Thông tin số chương 4

Mã vòng Giải mã Dùng phương pháp bẫy lỗi: - Dịch rx sang phải 1 bit, chia cho gx  số dư qx.. - Cộng rx với qx, sau đó dịch trái số bit bằng đúng số lần dịch phải.. - Dùng phương pháp bẫ

Chương 4 1

1 Mã vòng

2 Mã chập

CHƯƠNG 4: MÃ HÓA KÊNH

MÃ HÓA KÊNH

Phân loại mã hóa kênh

1:11 PM Chương 3 3

Mã hoá kênh

Mã khối tuyến tính

 Trọng số Hamming: tổng số thành phần khác 0 của vector

t = {0,1,1,0,0,0,1}  w(t) = 3

 Khoảng cách Hamming: trọng số của vector t1 t2

t1= {0,1,1,0,1}

t2= {0,1,0,1,1}  t1 t2= {0,0,1,1,0}  d(t1,t2) = 2

 Số bit sai tối đa mã tuyến tính có thể phát hiện:

t = dmin– 1; dmin: khoảng cách Hamming nhỏ nhất của bộ mã

 Số bit sai tối đa mã tuyến tính có thể sửa:

t = (dmin– 1)/2

Mã hoá kênh

Mã khối tuyến tính

 Là một tập hợp các vector có chiều dài cố định gọi là từ mã (codeword)

 Số phần tử của một vector gọi là kích thước từ mã , ký hiệun

 Mã thường sử dụng là mã nhị phân  có tất cả 2ntừ mã khác nhau

 Mã hình thành bằng cách chọn M = 2ktừ mã  tạo thành bộ mã (n,k)

1:11 PM Chương 3 5

Mã hoá kênh

Mã khối tuyến tính

 Các phép toán thực hiện trên trường GF(2)

 Phép cộng: tương tự EX-OR

 Phép nhân: tương tự AND

Mã vòng

Đa thức mã

t = a0a1…an–2an–1là một từ mã:

t(x) = a0+ a1x + … + an–2xn-2+ an–1xn-1là đa thức mã

Đa thức sinh

- Đa thức sinh g(x) của mã vòng C(n, k) có bậc n – k

- Đa thức sinh của mã vòng C(n,k) là ước số của xn+ 1

Đa thức mã biểu diễn theo dạng:

t(x) = u(x)g(x)

Chương 4 7

Mã vòng

Đa thức sinh

Mã vòng C(7,4)

x7+1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)

Đa thức sinh có bậc n – k = 7 – 4 = 3

g(x) = x3+x+1 g(x) = x3+x2+1

Mã hoá

B1: Nhân đa thức thông báo u(x) với xn-k

B2: Chia cho g(x) để tìm đa thức dư q(x): q(x) = xn-ku(x) mod g(x)

B3: t(x) = u(x) + xkq(x)

Mã vòng

Mã hoá

Mã vòng C(7,4) có đa thức sinh g(x) = x3+x+1

Thông báo u = 1010  u(x) = 1 + x2

B1: x3u(x) = x5+ x3

B2: x5+ x3= x2(x3+x+1) + x2 q(x) = x2

B3: t(x) = u(x) + x4q(x) = 1 + x2+ x6 t = [1 0 1 0 0 0 1]

Chương 4 9

Mã vòng

Giải mã

Tính đa thức sửa sai (syndrome):

Đa thức thu r(x) S(x) = r(x) mod g(x) S(x) = 0 Không sai  thu chính xác

S(x)  0 Có sai  kiểm tra bảng coset leader

Mã vòng C(7,4) có đa thức sinh g(x) = x3+x+1

r = [0 0 1 0 1 1 0]  r(x) = x2+ x4+ x5 S(x) = 1 + x2  có sai

r = [0 0 1 1 0 1 0]  r(x) = x2+ x3+ x5= x2(x3+x+1)  S(x) = 0  không sai

Mã vòng

Giải mã

r = [0 0 1 0 1 1 0]  r(x) = x2+ x4+ x5 S(x) = 1 + x2 S = 101

Bảng coset leader:

Coset leader Syndrome

0000000 000

0000001 101

0000010 111

0000100 011

0001000 110

0010000 001

0100000 010

1000000 100

e = [0 0 0 0 0 0 1]

r = [0 0 1 0 1 1 1]

Mã vòng

Giải mã

Dùng phương pháp bẫy lỗi:

- Dịch r(x) sang phải 1 bit, chia cho g(x)  số dư q(x)

- Nếu w(q(x)) > 1: tiếp tục thực hiện như trên

- Cộng r(x) với q(x), sau đó dịch trái số bit bằng đúng số lần dịch phải

r = [0 0 1 0 1 1 0]  S(x) = 1 + x2  có sai

- Dịch phải 1 bit  r = [0 0 0 1 0 1 1]  q = [1 0 0], w(q) = 1

- r + q = [1 0 0 1 0 1 1]  dịch trái 1 bit: r = [0 0 1 0 1 1 1]  u = [0 0 1 0]

Mã vòng

Mã vòng C(7,4) có đa thức sinh g(x) = x3+x2+1

a Thông báo u = 0011  t = ?

b r = [0 1 1 1 1 0 1]  u = ?

- Dùng bảng coset leader

- Dùng phương pháp bẫy lỗi

c r = [0 1 1 1 0 0 1]  u = ?

Coset leader Syndrome

0000000 000

0000001 011

0000010 110

0000100 111

0001000 101

0010000 001

0100000 010

1000000 100

Chương 4 13

Mã chập

- Số bit ngõ vào: k

- Số bit ngõ ra: n

- Các bit ngõ ra phụ thuộc vào K – 1 bộ k bit vào trước đó

- L = kK: độ dài ràng buộc

Mã chập (n,k,L)

R = k/n: tỷ lệ mã Thường xét: R = 1/2

Ví dụ bộ mã hóa của mã chập:

( 1) 2(2 1) 6

n L   

Mỗi một bít ngõ vào

ảnh hưởng đến 6 bít

liên tiếp ở ngõ ra

Số trạng thái của máy

trạng thái: 2k.L

Mã chập

Chương 4 15

Ví dụ bộ mã hóa của mã chập (3,2,1):

Mỗi 1 bit ngõ vào sẽ

ảnh hưởng 3(1+1) = 6

bit ngõ ra liên tiếp

Mã chập

Ví dụ bộ mã hóa của mã chập (3,2,2):

Mã chập

Chương 4 17

m

1

u

2

u

Bit mã hóa 1

Bit mã hóa 2

2

1,u

u

Mã chập

Xét bộ mã có R = ½, K = 3

Mã chập

1 0 0

1

t

1

u

2

u

1 1

2

1 u u

1 0 1

3

t

1

u

2

u

0 0

2

1 u u

0 1 0

4

t

1

u

2

u

0 1

2

1 u u

0 1 0

2

t

1

u

2

u

0 1

2

1 u u

Xét bộ mã có R = ½, K = 3

m = 101 Trạng thái đầu: 00

Chương 4 19

Mã chập

0 0 1

5

t

1

u

2

u

1 1

2

1 u u

0 0 0

6

t

1

u

2

u

0 0

2

1 u u

Encoder )

101

(



Đa thức sinh

mj mj – 1 mj - 2 mj - 3

V(1)

V(2)

u

(2,1,3) encoder

g(1)= [1011]

g(2)= [1111]

Mã chập

Chương 4 21

Phương trình mã hóa:

mj mj – 1 mj - 2 mj - 3

V(1)

V(2)

u

(2,1,3) encoder

V(1)= U * g(1)

V(2)= U * g(2)

Bít ngõ ra thứ l, trên nhánh thứ j

0 1 1 0

1, 2, ,

1

m

i

m L





 



Mã chập

Mã chập

Biểu diễn mã – Dạng đa thức

- Có n đa thức sinh

- Mỗi đa thức có bậc K-1 diễn tả có kết nối các bit của thanh ghi dịch

đến các bộ cộng mdulo 2 hay không

2 2

) 2 ( 2 )

2 ( 1 ) 2 ( 0 2

2 2

) 1 ( 2 )

1 ( 1 ) 1 ( 0 1

1

) (

1

) (

X X

g X g g X

X X X

g X g g X























g

g

Chương 4 23

Mã chập

Biểu diễn mã – Dạng đa thức

11 10

00 10

11

) 1 , 1 ( ) 0 , 1 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 1 ( ) 1 , 1 ( ) (

0 0 0 1 ) (

)

(

0 1

) (

)

(

1 ) 1 )(

1 ( ) (

)

(

1 ) 1

)(

1 ( ) (

)

(

4 3

2

4 3 2

2

4 3 2 1

4 2

2 2

4 3 2

2 1



























































U U

g

m

g

m

g

m

g

m

X X

X X

X

X X X

X X

X

X X X X X

X

X X

X X

X

X X X X

X X

X

X

1 bits ngõ vào

2 bits ngõ ra

Mã chập

Biểu diễn mã – Dạng cây mã

Chương 4 25

Mã chập

Biểu diễn mã – Sơ đồ trạng thái

Current state input Next state output

S0 00

S1 01

S2 10

S3 11

00

11

0

S

1

S

2

S

3

S

1/11

1/00

1/01

1/10

0/11 0/00

0/01 0/10

Input

Output

Mã chập

Time

i

t ti1

State

00

0 

S

01

1

S

10

2 

S

11

3 

S

0/00

1/10

0/11 0/10 0/01

1/11

1/01

0/10 0/01

1/11

1/01 1/00

Biểu diễn mã – Sơ đồ lưới (trellis)

Chương 4 27

Mã chập

0/11

0/10

0/01

1/11

1/01

1/00

0/00

0/11 0/10 0/01

1/11

1/01 1/00

0/00

0/11 0/10 0/01

1/11

1/01 1/00

0/00

0/11 0/10 0/01

1/11

1/01 1/00

0/00

0/11 0/10 0/01

1/11

1/01 1/00 0/00

6

t

1

Input bits Output bits

Tail bits

1/11

0/00

0/10 1/11

1/01

0/00

0/11 0/10 0/01

1/11

1/01 1/00

0/00

0/11 0/10 0/01

0/00

0/11 0/00

Input bits Output bits

Tail bits

Mã chập

Chương 4 29

Vẽ sơ đồ trạng thái và trellis của sơ đồ sau:

Vẽ sơ đồ trạng thái và trellis:

g1= [110], g2= [101]

Giải mã - Maximum likelihood decoding (giải mã ước lượng hợp

lý nhất)

- Tìm các nhánh mã (code branch) gần với các tín hiệu phát nhất

- Nguyên tắc: tính toán khoảng cách Hamming cho mỗi nhánh và chọn nhánh

có khoảng cách Hamming nhỏ nhất

Mã chập

S0= 00; S1= 01; S2= 10; S3= 11

Mã chập

Giải mã - Maximum likelihood decoding (giải mã ước lượng hợp

lý nhất)

S0 00

11

11

00

10

01

10

01

01

10

11

00

10 01

11

00 11

10 01 10 11 00

11

1

11

S3

S2

S1

S3

00

10 01

11

10

01 00

01

10

Path Code Khoảng cách

Hamming Path Code Khoảng cách Hamming

0,0,0,0 00,00,00,00 5 1,0,0,0 11,10,11,00 6

0,0,0,1 00,00,00,11 3 1,0,0,1 11,10,11,11 4

0,0,1,0 00,00,11,10 4 1,0,1,0 11,10,00,10 5

0,0,1,1 00,00,11,01 4 1,0,1,1 11,10,00,01 5

0,1,0,0 00,11,10,11 2 1,1,0,0 11,01,01,11 3

0,1,0,1 00,11,10,00 4 1,1,0,1 11,01,01,00 5

0,1,1,0 00,11,01,01 5 1,1,1,0 11,01,10,01 2

S0 00

11

1100 10

01

10

01

01

10

11

00

10 01

11

00 11

10 01 10 11 00

11

1

11

S3

S2

S1

S3

00

10 01

11

10

01 00

01

10

Chương 4 33

- Phương pháp maximum likelihood phải tìm kiếm trên tất cả các đường trên

giản đồ trellis và tìm đường có khoảng cách hamming nhỏ nhất

 chuỗi message có chiều dài N (chuỗi nhận được Y có chiều dài N.n/K) thì

ta sẽ có 2Nđường

- Thuật toán viterbi giới hạn số đường cần so sánh 2kL(surviving path), 2Llà

số lượng node, 2k là số lượng nhánh đến mỗi node

Mã chập

Giải mã - Maximum likelihood decoding (giải mã ước lượng hợp

lý nhất)

Mã chập

Giải mã – Thuật toán Viterbi (hard decision)

- Có 2 mức quyết định (mức 0 và 1)

- Tính khoảng cách Hamming cho mỗi nút (bằng khoảng cách Hamming của

nhánh hiện tại + khoảng cách Hamming trước đó)

- Nếu có nhiều nhánh đến 1 nút thì bỏ đi nhánh có khoảng cách Hamming

lớn hơn

Chương 4 35

Mã chập

Giải mã – Thuật toán Viterbi (hard decision)

r = (11 10 01 10 11)

0 00

11

11

00

10

01

10

01

01

10

11

00

10 01

11

00 11

00

10 01

11

10

01 00

01

10

0

0

0 1

2

0

2

2 0

1

0 1 1

2

1

2 1

3

1 0 2

1

2 1 1

0

2

1 2

3

0 1 1

0

1 2 2

1

1

3 2

3

t = (11 10 00 10 11) ; m = (101)

Mã chập

Giải mã – Thuật toán Viterbi (soft decision)

- Có nhiều mức

- Thay khoảng cách Hamming trong hard decision thành khoảng cách

Euclide hay tương quan

Chương 4 37

Mã chập

Giải mã – Thuật toán Viterbi (soft decision) – Khoảng cách Euclide

r = (1 0,7; 0,6 0,2; 0,4 0,7; 0,7 0,2; 0,6 0,8)

1: 1V; 0: 0V

00

11

11

00

10

01

10

01

01

10

11

00

10 01

11

00 11

00

10 01

11

10

01 00

01

10

0,09

1,49

0,2 0,8

1

0,4

0,45 0,85 0,25

0,45

0,25 0,65

0,65

0,73

0,13 1,13

0,73

1,13 0,53 0,53

0,13

0,2

0,8 0,4

0,2

0,4 1 1

0,8

1,49 0,09

1,89 2,29 0,11 1,09

0,56 0,76 1,34

0,85

r = (11 10 01 10 11)

1,94

1,09 1,29 0,89 1,89

1,09

1,29 2,09 1,69

r=1 0,7; path: 00

(1-0)2+ (0,7-0)2= 1,49

r=1-0,7; path: 11

(1-1)2+ (0,7-1)2= 0,09

t = (11 10 00 10 11) ; m = (101)

Mã chập

Giải mã – Thuật toán Viterbi (soft decision) – Tương quan

r = (-0,7 -0,5; -0,8 0,6; 0,7 -0,1; -0,6 0,8; -0,7-0,6)

1: -1V; 0: 1V r = (11 10 01 10 11)

Chương 4

00

11

11

00

10

01

10

01

01

10

11

00

10 01

11

00 11

00

10 01

11

10

01 00

01

10

1,2

-1,2

1,4 0,2

-1,4

-0,2

-0,6 -0,8 0,8

-0,6

0,8 0,6

0,6

-0,2

1,4 -1,4

-0,2

-1,4 0,2 0,2

1,4

1,3

-0,1 0,1

1,3

0,1 -1,3 -1,3

-0,1

-1,2 1,2

-1,4 -1 2,6 -0,2

2 2,2 0,6

-0,8

-0,2

2,2 1,8 3,6 1,2

4,9

3,6 1,7 1,9

r=-0,7 -0,5; path: 00

-0,7.1-0,5.1 = -1,2

r=-0,7 -0,5; path: 11

-0,7.(-1)-0,5.(-1) = 1,2

t = (11 10 00 10 11) ; m = (101)