Bài giảng Xác suất thống kê CĐ kỹ thuật Cao Thắng

Bài giảng Xác suất thống kê CĐ kỹ thuật Cao ThắngBài giảng Xác suất thống kê của trường Cao đẳng kỹ thuật Cao Thắng trình bày nội dung về giải tích tổ hợp, biến cố và xác suất của biến cố, đại lượng ngẫu nhiên, lý thuyết mẫu, ước lượng tham số, lý thuyết kiểm định. Mời các bạn tham khảo.

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG

Bài giảng:XÁC SUẤT và THỐNG KÊ

(Lưu hành nội bộ)

TP HỒ CHÍ MINH 2010

Mục lục

1.1 Tập Hợp 1

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 1

1.1.2 Các phép toán tập hợp 2

1.2 Giải Tích Tổ Hợp 2

1.2.1 Quy tắc nhân 2

1.2.2 Chỉnh hợp 3

1.2.3 Hoán vị 3

1.2.4 Tổ hợp 4

1.2.5 Hoán vị lặp 4

1.2.6 Chỉnh hợp lặp 4

1.2.7 Nhị thức Newton 5

Chương 2 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 6 2.1 Khái Niệm Biến Cố 6

2.1.1 Phép thử, không gian mẫu 6

i

MỤC LỤC

2.1.2 Biến cố 6

2.1.3 Các phép toán của biến cố 7

2.1.4 Quan hệ giữa các biến cố 7

2.1.5 Tính chất 8

2.2 Định Nghĩa Xác Suất 9

2.2.1 Định nghĩa (cổ điển) 9

2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê 9

2.2.3 Định nghĩa theo hình học 9

2.2.4 Tính chất 9

2.3 Công Thức Xác Suất 10

2.3.1 Công thức cộng 10

2.3.2 Xác suất có điều kiện 10

2.3.3 Công thức nhân 11

2.4 Công Thức Xác Suất Đầy Đủ 11

2.4.1 Công thức xác suất đầy đủ 11

2.4.2 Công thức Bayès 11

2.4.3 Công thức Bernoulli 11

Chương 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 13 3.1 Khái Niệm Đại Lượng Ngẫu Nhiên 13

3.2 Hàm Phân Phối Xác Suất 13

3.2.1 Định nghĩa và tính chất của hàm phân phối 13

3.2.2 Bảng phân phối xác suất 14

MỤC LỤC

3.2.3 Hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục 16

3.3 Các Đặc Trưng Của Đại Lượng Ngẫu Nhiên 16

3.3.1 Kỳ vọng 16

3.3.2 Phương sai 18

3.3.3 Mode và trung vị 19

3.4 Các Quy Luật Phân phối Xác Suất Thông Dụng 20

3.4.1 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 20

3.4.2 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục 23

3.5 Định Lí Giới Hạn Trung Tâm 29

3.6 Véctơ Ngẫu Nhiên - Đại Lượng Ngẫu Nhiên 2 Chiều 31

3.6.1 Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều 31

3.6.2 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều 32

3.6.3 Hệ Số Tương Quan 35

Chương 4 LÝ THUYẾT MẪU 36 4.1 Mẫu Ngẫu Nhiên 36

4.1.1 Khái niệm tổng thể và mẫu 36

4.1.2 Các phương pháp chọn mẫu 36

4.1.3 Mẫu ngẫu nhiên, mẫu cụ thể 37

4.1.4 Các đặc trưng mẫu 37

4.2 Phương pháp tính tham số mẫu cụ thể 39

Khoa Giáo Dục Đại Cương iii Xác Suất Và Thống Kê

MỤC LỤC

5.1 Ước Lượng Điểm 40

5.1.1 Bài toán ước lượng điểm 40

5.1.2 Ước lượng không chệch 40

5.2 Ước Lượng Khoảng 41

5.2.1 Khái niệm ước lượng khoảng 41

5.2.2 Phương pháp ước lượng khoảng 41

Chương 6 LÝ THYẾT KIỂM ĐỊNH 46 6.1 Khái Niệm 46

6.1.1 Khái niệm và định nghĩa 46

6.1.2 Các bước kiểm định giả thiết: 46

6.2 Kiểm Định Giả Thiết 47

6.2.1 Kiểm định giả thiết về tỉ lệ 47

6.2.2 Kiểm định giả thiết về trung bình 47

6.2.3 Kiểm định giả thiết về phương sai 49

6.3 Kiểm Định So Sánh Các Tham Số 51

6.3.1 So sánh hai tỉ lệ 51

6.3.2 So sánh hai giá trị trung bình 51

6.3.3 So sánh hai phương sai 53

Chương 1

GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.1 Tập Hợp

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học, không được định nghĩa Ví dụ như kháiniệm tập hợp sinh viên của một trường Đại học, tập hợp các nghiệm của phương trình

x3− x + 6 = 0, tập hợp N các số tự nhiên,

Nếu a là một phần tử thuộc tập hợp A ta viết a ∈ A, ngược lại ta viết a /∈ A

Tập hợp không chứa bất kỳ phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu ∅

Để xác định một tập hợp ta có thể dùng một trong hai cách thông dụng sau:

∗ Cách 1: Xác định tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của nó như A = {0, 1, 2, , 9},

CHƯƠNG 1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.1.2 Các phép toán tập hợp

Cho A và B là hai tập hợp tùy ý

a Phép hợp: Hợp của của A và B là tập gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B,

Một công việc có thể được thực hiện qua 2 giai đoạn I và II Trong đó:

 Giai đoạn I có n cách thực hiện,

 Giai đoạn II có m cách thực hiện

Khi đó, để hoàn thành công việc có n × m cách thực hiện

Ví Dụ 1.1 Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng: ôtô, tàu cao tốc hoặc máy bay

Đi từ tỉnh B đến tỉnh C có thể đi bằng: ôtô, tàu cao tốc, tàu hỏa hoặc máy bay Hỏi cóbao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C, bắt buộc phải ghé qua tỉnh B?

CHƯƠNG 1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP

A

ôtôtàu cao tốcmáy bay

B

ôtôtàu cao tốcmáy baytàu hỏa

C

Tổng quát: Một công việc được thực hiện qua k giai đoạn 1, 2, 3, , k Trong đó:

 Giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện,

 Giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện,

 Giai đoạn 3 có n3 cách thực hiện,

 Giai đoạn k có nk cách thực hiện

Khi đó, để hoàn thành công việc có n1× n2 × n3× × nk =Qk

i=1ni cách thực hiện

Ví Dụ 1.2 Một người có 5 cái quần 3 cái áo 4 đôi giày Mỗi lần đi chơi người đó chọnmột quần, một áo và một đôi giày Hỏi có bao nhiêu cách để lựa chọn?

1.2.2 Chỉnh hợp

Định Nghĩa 1.1 Một cách chọn lần lượt không hoàn lại (không lặp, có thứ tự) k phần

tử từ một tập hợp có n phần tử, được gọi là một chập hợp chập k của n phần tử

Định Lí 1.1 Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử, ký hiệu là Ak

n vàđược tính bởi công thức sau:

Định Lí 1.3 Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được tính theo công thức:

Khoa Giáo Dục Đại Cương 5 Xác Suất Và Thống Kê

Chương 2

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA

BIẾN CỐ

2.1 Khái Niệm Biến Cố

2.1.1 Phép thử, không gian mẫu

 Phép thử: Khi ta làm một thí nghiệm hay quan sát một hiện tượng mà có chú ý đếnkết quả thì gọi là phép thử Ký hiệu phép thử là: T

 Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của một phép thử được gọi

là không gian mẫu Ký hiệu: Ω

2.1.2 Biến cố

 Biến cố: Tập con A của Ω, được gọi là biến cố

Ví Dụ 2.1 Xét một số ví dụ về biến cố sau đây:

 Gieo một con xúc xắc thì việc xuất hiện số chấm lẻ là một biến cố;

 Tung một đồng xu là một phép thử, biến cố là mặt xấp xuất hiện hay mặt ngữa xuấthiện

a Biến cố sơ cấp: Mỗi phần tử ω của Ω được gọi là biến cố sơ cấp

CHƯƠNG 2 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

b Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử Ký hiệu: Ω

c Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử Kýhiệu: ∅

2.1.3 Các phép toán của biến cố

a Phép tổng: Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi vàchỉ khi hoặc A hoặc B xảy ra Ký hiệu C = A + B = A ∪ B

Ví Dụ 2.3 Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia A là biến cố người thứ nhất bắn trúngbia, B là biến cố người thứ hai bắn trúng bia Nếu gọi C là biến cố bia bị trúng đạn thìkhi đó C = A + B

b Phép tích: Biến cố C gọi là tích của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi

cả A và B cùng xảy ra Ký hiệu C = A.B = A ∩ B

Ví Dụ 2.4 Một sinh viên dự thi hai môn văn và toán Gọi A là biến cố sinh viên thiđậu môn văn, B là biến cố sinh viên thi đậu môn toán và C la biến cố sinh viên thi đậu

cả hai môn Khi đó C = A.B

2.1.4 Quan hệ giữa các biến cố

a Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùngxảy ra trong một phép thử Ký hiệu A ∩ B = ∅

Ví Dụ 2.5 Tung một con xúc xắc Gọi A là biến cố xuất hiện số nút chẵn, B là biến cốxuất hiện số nút lẽ Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc

b Họ các biến cố xung khắc: Họ các biến cố A1, A2, , An được gọi là họ xung khắcnếu một biến cố bất kỳ trong họ xảy ra thì các biến cố còn lại không xảy ra Nghĩalà:

Ai.Aj =∅, ∀i, j(i 6= j)Khoa Giáo Dục Đại Cương 7 Xác Suất Và Thống Kê

CHƯƠNG 2 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

c Biến cố đối lập: Hai biến cố A và B được gọi là đối lập, nếu:

i) A và B xung khắc

ii) A + B = Ω Hai biến cố A và B trong ví dụ trên là đối lập

d Họ đầy đủ Họ các biến cố A1, A2, , An được gọi là một họ đầy đủ nếu chúng thỏa:i) Họ xung khắc: Ai.Aj =∅, ∀i, j(i 6= j)

c A.(B + C) = AB + AC; A.B = A + B; A + B = A.B

Ví Dụ 2.7 Kiểm tra 3 sản phẩm Gọi Ak là biến cố sản phẩm thứ k tốt Hãy trình bàycác cách biểu diễn qua Ak các biến cố sau:

CHƯƠNG 2 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.2 Định Nghĩa Xác Suất

2.2.1 Định nghĩa (cổ điển)

Định Nghĩa 2.1 Gia sử một phép thử có n trường hợp đồng khả năng Trong đó có mtrường hợp thuận lợi cho biến cố A Khi đó, xác suất của biến cố A Ký hiệu P (A) và xácđinh bởi công thức

P (A) = m

n =

Số trương hợp thuận lợi

Số trường hợp đông khả năng

Ví Dụ 2.8 Một hộp chứa 10 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm.Tính xác suất hai sản phẩm được chọn là sản phẩm tốt

2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê

Định Nghĩa 2.2 Giả sử phép thử được thực hiện n lần độc lập trong đó biến cố A xuấthiện mA lần Khi đó, mAđược gọi là tần số xuất hiện của biến cố A và tỉ số mA

n = fn(A)được gọi là tần suất (tần số tương đối) của biến cố A

Ví Dụ 2.9 Qua thống kê dân số, người ta tổng kết được xác suất để một em bé ra đời

là trai hay gái xấp xỉ 1

CHƯƠNG 2 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

gọi là công thức cộng xác suất

∗ Đặc biệt, nếu họ {A1, A2, A3, , An} xung khắc từng đôi thì

 Cho A và B là hai biến cố tùy ý: P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB)

∗ Đặc biệt, nếu A và B xung khắc thì

P (A + B) = P (A) + P (B)

 Cho A, B và C là 3 biến cố tùy ý, có:

P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C)− P (AB) − P (BC) − P (CA) + P (ABC)

∗ Đặc biệt, nếu A, B và C xung khắc từng đôi thì: P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C)

Ví Dụ 2.11 Gieo đồng thời 2 con xúc xắc, hãy tính xác suất để:

a Có ít nhất 1 con xuất hiện mặt 4 chấm,

b Có đúng 1 con xuất hiện mặt 4 chấm

2.3.2 Xác suất có điều kiện

Định Nghĩa 2.4 Cho A, B ⊂ Ω với P(B) > 0 Xác suất của biến cố A được tính vớiđiều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A đối với biến

cố B Ký hiệu: P (A/B) Khi đó:

P (A/B) = P (AB)

P (B) , (P (B)6= 0)

Ví Dụ 2.12 Gieo một con xúc xắc Gọi A là biến cố xuất hiện mặt hai chấm, B là biến

cố xuất hiện mặt một chấm Tính P (A/B) và P (B/A)

CHƯƠNG 2 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.3.3 Công thức nhân

 Cho 2 biến cố A và B Ta có: P (A.B) = P (A).P (A/B) = P (B).P (B/A)

 Cho {A1, A2, A3, , An} là hệ các biến cố tùy ý Khi đó ta có công thức sau

P (A1.A2.A3 An) = P (A1)P (A2/A1)P (A3/A1A2) P (An/A1A2 An −1),

gọi là công thức nhân xác suất

Ví Dụ 2.13 Trong 1 hộp có 100 phiếu, trong đó có 10 phiếu trúng thưởng Tính xácsuất để người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba đều rút được phiếu trúng thưởng?

2.4 Công Thức Xác Suất Đầy Đủ

2.4.1 Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử, hệ các biến cố {A1, A2, A3, , An} là đầy đủ và B là một biến cố bất kỳ Khi đó:

P (B) = P (A1)P (B/A1) + P (A2)P (B/A2) + P (A3)P (B/A3) +· · · + P (An)P (B/An)

=Pn

i=1P (Ai)P (B/Ai),gọi là công thức xác suất đầy đủ

Ví Dụ 2.14 Giả sử có 3 hãng H1, H2 và H3 sản xuất cùng một loại sản phẩm Trong đó

tỉ lệ phần trăm sản phẩm của mỗi hãng trên thị trường lần lượt là 60%, 10% và 30% với

tỉ lệ sản phẩm bị khuyết tật tương ứng là 1%, 5% và 3% Mua ngẫu nhiên một sản phẩm,tính xác suất sản phẩm được mua bị khuyết tật?

2.4.2 Công thức Bayès

Cũng với giả thiết như ở trên, ta có công thức sau gọi là công thức xác suất Bayès

P (Ak/B) = PP (An k)P (B/Ak)

i=1P (Ai)P (B/Ai),với k = 1, n

Ví Dụ 2.15 Từ Ví dụ ở trên, giả sử sản phẩm đã mua bị khuyết tật Hãy tính xác suất

CHƯƠNG 2 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Định Nghĩa 2.5 Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn 3 điều kiện sau:

i) Các phép thử của dãy độc lập với nhau Nghĩa là, kết quả của phép thử sau khôngphụ thuộc vào các phép thử trước đó;

ii) Trong mỗi phép thử chỉ có hai biến cố A hoặc A xảy ra;

iii) Xác suất để biến cố A xảy ra là cố định: P (A) = p với 0 < p < 1 nên P (A) =

1− p = q

Ví Dụ 2.16 Một hộp có 12 viên bi, trong đó có 4 bi màu xanh còn lại là bi trắng Lầnlượt rút có hoàn lại 7 bi Gọi A là biến cố lấy được bi xanh trong mỗi lần rút Lúc đó tađược một dãy thử Bernoulli với n = 7, p = P (A) = 4

B(k, n, p) = Cnkpkqn−kgọi là công thức Bernoulli

Ví Dụ 2.17 Với giả thiết như ở Ví dụ trên Ta tính được xác suất để trong 7 lần rút bi

có 3 bi xanh là: B(3, 7,1

3) = C3

7(13)3(23)4 = 0, 256

Chương 3

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

3.1 Khái Niệm Đại Lượng Ngẫu Nhiên

Đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) là đại lượng mà giá trị của nó là ngẫu nhiên Đại lượngngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng những chữ in hoa như X, Y, Z, và dùng chữ inthường như x1, x2, x3, để ký hiệu cho những giá trị cụ thể của nó Đại lượng ngẫu nhiênđược chia thành 2 loại:

 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: là đại lượng chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm đượccác giá trị

Ví Dụ 3.1 Gieo n hạt lúa Gọi X là số hạt nảy mầm Khi đó X là một đại lượng ngẫunhiên rời rạc và X có thể nhận một trong các gia trị sau X = {0, 1, 2, , n}

 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: là đại lượng mà giá trị của nó lấp kín cả 1 đoạn; 1khoảng hay toàn bộ trục số

Ví Dụ 3.2 Bắn một viên đạn vào bia Gọi X là khoảng cách từ điểm chạm của viênđạn đến bia Khi đó X là một đlnn liên tục

3.2 Hàm Phân Phối Xác Suất

3.2.1 Định nghĩa và tính chất của hàm phân phối

Định Nghĩa 3.1 Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu F (x),

là hàm số thực được xác định như sau: F (x) = P [X < x], ∀x ∈ R

13

CHƯƠNG 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Tính Chất 3.1 Tính chất:

i) 0 6 F (x) 6 1,∀x ∈ R;

ii) F (x) không giảm Nghĩa là nếu x1 6x2 thì F (x1) 6 F (x2)

iii) F (−∞) = limx →−∞F (x) = 0, F (+∞) = limx →+∞F (x) = 1;

iv) P [a 6 X 6 b] = F (b)− F (a)

3.2.2 Bảng phân phối xác suất

Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị là x1, x2, , xn với xác suất tương ứng

là P [X = x1] = p1, P [X = x2] = p2, , P [X = xn] = pn Khi đó, luật phân phối xác suấtcủa X gọi là bảng phân phối xác suất và được cho như sau:

X x1 x2 xn

P p1 p2 pn

Với pi >0 và Pn

i=1pi = 1 Ở đây n có thể hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

Xác suất để X nhận giá trị trong cả đoạn:

P [xi 6X 6 xj] = X

x i 6xk6x j

pk.Nếu n hữu hạn thì hàm phân phối F (x) có dạng:

Ví Dụ 3.4 Cũng giá trị như ở Ví dụ trên nhưng ta lần lượt lấy có hoàn lại 2 sản phẩm.Gọi Y là số phế phẩm lấy được Lập bảng phân phối xác suất của Y

Giải:

CHƯƠNG 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Do lấy lần lượt có hoàn lại các sản phẩm nên ta có dãy phép thử Bernoulli với n = 2

Do đó, ta có bảng phân phối xác suất như sau: Y 0 1 2

P 9

16

3 8

1 16

Ví Dụ 3.5 Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập Xác suất trong 1 ngày làmviệc các máy đó hỏng tương ứng là 0,2 và 0,3 Gọi X là số máy hỏng trong 1 ngày làmviệc Lập hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị của nó

Giải:

◦ Lập hàm phân phối xác suất của X

Gọi Ai là biến cố máy thứ i (i = 1, 2) bị hỏng Đại lượng ngẫu nhiên X chỉ có thể nhậncác giá trị là 0; 1; 2 Do đó:

Khoa Giáo Dục Đại Cương 15 Xác Suất Và Thống Kê

CHƯƠNG 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

3.2.3 Hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Định Nghĩa 3.2 Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xácsuất F (x), x ∈ R Hàm số:

f (x) = F0(x)được gọi là hàm mật độ xác suất của X

a f (x)dx = 0

Khi X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì ta chỉ quan tâm tới xác suất để X nằm trong

1 khoảng nào đó chứ không quan tâm tới xác suất để X nhận 1 giá trị cụ thể

iii) Nếu có hàm f (x) thỏa điều kiện f (x) > 0,∀x ∈ R và R−∞+∞f (x)dx = 1 thì nó là hàmmật độ của 1 đại lượng ngẫu nhiên liên tục nào đó

Ví Dụ 3.6 Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

3.3 Các Đặc Trưng Của Đại Lượng Ngẫu Nhiên

CHƯƠNG 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

thì E(X) = x1p1+ x2p2+ x3p3+ + xnpn=Pn

i=1xipi (n có thể vô hạn)

- Nếu X là đlnn liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì E(X) =R+∞

−∞ xf (x)dx.Nhận Xét 3.2 Nếu lấy trung bình k giá trị quan sát độc lập của X thì:

X = n1x1+ n2x2+ + nkxk

Pk i=1ni = n

Ý Nghĩa 3.1 Từ định nghĩa và qua nhận xét trên ta rút ra ý nghĩa của kỳ vọng nhưsau: Kỳ vọng là giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên đó

Tính Chất 3.3 i) E(C) = C (C là hằng số)

ii) E(CX) = CE(X)

iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

iv) Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập (2 biến cố {X < x}, {Y < y} độclập ∀x, y) thì E(XY ) = E(X)E(Y )

CHƯƠNG 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

3.3.2 Phương sai

Định Nghĩa 3.4 Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là D(X) hoặc V(X)

và được xác định như sau:

D(X) = E[(X− E(X))2]

= E(X2− 2XE(X) + [E(X)]2)

= E(X2)− 2E[XE(X)] + E[E(X)]2

= E(X2)− 2E(X)E(X) + [E(X)]2

= E(X2)− [E(X)]2

Ý Nghĩa 3.2 Ta thấy, X −E(X) là sai số của X so với trung bình nó, do đó phương saiE[(X− E(X))2] chính là trung bình của bình phương sai số đó và được gọi tắt là phươngsai Nó đo mức độ phân tán của đại lượng ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình Nghĩa làphương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ nên độ tập trung lớn và ngược lại

Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị, trong kinh doanh nó đặctrưng cho độ rủi ro của các quyết định, còn trong trồng trọt nó biểu thị cho mức độ ổnđịnh của năng suất,

Tính Chất 3.4 Phương sai có những tính chất sau

i) D(C) = 0 (C là hằng số)

ii) D(CX) = C2D(X)

iii) Nếu X và Y độc lập thì D(X± Y ) = D(X) + D(Y ) Do đó D(X ± C) = D(X)

Ví Dụ 3.9 Năng suất của 2 máy tương ứng là các đại lượng ngẫu nhiên X, Y (đơn vị:sản phẩm/phút) và có bảng phân phối xác suất:

P 0,3 0,1 0,5 0,1 YP 20,1 30,4 40,4 50,1Nếu phải chọn mua một trong 2 máy trên thì ta nên chọn mua máy nào?

CHƯƠNG 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Định Nghĩa 3.5 Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là σ(X) và đượcxác định như sau: σ(X) =pD(X)

Ví Dụ 3.10 Trọng lượng của 1 loại sản phẩm là X (đơn vị kg), có hàm mật độ xác suấtnhư sau:

Định Nghĩa 3.6 Mode của ĐLNN X ký hiệu là ModX

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì Mod(X) là giá trị của X ứng với xác suấtlớn nhất

Hay: Mod(X)= xi ⇔ pi =max{p1, p2, p3 }

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì Mod(X) là giá trị làm cho hàm mật độ xácsuất đạt giá trị lớn nhất

Hay: Mod(X)= c ⇔ f(c) =max{f(x), x ∈ R}

Ví Dụ 3.11 Cho đlnn X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như sau:

P 0, 35 0, 15 0, 2 0, 14 0, 16thì Mod(X)= 0

Ví Dụ 3.12 Cho đlnn X liên tục và có đồ thị của hàm mật độ xác suất f(x) như sau:

f (x)

a

thì lúc đó Mod(X)= a

b Trung vị (Median): Là điểm m, ký hiệu là Med(X) thỏa:

Khoa Giáo Dục Đại Cương 19 Xác Suất Và Thống Kê

CHƯƠNG 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Ta có:

|X − E(X)| < 1 ⇔ −1 < |X − E(X)| < 1

⇔ E(X) − 1 < X < E(X) + 1Với E(X) = −1.0, 15 + 0.0, 2 + 1.0, 1 + 2.0, 35 = 0, 65

⇒ |X − E(X)| < 1 ⇔ 0, 65 − 1 < X < 0, 65 + 1 ⇔ −0, 35 < X < 1, 65

Do đó: P [|X − E(X)| < 1] = P[0, 35 < X < 1, 65] = 0, 2 + 0, 3 = 0, 5

3.4 Các Quy Luật Phân phối Xác Suất Thông Dụng

3.4.1 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

A Phân phối nhị thức

Bài toán: Giả sử X là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli với

P (A) = p Lập bảng phân phối xác suất của X

CHƯƠNG 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Định Nghĩa 3.7 Phân phối nhị thức là phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Xnhận n + 1 giá trị 0, 1, 2, , n với xác suất tương ứng là

Pk= P [X = k] = Ck

npk(1− p)n −k, (k = 0, n)Phân phối nhị thức được ký hiệu là X ∼ B(n; p)

Các Đặc Trưng 3.1  E(X) = np, D(X) = npq, Mod(X)= x0 với np−q ≤ x0 ≤ np+p

Ví Dụ 3.14 Một xí nghiệp có 12 máy hoạt động độc lập Xác suất để 1 máy bất kỳ hoạtđộng tốt trong ngày là 0,95 Hãy tính xác suất để trong ngày có 9 máy hoạt động tốt

Ví Dụ 3.15 Một người mỗi ngày đi bán hàng ở 10 địa điểm khác nhau Xác suất bánđược hàng ở mỗi nơi là 0,3

a Tìm xác suất người đó bán được hàng trong 1 ngày

b Mỗi năm người đó đi bán hàng 300 ngày, tìm số ngày bán được hàng nhiều khả năngnhất trong 1 năm

B Phân phối siêu bội

Bài toán: Giả sử một tập hợp có N phần tử, trong đó NA phần tử có tính chất A Từtập hợp trên lấy n phần tử

Gọi X là số phần tử có tính chất A lẫn trong n phần tử này Lập luật phân phối của X?

NA NA

nk

N

Giải:

Ta nhận thấy X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, , n ta sẽ tính xác suất để trong n phần

tử lấy ra có k phần tử có tính chất A (n − k phần tử không có tính chất A) Nghĩa là Xnhận giá trị bằng k

CHƯƠNG 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Gđ2: Lấy n − k phần tử không có tính chất A từ N − NA phần tử có Cn −k

N −N A cách.Suy ra có Ck

C1

N ACn −1

N −N A

Cn N

CNkACn −k

N −N A

Cn N

CNnAC0

N −N A

Cn N

Qua bài toán trên ta đinh nghĩa phân phối siêu bội như sau:

Định Nghĩa 3.8 Phân phối siêu bội là phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Xnhận các giá trị 0, 1, 2, , n với xác suất tương ứng là:

Phân phối siêu bội được ký hiệu là X ∼ H(N, NA, n)

Ví Dụ 3.16 Một sọt cam có 100 quả, trong đó có 10 quả bị hư Tính xác suất để trong

8 quả lấy ra có 5 quả hư

Định Lí 3.1 (Định lí liên hệ giữa phân phối siêu bội với phân phối nhị thức) Nếu

X ∼ H(N, NA, n), N −→ ∞ và NA

N −→ p (p 6= 0, p 6= 1) thì X −→ B(n; p)

C Phân phối Poisson

Bài toán: Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A tại những thời điểm ngẫu nhiên trongkhoảng thời gian (t1, t2) thỏa mãn:

+ Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng thời gian (t1, t2) không ảnh hưởng tới xácsuất xuất hiện A trong khoảng thời gian kế tiếp

+ Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng thời gian (t1, t2) tỉ lệ với độ dài của khoảngthời gian đó Khi đó X có phân phối Poisson, kí hiệu X ∼ P (λ) với λ = c(t2− t1), c gọi

là cường độ xuất hiện biến cố A

Định Nghĩa 3.9 Phân phối Poisson với tham số λ (λ > 0) là luật phân phối của đạilượng ngẫu nhiên rời rạc X, nhận các giá trị nguyên không âm 0, 1, 2, , k, với xác suấttương ứng là:

Pk = P [X = k] = e

−λ.λk

k! , k = 0, 1,

Ký hiệu là X ∼ P (λ)

CHƯƠNG 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Các Đặc Trưng 3.3 E(X) = D(X) = λ, Mod(X)= x0 với λ − 1 ≤ x0 ≤ λ

Ví Dụ 3.17 Số khách đến mua hàng tại một quầy hàng là ngẫu nhiên, độc lập; trungbình cứ 3 phút có 1 người Tính xác suất trong 30 giây có 2 khách đến mua hàng

~ Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson:

Định Lí 3.2 Xn ∼ B(n; p) Nếu số phép thử n → ∞ và xác suất P (A) → 0 sao cho

np = λ thì Xn → p(λ)

Ý Nghĩa 3.3 i) Trong thực hành khi X ∼ B(n, p) với n khá lớn, p khá bé (sao chonpq ' np) thì P [X = x] ' e−λλx

x! với λ = npii) Vì n lớn, p rất bé nên từ định lí trên người ta còn nói luật phân phối Poisson là luậtphân phối của biến cố hiếm

3.4.2 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục

A Phân phối chuẩn

Định Nghĩa 3.10 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn vớitham số µ và σ2 (σ > 0), ký hiệu X ∼ N(µ, σ2) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

µ− σ

1

σ √ e2π

µ + σ

 Hàm phân phối xác suất của X có dạng: F (x) =R−∞x f (t)dt = 1

σ√2π

Rx

−∞e−(t−µ)22σ2 dtKhoa Giáo Dục Đại Cương 23 Xác Suất Và Thống Kê

CHƯƠNG 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

và không biểu diễn được thành hàm sơ cấp Đồ thị có tâm đối xứng (µ; 0, 5) như hình vẽ:

F (x)

µ

0, 51

Các Đặc Trưng 3.4 Mod(X)=Med(X)=µ; E(X) = µ; D(X) = σ2; σ(X) = σ

Định Nghĩa 3.11 Phân phối chuẩn có kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1 được gọi làphân phối chuẩn tắc, ký hiệu X ∼ N(0, 1) Khi đó, hàm mật độ xác suất (hàm Laplace)của X có dạng: ϕ(x) = √1

2πe

− x2 2

1

1

√ e2π

Giá trị của ϕ(x) và Φ(x) được cho sẵn ở bảng Phụ lục 1 và Phụ lục 2

? Tính xác suất cho phân phối chuẩn tắc:

B Nếu X ∼ N(0, 1) thì P [a < X < b] = Φ(b) − Φ(a)

Từ đó suy ra: P [|X| < a] = 2Φ(a) − 1 và P[|X| > a] = 2(1 − Φ(a))