Sử dụng kiến thức hình học để giải một số bài toán liên qua đến giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của môđun số phức

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học phổ thông, chương số phức được đưa vào cuối của chương trình Giải tích lớp 12, việc làm quen và giải các bài toán về số phức đối với nhiều h

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình toán học phổ thông, chương số phức được đưa vào cuối của chương trình Giải tích lớp 12, việc làm quen và giải các bài toán về số phức đối với nhiều học sinh là điều còn khá mới mẻ Nhiều học sinh chưa thực sự hiểu sâu sắc về khái niệm số phức, về biểu diễn hình học của số phức, về ý nghĩa hình học của các phép toán số phức, vì vậy khi giải quyết các bài toán số phức ở mức độ vận dụng, vận dụng cao, đặc biệt là các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức đã thực sự gặp khó khăn

Với việc đổi mới hình thức thi môn toán trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia từ năm học 2016 – 2017, trong các đề toán minh họa của Bộ Giáo dục & Đào tạo, các đề thi khảo sát chất lượng của các tỉnh, các nhà trường, số lượng câu hỏi ở mức độ vận dụng, vận dụng cao liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức là khá phổ biến Học sinh tiếp cận và giải các bài toán dạng này rất lung túng, gặp nhiều khó khăn

Căn cứ kế hoạch chuyên môn trường THPT Tống Duy Tân năm học

2016-2017 Căn cứ nhiệm vụ được giao Năm học 2016-2017, với cương vị vừa là Phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn của nhà trường, vừa phụ trách dạy môn toán lớp

12 A, đây là lớp học ban khoa học cơ bản có các môn tự chọn nâng cao là Toán, Vật lý và Hóa học, tôi đã cố gắng trau dồi kinh nghiệm chuyên môn, trao đổi đồng nghiệp, tìm tòi và đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao hiệu quả dạy học cho học sinh, giúp các em hình thành và phát huy tốt nhất phẩm chất và năng lực toán học Trong đó mảng kiến thức về số phức với những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết các bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của môđun số phức đặt ra cho tôi và các đồng nghiệp trong trường yêu cầu tìm phương pháp giải quyết vừa hiệu quả, vừa phát huy được năng lực tư duy toán học, chuẩn

bị tốt nhất cho các kỳ thi, trước mắt là thi THPT Quốc gia năm 2017

Để giúp các em hiểu sâu sắc hơn về ý nghĩa hình học của số phức, về mối liên hệ giữa các yếu tố hình học với các bài toán số phức dạng này, phát hiện ra bản chất hình học của các bài toán đó để giải quyết có hiệu quả, tôi mạnh dạn đề xuất

vấn đề: “Sử dụng kiến thức hình học để giải một số bài toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của môđun số phức”.

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu đề tài “Sử dụng kiến thức hình học để giải một số bài toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của môđun số phức” nhằm giúp học sinh nắm vững bản chất hình học của số phức, rèn kỹ năng vận dụng các tính chất

và mối quan hệ hình học để giải quyết các bài toán về giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của môđun số phức Qua đó nhằm phát triển năng lực tư duy logic, tư duy hình học sáng tạo cho học sinh, từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tạo sự

tự tin và hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy phẩm chất và năng lực của học sinh

Nội dung các vấn đề nghiên cứu trong đề tài đề cập đến những kiến thức hết sức cơ bản về hình học phẳng, học sinh có kiến thức trung bình trở lên có thể nghiên cứu và vận dụng Việc nghiên cứu đề tài cũng nhằm thêm một mục đích là tạo ra một nội dung sinh hoạt chuyên môn, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

về một hướng, một cách thức giải các bài toán tương đối khó về số phức

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu bản chất hình học của các bài toán số phức

- Các tính chất và mối quan hệ giữa các yếu tố hình học của các đối tượng, các đường cơ bản trong mặt phẳng

- Sự liên hệ, ý nghĩa hình học của các phép toán về số phức

- Cách vận dụng kiến thức hình học vào giải các bài toán về giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất của môđun số phức và quy trình vận dụng để giải các bài toán đó

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Nghiên cứu các Định nghĩa, khái niệm số phức, các phép toán về số phức, biểu diễn hình học của số phức, số phức liên hợp và môđun của số phức

- Củng cố các khái niệm, tính chất của các đối tượng hình học, các đường trong mặt phẳng, các yếu tố hình học như góc, khoảng cách, quỹ tích các điểm trong hình học phẳng

- Mối quan hệ giữa tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức với các yêu cầu của bài toán số phức

2 Phương pháp thu thập thông tin, thống kê, xử lý số liệu

- Thu thập thông tin qua việc giao nhiệm vụ cho học sinh thông qua các đề bài tập giao về nhà cho học sinh và các bài tập vận dụng trên lớp

- Thống kê số liệu học sinh về mức độ hoàn thành nhiệm vụ, khả năng vận dụng nội dung sáng kiến, từ đó đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

- Lấy ý kiến phản biện từ đồng nghiệp

- Điều chỉnh nội dung, phương pháp để hoàn thiện với hiệu quả cao nhất

B PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

1 Chủ trương, chính sách của Đảng, quan điểm chỉ đạo của ngành giáo dục

- Nghị quyết số 29-NQ/TW Hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo xác định rõ mục tiêu cụ thể đối với giáo dục phổ thông là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, bồi dưỡng năng lực cho học sinh…

- Chỉ đạo của ngành giáo dục về xây dựng ma trận đề thi với 4 cấp độ tư duy: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng cơ bản, vận dụng nâng cao

- Phương án thi THPT Quốc gia năm 2017 có nhiều thay đổi so với trước đây, đặc biệt môn toán thi theo hình thức trắc nghiệm, nội dung kiến thức trong chương trình lớp 12

- Quy chế thi THPT Quốc gia ban hành kèm theo Thông tư 04/2017/TT-BGDĐT, ngày 25 tháng 1 năm 2017

2 Các kiến thức liên quan

2.1 Một số Định nghĩa, khái niệm   1

2.1.1 Định nghĩa 1

Một số phức là một biểu thức dạng a bi , trong đó a và b là những số thực

và số i thỏa mãn i 2 1

Ký hiệu số phức đó là z và viết z a bi  i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z a bi 

Tập hợp các số phức được ký hiệu là 

Chú ý: Số phức z a 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là

0

a i a 

Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo):

z   bi bi b    i   i  i

Số 0 0 0   i  0 i vừa là số thực vừa là số ảo

2.1.2 Định nghĩa 2

Hai số phức z a bi  ( ,a b  ) , z' a b i' ' ( ', 'a b  ) gọi là bằng nhau

nếu a a b b ',  ' Khi đó ta viết z z '

2.1.3 Biểu diễn hình học số phức

Đối với các số phức, xét mặt phẳng tọa độ Oxy Mỗi số phức z a bi  ( , a b  ) được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ ( ; )a b Ngược lại, mỗi điểm

( ; )

M a b biểu diễn một số phức là z a bi  ( , a b ) Mặt phẳng tọa độ với

việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức

Gốc tọa độ O biểu diễn số 0; các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số

thực (trục Ox được gọi là trục thực); các điểm trên trục Oy biểu diễn các số ảo (trục Oy được gọi là trục ảo).

Trong toàn bộ nội dung của đề tài này, các tập hợp điểm được nhắc đến đều xét trên mặt phẳng phức

2.1.4 Định nghĩa 3

Số phức liên hợp của z a bi  ( , a b  ) là a bi ( , a b  ) và được ký

hiệu là z

2.1.5 Định nghĩa 4

Môđun của số phức z a bi  ( , a b ) là số thực không âm a2 b2 và

được ký hiệu là z

2.2 Các đường trong mặt phẳng và phương trình của chúng trong mặt phẳng tọa độ Oxy  4

- Phương trình tổng quát của đường thẳng: ax by c  0 (a2 b2 0)

- Tập hợp các điểm M x y( ; ) trong mặt phẳng cách điểm I a b( ; ) cố định một khoảng không đổi R là đường tròn tâm I a b( ; ), bán kính R Phương trình

đường tròn: x2  y2  2ax 2by c 0 (a2 b2  c0) (tâm I a b( ; ), bán kính

R a b  c)

- Tập hợp các điểm M x y( ; ) trong mặt phẳng thỏa mãn MF1MF2 2a, trong đó F F cố định, 1, 2 F F1 2 2c (a c, không đổi, a c 0) được gọi là đường

elíp; F F là các tiêu điểm Phương trình chính tắc của elíp: 1, 2 x22 y22 1

a b 

(b a  c , b 0) Trục Ox được gọi là trục lớn, trục Oy được gọi là trục bé.

- Tập hợp các điểm M x y( ; ) trong mặt phẳng thỏa mãn MF1 MF2 2a, trong đó F F cố định, 1, 2 F F1 2 2c (a c, không đổi, 0a c ) được gọi là đường

hypebol; F F là các tiêu điểm Phương trình chính tắc của hypebol: 1, 2 x22 y22 1

a  b 

(b c  a b, 0)

Trục Ox được gọi là trục thực, trục Oy được gọi là trục ảo của hypebol.

2.3 Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng   4

( ; ) ax by c

d M

 

trong đó M x y , Đường thẳng 0( ; )0 0 ( ) có phương trình: ax by c  0

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Khi gặp các bài toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của môđun số phức, học sinh thường rất lung túng và khó khăn trong việc định hướng lời giải Đối với học sinh có lực học từ trung bình trở xuống hầu như không làm được Đối với học sinh khá trở lên, các em thường biến đổi một cách mò mẫm, thiếu tính định hướng Số ít học sinh khá trở lên có kỹ năng biến đổi tốt thường sử dụng các bất đẳng thức như bất đẳng thức về môđun, bất đẳng thức Bunhiacopski… Một số học sinh cố gắng quy về tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số rồi sử dụng máy tính cầm tay để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất Hầu hết các em thấy các bài toán dạng này là khó, ngại làm

Cách làm trên của một số em có thể mang đến kết quả đúng nhưng cũng rất khó khăn và không nắm được bản chất hình học của bài toán, thiếu tính tư duy mạch lạc và quan trọng là nó mang tính tức thời, thiếu tính định hướng chung và không có quy trình rõ ràng

III CÁC GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Sử dụng kiến thức hình học giải một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của môđun số phức, mức độ vận dụng cơ bản

Ví dụ 1 Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 2 4 i  z 2i Số phức z có

môđun nhỏ nhất là

A z 1 i B z  2 2i C z 2 2i D z 3 2i

Lời giải vắn tắt: (Hình 1)

Gọi số phức z có dạng z x yi  , với x y  , Giả sử z thỏa mãn điều kiện đề bài, khi đó ta có x 2 (y 4)  i  x (y 2) i  x y  4 0 (d).

Số phức z có mô đun nhỏ nhất ứng với điểm M x y( ; ) biểu diễn z là hình

chiếu của điểm O trên đường thẳng (d)

Phương trình đường thẳng đi qua

O và vuông góc với d là: y x

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

phương trình

4

y x

x y







Giải hệ ta được 2

2

x y









Vậy z 2 2i, chọn đáp án C

Nhận xét 1:

- Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

z z  z z ( z ,1 z cho trước) là một đường thẳng Cụ thể: Nếu gọi A, B lần2

lượt biểu diễn số phức z và 1 z thì điều kiện đã cho tương đương với MA = MB,2

nên tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

- Cho tập hợp các số phức z được biểu diễn bởi các điểm M là đường thẳng d Khi đó để z nhỏ nhất thì M là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng

d và Min z d O d( ; );

Ví dụ 2 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4 i  5

Các giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của Pz là:

A 5 và 2 5 B 2 5 và 3 5 C 5 và 3 5 D Đáp án khác

Lời giải vắn tắt: (Hình 2)

M

4

4

O

x y

Hình 1

Gọi số phức z có dạng z x yi  , với x y  , Giả sử z thỏa mãn điều kiện đề bài, khi đó ta có x 2 (y 4)  i  5 (x 2)2 (y 4)2 5 suy ra tập hợp các điểm M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi  nằm trên đường tròn tâm

(2; 4)

I , bán kính R  5

Do đó MinPOI R 2 5 5 5 và MaxP OI R  2 5 5 3 5

Vậy chọn đáp án C

Nhận xét 2:

- Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z z 0 k (với k 0, z0 x0  y i0 cho trước) là một đường tròn tâm I x y , bán kính( ; )0 0

R k .

- Cho tập hợp các số phức z được biểu diễn bởi các điểm M là đường tròn

( ; )

C I R Khi đó để z nhỏ nhất, hoặc lớn nhất thì các điểm O I M, , thẳng hàng

và Min z OI R ; Max z OI R .

Ví dụ 3 Cho số phức z thỏa mãn z 4  z4 10 , giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của z lần lượt là:

A 10 và 4 B 5 và 4 C 4 và 3 D 5 và 3

Lời giải vắn tắt:

Trong mặt phẳng phức, Gọi M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z, F1(4;0),

2( 4;0)

F  thì ta có z 4  z4 10 tương đương với MF1MF2 10F F1 2 8

Do đó điểm M nằm trên đường elíp có hai tiêu điểm F1(4;0), F 2( 4;0) và

M 1

M 2

4

2

I

O

x y

Hình 2

5, 4 3

a c  b Phương trình của elíp là

1

25 9

  Do vậy z đạt giá trị lớn

nhất khi M A(5;0), hoặc M A'( 5;0) , khi đó Max z  ; z đạt giá trị nhỏ5

nhất khi M B(3;0), hoặc M B'( 3;0) , khi đó Min z  3

Vậy ta chọn đáp án D

Nhận xét 3:

- Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

2

z c  z c  a (a>c>0) là một đường elíp.

- Cho tập hợp các số phức z được biểu diễn bởi các điểm M là đường elíp (E):

a  b  có các đỉnh thuộc trục lớn là A a( ;0) và A'( ;0)a , các đỉnh thuộc trục nhỏ lần lượt là B(b;0) và B'( b;0) , khi đó

Để z nhỏ nhất thì M trùng với B hoặc B' và Min z OB b

Để z lớn nhất thì M trùng với A hoặc A' và Max z OA a

Ví dụ 4 Trong các số phức z thỏa mãn z 2  z2 2 Số phức có môđun nhỏ nhất là:

A z 1 3i B z 1 3i C z 1 D z  3i

Lời giải vắn tắt:

Trong mặt phẳng phức, Gọi M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z, F1(2;0),

2( 2;0)

F  thì ta có z 2  z2 2 tương đương với MF1 MF2  2 F F1 2 4

Do đó điểm M nằm trên đường hypebol có hai tiêu điểm F1(2;0), F 2( 2;0) và

a c  b Phương trình của hypebol là

1

  z đạt giá trị nhỏ

nhất khi M A(1;0), hoặc M A'( 1;0) , khi đó Min z  Vậy ta chọn đáp án C.1

Nhận xét 4:

- Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

2

z c  z c  a (c>a>0) là một đường hypebol.

- Cho tập hợp các số phức z được biểu diễn bởi các điểm M là đường

hypebol (H):

a  b  có các đỉnh thuộc trục thực là A a( ;0) và A'(a;0), khi

đó để z nhỏ nhất thì M trùng với A hoặc A' và Min z OA a

2 Một số bài toán ở mức độ khó hơn

Ví dụ 5 Với các số phức z thỏa mãn điều kiện (i1)z 1 7i  2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun z

A 4 và 3 B 5 và 4 C 7 và 5 D 6 và 4

Lời giải vắn tắt:

1

i

i



  z (3 4 ) 1 i  Gọi số phức z có dạng z x yi  , với x y  , Giả sử z thỏa mãn điều kiện

đề bài, khi đó ta có x 3 (y 4)  i  1 (x 3)2 (y 4)2 1 suy ra tập hợp các điểm M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi  nằm trên đường tròn tâm I(3;4), bán kính R 1

Khi đó ta có

5 1 4

Min z OI R    và Max z OI R   5 1 6 Đáp án D

Nhận xét 5:

Thực chất bài toán này là dạng toán tương tự ví dụ 2, tuy nhiên học sinh cần

có kỹ năng biến đổi để đưa điều kiện của bài toán về dạng quen thuộc, tương tự với điều kiện ở ví dụ 2.

Ví dụ 6 Trong các số phức thỏa mãn z  1 2i 1, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P z 5i

Lời giải vắn tắt: (Hình 3)

Gọi I(1;2), N(5; 1) lần lượt biểu diễn các số phức z1   1 2 i, z2   5 i,

( ; )

M x y là điểm biểu diễn số phức z x yi x y  ( ,  ) thỏa mãn điều kiện đề bài

Ta có điểm M nằm trên đường tròn

tâm I(1;2), bán kính r  1 1

I

M 1 y