CD
0
hay GI GK
G là trung điểm IK
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :
AD + BC = 2 EF
b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0
c/ CMR :
MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho
MA +
MB+
MC+
MD nhỏ nhất
Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
AF + BG + CH + DE = 0
b/ CMR :
MA +MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH
c/ CMR : AB AC +
AD= 4AG (với G là trung điểm FH)
Bài 3: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H
CMR :
AD + BE + CF = 3GH
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD CMR :
a/ OA + OB + OC + OD = 0
b/
EA + EB + 2EC = 3AB
c/
EB + 2EA + 4 ED = EC
AN = 21 NC Gọi K là trung điểm của MN
a/ CMR :
AK = 41 AB + 16 AC b/ CMR : KD = 41 AB + 13 AC
AD = 2DB , CE = 3 EA Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC CMR :
a/
AM = 31 AB + 8 1 AC
b/
MI = 61 AB + 8 3 AC