Bất đẳng thức dạng hermite hadamard cho hàm tiền lồi bất biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ LÊ KHÁNH VÂN BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD CHO HÀM TIỀN LỒI BẤT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019... ĐẠI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ KHÁNH VÂN

BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD

CHO HÀM TIỀN LỒI BẤT BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ KHÁNH VÂN

BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD

CHO HÀM TIỀN LỒI BẤT BIẾN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

1.1 Hàm s-lồi 4

1.1.1 Hàm lồi 4

1.1.2 Hàm s-lồi 7

1.2 Hàm tiền lồi bất biến 8

1.2.1 Hàm lồi bất biến 8

1.2.2 Hàm tiền lồi bất biến 9

2 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm tiền lồi bất biến16 2.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến 16

2.1.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard 16

2.1.2 Một vài ứng dụng 19

2.2 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm s-tiền lồi bất biến 23 2.2.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàms-tiền lồi bất biến 23

2.2.2 Một vài áp dụng 38

Bảng ký hiệu

Lp[a, b] không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b]

Mở đầu

Đặc biệt với những công trình của Fenchel, Moreau, Rockafellar vào các thậpniên 1960 và 1970 đã đưa giải tích lồi trở thành một trong những lĩnh vực pháttriển nhất của toán học Hai tính chất cơ bản của hàm lồi là tính chất đạt giátrị lớn nhất trên biên và bất kỳ cực tiểu địa phương nào cũng là cực tiểu trêntập xác định giúp cho hàm lồi được sử dụng rộng rãi trong toán học lý thuyết

và ứng dụng Bên cạnh đó, một số hàm không lồi theo nghĩa đầy đủ nhưngcũng chia sẻ một vài tính chất nào đó của hàm lồi, chẳng hạn lớp hàm tiền lồibất biến (preinvex functions)

bất đẳng thức Hermite–Hadamard:

fa + b2

đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm Do đó, tôi chọn đề tài "Bất đẳngthức dạng Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến" để nghiên cứu choluận văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp của tác giả

Mục tiêu của đề tài luận văn là tìm hiểu và trình bày lại một số bất đẳng

thức mới được xây dựng từ bất đẳng thức Hermite–Hadamard (1) cho hàm tiềnlồi bất biến trong các tài liệu [7] và [8] công bố năm 2019 và 2017.

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1 Hàm tiền lồi bất biến và một số tính chất

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi, tập lồibất biến, hàm tiền lồi bất biến, mối liên hệ giữa hàm tiền lồi bất biến với hàmlồi và một số tính chất cơ bản của hàm tiền lồi bất biến, đưa ra ví dụ về hàmtiền lồi bất biến và cách nhận biết hàm tiền lồi bất biến

Chương 2 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bấtbiến

Chương này trình bày một số bất đẳng thức mới dạng Hermite–Hadamardcho một số lớp hàm tiền lồi bất biến, áp dụng để đánh giá một số giá trị trungbình đặc biệt và một số hệ quả về quy tắc ba điểm, quy tắc hình thang, quytắc Simpson

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường Đại họcKhoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập, nghiên cứu Tácgiả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô trong khoa Toán

- Tin, trong Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đặc biệt, tácgiả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy - người

đã trực tiếp giúp đỡ, hướng dẫn về kiến thức, tài liệu và phương pháp để tácgiả hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này Tác giả cũng xin được gửi lờicảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, cổ vũ, khích lệ và giúp

đỡ trong thời gian qua

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019

Tác giả luận văn

Lê Khánh Vân

Chương 1

Hàm tiền lồi bất biến và một số tính chất

lồi bất biến, hàm tiền lồi bất biến và một số tính chất của hàm tiền lồi bấtbiến Nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1]–[8]

1.1 Hàm s -lồi

λ ∈ [0, 1] và mọi x1, x2 ∈ C thì xλ := λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C

Hình 1.1: Tập lồi Hình 1.2: Tập không lồi

Định nghĩa 1.1.2 (xem [1]) Cho C là một tập con lồi khác rỗng của không

λ ∈ (0, 1)

Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.2 cho ta định nghĩa về hàm lồi một biến trên R

Hình 1.3: Hàm lồi.

Sau đây là mối liên hệ giữa hàm lồi và tập lồi

Cλ := x : f (x) < λ , Cλ := x : f (x) ≤ λ

là các tập lồi

Tập Cλ, Cλ trong Định lý 1.1.4 gọi là các tập mức dưới.

biến ϕ(λ) := f (x + λd) là hàm lồi theo λ với mỗi x, d ∈ Rn

Chứng minh Điều kiện cần là rõ ràng Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử

f(1 − λ)x + λy = f (x + λd) = ϕ(λ) = ϕ(1 − λ).0 + λ.1

≤ (1 − λ)ϕ(0) + λϕ(1) = (1 − λ)f (x) + λf (y)



Ví dụ 1.1.9 Các hàm sau đây là các hàm lồi (một biến):

mọi α, β ≥ 0 với α + β = 1, s ∈ (0, 1].

(i) Nếu b ≥ 0, c ≤ a thì f là hàm s-lồi loại một

(ii) Nếu b ≥ 0 và 0 ≤ c ≤ a thì f là hàm s-lồi loại hai

(a) Nếu u, v > 0, thì αu + βv > 0 và

1.2 Hàm tiền lồi bất biến

và λ ∈ [0, 1] thì

lại nói chung không đúng

Nhận xét 1.2.5 (a) Theo định nghĩa này, một hàm lồi khả vi (trên tập mở

(b) Định nghĩa 1.2.1 là mở rộng của định nghĩa tập lồi Chú ý rằng mọi tập

hằng f (x) = c, c ∈ R.

f [y + λη(x, y)] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] (1.7)

lại nói chung không đúng

Sau đây là một số tính chất của hàm tiền lồi bất biến.

Tính chất 1.2.9 (xem [4]) Tổng của hai hay nhiều hàm tiền lồi bất biến

φ ◦ f cũng là một hàm tiền lồi bất biến ứng với η

Chứng minh Theo giả thiết, ta có:

với η

Ví dụ 1.2.13 Hàm f (x) = ex, x ∈ R là hàm lồi bất biến ứng với η = −1

Khái niệm hàm tiền lồi bất biến là khái quát của khái niệm hàm lồi Nếu

của hàm lồi Một điều kiện đơn giản để một hàm là lồi bất biến được đưa radưới đây

f [y + λη(x, y)] − f (y) ≤ λη(x, y) 5 f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] (1.8)

Định lý 1.2.16 trong [4]) được trình bày dưới đây

mãn điều kiện (C) nếu:

η(y, y + λη(x, y)) = −λη(x, y), η(x, y + λη(x, y)) = (1 − λ)η(x, y)

Có rất nhiều hàm véc-tơ thỏa mãn điều kiện (C) bên cạnh trường hợp tầm

Tương tự như đối với hàm lồi, ta có thể mô tả các hàm tiền lồi bất biến dựatrên tính lồi bất biến của trên đồ thị của chúng, tuy nhiên, không ứng với cùng

tập

epif = (x, α), x ∈ C, α ∈ R, f (x) ≤ α

η1((y, β), (x, α)) = (η(y, x), β − α) với mọi (x, α), (y, β) ∈ epif

Do đó epif là một tập lồi bất biến ứng với ánh xạ

Một kết quả khác về hàm tiền lồi bất biến được trình bày trong định lý sau

λf (x∗) + (1 − λ)f (y) ≥ f (λx∗ + (1 − λ)y), ∀y ∈ C, λ ∈ [0, 1]

x, y ∈ C, mọi λ ∈ [0, 1] Đặc biệt khi x = x∗ và λ = 1 thì

f (x∗) ≥ f (y + η(x∗, y)), ∀y ∈ C

mọi x ∈ C, x 6= x∗) nên

y + η(x∗, y) = x∗, ∀y ∈ C,

λf (x∗) + (1 − λ)f (y) ≥ f (λx∗ + (1 − λ)y), ∀y ∈ C, λ ∈ [0, 1]



Nhận xét 1.2.19 (xem [4]) Hàm véc-tơ f : Rn →Rm được gọi là tựa lồi nếu

f (z) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀λ ∈ [0, 1]

hàm tựa lồi

1.2.20 ta có định nghĩa về hàm lồi theo nghĩa cổ điển

Định nghĩa 1.2.22 (xem [8]) Các tích phân Riemann–Liouville trái và phải

Bây giờ ta giới thiệu một lớp hàm tiền lồi bất biến mới liên quan đến hai

Định nghĩa 1.2.23 (xem [7]) Cho h1, h2 : (0, 1) ⊆ J → R là hai hàm không

f (x + tη(y, x)) ≤ h1(1 − t)h2(t)f (x) + h1(t)h2(1 − t)f (y) (1.11)

(h1, h2)-tiền lồi bất biến:

f



2x + η(y, x)2



≤ h1



12



h2



12



Sau đây là một vài trường hợp đặc biệt

f (x + tη(y, x)) ≤ ts(1 − t)s[f (x) + f (y)], ∀x, y ∈ Ω, t ∈ [0, 1]

biến, nếu

f (x + tη(y, x)) ≤ ts1(1 − t)s2f (x) + (1 − t)s1ts2f (y), ∀x, y ∈ Ω, t ∈ [0, 1]

biến, nếu

ts 1(1 − t)s 2f (x)+ 1

(1 − t)s 1ts 2f (y), ∀x, y ∈ Ω, t ∈ [0, 1]

Chương 2

Bất đẳng thức Hermite–Hadamard

cho lớp hàm tiền lồi bất biến

Chương này trình bày một số bất đẳng thức mới dạng Hermite–Hadamardcho một số lớp hàm tiền lồi bất biến và áp dụng xây dựng quy tắc trung điểm,quy tắc hình thang, quy tắc ba điểm, quy tắc Simpson Nội dung của chươngnày được viết trên cơ sở tổng hợp kiến thức từ từ các bài báo [7] và [8] công bốnăm 2019 và 2017

2.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất

Chứng minh Vì hàm f lồi trên đoạn [a, b], nên với mọi λ ∈ [0, 1] ta có

đoạn [a, b], nghĩa là nếu f (x) ∈ Lp[a, b] thì

a

|f (x)|pdx < ∞

Nhận xét 2.1.2 Giả sử f : [a, b] ⊂ R → R là hàm khả vi trên [a, b] với a < b.Nếu f0 ∈ L1[a, b] thì

và p > 1 Nếu |f0| là q-khả tích trên [a, b], trong đó 1

2

p

dx



1 p

,

p

dx



1 p

=



(b − a)p(p + 1)2p

(e) Trung bình p-lôgarit:

Suy ra, ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh (2.7) 

Sử dụng bất đẳng thức (2.7), ta có các bất đẳng thức sau đây cho các giá trịtrung bình (xem [2])

ip−1p

Chứng minh Áp dụng Định lý 2.1.4 cho hàm lồi f (x) := 1

2(p + 1)p1

h

L 2p p−1(a, b)

ip−1p



nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức

f (x)dx ≤ f (a) + f (b)

Z a+η(b,a) a

Từ đó ta có được vế phải của bất đẳng thức (2.10) Theo cách tương tự, ta

(2.10) chính là bất đẳng thức Hermite–Hadamard (2.1) Như vậy rõ ràng là bấtđẳng thức (2.10) là một khái quát của bất đẳng thức Hermite–Hadamard cổđiển

2.2 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm s -tiền

1 0

Ta cũng có

f0(a + η(b, a)) − f0(a) =

Z a+η(b,a) a

biến loại hai ta có

|f0(a + tη(b, a))|pdt



1 p

Định lý 2.2.4 (xem [8]) Cho C = [a, a + η(b, a)], hàm f : C → R là một hàm

Mục này trình bày một lớp hàm tiền lồi bất biến mới liên quan đến hai hàm

bất biến

hàm liên tục Khi đó, với hai số thực dương α, β ta có

Z a+η(b,a) a

η (a + t2η(b, a), a + t1η(b, a)) = (t2 − t1) η(b, a), ∀a, b ∈ Ω, t1, t2 ∈ [0, 1]

(2.17)Sau đây là một số bất đẳng thức loại Hermite–Hadamard mới cho hàm

(h1, h2)-tiền lồi bất biến

hàm (h1, h2)-tiền lồi bất biến với η(b, a) > 0 và h1 12



η(b, a)

Z a+η(b,a) a



h2



12



Thay thế x = a + (1 − t)η(b, a) và y = a + tη(b, a) trong (2.19) và sử dụng(2.18) ta được



h2



12



h2



12



= h1



12



h2



12



1η(b, a)

×

"

Z a+η(b,a) a



h2



12



1η(b, a)

Z a+η(b,a) a



η(b, a)

Z a+η(b,a) a

đó là điều phải chứng minh Nhận xét 2.2.7 Sau đây là một vài trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2.6.

(i) Nếu h1(t) = ts1 và h2(t) = ts2 thì theo Định lý 2.2.6, chúng ta có một kết

1

21−s1−s2f



2a + η(b, a)2



η(b, a)

Z a+η(b,a) a

f (x)dx

≤ [f (a) + f (b)]B(s1 + 1, s2 + 1) ,

(ii) Nếu h1(t) = t−s1 và h2(t) = t−s2 thì theo Định lý 2.2.6, chúng ta có một

1

21+s 1 +s 2f



2a + η(b, a)2



η(b, a)

Z a+η(b,a) a

f (x)dx

≤ [f (a) + f (b)]B(1 − s1, 1 − s2)

Z a+η(b,a) a

Nhận xét 2.2.9 Một số trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2.8.

(i) Nếu h1(t) = ts1 và h2(t) = ts2 theo Định lý 2.2.8, chúng ta có một kết quả

Z a+η(b,a) a

(ii) Nếu h1(t) = t−s1 và h2(t) = t−s2 theo Định lý 2.2.8, chúng ta có một kết

Z a+η(b,a) a

,

|f |r−1r là một hàm (h1, h2)-tiền lồi bất biến, ta có

Nhận xét 2.2.11 Một vài trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2.10

(i) Nếu h1(t) = ts1 và h2(t) = ts2 theo Định lý 2.2.10 ta có một kết quả mới

Z a+η(b,a) a

(ii) Nếuh1(t) = t−s1 và h2(t) = t−s2 theo Định lý 2.2.10 ta có một kết quả mới

Z a+η(b,a) a

f0 ∈ L[a, a + η(b, a)] là một hàm (h1, h2)-tiền lồi bất biến và λ ∈ [0, 1], thì

(1 − λ)f



2a + η(b, a)2

f (x)dx.

f0 ∈ L[a, a + η(b, a)] và |f0|q là một hàm (h1, h2)-tiền lồi bất biến trên Ω với

q ≥ 1 và λ ∈ [0, 1], thì

(1 − λ)f



2a + η(b, a)2

ζ4(a, b; λ) =

1 2

ζ5(a, b; λ, h1, h2) =

1 2

ζ6(a, b; λ, h1, h2) =

1 2

+ (ζ4(a, b; λ))1−1q ζ5(a, b; λ, h1, h2) |f0(a)|q + ζ6(a, b; λ, h1, h2) |f0(b)|q

1 q

i

Định lý 2.2.14 (xem [7]) Cho hàm f : Ω = [a, a + η(b, a)] ⊂ R −→R là một

f0 ∈ L[a, a + η(b, a)] và |f0|q là một hàm (h1, h2)-tiền lồi bất biến trên Ω với

p, q ≥ 1, 1

1

q = 1 và λ ∈ [0, 1], thì(1 − λ)f

+ (ζ8(a, b, p; λ))1p





≤ η(b, a)

2 [[ζ2(a, b; λ, h1, h2) |f

0(a)| + ζ3(a, b; λ, h1, h2) |f0(b)|]

+ [ζ5(a, b; λ, h1, h2) |f0(a)| + ζ6(a, b; λ, h1, h2) |f0(b)|]]



η(b, a)

Z a+η(b,a) a

f (x)dx

trong đóζ2(a, b; 0, h1, h2) , ζ3(a, b; 0, h1, h2) , ζ5(a, b; 0, h1, h2) , ζ6(a, b; 0, h1, h2)

được cho trong các công thức (2.22), (2.23), (2.25), (2.26)

f (x)dx

+ (ζ4(a, b; 1))1−1q ζ5(a, b; 1, h1, h2) |f0(a)|q + ζ6(a, b; 1, h1, h2) |f0(b)|qi

1 q

,

trong đó ζ1(a, b; 1) , ζ2(a, b; 1, h1, h2) , ζ3(a, b; 1, h1, h2) , ζ4(a, b; 1) ,

ζ5(a, b; 1, h1, h2) , ζ6(a, b; 1, h1, h2) được cho trong các công thức (2.21)–(2.26)

f (x)dx

...

(2.17)Sau số bất đẳng thức loại Hermite? ? ?Hadamard cho hàm

(h1, h2) -tiền lồi bất biến

hàm (h1, h2) -tiền lồi bất biến với η(b,... data-page="28">

Định lý 2.2.4 (xem [8]) Cho C = [a, a + η(b, a)], hàm f : C → R hàm< /sub>

Mục trình bày lớp hàm tiền lồi bất biến liên quan đến hai hàm

bất biến