Đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm logarit

¯ng thùc, b§t ¯ng thùc tronglîp h m logarit l mët trong nhúng nëi dung cì b£n v quan trång cõach÷ìng tr¼nh to¡n bªc trung håc phê thæng.. Chuy¶n · n¬m trong ch÷ìngtr¼nh bçi d÷ïng HSG ð c

Möc löc

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan ¸n h m logarit 3

1.1 Mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h m logarit 3

1.2 °c tr÷ng cõa h m tu¦n ho n nh¥n t½nh 5

1.2.1 H m tu¦n ho n nh¥n t½nh 5

1.2.2 H m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh 6

1.2.3 C¡c b i to¡n li¶n quan ¸n h m tu¦n ho n nh¥n t½nh 8 1.3 Mët sè ành l½ li¶n quan ¸n lîp h m lçi v  h m lçi logarit 9 Ch÷ìng 2 ¯ng thùc v  ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit 14 2.1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy d¤ng logarit 14

2.2 Ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit 22

2.3 H» ph÷ìng tr¼nh logarit 34

2.3.1 Ph²p chuyºn v· h» ¤i sè 34

2.3.2 Sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè 36

Ch÷ìng 3 B§t ¯ng thùc trong lîp h m logarit 38 3.1 C¡c d¤ng to¡n ÷îc l÷ñng v  b§t ¯ng thùc logarit 38

3.1.1 B§t ¯ng thùc h m logarit 38

3.1.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc chùa logarit 44

3.2 Mët sè t½nh to¡n kh¡c li¶n quan 51

3.2.1 B i to¡n cüc trà li¶n quan ¸n h m logarit 51

3.2.2 B§t ¯ng thùc trong d¢y sè v  giîi h¤n 56

3.2.3 Ùng döng h m lçi, h m logarit trong chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc 60

Mð ¦u

B§t ¯ng thùc câ và tr½ °c bi»t quan trång trong to¡n håc v  l  mët bëphªn quan trång cõa gi£i t½ch v  ¤i sè ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc tronglîp h m logarit l  mët trong nhúng nëi dung cì b£n v  quan trång cõach÷ìng tr¼nh to¡n bªc trung håc phê thæng Chuy¶n · n¬m trong ch÷ìngtr¼nh bçi d÷ïng HSG ð c¡c lîp THPT phöc vö c¡c ký thi HSG quèc gia

v  khu vüc

°c bi»t, trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi to¡n c¡c c§p, c¡c b i to¡n li¶nquan tîi c¡c t½nh ch§t cõa h m logarit th÷íng xuy¶n ÷ñc · cªp Nhúngd¤ng to¡n n y th÷íng ÷ñc xem l  thuëc lo¤i khâ v  ái häi t÷ duy, kh£n«ng ph¡n o¡n cao, song nâ l¤i luæn câ sùc h§p d¨n, thu hót sü t¼m tái,

âc s¡ng t¤o cõa håc sinh

º ¡p ùng nhu c¦u bçi d÷ïng gi¡o vi¶n v  bçi d÷ïng håc sinh giäi v·chuy¶n · h m logarit, tæi chån · t i luªn v«n "¯ng thùc v  b§t ¯ngthùc trong lîp h m logarit"

Ti¸p theo, kh£o s¡t mët sè lîp b i to¡n tø c¡c · thi HSG Quèc gia v c¡c t¿nh th nh trong c£ n÷îc nhúng n«m g¦n ¥y

C§u tróc luªn v«n gçm ba ch÷ìng v  ph¦n mð ¦u, k¸t luªn

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan ¸n h m logarit Trong ch÷ìng

n y t¡c gi£ tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h m logarit, °c tr÷ngcõa h m tu¦n ho n nh¥n t½nh v  mët sè ành l½ li¶n quan ¸n lîp h m lçi

v  h m lçi logarit

Ch÷ìng 2 Tr¼nh b y v· ¯ng thùc logarit trong lîp h m sè chuyºn êic¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh thæng qua mët sè b i to¡n, sû döng ph÷ìng tr¼nh

h m Cauchy º gi£i ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy d¤ng logarit Cuèi ch÷ìng

d nh º tr¼nh b y c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logaritcòng vîi c¡c v½ dö t÷ìng ùng

Ch÷ìng 3 B§t ¯ng thùc trong lîp h m logarit Ch÷ìng n y tr¼nh b yv· b§t ¯ng thùc h m logarit v  ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc chùalogarit thæng qua c¡c v½ dö cö thº Ngo i ra cán tr¼nh b y c¡c ùng döngcõa c¡c ành l½ º gi£i c¡c b i to¡n cüc trà h m logarit công nh÷ c¡c b i

to¡n t¼m giîi h¤n v  ùng döng h m lçi, h m logarit trong chùng minh mëtlîp c¡c b§t ¯ng thùc kinh iºn.

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håcTh¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa Gi¡o s÷, Ti¸n s¾ khoa håc Nguy¹nV«n Mªu T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c èi vîi Th¦y, ng÷íi ¢tªn t¼nh h÷îng d¨n, v  truy·n ¤t ki¸n thùc, kinh nghi»m nghi¶n cùu chot¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n T¡c gi£ côngxin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c Th¦y Cæ trong khoa To¡n-Tintr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ gi£ng d¤y, gióp ï v t¤o i·u ki»n cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp t¤i Tr÷íng

çng thíi, tæi công xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh v  b¤n b± çngnghi»p ¢ luæn gióp ï v  ëng vi¶n tæi trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªnv«n

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 03 n«m 2020

T¡c gi£

Nguy¹n Ngåc Quy¸n

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc li¶n

quan ¸n h m logarit

Möc ½ch cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h mlogarit; °c tr÷ng cõa h m tu¦n ho n nh¥n t½nh v  mët sè ành l½ li¶nquan ¸n lîp h m lçi v  h m lçi logarit C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng

÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2]

i) H m sè logarit câ tªp x¡c ành D = (0; +∞) v  tªp gi¡ trà I = R.

ii) H m sè f (x) = logax li¶n töc v  câ ¤o h m vîi måi x > 0, hìn núa

Trong tr÷íng hñp n y f0(x) < 0, ∀x ∈ D Vªy, khi 0 < a < 1 th¼ f (x) =logax l  h m sè nghàch bi¸n tr¶n D.

T½nh ch§t 1.4 Vîi måi a > 0, a 6= 1 v  x > 0 Vîi α b§t ký, ta câ

logaxα = αlogax, logax = 1

α logax

α

= α logaαx = logaαxα

T½nh ch§t 1.5 Vîi måi 0 < a 6= 1, b 6= 1 v  x > 0, ta câ

logab logbc = logac, logab = 1

T½nh ch§t 1.8 Vîi måi a > 0, a 6= 1 v  x1, x2 ∈ (0; +∞), ta câ

i) Khi a > 1 th¼ logax1 < logax2 ⇔ x1 < x2

ii) Khi 0 < a < 1 th¼ logax1 < logax2 ⇔ x1 > x2

1.2 °c tr÷ng cõa h m tu¦n ho n nh¥n t½nh

Trong ch÷ìng tr¼nh gi£i t½ch ta th÷íng l m quen vîi lîp h m l÷ñng gi¡c

l  nhúng h m tu¦n ho n (cëng t½nh) quen thuëc R§t nhi·u ph÷ìng tr¼nh

h m v  c¡c d¤ng to¡n li¶n quan ái häi c¦n t¼m hiºu th¶m c¡c t½nh ch§t

v  °c tr÷ng cõa lîp h m tu¦n ho n v  ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh g­n vîi

ln |b| =

m

n suy ra |a|n = |b|m Ta chùng minh

T := a2n = b2m l  chu ký cõa F (x) v  G(x) Thªt vªy, ta câ

F (T x) = f (a2nx) + g(b2mx) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M ;

G(T x) = f (a2nx)g(b2mx) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M

Hìn núa, ∀x ∈ M, T±1x ∈ M Do â, F (x), G(x) l  c¡c h m tu¦n ho nnh¥n t½nh tr¶n M

T½nh ch§t 1.10 N¸u f (x) l  h m tu¦n ho n cëng t½nh chu ký a, a > 0

tr¶n R th¼ g(t) = f (ln t), (t > 0) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký ea

tr¶n R+

Ng÷ñc l¤i, n¸u f (x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký a (a > 1) tr¶n

R+ th¼ g(t) = f (et) l  h m tu¦n ho n cëng t½nh chu ký ln a tr¶n R

Chùng minh Gi£ sû f (x) l  h m tu¦n ho n cëng t½nh chu ký a, a > 0

tr¶n R X²t g(t) = f (ln t), (t > 0)

Ta câ

g(eat) = f (ln(eat)) = f (ln ea+ ln t)

= f (a + ln t) = f (ln t) = g(t), ∀t ∈ R+

Vªy g(t) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký ea tr¶n R+

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû f (x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký a

f (x) l  h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký √2 tr¶n R+

= 1

2[sin(2π(1 + log2x)) − sin(2π log2(

√2x))]

2[sin(2π log2x) − sin(2π log2(

√2x))] = −f (x)

T½nh ch§t 1.11 Måi h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh tr¶n M ·u l  h mtu¦n ho n nh¥n t½nh tr¶n M

Chùng minh Theo gi£ thi¸t tçn t¤ib > 1 sao cho ∀x ∈ M th¼ b±1 ∈ M v 

f (bx) = −f (x), ∀x ∈ M

Suy ra, ∀x ∈ M th¼ b±1 ∈ M v 

f (b2x) = f (b(bx)) = −f (bx) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M

Nh÷ vªy, f (x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b2 tr¶n M

T½nh ch§t 1.12 f (x) l  h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b (b > 1)tr¶n M khi v  ch¿ khi f (x) câ d¤ng:

f (x) = 1

2(g(bx) − g(x)),

trong â, g(x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b2 tr¶n M

Chùng minh (i) Gi£ sû f l  h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b tr¶n

M Khi â g(x) = −f (x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b2 tr¶n M

1.2.3 C¡c b i to¡n li¶n quan ¸n h m tu¦n ho n nh¥n t½nh

B i to¡n 1.1 Cho a > 1 X¡c ành t§t c£ c¡c h m f (x) thäa m¢n i·uki»n

d tòy þ khi x = 0

h21

2log|a||x| khi x < 0

vîi h1(t), h2(t) l  c¡c h m tu¦n ho n cëng t½nh tòy þ chu ký 1 tr¶n R

1.3 Mët sè ành l½ li¶n quan ¸n lîp h m lçi v  h m lçi logarit

ành lþ 1.1 (Rolle) Cho h m sè f : [a; b] → R thäa m¢n f li¶n töc tr¶n[a; b], câ ¤o h m tr¶n kho£ng (a; b) v  f (a) = f (b) th¼ tçn t¤i c ∈ (a; b)

sao cho f0(c) = 0

ành lþ 1.2 (Lagrange) Cho h m sè f : [a; b] → R thäa m¢n f li¶n töc

tr¶n o¤n [a; b], kh£ vi tr¶n kho£ng (a; b), khi â tçn t¤i c ∈ (a; b) sao cho

ành ngh¾a 1.4 H m sè thüc f : [a, b] → R gåi l  h m lçi tr¶n kho£ng[a, b] n¸u vîi måi x, y ∈ [a, b] v  måi λ ∈ [0, 1], ta câ

N¸u trong (1.1) ta câ b§t ¯ng thùc nghi¶m ng°t (ch°t) th¼ khi â tanâi f l  h m lçi thüc sü Cho h m f ta nâi nâ l  h m lãm n¸u −f l  h mlçi

ành lþ 1.4 (B§t ¯ng thùc Jensen) Cho f : (a, b) → R l  h m lçi

tr¶n (a, b) Cho n ∈ N v  λ1, λ2, , λn ∈ (0, 1) l  c¡c sè thüc thäa m¢n

λ1 + λ2 + · · · + λn = 1 Khi â vîi måi x1, x2, , xn ∈ (a, b) ta câ

1b

iv) Tr÷íng hñp nhi·u bi¸n: Kþ hi»u a = {ak}n

C¡c ¤i l÷ñng A(a), G(a), H(a) t÷ìng ùng ÷ñc gåi l  trung b¼nh cëng,trung b¼nh nh¥n v  trung b¼nh i·u háa cõa c¡c sè a1, a2, , an

ành ngh¾a 1.6 Vîi hai sè khæng ¥m a, b v  r 6= 0 ta kþ hi»u

Mr(a, b) = a

r+ br2

, r 6= 0

¤i l÷ñng Mr(a) ÷ñc gåi l  trung b¼nh lôy thøa cõa c¡c sè a1, a2, , an

ành lþ 1.6 Vîi d¢y sè d÷ìng a = {ak}n

k=1, r1 < r2 th¼ Mr1(a) <

Mr2(a) D§u ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi a1 = a2 = = an

ành ngh¾a 1.7 Vîi c¡c sè d÷ìng a, b ta ành ngh¾a trung b¼nh logaritcõa c¡c sè a, b l  biºu thùc

dxx

(d − c) + 3

8f

c + 2d3

!3

(ln b − ln a)

Tø ¥y suy ra b§t ¯ng thùc thù nh§t trong (1.5) Trong b§t ¯ng thùcthù nh§t, thay a, b t÷ìng ùng bði a3, b3 ta câ b§t ¯ng thùc thù hai.M»nh · 1.1 Ta câ h» thùc

= (x − y)(x + y)2(ln x − ln y)

2

Líi gi£i

Theo ¯ng thùc (1.6) v  b§t ¯ng thùc (1.4), ta câ

L(a2, b2) = L(a, b)A(a, b) < A2(a, b)

Tø â suy ra b§t ¯ng thùc c¦n ph£i chùng minh

Ch÷ìng 2 ¯ng thùc v  ph÷ìng

tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit

Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y v· ¯ng thùc logarit tronglîp h m sè chuyºn êi c¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh; ph÷ìng tr¼nh h m Cauchyd¤ng logarit v  ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit còngmët sè v½ dö C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø t i li»u[1, 3, 5]

2.1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy d¤ng logarit

B i to¡n 2.1 (Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy) X¡c ành c¡c h m f :R →R,

li¶n töc tr¶n R v  thäa m¢n i·u ki»n

f (x) = ax, vîi a ∈ R tòy þ.

Nhªn x²t 2.1 Trong b i to¡n tr¶n, n¸u ta thay gi£ thi¸t h m sè f li¶ntöc tr¶n R bði h m sè f li¶n töc t¤i x0 ∈ R th¼ k¸t qu£ tr¶n v¨n óng.

Thªt vªy, n¸u h m sè f li¶n töc t¤i iºm x0 th¼



Thû l¤i, ta th§y h m f (x) = eax+b, a, b ∈ R tòy þ thäa m¢n c¡c i·u ki»n

cõa b i to¡n °t ra K¸t luªn

f (x) ≡ 0 f (x) = eax+b, a, b ∈ R tòy þ

B i to¡n 2.3 T¼m c¡c h m sè f li¶n töc tr¶n R+ v  thäa m¢n i·u ki»n

f (√xy) = f (x) + f (y)



 = f (e

u) + f (ev)2

⇒g



u + v2



= g(u) + g(v)

Theo ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy th¼ g(u) = au + b, trong â a, b l  c¡ch¬ng sè Vªy

f (eu) = au + b

°t x = eu ⇒ u = ln x v  ta câ

f (x) = a ln x + b, a, b ∈ R tòy þ

Thû l¤i, ta th§y h m f (x) = a ln x + b, a, b ∈ R tòy þ thäa m¢n c¡c i·u

ki»n cõa b i to¡n °t ra

B i to¡n 2.4 T¼m c¡c h m sè f li¶n töc tr¶n R+ v  thäa m¢n i·u ki»n

f (√xy) =

q

Líi gi£i

Tø i·u ki»n cõa b i to¡n suy ra f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R+ N¸u tçn t¤i x0 > 0

sao cho f (x0) = 0 th¼ tø (2.8) suy ra

Theo k¸t qu£ cõa B i to¡n 2.2, ta câ

g(u) ≡ 0 ho°c g(u) = eau+b a, b ∈ R tòy þ

Thû l¤i, ta th§y h mf (x) ≡ 0 ho°c f (x) = ea ln x+b = cxa c > 0 thäa m¢nc¡c i·u ki»n cõa b i to¡n °t ra Vªy

f (x) ≡ 0 ho°c f (x) = ea ln x+b = cxa c > 0

B i to¡n 2.5 T¼m c¡c h m sè f li¶n töc tr¶n R+ v  thäa m¢n i·u ki»n

f (√xy) = 2f (x)f (y)

Tø i·u ki»n tr¶n suy ra f (x) 6= 0 ∀x > 0, k¸t hñp vîi måi x, y > 0, ta câ

f (x) V¼ f li¶n töc vîi måi x > 0 m  f (x) 6= 0 ∀x > 0 suy ra

g(x) l  h m li¶n töc khi a > 0 M°t kh¡c, ta câ

g (√xy) = g(x) + g(y)

Vªy n¸u a 6= 0 th¼ f (x) khæng li¶n töc t¤i x = x0 = e−ba > 0

Do â º f (x) li¶n töc khi x > 0 th¼ a = 0 ⇒ f (x) = 1

b.Vªy f (x) = C, trong â C 6= 0l  h¬ng sè Thû l¤i, ta th§y h m f (x) = C

thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa b i to¡n °t ra

èi vîi h m logarit f (t) = logat, (0 < a 6= 1, t > 0), ta câ c¡c °ctr÷ng sau:

f (xy) = f (x) + f (y) v  f



xy



= f (x) − f (y), ∀x, y ∈ R∗+

Do câ c¡c °c tr÷ng n y, h m sè tr¶n l  nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh h mt÷ìng ùng

B i to¡n 2.6 (Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy d¤ng logarit) X¡c ành c¡c

h m sè f (x) li¶n töc tr¶n R\ {0} thäa m¢n i·u ki»n

Líi gi£i

a) Tr÷îc h¸t ta t¼m h m sè f (x) tr¶n kho£ng (0, +∞), muèn vªy, x²t

x, y ∈ R+ °t x = eu, y = ev v  f (et) = g(t) Khi â (2.9) câ d¤ng

Theo ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy th¼ (2.10) ⇔ g(t) = bt v  do â

f (x) = a ln x, ∀x ∈ R+, a ∈ R tòy þ

b) Ti¸p theo ta t¼m h m sè f (x) tr¶n kho£ng (−∞, 0), muèn vªy, x²t

x, y ∈ R− th¼ xy ∈ R+ Trong (2.9) l§y y = x v  sû döng k¸t qu£ ph¦n a)

Thû l¤i ta th§y h m f (x) = b ln |x| vîi b ∈ R tòy þ, thäa m¢n c¡c i·u

ki»n cõa b i to¡n °t ra Vªy

Thû l¤i ta th§y h m f (x) = b ln x, ∀x ∈ R+, b ∈ R tòy þ, thäa m¢n c¡c

i·u ki»n cõa b i to¡n °t ra Vªy

sû f khæng tròng vîi 0, ngh¾a l  tçn t¤i x0 ∈ R sao cho f (x0) 6= 0 Tø(2.12) ta câ

Vªy f (x) = ceβx, ∀x ∈R (c, β l  h¬ng sè) Thû l¤i th§y thäa m¢n.

T§t c£ c¡c h m sè thäa m¢n y¶u c¦u cõa · b i l 

Tø (2.21), theo ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ta ÷ñc g(x) ≡ ax V¼ th¸

f (x)

f (0) = e

g(x) = eax ⇒ f (x) = f (0)eax ⇒ f (x) = αax, ∀x ∈ R

Thû l¤i th§y h m sè f (x) = αax, ∀x ∈ R thäa m¢n (2.17) Vªy, t§t c£

c¡c h m sè thäa m¢n y¶u c¦u cõa · b i l  f (x) = αax, ∀x ∈ R, vîi α l h¬ng sè tòy þ, a l  h¬ng sè d÷ìng

2.2 Ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit

Ph÷ìng tr¼nh logarit cì b£n câ d¤ng: logax = m Vîi méi gi¡ trà tòy þcõa m, ph÷ìng tr¼nh logax = m luæn câ mët nghi»m duy nh§t l  x = am.Nâi c¡ch kh¡c, ∀m ∈ (−∞; +∞), logax = m ⇔ x = am

Trong ph¦n n y, tæi tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p logarit gi£i ph÷ìngtr¼nh ¤i sè

• Ph÷ìng ph¡p ÷a v· còng cì sè v  mô hâa

Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.22) câ d¤ng

Vîi i·u ki»n (2.26) th¼

(

0 < x < 1(x + 3)(1−) = 4x

Ph÷ìng ph¡p 3: Dòng hai ©n phö cho hai biºu thùc lægarit trong ph÷ìngtr¼nh v  bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh th nh ph÷ìng tr¼nh t½ch.

Ph÷ìng ph¡p 4: Dòng ©n phö chuyºn ph÷ìng tr¼nh logarit th nh mëth» ph÷ìng tr¼nh vîi 2 ©n phö

Ph÷ìng ph¡p 5: Dòng ©n phö chuyºn ph÷ìng tr¼nh logarit th nh mëth» ph÷ìng tr¼nh vîi 1 ©n phö v  mët ©n x

Sau ¥y l  mët sè v½ dö minh håa

V½ dö 2.6 (· thi H Kinh t¸ Quèc d¥n H  Nëi n«m 2001) Gi£i ph÷ìngtr¼nh:

log3x+7(9 + 12x + 4x2) + log2x+3(6x2 + 23x + 21) = 4 (2.30)Líi gi£i

°t t = log3x+7(2x + 3) Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.30) trð th nh:

log2x−1(2x2 + x − 1) + logx+1(2x − 1)2 = 4 (2.31)Líi gi£i

i·u ki»n º (2.31) câ nghi»m l 

log2(4x+ 15.2x+ 27) + 2 log2 1

4.2x− 3 = 0. (2.34)Líi gi£i

i·u ki»n º (2.34) câ ngh¾a l  4.2x− 3 > 0 ⇔ 2x > 3

+) v2u = 1 ⇔ xv = 1 ⇔ 2log2 x(2 −√

2)log2 x = 1 ⇔ log2x = 0 ⇔ x = 1.Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t l  x = 1

⇔2 log2(x2 − x) + log2x log2(x2 − x) − 2 = 0 (2.40)

°t u = log2(x2 − x); v = log2x Khi â

• Vîi x > x0 ⇔ f (x) > f (x0) = k do â ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m.

• Vîi x < x0 ⇔ f (x) < f (x0) = k do â ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m.Vªy x = x0 l  nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh

T½nh ch§t 2.14 N¸u h m f (x) t«ng trong kho£ng (a, b) v  h m g(x)

l  h m h¬ng ho°c l  mët h m gi£m trong kho£ng (a, b) th¼ ph÷ìng tr¼nh

tçn t¤i x0 ∈ (a, b) : f (x0) = g(x0) th¼ â l  nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìngtr¼nh f (x) = g(x))

B÷îc 1: Chuyºn ph÷ìng tr¼nh v· d¤ng: f (x) = g(x)

B÷îc 2: X²t h m sè y = f (x) v  y = g(x) Dòng lªp luªn kh¯ng ành

h m sè y = f (x) l  h m t«ng cán h m sè y = g(x) l  h m h¬ng ho°cgi£m X¡c ành x0 sao cho f (x0) = g(x0)

B÷îc 3: Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t x = x0

T½nh ch§t 2.15 N¸u h m f (x) t«ng (ho°c gi£m) trong kho£ng (a, b) th¼

f (u) = f (v) ⇔ u = v vîi måi u, v thuëc (a, b)

B÷îc 1: Chuyºn ph÷ìng tr¼nh v· d¤ng: f (u) = f (v)

B÷îc 2: X²t h m sè y = f (x) Dòng lªp luªn kh¯ng ành h m sè l  ìn

i»u (gi£ sû çng bi¸n)

B÷îc 3: Khi â ph÷ìng tr¼nh ÷ñc chuyºn v· d¤ng: u = v

Sau ¥y l  mët sè v½ dö minh håa

t

+

√32

t

+

√32

V½ dö 2.13 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

4(x − 2)[log2(x − 3) + log3(x − 2)] = 15(x + 1) (2.43)Líi gi£i i·u ki»n º (2.43) câ ngh¾a l  x > 3 Ta câ

V½ dö 2.14 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

xlog2 9 = x2.3log2 x− xlog2 3 (2.44)Líi gi£i

i·u ki»n º (2.44) câ ngh¾a l  x > 0 Ta câ

(2.44) ⇔ 9log2 x = x2.3log2 x− 3log2 x (2.45)

t

+



14

5 hay log3(x + 1) > log5(x + 3).

Suy ra v¸ tr¡i > v¸ ph£i, ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m

5 hay log3(x + 1) < log5(x + 3)

Suy ra v¸ tr¡i < v¸ ph£i, ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m

Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.49) l  x = 2

• Ph÷ìng ph¡p sû döng ành lþ Lagrange, ành lþ Roll

- Sû döng ành lþ Lagrange gi£i ph÷ìng tr¼nh logarit