Đây là đề thi vào 10 chuyên toán chính thức của trường thpt chuyên lương văn tụy ninh bình, có hướng dẫn chấm chi tiết. Trường thpt chuyên LVT là một trong số những trường chuyên top đầu trong hệ thống trường chuyên của nước ta, trường đã trải giành được rất nhiều giải thưởng và danh hiệu vô cùng cao quý. Đề thi chuyên Toán của trường luôn được đánh giá hay, phân loại tốt và kiến thức thi vô cùng đa dạng, hữu ích cho những em học sinh lớp 9 đang ôn thi vào 10 chuyên toán ninh bình nói riêng và cả nước nói chung. Chúc các em học file tài liệu này sẽ đỗ vào lớp 10 chuyên toán của trường thpt chuyên mà mình mong ước.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN Ngày thi: 27/6/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (2 điểm).
1 Với x , rút gọn biểu thức 2
( )
A x
2 Cho x y là nghiệm của phương trình , x y2 2xy 4x y 0 Tìm giá trị lớn nhất
của y.
Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức:
P
với a, b, c là các số thực làm cho P xác định và thoả mãn điều kiện:
0
a b c ab bc ca abc Chứng minh rằng P = 1.
Câu 3 (2,5 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Kẻ các đường
cao AA’, BB’, CC’ Gọi S và ' S lần lượt là diện tích của các tam giác ABC và A’B’C’.
1 Chứng minh: AO vuông góc với B’C’.
2 Chứng minh: S = 1
2P.R (với P là chu vi tam giác A’B’C’).
3 Chứng minh: 2 2 2 '
cos A cos B cos C 1 S
S
Câu 5 (1 điểm) Trên một đường tròn ta viết theo chiều kim đồng hồ 2 số 1 và 48 số 0 theo thứ
tự 1, 0, 1, 0, …, 0 Ta được phép biến đổi các số trên đường tròn như sau: tại mỗi bước chọn
hai số bất kì nằm liền kề nhau, giả sử là x và y rồi thay x bởi x và thay y bởi 1 y 1 Chứng minh rằng không thể thu được một dãy 50 số bằng nhau sau một số hữu hạn các phép biến đổi như trên.
HẾT
Họ và tên thí sinh : Số báo danh:
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:
Giám thị 2:
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN - Ngày thi 27/6/2012
(Hướng dẫn chấm này gồm 02 trang)
I Hướng dẫn chung
1 Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó
2 Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau
3 Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm
4 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm
đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất
5 Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm
6 Tuyệt đối không làm tròn điểm
II Hướng dẫn chi tiết
Câu
1
(2,0
điểm
)
1 (1,0 điểm)
Với x > 2 thì A có nghĩa Ta có:
A
A
2 (1,0 điểm)
x y xy x y yx y x y (1)
* Nếu y = 0 thì x = 0 phương trình (1) có nghiệm 0,0 0,25
* Nếu y 0: Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y.
PT (1) có nghiệm ' y 22 y2 0 4 4 y 0 y1 0,5 Với y 1 PT (1) có dạng x2 2x 1 0 x 12 0 x1
Câu
2
(1,5
điểm
)
Đẳng thức điều kiện tương đương với 1 a 1 b 1 c 1 1 a, 1 b, 1 c 0 0,5
Ta có: P 1 (1 ) (11 )(1 ) 1 (1 ) (11 )(1 ) 1 (1 ) (11 )(1 )
1
a P
0,5
Câu
3
(2,5
điểm
)
1 (1,5 điểm)
Từ hệ suy ra:
Thế vào PT thứ nhất của hệ ta được: 2x4 2 x4 1 x1
Với x = 1 thì y =1, với x = -1 thì y = -1.
0,5
Trang 3Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (1,1) và (-1,-1).
2 (1,0 điểm)
Ta có: Q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 4 1 4 1 4
Q = 64 khi x = y = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là bằng 64. 0,25
Câu
4
(3,0
điểm
)
1 (1,0 điểm)
Tứ giác BCB’C’ có BC C BB C' ' 90o nên nội tiếp được đường tròn CBA C B A ' ' 0.25
90 2
Lại có CBA và AOC lần lượt là góc nội tiếp và góc
ở tâm chắn cung AC CBA 12AOC 0.25
Do đó C B A OAC' ' 900 OA B C ' ' 0.25
2 (1,0 điểm)
Theo ý 1 thì OA B C ' ', chứng minh tương tự OBA C OC' '; A B' ' 0.25
Ta có: S ABC S OB AC' ' S OC BA' ' S OA CB' ' 0.25
1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1
2OA B C 2OB A C 2OC A B 2P R
3 (1,0 điểm)
'
A
Chứng minh tương tự: BA C' ' cos ; 2 CA B' ' cos2
Câu
5
(1,0
điểm
)
Kí hiệu các số trên đường tròn lần lượt theo chiều kim đồng hồ là x x1, , ,2 x với50
1 1, 2 0, 3 1, 4 0, , 50 0
Xét tổng I x1 x2 x3 x4 x5 x6 x49 x50
0,5
Giá trị của I không thay đổi khi thay thế cặp số liền kề nhau x y bởi cặp số,
x1,y1 Với cách viết ban đầu ta có I = 2, giả sử thu được dãy 50 số bằng
nhau ta có I = 0, mâu thuẫn.
Vậy không thể nhận được một dãy 50 số bằng nhau sau một số hữu hạn các phép
biến đổi
0,5
-Hết -C'
B'
B
A
O