Slide bài giảng xác suất thống kê

Slide bài giảng xác suất thống kê

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (ðại học và Cao ñẳng)

Tài liệu tham khảo:

1 Giáo trình Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – Nguyễn Phú Vinh – NXB Thống kê

2 Ngân hàng câu hỏi Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – ðHCN TP.HCM

3 Lý thuyết Xác suất và Thống kê – ðinh Văn Gắng – NXB Giáo dục

4 Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán – Nguyễn Thanh Sơn, Lê Khánh Luận – NXBTKê

5 Xác suất – Thống kê – Lý thuyết và các bài tập – ðậu Thế Cấp – NXB Giáo dục

6 Lý thuyết Xác suất và Thống kê – ðinh Văn Gắng – NXB Giáo dục

7 Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – Lê Sĩ ðồng – NXB Giáo dục

8 Xác suất và Thống kê – ðặng Hấn – NXB Giáo dục

9 Giáo trình Xác suất và Thống kê – Phạm Xuân Kiều – NXB Giáo dục

10 Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê Toán–Nguyễn Cao Văn–NXB Ktế Quốc dân

3 Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể thực hiện ñược k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho mkkết quả Khi ñó việc thực hiện công việc trên cho

m = m1 + m2 + … + mk kết quả

4 Mẫu lặp, mẫu không lặp

−Mẫu không lặp: các phần tử của mẫu chỉ có mặt một

lần (các phần tử khác nhau từng ñôi một)

−Mẫu có lặp: các phần tử của mẫu có thể lặp lại nhiều

lần trong mẫu

−Mẫu không thứ tự: khi thay ñổi vị trí các phần tử khác

nhau của mẫu ta không nhận ñược mẫu mới

−Mẫu có thứ tự: khi thay ñổi vị trí các phần tử khác

nhau của mẫu ta nhận ñược mẫu mới

5 Các công thức thường dùng 5.1 Hoán vị

ðịnh nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ

tự gồm ñủ mặt n phần tử ñã cho Số hoán vị của n phần

tử ñược ký hiệu là Pn, Pn =n !

5.2 Chỉnh hợp lặp (có thứ tự)

ðịnh nghĩa: Chỉnh hợp lặp k của n phần tử (k≤n) là một nhóm (bộ) có thứ tự gồm phần k tử không nhất thiết khác nhau chọn từ n phần tử ñã cho Số các chỉnh hợp lặp k của n phần tử là nk

Số tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là C và kn

k n

n !C

§1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

1.1 Phép thử và biến cố

• Phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm hay quan sát

một hiện tượng nào ñó ñể xem có xảy ra hay không

Hiện tượng có xảy ra hay không trong phép thử ñược gọi

là biến cố ngẫu nhiên

Biến cố ngẫu nhiên thường ñược ký hiệu A, B, C…

VD 1 + Tung ñồng tiền lên là một phép thử, biến cố là

“mặt sấp xuất hiện” hay “mặt ngửa xuất hiện”

+ Chọn ngẫu nhiên một số sản phẩm từ một lô hàng ñể

kiểm tra là phép thử, biến cố là “chọn ñược sản phẩm

tốt” hay “chọn ñược phế phẩm”

+ Gieo một số hạt lúa là phép thử, biến cố là “hạt lúa nảy

mầm” hay “hạt lúa không nảy mầm”

1.2 Các loại biến cố a) Không gian mẫu và biến cố sơ cấp

• Trong một phép thử, tập hợp tất cả các kết quả có thể

xảy ra ñược gọi là không gian mẫu ký hiệu là Ω

• Mỗi phần tử ω ∈ Ω không thể phân nhỏ thành hai biến

cố ñược gọi là biến cố sơ cấp

b) Biến cố chắc chắn và biến cố không thể

• Trong một phép thử, biến cố nhất ñịnh xảy ra là chắc

Khi ñó, biến cố “chọn ñược 5 người nữ” là không thể,

biến cố “chọn ñược ít nhất 1 nam” là chắc chắn

c) Số trường hợp ñồng khả năng

• Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năng

xảy ra như nhau ñược gọi là ñồng khả năng

• Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp ñều ñồng

khả năng thì số phần tử của không gian mẫu ñược gọi

là số trường hợp ñồng khả năng của phép thử

VD 4

Gọi ngẫu nhiên một học sinh trong lớp ñể kiểm tra thì mỗi học sinh trong lớp ñều có khả năng bị gọi như nhau

d) Các phép toán

• Tổng của A và B là C, ký hiệu C=A∪B hay

C = A + B, xảy ra khi ít nhất 1 trong hai biến cố A, B xảy ra

VD 5 Bắn hai viên ñạn vào 1 tấm bia Gọi A1: “viên thứ nhất trúng bia”, A2: “viên thứ hai trúng bia” và

C: “bia bị trúng ñạn” thì C=A1 ∪A2

• Tích của A và B là C, ký hiệu C=AB=A∩B, xảy

ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra

VD 6

Một người chọn mua áo Gọi A: “chọn ñược áo màu

xanh”, B: “chọn ñược áo sơ–mi” và

C: “chọn ñược áo sơ–mi màu xanh” thì C = AB

VD 7

Chọn ngẫu nhiên 10 linh kiện trong 1 lô ra kiểm tra Gọi

Ai: “chọn ñược linh kiện thứ i tốt” và

C: “chọn ñược 10 linh kiện tốt” thì

Bắn lần lượt 2 viên ñạn vào 1 tấm bia

Gọi Ai: “có i viên ñạn trúng bia” (i = 0, 1, 2), B: “có không quá 1 viên ñạn trúng bia”

• Họ các biến cố A1, A2,…, An ñược gọi là xung khắc

(hay ñôi một xung khắc) khi một biến cố bất kỳ trong họ

xảy ra thì các biến cố còn lại không xảy ra

Nghĩa là Ai ∩Aj = ∅ ∀ ≠, i j

VD 9 Một hộp có 3 viên phấn màu ñỏ, xanh và trắng

Chọn ngẫu nhiên 1 viên Gọi A: “chọn ñược viên màu

ñỏ”, B: “chọn ñược viên màu trắng” và C: “chọn ñược

viên màu xanh” thì A, B, C là xung khắc

b) Biến cố ñối lập

• Hai biến cố A và B ñược gọi là ñối lập nhau nếu chúng

thỏa mãn 2 ñiều sau:

1) A và B xung khắc với nhau

2) Phải có ít nhất một trong 2 biến cố xảy ra

VD 10 Trồng 1 cây bạch ñàn Gọi A: “cây bạch ñàn

VD 11 Họ {A, B, C} trong VD 9 là ñầy ñủ

Chú ý Họ {A, A là ñầy ñủ với biến cố A tùy ý }

2.1 ðịnh nghĩa xác suất dạng cổ điển

• Trong một phép thử cĩ tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả

năng, trong đĩ cĩ m khả năng thuận lợi cho biến cố A

xuất hiện thì xác suất của A là:

m

P(A)

n

= = Số biến cố thuận lợi cho A

Số tất cả các biến cố có thể

VD 1 Một hộp chứa 10 sản phẩm trong đĩ cĩ 3 phế

phẩm Tính xác suất:

a) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp được phế phẩm

b) Chọn ngẫu nhiên 1 lần từ hộp ra 2 sản phẩm được 2

VD 3 Một lớp cĩ 60 học sinh trong đĩ cĩ 28 em giỏi

tốn, 30 em giỏi lý, 32 em giỏi ngoại ngữ, 15 em vừa giỏi tốn vừa giỏi lý, 10 em vừa giỏi lý vừa giỏi ngoại ngữ, 12 em vừa giỏi tốn vừa giỏi ngoại ngữ, 2 em giỏi

cả 3 mơn Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp Tính xác suất:

a) Chọn được em giỏi ít nhất 1 mơn

b) Chọn được em chỉ giỏi tốn

c) Chọn được em giỏi đúng 2 mơn

Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa dạng cổ điển

• Ưu điểm: Tính được chính xác giá trị của xác suất mà

khơng cần thực hiện phép thử

• Hạn chế: Trong thực tế cĩ nhiều phép thử vơ hạn các

biến cố và biến cố khơng đồng khả năng

2.3 ðịnh nghĩa theo hình học

Cho miền Ω Gọi độ đo của Ω là độ dài, diện tích, thể

tích (ứng với Ω là đường cong, miền phẳng, khối)

Gọi A là biến cố điểm M∈ ⊂ Ω S

Ta cĩ P(A) =

Ω

độ đo S

độ đo

VD 6 Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình trịn nội

tiếp tam giác đều cạnh 2 cm

VD 7 Hai người bạn hẹn gặp nhau tại 1 địa điểm theo

quy ước như sau:

– Mỗi người độc lập đi đến điểm hẹn trong khoảng từ 7 đến 8 giờ

– Mỗi người đến điểm hẹn nếu khơng gặp người kia thì đợi 30 phút hoặc đến 8 giờ thì khơng đợi nữa

Tìm xác suất để hai người gặp nhau

2.4 Tính chất của xác suất

1) 0≤P(A)≤ , với mọi biến cố A; 12) P( )∅ = ; 0 3) P( )Ω = 1

2.5 Ý nghĩa của xác suất

• Xác suất là số đo mức độ tin chắc, thường xuyên xảy ra của 1 biến cố trong phép thử

Chú ý Xác suất phụ thuộc vào điều kiện của phép thử

• A và B là hai biến cố tùy ý thì:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

• Họ {Ai} (i = 1, 2,…, n) các biến cố tùy ý thì:

n n

VD 1 Một hộp phấn cĩ 10 viên trong đĩ cĩ 3 viên màu

đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên phấn Tính xác suất

để lấy được ít nhất 1 viên phấn màu đỏ

VD 2 Cĩ 33 học sinh tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi

gồm 2 vịng thi Biết rằng cĩ 17 học sinh thi đỗ vịng 1;

14 học sinh thi đỗ vịng 2 và 11 học sinh trượt cả hai vịng thi Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong danh sách

dự thi Tìm xác suất để học sinh đĩ chỉ thi đỗ duy nhất 1

trong 2 vịng thi

3.2 Cơng thức nhân xác suất

a) Xác suất cĩ điều kiện

• Trong một phép thử, xét 2 biến cố bất kỳ A, B với

P(B)> Xác suất cĩ điều kiện của A với điều kiện B 0

đã xảy ra được ký hiệu và định nghĩa:

P A B

P(B)

• Xác suất cĩ điều kiện cho phép chúng ta sử dụng thơng

tin về sự xảy ra của 1 biến cố để dự báo xác suất xảy ra

b) Cơng thức nhân

• A và B là 2 biến cố độc lập nếu B cĩ xảy ra hay khơng

cũng khơng ảnh hưởng đến khả năng xảy ra A và ngược

lại, nghĩa là P A B( )=P(A) và P B A( )=P(B) Khi đĩ ta cĩ P(AB)=P(A).P(B)

• Với A, B khơng độc lập (phụ thuộc) thì:

P(AB)=P(B)P A B =P(A)P B A

VD 6 Một cầu thủ bóng rổ có 4 quả bóng ñang ném

từng quả vào rổ Nếu bóng vào rổ hoặc hết bóng thì cầu

thủ ngừng ném Biết xác suất vào rổ của quả bóng thứ 1,

2, 3 và 4 lần lượt là 90%, 80%, 85% và 70%

Tính xác suất cầu thủ ném ñược bóng vào rổ

3.3 Công thức xác suất ñầy ñủ và Bayes

a) Công thức xác suất ñầy ñủ

• Cho họ các biến cố {Ai} (i = 1, 2,…, n) ñầy ñủ và B là biến cố bất kỳ trong phép thử, ta có:

=

=

VD 7 Một ñám ñông có số ñàn ông bằng nửa số ñàn bà

Xác suất ñể ñàn ông bị bịnh tim là 0,06 và ñàn bà là 0,0036 Chọn ngẫu nhiên 1 người từ ñám ñông, tính xác suất ñể người này bị bịnh tim

b) Công thức Bayes

• Cho họ các biến cố {Ak} (k = 1, 2,…, n) ñầy ñủ và B là

biến cố bất kỳ trong phép thử Xác suất ñể xuất hiện Ak

sau khi ñã xuất hiện B là:

VD 8 Tỷ số ôtô tải và ôtô con ñi qua ñường có trạm

bơm dầu là 5/2 Xác suất ñể 1 ôtô tải ñi qua ñường này

vào bơm dầu là 10%; ôtô con là 20% Có 1 ôtô qua

ñường ñể bơm dầu, tính xác suất ñể ñó là ôtô tải

VD 9 Có 3 bao lúa cùng loại Bao 1 nặng 20kg chứa 1%

hạt lép, bao 2 nặng 30kg chứa 1,2% hạt lép và bao 3 nặng 50kg chứa 1,5% hạt lép Trộn cả 3 bao lại rồi bốc ngẫu nhiên 1 hạt thì ñược hạt lép

Tính xác suất ñể hạt lép này là của bao thứ ba

VD 10 Ba kiện hàng ñều có 20 sản phẩm với số sản

phẩm tốt tương ứng là 12, 15, 18 Lấy ngẫu nhiên 1 kiện hàng (giả sử 3 kiện hàng có cùng khả năng) rồi từ kiện

ñó lấy tùy ý ra 1 sản phẩm

a) Tính xác suất ñể sản phẩm chọn ra là tốt

b) Giả sử sản phẩm chọn ra là tốt, tính xác suất ñể sản phẩm ñó thuộc kiện hàng thứ hai

Chương II BIẾN (ðẠI LƯỢNG) NGẪU NHIÊN

§1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1.1 Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên

a) Khái niệm

• Một biến số ñược gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả

của phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá

trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác ñộng của các

nhân tố ngẫu nhiên

• Các biến ngẫu nhiên ñược ký hiệu: X, Y, Z, …còn các

giá trị của chúng là x, y, z,…

VD 1

Khi tiến hành gieo n hạt ñậu ta chưa thể biết có bao

nhiêu hạt sẽ nảy mầm, số hạt nảy mầm có thể là 0, 1, …,

n Kết thúc phép thử gieo hạt thì ta biết chắc chắn có bao

nhiêu hạt nảy mầm Gọi X là số hạt nảy mầm thì là X

biến ngẫu nhiên và X = {0, 1, 2, …, n}

b) Phân loại biến ngẫu nhiên

• Biến ngẫu nhiên (bnn) ñược gọi là rời rạc nếu các giá

trị có thể có của nó lập nên 1 tập hợp hữu hạn hoặc ñếm ñược

• Biến ngẫu nhiên ñược gọi là liên tục nếu các giá trị có

thể có của nó lấp ñầy 1 khoảng trên trục số

VD 2 + Biến X trong VD 1 là bnn rời rạc (tập hữu hạn)

+ Gọi Y là số người ñi qua 1 ngã tư trên ñường phố thì Y

là bnn rời rạc (tập ñếm ñược)

VD 3 + Bắn 1 viên ñạn vào bia, gọi X là “khoảng cách

từ ñiểm chạm của viên ñạn ñến tâm của bia” thì X là biến ngẫu nhiên liên tục

+ Gọi Y là “sai số khi ño 1 ñại lượng vật lý” thì Y là biến ngẫu nhiên liên tục

1.2 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

• Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là một

cách biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu

nhiên với các xác suất tương ứng mà nó nhận các giá

trị ñó

1.2.1 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

a) Trường hợp rời rạc

• Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có X ={x , x , , x }1 2 n

với xác suất tương ứng là pi =P(X=x )i

Ta có phân phối xác suất (dạng bảng)

Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 8 sản phẩm

Gọi X là số phế phẩm trong 8 sản phẩm lấy ra

Tìm phân phối xác suất của X và chứng minh:

C C +C C + +C C +C C =C

VD 5 Xác suất ñể 1 người thi ñạt mỗi khi thi lấy bằng

lái xe là 0,3 Người ñó thi cho ñến khi ñạt mới thôi

Gọi X là số lần người ñó dự thi

Tìm phân phối xác suất của X và tính xác suất ñể người

ñó phải thi không ít hơn 2 lần

b) Trường hợp liên tục

• Cho biến ngẫu nhiên liên tục X Hàm f(x), x ∈ ℝ

ñược gọi là hàm mật ñộ xác suất của X nếu thỏa:

1.2.2 Hàm phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x) hoặc FX(x), là xác suất ñể X nhận giá trị nhỏ hơn x (với x là số thực bất kỳ) F(x) = P(X < x),

x

∀ ∈ℝ – Hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái của số x

– Với biến ngẫu nhiên rời rạc X = {x1, x2, …, xn}:

3) F(−∞ =) 0; F(+∞ =) 1; 4) P(a≤X<b)=F(b)−F(a)

• Liên hệ với phân phối xác suất

1) X rời rạc: pi = F(xi+1) – F(xi);

2) X liên tục: F(x) liên tục tại x và F (x)′ =f(x)

VD 8 Một phân xưởng có 2 máy hoạt ñộng ñộc lập

Xác suất trong 1 ngày làm việc các máy ñó hỏng tương ứng là 0,1 và 0,2 Gọi X là số máy hỏng trong 1 ngày làm việc

Lập hàm phân phối xác suất của X và vẽ ñồ thị của F(x)

VD 9 Tuổi thọ X(giờ) của 1 thiết bị có hàm mật ñộ xác

a) Tìm hàm phân phối xác suất của X

b) Thiết bị ñược gọi là loại A nếu tuổi thọ của nó kéo dài

ít nhất là 400 giờ Tính tỉ lệ (xác suất) loại A

VD 10 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật ñộ xác suất:

Tìm a và hàm phân phối xác suất F(x)

VD 11 Thời gian chờ phục vụ của khách hàng là bnn

X(phút) liên tục có hàm ppxs 4

0, x 0F(x) ax , x (0; 3]

1.3 Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên

• Trong thực tế, ñôi khi ta xét bnn phụ thuộc vào 1 hay

nhiều bnn khác ñã biết luật phân phối

Bài toán Cho hàm ϕ(x) và bnn rời rạc X có phân phối

xác suất cho trước Tìm phân phối xác suất của ϕ(x)

1.4 Phân phối xác suất của bnn 2 chiều (X, Y) rời rạc

a) ðịnh nghĩa

• Cặp 2 ñại lượng ngẫu nhiên rời rạc ñược xét ñồng thời

(X, Y) ñược gọi là 1 vector ngẫu nhiên rời rạc

Ký hiệu biến cố (X < x).(Y < y) = (X < x; Y < y)

• Hàm phân phối xác suất ñồng thời của X và Y là:

1) Nếu X, Y ñộc lập thì hàm phân phối ñồng thời của X,

Y ñược xác ñịnh qua các hàm phân phối của X, của Y

2) Chương trình chỉ xét hàm phân phối biên của X, Y

b) Bảng phân phối xác suất ñồng thời của (X, Y)

c) Phân phối xác suất biên (lề)

Từ bảng phân phối xác suất ñồng thời của X, Y ta có:

• Phân phối xác suất biên của X

§2 CÁC ðẶC TRƯNG SỐ (THAM SỐ ðẶC TRƯNG) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

• Những thông tin cô ñọng phản ánh từng phần về biến

ngẫu nhiên giúp ta so sánh giữa các ñại lượng với nhau

ñược gọi là các ñặc trưng số

Có ba loại ñặc trưng số:

– Các ñặc trưng số cho xu hướng trung tâm của bnn:

Kỳ vọng toán, Trung vị, Mod,…

– Các ñặc trưng số cho ñộ phân tán của bnn:

Phương sai, ðộ lệch chuẩn, Hệ số biến thiên,…

– Các ñặc trưng số cho dạng phân phối xác suất

2.1 Kỳ vọng toán 2.1.1 ðịnh nghĩa a) Biến ngẫu nhiên rời rạc

• Cho X = {x1, x2,…, xn} với xác suất tương ứng là p1,

p2,…, pn thì kỳ vọng toán (gọi tắt là kỳ vọng) của X, ký hiệu EX hay M(X), là:

b) Biến ngẫu nhiên liên tục

VD 3 Thời gian chờ mua hàng của khách là biến ngẫu

nhiên liên tục T (đơn vị: phút) cĩ hàm mật độ xác suất

34

• Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo xác suất) của biến

ngẫu nhiên X, nĩ phản ánh giá trị trung tâm của phân

phối xác suất của X

• Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần chọn

phương án cho năng suất (hay lợi nhuận) cao, người ta

chọn phương án sao cho năng suất kỳ vọng (hay lợi

nhuận kỳ vọng) cao

VD 5 Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống

thêm trên 1 năm cĩ xác suất là 0,992 và người đĩ chết

trong vịng 1 năm tới là 0,008 Một chương trình bảo

hiểm đề nghị người đĩ bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm

với số tiền chi trả là 10000 USD, phí bảo hiểm là 100

USD Hỏi cơng ty đĩ cĩ lãi khơng?

VD 6 Một dự án xây dựng được viện C thiết kế cho cả 2

bên A và B xét duyệt một cách độc lập Xác suất (khả năng) để A và B chấp nhận dự án này khi xét duyệt thiết

kế là 70% và 80% Nếu chấp nhận dự án thì bên A phải trả cho C là 400 triệu đồng, cịn ngược lại thì phải trả

100 triệu đồng Nếu chấp nhận dự án thì bên B phải trả cho C là 1 tỉ đồng, cịn ngược lại thì phải trả 300 triệu đồng Biết chi phí cho thiết kế của C là 1 tỉ đồng và 10% thuế doanh thu

Hỏi viện C cĩ nên nhận thiết kế hay khơng?

(x )p , EY

nếu X rời rạc

nếu X liên tục

VD 7 Tính EY với Y= ϕ(X)=X2 −3, biết X cĩ bảng phân phối xác suất:

2 2

nếu X rời rạc

nếu X liên tục

VD 9 Tính phương sai của biến ngẫu nhiên X cĩ bảng

phân phối xác suất:

2.2.2 Ý nghĩa của VarX

• Do X – EX là ñộ lệch giữa giá trị của X so với trung

bình của nó nên phương sai là trung bình của bình

phương ñộ lệch ñó Phương sai dùng ñể ño mức ñộ phân

tán của X quanh kỳ vọng Nghĩa là: phương sai nhỏ thì

ñộ phân tán nhỏ nên ñộ tập trung lớn và ngược lại

• Trong kỹ thuật, phương sai ñặc trưng cho ñộ sai số của

thiết bị Trong kinh doanh, phương sai ñặc trưng cho ñộ

rủi ro ñầu tư

• Do ñơn vị ño của VarX bằng bình phương ñơn vị ño

của X nên ñể so sánh ñược với các ñặc trưng khác người

ta ñưa vào khái niệm ñộ lệch tiêu chuẩn

VD 12 Năng suất của hai máy tương ứng là các bnn X,

Y (ñơn vị: sản phẩm/phút) có bảng phân phối xác suất:

VD 14 Tìm med của bnn X có bảng phân phối xác suất:

X –1 0 1 2

P 0,25 0,15 0,30 0,30

VD 15 Cho hàm 5

4, x 1f(x) x

• ModX là giá trị x0 mà tại ñó X nhận xác suất lớn nhất

(nếu X rời rạc) hay hàm mật ñộ ñạt cực ñại (nếu X liên

tục) ModX còn ñược gọi là số có khả năng nhất

VD 16 Cho bnn X có bảng phân phối xác suất:

X 0 1 2 4 5 8

P 0,1 0,2 0,3 0,05 0,25 0,1 Khi ñó ta có modX = 2

VD 17 Tìm medX và modX với biến ngẫu nhiên X có

bảng phân phối xác suất:

P 0,30 0,25 0,18 0,14 0,13

VD 18 Cho bnn X có hàm mật ñộ xác suất:

2 x 21

§3 MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

3.1 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

3.1.1 Phân phối siêu bội

• Phân phối siêu bội là phân phối của biến ngẫu nhiên rời

rạc X = {0; 1; 2; …; n} với xác suất tương ứng là:

p , q 1 pN

VD 2 Một rổ mận có 20 trái trong ñó có 6 trái bị hư

Chọn ngẫu nhiên từ rổ ñó ra 4 trái Gọi X là số trái mận

hư chọn phải Lập bảng phân phối xác suất của X và tính

EX, VarX bằng hai cách

3.1.2 Phân phối nhị thức

a) Công thức Bernoulli

• Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa 3 ñiều

kiện:

1) Các phép thử của dãy ñộc lập với nhau

2) Trong mỗi phép thử ta chỉ quan tâm ñến 1 biến cố A,

nghĩa là chỉ có A và A xuất hiện

3) Xác suất xuất hiện A trong mọi phép thử của dãy luôn

VD 3 Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con) với xác

suất sinh con trai là 0,51 Gọi X là số con trai trong 2 lần sinh Lập bảng phân phối xác suất của X

VD 4 Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm với xác

b) ðịnh nghĩa

• Phân phối nhị thức là phân phối của biến ngẫu nhiên

rời rạc X = {0; 1; 2; …; n} với xác suất tương ứng là:

• Khi n = 1 thì X ∈ B(1, p) ≡ B(p), khi ñó X còn ñược

gọi là có phân phối không – một hay Bernoulli

VD 6 Một nhà vườn trồng trồng 5 cây lan quý, với xác

suất nở hoa của mỗi cây trong 1 năm là 0,8

a) Lập bảng phân phối xác suất của số cây lan trên nở hoa trong 1 năm

b) Giá 1 cây lan nở hoa là 1,2 triệu ñồng Giả sử nhà vườn bán hết những cây lan nở hoa thì mỗi năm nhà vườn thu ñược chắc chắn nhất là bao nhiêu tiền?

c) Nếu muốn trung bình mỗi năm có 10 cây lan nở hoa thì nhà vườn phải trồng mấy cây lan?

VD 7 Một lô hàng chứa 20 sản phẩm trong ñó có 4 phế

phẩm Chọn liên tiếp 3 lần (có hoàn lại) từ lô hàng, mỗi lần chọn ra 4 sản phẩm Tính xác suất ñể trong 3 lần có ñúng 1 lần chọn có nhiều nhất 3 phế phẩm

3.1.3 Phân phối Poisson

a) Bài toán dẫn ñến phân phối Poisson

• Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A tại những thời ñiểm

ngẫu nhiên trong khoảng thời gian (t1; t2) thỏa mãn hai

ñiều kiện:

1) Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng (t1; t2) không

ảnh hưởng ñến xác suất xuất hiện A trong khoảng thời

gian kế tiếp

2) Số lần xuất hiện biến cố A trong 1 khoảng thời gian

bất kỳ tỉ lệ với ñộ dài của khoảng ñó

Khi ñó X có phân phối Poisson, ký hiệu X∈P( )λ với

λ = − > , c: cường ñộ xuất hiện A

Chẳng hạn, số xe qua 1 trạm hoặc số cuộc ñiện thoại tại

1 trạm công cộng… có phân phối Poisson

VD 8 Trung bình cứ 3 phút có 1 khách ñến quầy mua

hàng Tính xác suất ñể trong 30 giây có 2 khách ñến

quầy mua hàng

VD 9 Một trạm ñiện thoại trung bình nhận ñược 300

cuộc gọi trong 1 giờ

a) Tính xác suất ñể trạm nhận ñược ñúng 2 cuộc gọi

trong 1 phút

b) Tính xác suất ñể trạm nhận ñược ñúng 5 cuộc gọi

trong 3 phút

c) Tính xác suất ñể 2 trong 3 phút liên tiếp, mỗi phút

trạm nhận ñược nhiều nhất 1 cuộc gọi

VD 10 Trung bình 1 ngày (24 giờ) có 10 chuyến tàu vào

cảng Cam Ranh Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 3 giờ trong 1

ngày Tính xác suất ñể 2 trong 3 giờ ấy có ñúng 1 tàu

b) Phân phối chuẩn ñơn giản

• Cho X∈N(µ σ , ñặt , 2) T X− µ

=

σ thì T có phân phối chuẩn ñơn giản T∈N 0, 1( )

• Hàm mật ñộ phân phối xác suất của T:

2 t 21

Laplace (giá trị ñược cho trong bảng B)

Tính chất của hàm Laplace (dùng ñể tra bảng)

1) ϕ − = −ϕ( x) (x) (hàm lẻ);

2) với x > 5 thì ϕ(x)≈0, 5; 3) P(T<x)=0, 5+ ϕ(x)

⇒ < < = ϕ β − ϕ α , tra bảng B ta ñược

kết quả

VD 11 Thời gian X (phút) của 1 khách chờ ñược phục

vụ tại 1 cửa hàng là bnn với X∈N 4, 5; 1,21( )

a) Tính xác suất khách phải chờ ñể ñược phục vụ từ 3,5

phút ñến 5 phút; không quá 6 phút

b) Tính thời gian tối thiểu t nếu xác suất khách phải chờ

vượt quá t là không quá 5%

VD 12 Thống kê ñiểm thi X (ñiểm) trong một kỳ tuyển

sinh ðại học môn toán của học sinh cả nước cho thấy X

là biến ngẫu nhiên với X∈N(4; 2, 25) Tính tỉ lệ ñiểm thi X ≥ 5,5

VD 13 Tuổi thọ của 1 loại bóng ñèn là X (năm) với

X∈N(4, 2; 6, 25) Khi bán 1 bóng ñèn thì lãi ñược 100 ngàn ñồng nhưng nếu bóng ñèn phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn ñồng Vậy ñể có tiền lãi trung bình khi bán mỗi bóng ñèn loại này là 30 ngàn ñồng thì cần phải quy ñịnh thời gian bảo hành là bao nhiêu?

VD 14 Cho X có phân phối chuẩn với EX = 10 và

P 10<X <20 =0, 3 Tính P 0( <X ≤15)

VD 15 Một công ty cần mua 1 loại thiết bị có ñộ dày từ

0,118cm ñến 0,122cm Có 2 cửa hàng cùng bán loại thiết

bị này với ñộ dày là các biến ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn N(µ, σ2) Giá bán của cửa hàng X là 3

USD/hộp/1000 cái và cửa hàng Y là 2,6 USD/hộp/1000

cái Chỉ số ñộ dày trung bình µ (cm) và ñộ lệch chuẩn σ

(cm) ñược cho trong bảng:

3.2.3 Phân phối χ 2 (n) (xem giáo trình)

3.2.4 Phân phối Student T(n) (với n bậc tự do)

• Cho T∈N(0, 1) và Y ∈ χ2(n) thì

T

Yn

Giá trị ñược của t(n) ñược cho trong bảng C

Chương III ðỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT

§1 MỘT SỐ LOẠI HỘI TỤ TRONG XÁC SUẤT VÀ CÁC ðỊNH LÝ (Hệ ñại học)

1.1 Hội tụ theo xác suất – Luật số lớn

a) ðịnh nghĩa

• Dãy biến ngẫu nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñược gọi là

hội tụ theo xác suất ñến biến ngẫu nhiên X nếu:

• Họ biến ngẫu nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñược gọi là

tuân theo luật số lớn (dạng Tchébyshev) nếu:

VD (tham khảo) Thu nhập trung bình hàng năm của

dân cư 1 vùng là 700USD với ñộ lệch chuẩn 120USD

Hãy xác ñịnh một khoảng thu nhập hàng năm xung

quanh giá trị trung bình của ít nhất 95% dân cư vùng ñó

Giải Gọi X(USD) là thu nhập hàng năm của dân cư

vùng ñó Ta có:

P X−EX < ε ≥ −1

ε ⇔ P X( −700 < ε ≥ −) 1 12022 =0, 95

ε ⇒ ε = 536, 656USD

Vậy ít nhất 95% dân cư vùng ñó có thu nhập hàng năm

trong khoảng (163,344USD; 1236,656USD)

c) ðịnh lý luật số lớn Tchébyshev

ðịnh lý

• Nếu họ các biến ngẫu nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñộc lập từng ñôi có EXi hữu hạn và VarXi bị chặn trên bởi hằng C thì:

i 1

1X

n∑= →µ

Ý nghĩa

• Thể hiện tính ổn ñịnh của trung bình số học các biến

ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối và có phương sai hữu

hạn

• ðể ño 1 ñại lượng vật lý nào ñó ta ño n lần và lấy trung

bình các kết quả làm giá trị thực của ñại lượng cần ño

• Áp dụng trong thống kê là dựa vào một mẫu khá nhỏ

ñể kết luận tổng thể

1.2 Hội tụ yếu – ðịnh lý giới hạn trung tâm a) ðịnh nghĩa

• Dãy biến ngẫu nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñược gọi là

hội tụ yếu hay hội tụ theo phân phối ñến b.n.n X nếu:

∑ thì Y∈N(µ σ, 2)

Ý nghĩa

• Dùng ñịnh lý giới hạn trung tâm ñể tính xấp xỉ (gần

ñúng) các xác suất

• Xác ñịnh các phân phối xấp xỉ ñể giải quyết các vấn ñề

của lý thuyết ước lượng, kiểm ñịnh,…

2.1 Liên hệ giữa phân phối Siêu bội và Nhị thức

• Nếu n cố ñịnh, N tăng vô hạn và

N

C C

C p qC

VD 1 Một vườn lan có 10000 cây sắp nở hoa, trong ñó

có 1000 cây hoa màu ñỏ Chọn ngẫu nhiên 20 cây lan trong vườn này

Tính xác suất ñể chọn ñược 5 cây lan có hoa màu ñỏ

2.2 Liên hệ giữa Nhị thức và Poisson

• Nếu n→ ∞, p→ 0, np→ λ thì:

k d

k k n k n

Xấp xỉ phân phối Nhị thức bằng Poisson

• Cho X có phân phối nhị thức B(n, p), λ =np Khi ñó:

a) Tất cả ñều tốt; b) Không quá 2 phế phẩm

2.3 ðịnh lý giới hạn Moivre – Laplace

ðịnh lý 1 (giới hạn ñịa phương)

• Gọi pk là xác suất xuất hiện k lần biến cố A trong n phép thử Bernoulli với P(A) = p (p không quá gần 0 và không quá gần 1) thì n