Đây là đề thi vào 10 chuyên toán chính thức của trường thpt chuyên lương văn tụy ninh bình, có hướng dẫn chấm chi tiết. Trường thpt chuyên LVT là một trong số những trường chuyên top đầu trong hệ thống trường chuyên của nước ta, trường đã trải giành được rất nhiều giải thưởng và danh hiệu vô cùng cao quý. Đề thi chuyên Toán của trường luôn được đánh giá hay, phân loại tốt và kiến thức thi vô cùng đa dạng, hữu ích cho những em học sinh lớp 9 đang ôn thi vào 10 chuyên toán ninh bình nói riêng và cả nước nói chung. Chúc các em học file tài liệu này sẽ đỗ vào lớp 10 chuyên toán của trường thpt chuyên mà mình mong ước.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN Ngày thi: 12/6/2014
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức A 1 a 3 a : a 2 a 3 9 a a 9 a 3 2 a a a 6 vớia 0; a 4; a 9 a) Rút gọn A b) Tìm a để A A 0 Câu 2 (2,0 điểm). 1 Giải phương trình: 29 x x 3 x 2 26x177 2 Giải hệ phương trình: 2 2 x 2y xy x y x 2y y x 1 2x y 1 Câu 3 (2,0 điểm) 1 Cho hai phương trình: x2bx c 0 (1) và x2 b x bc 02 (2)
(trong đó x là ẩn, b và c là các tham số) Biết phương trình (1) có hai nghiệm x1và x2, phương trình (2) có hai nghiệm x3và x4thoả mãn điều kiện x3 x1x4 x2 1 Xác định b và c 2 Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p + 1)(p - 1) chia hết cho 24 Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB, vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác A) Đường thẳng DE cắt MN tại I Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, D, M, I cùng thuộc một đường tròn b) MI.BE BI.AE c) Khi điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 5b a 5c b 5a c P ab 3b bc 3c ca 3a
-HẾT -Họ và tên thí sinh : Số báo danh:
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:
Giám thị 2:
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: Toán - Ngày thi 12/6/2014
(Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)
I Hướng dẫn chung
1 Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó
2 Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau
3 Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm
4 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm
đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất
5 Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm
6 Tuyệt đối không làm tròn điểm
II Hướng dẫn chi tiết
Câu 1
(2,0
điểm)
1 (2,0 điểm)
a (1,25 điểm)
, vớia 0; a 4; a 9
A
2
3
3 2
a
3 2
b (0,75 điểm)
2
Câu 2
(2,0
điểm)
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Áp dụng BĐT Bunhiakopxki ta có: (VT) 2 =
29 x x 3 22.(29 x x 3) 64
VT 29 x x 3 8 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 13.
0,25 Mặt khác VP = x2 - 26x + 177 = (x – 13)2 + 8 8 0,25
Trang 3Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 13
Do đó VT = VP x 13 ( Thoả mãn ĐKXĐ ).
Vậy x = 13 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 0,25
2 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
x 2y y x 1 2x y 1
Phương trình (1) (x + y)(x - 2y - 1) = 0
Thay x = 2y + 1 vào (2) tacó:
9
2
Khi đó x = 2.9
2+ 1 = 10; Ta có x = 10; y =9
2 (thỏa mãn đk (*))
Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x; y) = (10;9
Câu 3
(2,0
điểm)
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
x2bx c 0 (1) ; x2 b x bc 02 (2)
Với x3 x1x4 x21 x3 x1 1; x4x21
Theo hệ thức Viét ta có
1 2
1 2
2
(3)
x x c
0,25
Từ (3) và (5) b2 + b - 2 = 0 b = 1 hoặc b = - 2
Từ (3), (4), (6) x x1 2. x1x2 1 bc c - b + 1 = bc (7) 0,25 +) Với b = 1 thì (7) luôn đúng với mọi c , phương trình (1) trở thành
2 0
x x c , pt (2) trở thành x2 x c 0 cùng có 1 4c
Hai pt có nghiệm khi 0 1
4
c , khi đó:
Phương trình (1) có nghiệm x1 1 1 4c; x2 1 1 4c
Phương trình (2) có nghiệm x3 1 1 4c; x4 1 1 4c
Thỏa mãn ĐK: x3 x1x4 x21
Vậy b = 1 và 1
4
c là các giá trị cần tìm (8)
0,25
+) Với b = - 2 thì (7) trở thành c + 3 = - 2c c = - 1
phương trình (1) trở thành: x2 - 2x - 1 = 0 có 2 nghiệm là
1 1 2; 2 1 2
phương trình (2) trở thành: x2 4x 2 0 có 2 nghiệm là
3 2 2; 4 2 2
0,25
Trang 4Thỏa mãn ĐK: x3 x1x4 x2 1
b = - 2; c = - 1 là các giá trị cần tìm (9)
Từ (8) và (9) ta có (b = 1; 1
4
c ) hoặc (b = - 2; c = - 1)
1 (1,0 điểm)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3 0,25 Đặt p = 2k +1 ( k Z , k > 1) Suy ra A = (p+1)(p-1) = 2k(2k+2) = 4k(k+1) 8
suy ra A 8 (1) 0,25
Ta có (p-1)p(p+1) 3 , mà 3 là số nguyên tố, p không chia hết cho 3
Câu 4
(3,0
điểm)
(3,0 điểm)
N
Q
H
K
I
M D
E
B
A
O
O'
C
0,25
Chú ý: trường hợp hình vẽ có điểm H nằm ngoài đoạn OOthì lời giải tương tự.
a (0,75 điểm)
Ta có: BDE BAE (cùng chắn cung BE của đường tròn tâm O) 0,25
BAE BMN (cùng chắn cung BN của đường tròn tâm O') 0,25
BDE BMN hay BDI BMI mà hai điểm D và M nằm cùng phía so với BI
suy ra 4 điểm B, D, M, I cùng thuộc một đường tròn (quỹ tích cung chứa góc). 0,25
b (0,75 điểm)
MDI MBI (cùng chắn cung MI) mà MDI ABE (cùng chắn cung AE của
AE BE MI.BE = BI.AE
0,25
Trang 5c (1,25 điểm)
Ta có CD, CE là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên suy ra CD OD.
và CD = CE ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
Gọi Q là giao điểm của CO và DE OC là trung trực của DE
OC DE tại Q
Áp dụng hệ thức lượng vào OCD vuông tại D có DQ là đường cao có:
OQ.OC = OD 2 = R 2 (1)
0,25
Gọi K giao điểm của hai đường thẳng OO' và DE; H là giao điểm của AB và
Xét KQO và CHO có Q H 90 ; O 0 chung
OC.OQ KO.OH (2)
Từ (1) và (2) KO.OH R2 OK R2
OH
Vì O, H cố định và R không đổi OK không đổi (H và K nằm trên tia OO')
0,25
Câu 5
(1,0
điểm)
(1,0 điểm)
Vì a, b > 0 nên ta luôn có: (a + b)(a - b)2
0, dấu bằng xảy ra khi a = b 0,25 (a + b)(a - b)2
0 a3 + b3 - a2b - ab2
0 5b3 - a3
6b3 - a2b -
ab2
5b3 - a3
(ab + 3b2)(2b - a)
3 3 2
ab 3b
, dấu "=" khi a=b, (1)
0,25
Tương tự ta có :
5c3 b32 2c b
bc 3c
, dấu "=" khi b=c (2) 5a3 c32 2a c
ca 3a
, dấu "=" khi c=ba (3)
0,25
cộng theo vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:
P 5b3 a32 5c3 b32 5a3 c32 a b c 3
ab 3b bc 3c ca 3a
(4) Dấu "=" trong (4) xảy ra khi (1), (2), (3) có dấu bằng a = b = c và
a+b+c = 3 a = b = c =1
Vậy GTLN của P là 3 khi a = b = c = 1.
0,25