Thông tin số chương 2

Quá trình ngẫu nhiên QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Xác suất A, B là hai biến cố  Hợp của hai biến cố: ít nhất một trong hai phải xảy ra  Giao của hai biến cố: hai biếncố phải xảy ra đồng thời 

Trang 1

Chương 2 1

1 Xác suất

2 Quá trình ngẫu nhiên

QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Xác suất

A, B là hai biến cố

 Hợp của hai biến cố: ít nhất

một trong hai phải xảy ra  Giao của hai biến cố: hai biếncố phải xảy ra đồng thời

 Bao hàm : nếu A xảy ra thì

B phải xảy ra  Hiệu: A xảy ra còn B khôngxảy ra

Trang 2

Chương 2 3

A, B là hai biến cố

 A và B xung khắc: A và B không đồng thời xảy ra

 A và B đối lập: nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại

∪

S: biến cố chắc chắn xảy ra P(S) = 1

A và B đối lập A và B xung khắc

A và B xung khắc A và B có thể không đối lập

P(A): xác suất xuất hiện biến cố A

Xác suất

S: thông tin có các giá trị 00, 01, 10, 11

A: thông tin có các giá trị 00, 10

B: thông tin có các giá trị 01, 11

A và B đối lập

A và B xung khắc

A: thông tin có các giá trị 00, 10

B: thông tin có các giá trị 01

A và B không đối lập

A và B xung khắc

Trang 3

Chương 2 5

Xác suất có điều kiện:

P(A/B): xác suất xuất hiện biến cố A khi biến cố B đã xảy ra

P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

Công thức nhân xác suất:

Nếu A, B độc lập: P(AB) = P(A)P(B)

Xác suất

Hàm phân phối xác suất: (hàm phân phối tích luỹ cdf – cumulative

distribution function)

X: biến ngẫu nhiên, x: số thực

F(x) = P(X  x): xác suất để biến ngẫu nhiên X nhỏ hơn x

Hàm mật độ xác suất: (pdf – probability density function)

Trang 4

Chương 2 7

Hàm của biến ngẫu nhiên:

Xét biến ngẫu nhiên X có pdf p(x), xác định pdf của biến ngẫu nhiên Y = g(X)

VD: Y = aX + b, a > 0

1 Tính lại VD trên với a < 0, Y = aX3+ b

Đặt t = ax + b:

x = x = -  t = - 

x =  t = y

dx = dt/a

1

Xác suất

Hàm của biến ngẫu nhiên:

Y = aX2+ b, a > 0

| |

1 2

Trang 5

Chương 2 9

Trung bình (kỳ vọng toán):

Y = g(X):

Phương sai:

Hàm đặc trưng:

≡

moment thứ n

Xác suất

Các phân bố xác suất thông dụng:

 Phân bố nhị thức:

1

!

1

[x]: phần nguyên của x E[X] = np, = np(1-p)

Xi là các biến ngẫu

nhiên độc lập thống kê

với xác suất Xi = 1 là p

và Xi= 0 là 1 - p

P(X = k): xác suất để k

Xi= 1 và n – k Xi= 0

Trang 6

Chương 2 11

 Phân bố đều:

0 1 1

2

1 12

12

Xác suất

 Phân bố chuẩn (Gaussian):

1 2 E[X] = mX

1

2

1

2erf 2 erf

2

: error function

1 1

2erfc 2 erfc

2

: complementary error function

1

Trang 7

Chương 2 13

 Phân bố chuẩn (Gaussian):

mX= 0

1 : dạng chuẩn tắc (trung bình = 0, phương sai = 1) zero-mean, unit variance gaussian random variable

Xác định pdf của Y = aX3+ b với X là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn tắc

Tổng của các biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn cũng là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn

Xác suất

 Phân bố Chi-square (Gamma):

X là biến ngẫu nhiên phân bố Gaussian

Y = X2là biến ngẫu nhiên phân bố Gamma

X có trung bình = 0 và phương sai2 1

2

Xi độc lập thống kê,

phân bố Gaussian có

trung bình = 0 và

phương sai2

1

2 / Γ 12

/

Γ 1

2 ; Γ

3 2

1 2 (phân bố Gamma

bậc tự do n)

Trang 8

Chương 2 15

(phân bố Gamma bậc tự do n)

E[Y] = n2 2

X phân bố Gaussian có trung bình mX

và phương sai2

1 2 cosh

cosh

2

Xác suất

Xiđộc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = mi

và phương sai2 1 2

/

/2

! Γ 1 : hàm Bessel sửa đổi loại 1 bậc

x  0

Trang 9

Chương 2 17

 Phân bố Rayleigh:

X1và X2độc lập thống kê, phân bố Gaussian

có trung bình = 0 và phương sai2

Y là biến ngẫu nhiên phân bố Rayleigh

x  0

E

2 2

2 1 2

Xác suất

 Phân bố Rayleigh:

Xiđộc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = 0 và phương sai2

2 / Γ 12

x  0

! 2

n chẵn (n = 2m):

x  0

Trang 10

Chương 2 19

Xác định trung bình, phương sai của biến ngẫu nhiên Cauchy có pdf:

/

- < x <  Cho hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên Cauchy:

Trong đó Xilà các biến ngẫu nhiên độc lập thống kê và có phân bố Cauchy như trên

Xác định hàm đặc trưng và pdf của: 1

Áp dụng: E(XY) = EX.EY nếu X, Y độc lập

Quá trình ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên (stochastic process): biến ngẫu nhiên xác định theo

thông số t (thường là thời gian)

Ký hiệu: X(t)

Xét tập {t1, …, tn}  ≡ là các biến ngẫu nhiên tạo ra từ X(t)

tập {t1+t, …, tn+t}  ≡

ế , , … ,

, , … , ớ , ấ ỳ Quá trình ngẫu nhiên dừng

Trang 11

Chương 2 21

Trung bình thống kê

Hàm tự tương quan

Nếu quá trình ngẫu nhiên là dừng:

Hàm tự tương quan

Nếu quá trình ngẫu nhiên không dừng có: ,

Quá trình ngẫu nhiên thống kê nghĩa rộng (WSS – Wide-sense Stationary)

Hàm tương quan chéo

Nếu quá trình ngẫu nhiên là dừng:

,

Trang 12

Chương 2 23

Mật độ phổ công suất (psd – power spectral density)

Φ

(f): hàm thực, chẵn

Φ

Đáp ứng của hệ LTI đối với tín hiệu ngẫu nhiên

Đáp ứng xung

Giá trị trung bình của ngõ ra:

m Y = m X H(0) mYlà hằng số

Trang 13

Chương 2 25

Đáp ứng của hệ LTI đối với tín hiệu ngẫu nhiên

Mật độ phổ công suất của ngõ ra:

yy (f) = xx (f)|H(f)| 2

Hàm tự tương quan của ngõ ra:

Φ Công suất trung bình tại ngõ ra:

Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên X(t) là:

1

2 (nhiễu trắng: white noise) Tín hiệu x(t) đưa qua mạch lọc có đáp ứng tần số:

B B

1 H

f Xác định tổng công suất ở ngõ ra mạch lọc:

2 Psd ở ngõ ra mạch lọc:

Tổng công suất ở ngõ ra mạch lọc:

2

1

2 2

Trang 14

Chương 2 27

Cho quá trình ngẫu nhiên nhiễu trắng X(t) là ngõ vào

của mạch như hình vẽ

R

C

Xác địnhyy(f), yy() và E[Y2(t)]

Tính H(f)

Áp dụng:

Φ

/

E[Y2(t)] = yy(0)

Tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc Φ

Giá trị trung bình của ngõ ra:

m Y = m X H(0)

H

Trang 15

Chương 2 29

Tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc

Mật độ phổ công suất của ngõ ra:

yy (f) = xx (f)|H(f)| 2

Hàm tự tương quan tại ngõ ra:

∗

Xác định giá trị trung bình, chuỗi tự tương quan, mật độ phổ công suất của hệ rời rạc

có đáp ứng xung h(n) biết ngõ vào là quá trình nhiễu trắng với phương sai2

yy(f) = xx(f)|H(f)|2

mY= mXH(0)

∗

H Φ Xác định mật độ phổ công suất hàm quá trình ngẫu nhiên rời rạc có chuỗi tự tương

quan

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	254,85 KB