Vi phan ham nhieu bien

HÀM NHI ỀU BIẾN 1.. Định nghĩa Hàm 2 biến.. Kho ảng cách giữa 2 điểm, dãy điểm... Liên t ục tại một điểm... Đạo hàm-Vi phân... Đạo hàm riêng của hàm ẩn... Đạo hàm riêng cấp cao, vi phân

HÀM NHI ỀU BIẾN

1 Định nghĩa Hàm 2 biến

2:

Miền xác định của hàm f(x,y) là miền 2

D⊂  sao cho f(x,y) có nghĩa

2.1 Kho ảng cách giữa 2 điểm, dãy điểm

Cho 2 điểm M(x,y), M0(x y0, 0) thì d M M( , 0)= (x−x0)2+(y−y0)2 ≥ 0

Cho dãy điểm M0( ,x y0 0),M x y1( ,1 1),M2(x y2, 2), ,M k(x y k, k)

Dãy điểm M k hội tụ đến M0 ký hiệu M k →M0

nếu d M( k,M0)→0 (x k →x y0, k → y0)

2.2 Lân cận tại một điểm

Cho M x y0( ,0 0), r>0, B M r( 0, ) {= M∈2/ (d M M, 0)<r} lân cận của điểm M0

Đây là dĩa tròn tâm tại M0 và bán kính là r (không lấy biên)

lim

x y

xy xy

1 lim( ) sin

x y

   , chuyển về giới hạn một biến

2.4 Liên t ục tại một điểm

Hàm f(x,y) liên tục tại M0(x y0, 0) nếu nó thỏa 2 điều kiện

• Hàm f(x,y) xác định tại M0(x y0, 0)

•

0 0

Hàm f(x,y) liên tục trên D nếu f(x,y) liên tục tại M0(x y0, 0), ∀M0∈D

2.5 Định lý Weirestrass: Cho E là tập Compact, 2

E∈  , f(x,y) liên tục trên E Khi ấy

3 Đạo hàm-Vi phân

Đại lượng:A x.∆ + ∆ =B y df x y( ,0 0) :vi phân toàn phần cấp 1 của hàm f(x,y) tại M0(x y0, 0)

Định lý: Nếu hàm z= f x y( , ) xác định trong lân cận của điểm M0(x y0, 0) và các đạo hàm riêng f x′ ′ liên tục tại , f y M0(x y0, 0) thì f x y kh( , ) ả vi tại M0(x y0, 0) và

( , )( , )

3.3 Đạo hàm theo hướng

Đạo hàm của hàm ( , )f x y theo hướng u u u( ,1 2)

(vector đơn vị) tại M0(x y0, 0)

( )

f

x y f x y u u

(3.1)

x t y t

dz

z x z y

dt = ′ ′+ ′ ′ VD1: z=x2+xy; x=t2; y=3t

Chú ý: z= f x y( , ); y= y x( )

x y x

dz

dx= ′ + ′ ′

sin y ;

x

 

 

b) z= f x y( , ); x=x u v( , ); y= y u v( , )

x u y u

z

z x z y u

∂ = ′ ′+ ′ ′

∂

x v y v

z

z x z y v

∂ = ′ ′ + ′ ′

∂ VD3: z=e xy; x=x u v( , )=u2+v2,y= y u v( , )=u v

3.5 Đạo hàm riêng của hàm ẩn

Định nghĩa: Phương trình F(x,y,z)=0 có thể xác định một hàm ẩn z=z x y( , ) với các điều

kiện sau:

• Xác định, liên tục trong B M( 0, ),ε M0( ,x y z0 0, 0), ε >0

• F x y z( ,0 0, 0)=0

• ∃F F F x′ ′ ′, y, z liên tục trong B M( 0, )ε

• F x y z z′( ,0 0, 0)≠0

thì

x x z y x z

F z

F F z

F

′

 ′ = −



 ′ = −



VD: Cho xyz= + +x y z Tìm dz=?

Cách 1: Xem phương trình trên như là F(x,y,z)=xyz-x-y-z=0

x

x y

y z

F

z

z F

′

 ′ =



Cách 2:Xem z=z(x,y), x,y là biến độc lập

Lấy vi phân 2 vế của phương trình xyz=x+y+z

4 Đạo hàm riêng cấp cao, vi phân toàn phần cấp cao

4.1 Đạo hàm riêng cấp cao

Nếu trong một lân cận B M r c( 0, ) ủa điểm M x y 0( ,0 0) hàm z=f(x,y) có các đạo hàm

hỗn hợp và các đạo hàm này liên tục tại M x y thì 0( ,0 0)

Nếu x0 =0;y0 =0 thì ta có khai triển Maclaurin

y y

yyy yy

Tìm vi phân c ấp hai của hàm hai biến z = exy t ại M0(1,1)

Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến = 2y

z xe

5 C ực trị hàm nhiều biến(cực trị tự do)

5.1 Điều kiện cần của cực trị

ĐN cực trị: Điểm P x y0( ,0 0)_ cực tiểu nếu

Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung cực trị

Điểm dừng: Điểm ( ,x y0 0)_ điểm dừng của ( , )f x y nếu ' '

f x y = f x y =

Định Lý (ĐK cần có cực trị): Nếu hàm z= f x y( , ) có cực trị tại P x y0( ,0 0) thì tại P 0

hàm số có các đạo hàm riêng =0( Điểm dừng)

- Nếu ∆ >0,A< ⇒0 P x y( ,0 0) là điểm cực đại của ( , )f x y

- Nếu ∆ >0,A> ⇒0 P x y( ,0 0) là điểm cực tiểu của ( , )f x y

- Nếu ∆ <0 thì P x y0( ,0 0) không là điểm cực trị của ( , )f x y

Kết luận: Điểm P2(1,1)là điểm cực tiểu và (1,1)f = − 1

0

( ) 00

0

( ) 00

0 d f P( )

∆ < ⇒ không xác định dấu→ không là cực trị P0

Tương tự cho hàm 3 biến ( , , )f x y z = w

điểm dừng của hàm Lagrange

Đưa hàm cực trị có điều kiện → không điều kiện

Giải hệ

2 '

2

20

y L

1

λλ

+ Nếu f đạt cực trị tại N trên biên G⇒ cực trị (có đk)

Cách giải:

+ Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị trong G.(các điểm dừng (M M M1, 2, 3))

+ Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị trên biên G (N N1, 2)

1

1,1

( )3