Đây là đề thi vào 10 chuyên toán chính thức của trường thpt chuyên lương văn tụy ninh bình, có hướng dẫn chấm chi tiết. Trường thpt chuyên LVT là một trong số những trường chuyên top đầu trong hệ thống trường chuyên của nước ta, trường đã trải giành được rất nhiều giải thưởng và danh hiệu vô cùng cao quý. Đề thi chuyên Toán của trường luôn được đánh giá hay, phân loại tốt và kiến thức thi vô cùng đa dạng, hữu ích cho những em học sinh lớp 9 đang ôn thi vào 10 chuyên toán ninh bình nói riêng và cả nước nói chung. Chúc các em học file tài liệu này sẽ đỗ vào lớp 10 chuyên toán của trường thpt chuyên mà mình mong ước.
Trang 1-HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN – VÒNG II
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 06 câu trong 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm):
, với a, b > 0 và a ≠ b
a) Rút gọn P
b) Tính P biết a > b và a, b là hai nghiệm của phương trình x2 – 6x + 1 = 0
Câu 2 (1,5 điểm):
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c ≠ 0 và a + b + c = 0 Chứng minh rằng:
a) a3 + b3 + c3 = 3abc
b) 2 a22 2 2 b22 2 2 c22 2 3
a b c b c a c a b 2
Câu 3 (2,5 điểm):
a) Tìm các bộ ba số thực (x; y; z) thoả mãn phương trình:
x + y + z + 4 = 2 x 2 4 y 3 6 z 5 b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y = 16 Chứng minh rằng: x2 + xy + y2 192
c) Giải hệ phương trình: 2x y x y 42
x xy y 192
Câu 4 (1,0 điểm):
Trong 2009 số tự nhiên từ 1 đến 2009 chọn ra n số bất kỳ đôi một phân biệt (n ≥ 2) sao cho tổng của chúng chia hết cho 8 Trong các cách chọn thoả mãn yêu cầu trên số n lớn nhất có thể là bao nhiêu?
Câu 5 (2,0 điểm):
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O), gọi I là giao của hai đường chéo AC và
BD Dựng các đường kính CC’ và DD’ của đường tròn (O), gọi K là giao của BC’ và AD’
a) Dựng điểm E đối xứng với điểm B qua đường thẳng IK Chứng minh rằng: Tứ giác AIKE nội tiếp
b) Chứng minh rằng: Ba điểm O, I, K thẳng hàng
Câu 6 (1,0 điểm):
Tìm các bộ hai số nguyên dương (x; y) thỏa mãn phương trình:
x 2y 3xy 2x 4y 3 0
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Họ và tên, chữ ký của giám thị 1:
Họ và tên, chữ ký của giám thị 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN – VÒNG II (Đề thi vào lớp chuyên Toán, Tin)
Hướng dẫn chấm gồm 3 trang
I Hướng dẫn chung.
1 Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó, có thể sử dụng kết quả câu trước
làm câu sau.
2 Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
3 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất, không làm tròn điểm.
II Hướng dẫn chi tiết.
Câu 1 ( 2 điểm):
a (1.5 điểm):
:
a b b b( a b) a a ( b a ) (a b)( b a )( a b)
:
a b b ab b a ab a (a b ) a b b ab a ab
a b ab( b a )( a b) a b ab( b a )( a b)
a b
a b ( b a )( a b) a b
0,5 0,5 0,25 0,25
b (1 điểm):
Cách 1 Theo định lí Vi-ét: a b 6ab 1
2
P a b a b 2 ab 6 2 4
Vì a b P 0 P 2
Cách 2 Phương trình x2 – 6x + 1 = 0 có hai nghiệm x 3 2 2
Vì a b a 3 2 2, b 3 2 2
P 3 2 2 3 2 2 ( 2 1) ( 2 1) 2 1 ( 2 1) 2
0.25
0,25
Câu 2 (2 điểm):
a (0.5 điểm):
0,25
Trang 3a + b + c = 0 c = - (a + b) a3 + b3 + c3 = a3 + b3 – (a + b)3
= - 3ab(a + b) = 3abc
0.25
b (1 điểm)
a + b + c = 0 a = - b - c a2 = b2 + 2bc + c2 a2 - b2 - c2 = 2bc
Tương tự có: b2 - c2 - a2 = 2ac , c2 - a2 - b2 = 2ab
0,5 0,25 0,25 Câu 3 (2 điểm):
a (1 điểm):
Điều kiện: x 2, y 3, z 5
x + y + z + 4 = 2 x 2 4 y 3 6 z 5
(x 2 2 x 2 1) (y 3 4 y 3 4) (z 5 6 z 5 9) 0
( x 2 1) ( y 3 2) ( z 5 3) 0
z 14
z 5 3 0 z 5 3
0,25
0,25 0,25 0,25
b (0.5 điểm):
4
2
0 (x y)
2
(x y)
xy x, y R
4
x2 + xy + y2 = (x + y)2 – xy
2 (x y) 3(x y) 3.16
Đẳng thức xảy ra x y = 8.
Cách 2: x2 + xy + y2 =
2
3(x y) 4
(x y)2 3(x y)2
192
8.
0.25
0.25
c (1 điểm)
Điều kiện: x y 0
x y 0
x y x y 4 x y 4 x y 16
x2 + xy + y2 3(x y)2
4
4
x y 16 x y 8
0.25 0.25 0.25
Trang 4Câu 4 (1 điểm):
S = 1 + 2 + 3 + …+ 2009 = 2009.2010 2019045
2 Suy ra S chia cho 8 dư 5
5 8
S
, do đó số n lớn nhất là 2008
0.5 0.5 Câu 5 (2 điểm):
a) 1 điểm
IEK IBK (vì B, E đối xứng với nhau qua KI)
0.25 0.25 0.25 0.25
b 1 điểm
Tứ giác AIKE nội tiếp EAKEIK
EIK BIK (vì B, E đối xứng với nhau qua KI)
BIK EBt (cùng phụ với góc EBI)
' ' 1800
E nằm trên đường tròn tâm (O, R)
Mà IK là trung trực của BE suy ra IK đi qua O (ĐPCM)
0.25
0.25 0.25
0.25
Câu 6 (1 điểm)
2 2 2 3 2 4 3 0 2 3 2 2 2 4 3 0
x y xy x y x y x y y (1)
Nếu pt (1) có nghiệm nguyên theo x, thì:
3y 2 4 2y 4y 3 y 4y 8
là số chính phương
(y 2 k y)( 2 k) 12
Ta có: Tổng y 2 k(y 2 k) 2( k2) là số chẵn nên
y 2 k; (y 2 k) cùng chẵn hoặc cùng lẻ Mà 12 chỉ có thể bằng tích 1.12 hoặc 2.6
0.25
0.25
D’
D
E
B
t A
C
Trang 5hoặc 3.4 và y + 2 + k > 0, y + 2 + k > y + 2 – k nên chỉ có các hệ phương trình sau:
( ; ) (1; 2),(3; 2)x y
0.25