Đây là đề thi vào 10 chuyên toán chính thức của trường thpt chuyên lương văn tụy ninh bình, có hướng dẫn chấm chi tiết. Trường thpt chuyên LVT là một trong số những trường chuyên top đầu trong hệ thống trường chuyên của nước ta, trường đã trải giành được rất nhiều giải thưởng và danh hiệu vô cùng cao quý. Đề thi chuyên Toán của trường luôn được đánh giá hay, phân loại tốt và kiến thức thi vô cùng đa dạng, hữu ích cho những em học sinh lớp 9 đang ôn thi vào 10 chuyên toán ninh bình nói riêng và cả nước nói chung. Chúc các em học file tài liệu này sẽ đỗ vào lớp 10 chuyên toán của trường thpt chuyên mà mình mong ước.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn: TOÁN – VÒNG II
Thời gian làm bài 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (3 điểm): Cho biểu thức: P x x 4 : x 2 x x 5 x x 2 x 2 x 1 x x 2 với xR và x ≥ 0, x ≠ 4 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x thỏa mãn P = 4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 2 (3 điểm): a) Rút gọn A = 5 3 29 12 5 b) Giải phương trình: 4x 2 y 2 4xy 4x 2y 2 x y 2 1 c) Giải hệ phương trình:
x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 x 1 Câu 3 (1 điểm): Cho tam giác ABC có BAC 75 0 , đường cao AH, H thuộc đoạn BC và BH = 3 CH Chứng minh rằng: AH = BH Xác định số đo các góc ABC, ACB Câu 4 (2 điểm): Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O, bán kính R và C là điểm giữa của cung AB Trên đoạn OC lấy điểm M, N sao cho OC = 2OM = 3ON; tia AM cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai D; tia BN cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai E; gọi I là giao điểm của AM và BN a) Tính diện tích tam giác IAB theo R b) Chứng minh rằng: Góc DOE có số đo bằng 90 0 Câu 5 (1 điểm): Cho ba số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 = z2 Chứng minh rằng: xy 12
-HẾT -Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Họ và tên, chữ ký của giám thị 1:
Họ và tên, chữ ký của giám thị 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn: TOÁN – VÒNG II
Hướng dẫn chấm gồm 4 trang
I Hướng dẫn chung.
1 Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó
2 Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau
3 Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm
4 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất
5 Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm
6 Tuyệt đối không là tròn điểm
II Hướng dẫn chi tiết.
Câu 1 ( 3 điểm):
a) 1 điểm
(x x ) 4( x 1) ( x 2)( x 2) (x x 5)
:
: ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2)
x 3 x 4
x 1
b) 1 điểm
0,25 0,25 0,25 0,25
0,5
Trang 3
x 3 x 4
x 1
x 0
x 1
Kết luận: x = 0; x = 1
0,5
c) 1,0điểm
Áp dụng BĐT liên hệ giữa TBC và TBN (BĐT Cô-si)
2 2 1
P
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 2 x 1 2 x 2 1 x 3 2 2
x 1
Vậy Min P = 2 2 1 , đạt được khi x 3 2 2
0,25
0,25 0,25 0,25 Câu 2 (3 điểm):
a (1 điểm):
A = 5 3 ( 2 5 3 ) 2
= 5 6 2 5
= 5 ( 5 1) 2
= 5 ( 5 1 )=1
0,25 0,25 0,25 0,25
b (1 điểm):
Điều kiện: x y 2
4x 2 y 2 4xy 4x - 2y - 2 x y - 2 -1
2 2
(2x - y) - 2(2x - y) 1- 2 x y - 2 0
(2x - y -1) 2 x y - 2 0
2x - y -1 0
x y - 2 0
x 1
y 1
Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1)
0,25
0,25 0,25
0.25
Trang 4c (1 điểm):
Điều kiện xác định: x, y, z ≥ 0
Giả sử x = Max{x; y; z} x Max{ x, y, z} z=Max{x; y; z}
x = z x = y = z
2 x x 1 x 2 x 1 0 x 1 2 x 3 2 2
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x y z 3 2 2
0,5 0,25 0,25 Câu 3 (1 điểm):
ABH BAH 90 )
ACH 60
ABH ACH 180 ABC 105 )
tan ACH tan 60 3
CH
+ Nếu AH < BH thì tương tự trên ta suy ra mâu thuẫn
Do đó: AH = BH
Dễ thấy khi đó tam giác ABC có ABC 45 , ACB 60 0 0
0.25
0.25
0,25 0,25 Câu 4 (2 điểm):
a) 1 điểm
Kẻ IH vuông góc với AB tại H IH || OC3
0.25 0.25 0.25
A
H
B
D
C E
A
O H
M N I
Trang 5IH AH IH OM 1
Mà AH + BH = AB = 2R
4R AH
2R
BH
5
2 IAB
0.25
0.25
b) 1 điểm
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác IAH và OBN ta có: 2 2 2R
5
3
Ta có: AEB NOB AE AB AE AB.NO 2R
Trong tam giác AEI có: AEI 90 0,
EAI 45
hay EAD 45 0
Mặt khác EOD 2.EAD EOD 90 0
0,25 0.25
0,25
0,25 Câu 5 (1 điểm) :
*) Nhận xét: Với mọi số nguyên a ta có
2 2
Thật vậy: Giả sử a 3 a 3k 1 a 2 9k 2 6k 1 1(mod3)
Do đó:
Nếu x và y đều không chia hết cho 3 thì
2
2 2
Suy ra: Ít nhất một trong hai số x, y phải chia hết cho 3 xy 3
*) Nếu x, y cùng lẻ thì suy ra z chẵn
2
2 2
2 2
x 1(mod4)
z 2(mod4)
z 0(mod4)
z 0(mod4)
*) Nếu x, y cùng chẵn thì xy 4 xy 12
0.25 0.25
Trang 6*) Nếu trong hai số x, y có một số chẵn và 1 số lẻ.
Giả sử x lẻ, y chẵn thì suy ra z lẻ
2
2
4
xy
xy
0.25