Các phương trình hàm dạng abel trong lớp hàm liên tục

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKIM THỊ HƯỜNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DẠNG ABEL TRONG LỚP HÀM LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKIM THỊ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KIM THỊ HƯỜNG

CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DẠNG ABEL TRONG LỚP HÀM

LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KIM THỊ HƯỜNG

CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DẠNG ABEL TRONG LỚP HÀM

LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2016

Mục lục

1.1 Hàm chẵn, lẻ 5

1.2 Hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn 6

1.2.1 Hàm tuần hoàn cộng tính, phản tuần hoàn cộng tính 6 1.2.2 Hàm tuần hoàn nhân tính, phản tuần hoàn nhân tính 7 1.3 Hàm mũ 9

1.4 Phép lặp 15

1.5 Đặc trưng của một số hàm sơ cấp 15

1.6 Tập trù mật 18

1.7 Hàm chuyển đổi các phép tính số học 18

2 Các phương trình hàm dạng Abel 20 2.1 Phương trình hàm dạng mũ 21

2.1.1 Nghiệm thực của phương trình hàm dạng mũ 21

2.1.2 Nghiệm phức của phương trình hàm dạng mũ 21

2.2 Phương trình hàm với hàm arctan 23

2.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm lượng giác 24

2.4 Một số dạng phương trình hàm khác 26

2.4.1 Phương trình lặp 26

2.4.2 Phương trình dạng Pexider với các phép tính số học 26 2.4.3 Về nghiệm của một số hệ phương trình 33

3 Một số lớp phương trình đa ẩn hàm 35 3.1 Phương trình hàm Pexider và các dạng toán liên quan 35

3.2 Phương trình D’Alembert trong lớp hàm số liên tục 39

4 Một số dạng toán về phương trình hàm từ các đề thi Olympic 48

4.1 Phương trình hàm với cặp biến tự do 48

4.1.1 Các đề thi học sinh giỏi Việt Nam 48

4.1.2 Các bài thi Olympic các nước và khu vực 53

4.1.3 Đề thi toán Olympic quốc tế (IMO) 72

4.2 Phương trình hàm một biến 73

4.2.1 Các đề thi học sinh giỏi Việt Nam 73

4.2.2 Các đề thi Olympic các nước và khu vực 74

4.3 Phương trình hàm trên tập rời rạc 75

Mở đầu

Hiện nay, ở một số trường phổ thông, phương trình hàm vẫn chưa được

đề cập nhiều Phần lớn các học sinh tiếp cận với phương trình hàm là cáchọc sinh lớp chuyên toán, đối với học sinh đại trà phương trình hàm là mộtdạng toán xa lạ Các học sinh tìm hiểu về phương trình hàm đều cảm thấykhó bởi vì khi học giải phương trình hàm không những đòi hỏi người họcphải vận dụng nhiều kiến thức mà còn phải có khả năng tư duy tốt, khảnăng khái quát, nhận dạng tìm ra cách giải hợp lí

Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, olympic toán khu vực và quốc

tế, thường xuất hiện các dạng toán liên quan đến phương trình hàm

Xuất phát từ thực tế đó, tôi chọn đề tài: "Các phương trình hàm dạngAbel trong lớp hàm liên tục" làm đề tài luận văn thạc sĩ Với mục tiêu chínhcủa luận văn là cung cấp thêm cho các em học sinh - sinh viên đặc biệt làcác em học sinh- sinh viên khá, giỏi, có năng khiếu và yêu thích môn toántài liệu tham khảo Ngoài những kiến thức lý thuyết cơ bản luận văn cònnghiên cứu thêm một số phương trình hàm dạng Abel trong lớp hàm liêntục; phương trình hàm Pexider và các dạng toán liên quan; phương tìnhD’Alembert trong lớp hàm liên tục; một số dạng toán về phương trình hàm

từ các đề thi Olympic

Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã thu thập, phân tích, nghiên cứucác tài liệu về phương trình hàm đặc biệt là các phương trình hàm dạng Abeltrong lớp hàm liên tục thông qua các tài liệu tham khảo như sách, Internet,trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của thầy hướng dẫn, của các chuyêngia và đồng nghiệp rồi tổng hợp, hệ thống lại

Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung vàphần kết luận

Nội dung luận văn gồm bốn chương:

- Chương 1 Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này trình bày các định nghĩa về hàm chẵn, hàm lẻ, hàmtuần hoàn, hàm phản tuần hoàn; các định nghĩa và các định lý, tính chất

đến hàm mũ; định nghĩa về phép lặp; đặt trưng của một số hàm sơ cấp; hàmchuyển đổi các phép tính số học.

Chương 2 Một số dạng phương trình hàm Abel

Trong chương này trình bày một số phương trình hàm dạng Abel tronglớp hàm liên tục: Phương trình mũ; phương trình lặp; Phương trình hàmsinh bởi hàm arctan; phương trình hàm sinh bởi hàm lượng giác; các phươngtrình hàm dạng khác

Chương 3 Các lớp phương trình hàm liên quan

Trong chương này trình bày một số lớp phương trình hàm liên quannhư: Phương trình hàm Pexider và các dạng toán liên quan; phương trìnhD’Alembert trong lớp hàm liên tục

Chương 4 Một số dạng toán về phương trình hàm từ các đề thi Olympic.Nội dung chủ yếu của chương trình bày một số dạng toán từ các đềthi học sinh giỏi Việt Nam, Olympic các nước và khu vực, Olympic quốc tế(IMO)

Trong thơì gian thực hiện luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫnchỉ bảo tận tình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Qua đây, tác giả xin đượcbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng những công lao, sự quan tâm, độngviên và sự tận tình chỉ bảo của thầy Nguyễn Văn Mậu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tinhọc đã dạy bảo tận tình, chân thành cảm ơn các thầy cô trong Ban giámhiệu, phòng Đào tạo, văn phòng khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoahọc Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trongsuốt thời gian tác giả học tập và thực hiện luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và tập thể giáo viêntrường Cao Đẳng Nông nghiệp và PTNT Bắc bộ đã tạo điều kiện cho tác giả

có cơ hội học tập và nghiên cứu

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng học tập, nghiên cứu, thảo luận để thựchiện luận văn này Tuy nhiên, điều kiện về thời gian và khuôn khổ của luậnvăn nên tác giả chưa đi sâu nghiên cứu được tất cả các phương trình Abel vàkhông tránh khỏi những thiếu xót Tác giả luận văn mong muốn nhận được

sự góp ý kiến của quý thầy cô các đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiệnhơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Người thực hiệnKim Thị Hường

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này, trình bày một số lý thuyết cơ bản thường được sử dụngkhi nghiên cứu về phương trình hàm Các kiến thức trong chương này được thamkhảo trong tài liệu [1, 3]

1.1 Hàm chẵn, lẻ

Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂R và tập giá trị R(f ) ⊂R.

Định nghĩa 1.1 Hàm f (x) được gọi là hàm số chẵn tại x = 0 trên M, M ⊂ D(f )

(gọi tắt là hàm chẵn trên M) nếu

x0

2 − t, f (t) = g



t − x02

Định nghĩa 1.2 Hàmf (x) được gọi là hàm số lẻ tại x = 0 trênM, M ⊂ D(f )(gọitắt là hàm lẻ trên M) nếu

trong đó g(x) là hàm lẻ tùy ý trên R.

1.2 Hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn

1.2.1 Hàm tuần hoàn cộng tính, phản tuần hoàn cộng tính

Định nghĩa 1.3 Hàmf (x)được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳa(a > 0)

Lời giải Theo giả thiết ∃m, n ∈N+ , (m, n) = 1 sao cho a

Vậy f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b trên M.

1.2.2 Hàm tuần hoàn nhân tính, phản tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 1.5 Hàmf (x)được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ α (α > 1)

Bài toán 1.5 Cho f (x), g(x) là hai hàm tuần hoàn nhân tính trên M có các chu

Lời giải Từ giả thiết, suy ra |a|n = |b|m. Ta chứng minh T := a2n = b2m là chu

kỳ của F (x) và G(x).

Thật vậy, ta có

F (T x) = f (a2nx) + g(b2mx) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M G(T x) = f (a2nx)g(b2mx) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M.

Hơn nữa,∀x ∈ M thì T±1x ∈ M Do đóF (x) và G(x)là những hàm tuần hoàn nhântính trên M.

Định nghĩa 1.6 Hàm f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ β (β > 1) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

Bài toán 1.6 Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ là

b (b > 1) trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng:

f (x) = 1

2(g(bx) − g(x)), (1.9)trong đó g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính với chu kỳ b2 trên M.

Lời giải Thật vậy, nếu f (x) có dạng (1.9) thì

Ngược lại, giả sử f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M. Khi đó

g(x) = −f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M và

Cho y = 0, ta có E(x) = E(x)E(0), ∀x ∈R.

Theo giả thiết E(0) = 0 suy ra E(x) = 0, ∀x ∈R.

Tính chất 1.3 Nếu E : R → C là hàm mũ và tồn tại x0 ∈ R sao cho E(x0) = 0

= E−1(x)E−1(y) = E∗(x)E∗(y).

Suy ra

E∗(x + y) = E∗(x)E∗(y), x, y ∈R.

Trong đóE :R→C∗ là hàm mũ định nghĩa ở trên.

Chứng minh Dễ thấyf ≡ 0 thỏa mãn (DE)



f

u − v 2



, ∀u, v ∈R.

Cho u = v suy ra 2f (u) = 2f

u + v 2

Trường hợp 2 Xét f (x) 6∈ {−1; 1}, với một vài giá trị x ∈R.

Do đó tồn tại x0∈R sao cho f (x0)2− 1 6= 0.

Đặt α = f (x0) ⇒ α2− 1 6= 0, đặt β2 = α2− 1.

1 Để đơn giản trong ký hiệu từ đây ta hiểu f (x) 2 = [f (x)] 2

Ta đặt

E(x) =f (x) + 1

β[f (x + x0) − f (x)f (x0)]

=1β

= 1

β 2 {f (x)f (y) + αf (x0+ x + y) − f (x + y) + (β − α)[f (x 0 + x + y) + 2αf (x)f (y) − αf (x + y)]

= 1

2[f (x) + f (y)] , ∀x, y ∈R

d) Hàm p(x) = arccot x có tính chất

p(x) + p(y) = pxy − 1

x + y

, với ∀x, y ∈R, x + y 6= 0.

1.6 Tập trù mật

Định nghĩa 1.9 Tập A ⊂ R được gọi là trù mật trong B ⊆ R ký hiệu [A] = B

nếu với mọi x, y ∈ B; x < y luôn tồn tại α ∈ A, sao cho x < α < y

Định nghĩa 1.10 Tập A ⊂ R được gọi là trù mật trong R ký hiệu [A] = R nếu

với mọi x ∈R tồn tại dãy số (an) ⊂ A, sao cho an → x khi n → ∞

Định nghĩa 1.11 ChoA ⊂ B ⊂R nếu với mọi x ∈ B, với mọiε > 0tồn tại y ∈ A,sao cho |x − y| < ε thì A được gọi là tập trù mật trong B, ký hiệu là [A] = B.

Nhận xét 1.1 Định nghĩa 1.9 và định nghĩa 1.10 tương đương với nhau

Định nghĩa 1.12 Nếu hai hàm số f (x), g(x) là hai hàm liên tục trên R và thỏamãn điều kiện f (x) = g(x) với mọi x ∈ A trong đó [A] =R thì f (x) = g(x) với mọi

x ∈R.

Ta thường sử dụng một số tập trù mật trong R sau

1 Với Q := tập các số hữu tỷ, ta có [Q] = R.

2 Với = = tập các số vô tỷ, ta có [=] = R.

3 Với [A] = R tập {α + r | α ∈ A, r = const, r ∈ R} trù mật trong R.

4 Với [A] = R tập {αr | α ∈ A, r = const, r 6= 0, r ∈ R} trù mật trong R.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu bài ra

Thay x = y = 0 vào (1.11), ta được f (0) = f (0) + f (0) ⇔ f (0) = 0.

Thay y = −x vào (1.11),ta đượcf (0) = f (x) + f (−x) ⇒ f (x) = −f (x), ∀x ∈R.

Vậy hàm f (x) là hàm số lẻ nên ta chỉ cần xác định biểu thức của f (x) với

x > 0.

Thay y = xvào (1.11), ta được f (2x) = 2f (x) Giả sử f (kx) = kf (x), (k ∈N∗).



= mf

x m



⇒ fxm

Vậy f (x) liên tục tại mọi điểm m ∈ R Nói cách khác f (x) liên tục trên R. Với

∀x ∈R, tồn tại dãy số (rn) ⊂Q, sao cho rn → x khi n → +∞ Khi đó, vì f (x) liêntục trên R nên ta có

Chương 2

Các phương trình hàm dạng Abel

Abel là người đầu tiên nghiên cứu các phương trình hàm một cách hệ thống.Ông đã đưa ra một phương pháp chung để giải các phương trình hàm có dạngkhá tổng quát Các phương trình hàm được Abel nghiên cứu đa số giải bằng cáchchuyển chúng về các phương trình vi phân Trong các bài báo [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]Abel đã đề cập đến các phương trình hàm dạng đặc biệt như vậy Trong chươngnày, chúng ta sẽ nghiên cứu chứng minh lại một số phương trình được đưa ra bởiAbel Các phương trình đó là:

ϕ(x + y)ϕ(x − y) = [ϕ(x)]2[f (y)]2− [ϕ(y)]2[f (x)]2, (2.6)

f (x + y)f (x − y) = f (x)2[f (y)]2− c2[ϕ(x)]2[ϕ(y)]2, f, ϕ :R2 →R, (2.7)

2.1 Phương trình hàm dạng mũ

Trong phần này ta khảo sát phương trình

f (z + ω) = f (z)f (ω), z, ω ∈R, (2.1)

trong đó f là một hàm thực hoặc hàm phức liên tục

2.1.1 Nghiệm thực của phương trình hàm dạng mũ

Trong phần này ta xét phương trình (2.1) trong R→R.

Bài toán 2.1 Tìm tất cả các hàm thực liên tục f : R→R sao cho

f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈R. (2.8)

Lời giải Dễ thấy f ≡ 0 1 là một nghiệm của (2.8)

Xét trường hợp f 6≡ 0 2, khi đó tồn tại x0∈R sao cho f (x0) 6= 0.

2.1.2 Nghiệm phức của phương trình hàm dạng mũ

Trong mục này ta mở rộng các kết quả nhận được của phương trình hàm vớimiền giá trị thuộc C.

Bài toán 2.2 Tìm tất cả các hàm liên tục f :R→C sao cho

f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈R. (2.9)

1

Để đơn giản trong ký hiệu ta hiểu f ≡ c nghĩa là f (x) = c, ∀x ∈ R.

2 f 6≡ c được hiểu là ∃ x , (x ∈ D(f )) sao cho f (x ) 6= c.

Lời giải Từ (2.9), ta có

|f (x + y)| = |f (x)| |f (y)| , ∀x, y ∈ R (2.10)

và

χ(x + y) = χ(x)χ(y), ∀x, y ∈R (2.11)trong đó

Vì χ khả tích nên vế phải của phương trình trên là hàm liên tục theo biến x, do

đó vế trái χ cũng liên tục đối với biến x.

Do χ liên tục, khả vi nên lấy đạo hàm (2.11) theo y và cho y = 0, ta được

χ0(x) = aχ(x) ⇒ χ(x) = aebx, x ∈R, a, b ∈C.

Hàm χ thỏa mãn (2.11) với a = 1 và |χ(x)| = 1.

Suy ra b = iβ, β ∈R và χ(x) = eiβx với β ∈R và

|f (x)| = eαx, x ∈R, α ∈R.

(Theo dịnh lí 1.38; định lí 3.37 (Hille và Phillips [14])

Từ đó ta có nghiệm của phương trình (2.9) có dạng

f (x) = 0 hoặc f (x) = eA1 (x)+iA 2 (x) , trong đó A 1 :R→R: là hàm cộng tính

và A2 là nghiệm của phương trình A2(x + y) = A2(x) + A2(y) (mod 2π), ∀x, y ∈ R

(Theo kết quả 1.40 (Aczél và Dhombres [14])

Nhận xét 2.1 Ta có

f (z) = f (x + iy) = f (x).f (iy) = eαx+iβx.ec1 y+ic 2 y = eγz+δz

với c1, c2 ∈ R, γ, δ ∈ C (theo kết quả 1.41 và [44]), nghiệm đo được của f : C → C

thỏa mãn (2.1) có dạng f (z) = 0 hoặc f (z) = ecz+dz, trong đó c, d ∈C.

2.2 Phương trình hàm với hàm arctan

Bài toán 2.3 Tìm tất cả các hàm liên tục f :R→R\ {0} sao cho

1 − tan u tan v = tan(u + v).

Với −π2 < u + v < π2, (2.3) được viết dưới dạng

f (tan(u + v)) = f (tan u) + f (tan v), ∀u, v, u + v ∈



−π

2,

π 2



hay

g(u + v) = g(u) + g(v), (2.12)trong đó g(u) = f (tan u), ∀u, v, ∈ −π2,π2
.

Lặp lại lập luận và trình tự cách giải của phương trình Cauchy đối với (2.12),



.

Vậy nên

f (x) = a arctan x, ∀x ∈R. (2.13)Thử lại ta thấy hàm f (x) xác định theo (2.13) thỏa mãn phương trình (2.3).Kết luận:

f (x) = a arctan x, a ∈R, tùy ý.

2.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm lượng giác

ϕ(x + y) = ϕ(x)f (y) + ϕ(y)f (x). (2.4)Abel tìm nghiệm (2.4) không cần điều kiện đạo hàm

Bài toán 2.4 Tìm tất cả các hàm liên tục f, ϕ :R→C thỏa mãn (2.4)

f (x)[ϕ(y + z) − ϕ(y)ϕ(z)] = f (z)[ϕ(x + y) − ϕ(x)ϕ(y)]. (2.16)

Vìf (x) 6= 0 nên tồn tại z06= 0 sao cho f (z0) 6= 0

Thay z = z0 vào (2.16), ta được

Thay x = z0 vào (2.19), ta được

f (z0)k(y) = f (y)k(z0) ⇔ k(y) = f (z0)

f (z 0 ).f (y), ∀ ∈R.

Suy ra

k(x) = α2f (x), ∀x ∈R (2.20)

với α là hằng số.

Từ (2.18) và (2.20), suy ra

ϕ(x + y) = ϕ(x)ϕ(y) + α2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (2.21)Xét trường hợp α = 0 (2.21) có dạng

f (x) E(x)+

f (y)

Đặt A(x) = E(x)f (x), thay vào (2.22), ta được

A(x + y) = A(x) + A(y).

Suy ra A :R→C là hàm cộng tính và nghiệm của (2.4) trong trường hợp này là

f (x) = A(x)E(x), ϕ(x) = E(x)

Xét trường hợp α 6= 0.

Nhân cả hai vế của (2.4) với α được kết quả cộng (2.21), ta được

αf (x + y) + ϕ(x + y) = αf (x)ϕ(y) + αf (y)ϕ(x) + ϕ(x)ϕ(y) + α2f (x)f (y)

⇔ ϕ(x + y) + αf (x + y) = [ϕ(x) + αf (x)][ϕ(y) + αf (y)]

hay

E1(x + y) = E1(x)E1(y) với E1(x) = ϕ(x) + αf (x)

Tương tự nhân cả hai vế của (2.4) với α được kết quả trừ (2.21), ta được

2.4 Một số dạng phương trình hàm khác

2.4.1 Phương trình lặp

Xét phương trình

f (ϕ(x)) = f (x) + 1. (2.2)Trong [15] Kuczma đã đưa ra kết quả sau về phương trình lặp:

fu(x) = ϕ−1(ϕ(x) + u),

trong đó ϕ được cho bởi công thức (2.23)

2.4.2 Phương trình dạng Pexider với các phép tính số học

Xét phương trình hàm dạng

ψ(x + y) = g(xy) + h(x − y) (2.5)Abel đã đưa ra nghiệm vi phân [5] Nghiệm tổng quát của phương trình nàyđược xác định bởi ψ, g, h : F → G, trong đó F là một trường và G là một nhómAbel Trong khi đánh giá sự phụ thuộc của dạng toàn phương

f (x + y) + f (x − y) − 2f (x) − 2f (y).

Bổ đề 2.1 Giả sử ψ, g, h :R→R thỏa mãn (2.5), khi đó ta có

g(x2) − g(0) = h(2x) − h(0) = ψ(2x) − ψ(0) (2.24)

= g(0) − g(−x2) (2.25)

Công thức (2.24) được chứng minh.

Thay y = −x vào công phương trình (2.5), ta được

ψ(0) = g(−x2) + h(2x) = g(−x2) + g(x2) − g(0) + h(0)

hay

g(x2) − g(0) = g(0) − g(−x2).

Công thức (2.25) được chứng minh

Thay x bởi x + a và y bởi x − a vào công thức (2.5), ta được

Chú ý 2.1 Công thức (2.24), (2.25), (2.26) vẫn đúng với mọi hàm đi từ mộttrường số cho trước nhận giá trị trong một nhóm Abel.



+ ψ(0) h(x) = g(2x2) − g(0) + h(0) = Ax

Mệnh đề 2.1 ([10]) Giả sử g, h, ψ :R→R thỏa mãn (2.5), khi đó



(g(1) − g(0)) − g(0) + h(0), ψ(y) = gny

+



y24



+



y24



= g



(x + y)24



= g



−(x + y)24



+ g



(x + y)24



+ h(0) = g(xy) − g



−(x + y)24



+ ψ(0), ∀x, y ∈ R,

tức là

g(u + v) = g(u) − g(−v) + g(0), u, v ∈R, (2.44)

A(u + v) = A(u) + A(v), u, v ∈R; v, u + v ≥ 0. (2.47)

Ta xét việc mở rộng miền xác định của A lên toàn miền R2.

Chọn u, v ∈R sao cho u + v < 0.Khi đó tồn tại số thựcx ∈R sao cho x + u ≥ 0



+ α + β và h(x) = A



x24



+ β, trong đó β = h(0).

Điều này cho ta chứng minh mệnh đề

Định lý 2.2 Nếu một trong các hàm g, h, ψ thỏa mãn mệnh đề (2.1) là hàm đođược (hoặc liên tục), thì

Tiếp theo, ta xét hệ các phương trình (2.6) và (2.7)

ϕ(x + y)ϕ(x − y) = [ϕ(x)]2[f (y)]2− [ϕ(y)]2f (x)2,

f (x + y)f (x − y) = f (x)2[f (y)]2− c[ϕ(x)]2[ϕ(y)]2.

2.4.3 Về nghiệm của một số hệ phương trình

Abel đã đưa ra một hệ phương trình (2.6),(2.7) Cho các phương trình vi phâncấp 4 với giả thiết f, ϕ : C→ C là các hàm giải tích Các phương trình này được

quy về phương trình dạng eliptic

Mệnh đề 2.2 Giả sử ϕ, f :C →C là các hàm phần nguyên thỏa mãn (2.6) Khi

đó các nghiệm được cho bởi công thức

(iv) ϕ(x) = a1ea2 x2sin a3x, f (x) = ±ea2 x2;

(v) ϕ(x) = a1ea2 x2sin a3x, f (x) = ±ea2 x2cos x3x,

với x ∈C, a1, a2, a3 là các hàm hằng, và σ, σi là các hàm elliptic

Bây giờ ta xét các nghiệm liên tục của hệ

Mệnh đề 2.3 (Bonk [127]). Giả sử ϕ, g :R→C là các hàm thỏa mãn

ϕ(u + v)ϕ(u − v) = ϕ(u)2g(v) − ϕ(v)2g(u), u, v ∈Rn. (2.48)

Nếu ϕ là hàm liên tục và là một trong các hàm sau:

ϕ(u) = aeq(u)σ(α(u)), ϕ(u) = aeq(u)sin α(u), ϕ(u) = aeq(u)α(u) với u ∈Rn,

trong đó σ là kí hiệu của hàm elliptic, α, q :Rn →C được cho bởi

(dạng toàn phương giá trị phức trên Rn ), và a là hằng số

Choϕ = 0,hàm g không xác định duy nhất bởi phương trình hàm (2.48) Nếu

c1, c2 ∈C và u0 ∈Rn được chọn thích hợp thì,

g(u) = c1ϕ(u)2+ c2ϕ(u + u0)ϕ(u − u0), u ∈ Rn.

Bằng cách sử dụng mệnh đề (2.3), chúng ta có thể nhận được nghiệm liên tụccủa hệ (2.6),(2.7).

Mệnh đề 2.4 Giả sử ϕ : Rn → C và f :Rn → C là các hàm và c ∈ C là hằng số

sao cho đẳng thức (2.6) và (2.7) là đúng với mọi u, v ∈Rn.

Nếu ϕ 6≡ 0 là hàm liên tục, thì ϕ là một trong các hàm thỏa mãn mệnh đề(2.3) và f, c2 có dạng

(i) f (u) = ± exp(q(u))σλ(α(u)), c2 = (eλ− eµ)(eλ− eν)1/a4, {λ, µ, ν} = {1, 2, 3}, (ii) f (u) = ± exp(q(u)) cos(α(u)), c2= 1/a4 hoặc f (u) = ± exp(q(u)), c = 0, (iii) f (u) = ± exp(q(u)), c = 0,

trong trường hợp (i), (ii), và (iii) của mệnh đề (2.3), tương ứng

Như vậy, mỗi bộ ba ϕ, f, c2, được cho bởi công thức trên thỏa mãn phươngtrình (2.6),(2.7)

Nếu ϕ ≡ 0, thì hệ (2.6),(2.7) được quy về phương trình

f (u + v)f (u − v) = f (u)2f (v)2, u, v ∈Rn. (2.49)

Các nghiệm liên tục f : Rn →C của (2.49) được cho bởi

f (u) = aeq(u), với u ∈Rn,

trong đó q :Rn →C là dạng toàn phương giá trị phức

ϕ(x + y) + a + b = [ϕ(y) + a + b + ϕ(y) + a + b] − a − b

⇔ ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ R (3.3)

Vìf (x) là hàm liên tục trên R nên ϕ(x) cũng liên tục trên R

Do đó, phương trình (3.1) là phương trình Cauchy nên có nghiệm

ϕ(x) = cx, c ∈R

Vậy nghiệm của phương trình là

f (x) = cx + a + b

g(x) = cx + b h(x) = cx + a

Bài toán 3.2 Tìm các hàm sốf, g, h xác định và liên tục trên R và thỏa mãn điềukiện

f (x + y) = g(x)h(y), ∀x, y ∈R (3.4)

Lời giải Thay x = 0 vào (3.4), ta được

f (y) = mh(y) với m = g(0).

Thay y = 0 vào (3.4), ta được

f (x) = ng(x) với b = h(0). Nếu g(0) 6= 0, h(0) 6= 0, phương trình (3.4) có dạng

Nếu g(0) = m = 0, ta có g(x) ≡ 0, ∀x ∈R.

Nếu g(x) ≡ 0 thì h(x) là hàm số tùy ý

Nếu tồn tại x0 ∈R sao cho g(x) 6= 0, ta có

0 = f (x0+ y) = g(x0)h(y) ⇔ h(y) = 0, ∀y ∈R.

Thử lại ta thấy các hàm số trên thỏa mãn phương trình đã cho

Nếu h(0) = n = 0, ta có f (x) = 0, ∀x ∈R.

Nếu h(x) ≡ 0 thì g(x) là hàm số tùy ý

Nếu tồn tại x0 ∈R sao cho h(x0) 6= 0, ta có

0 = f (x0+ y) = h(x0)g(y), ∀y ∈R⇔ g(y) = 0, ∀y ∈R.

Thử lại ta thấy các hàm trên thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy nghiệm của phương trình là

Bài toán 3.3 Tìm các hàm số f, g, h xác định liên tục trên R+ và thỏa mãn điềukiện

f (xy) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R+ (3.6)

Lời giải Thay x = 1 vào (3.6), ta được f (y) = g(1) + h(y) với h(0) = a hay

h(y) = f (y) − a, với a = g(1).

Thay y = 1 vào (3.6), ta được

ϕ(eu+v) = ϕ(eu) + ϕ(ev), ∀u, v ∈R+

⇔ ψ(u + v) = ψ(u) + ψ(v), với ψ(u) = ϕ(eu)

Đây là phương trình Cauchy nên có nghiệm

ψ(u) = mu, ϕ(x) = mlnx.

Thử lại ta thấy các hàm số f, g, h thỏa mãn bài toán

Vâỵ nghiệm của phương trình là







f (x) = mlnx + a + b g(x) = mlnx + a h(x) = mlnx + b.

Bài toán 3.4 Tìm các hàm số f, g, h xác định liên tục trên R+ và thỏa mãn điềukiện

f ( √ xy) =pg(x)h(x), ∀x, y ∈R+. (3.8)

Lời giải Thay x = 1 vào (3.8), ta có

f ( √ y) =pg(1)h(y), ∀y ∈ R+

f2( √ y) = g(1)h(y), ∀y ∈R+

⇔ h(y) = f

y
g(1) , ∀y ∈R

+

⇔ g(x) = f

2 (√x )

b , ∀x ∈R+, với b = h(1) > 0, ∀y ∈R+.Thay g, h vào phương trình (3.8), ta được

f ( √ xy) =

r

f 2 ( √ x)

b .

f2 √

y
a