Phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}

Lý do chọn đề tài Phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0} nói riêng và phươngtrình tích phân kỳ dị nói chung đã được xây dựng và phát triển rất mạnh mẽtrong vòng nửa thế kỷ, t

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 1: TS LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 2: PGS TS NGUYỄN GIA ĐỊNH

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ

Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 02 tháng 12 năm 2012

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0} nói riêng và phươngtrình tích phân kỳ dị nói chung đã được xây dựng và phát triển rất mạnh mẽtrong vòng nửa thế kỷ, từ năm 1920 đến năm 1970 Các kết quả này gắn liềnvới tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như Noether, Muskhelishvili, Gakhov,Vekua, Cùng song hành và tiếp ngay sau đó là sự ra đời của hàng loạt các lýthuyết toán tử kỳ dị trừu tượng trong không gian tuyến tính tổng quát gắn với

lý thuyết các phương trình tích phân kỳ dị với dịch chuyển và liên hợp phức cũngnhư nhiều dạng bài toán bờ khác

Tại Việt Nam, từ những năm 1980, đã có rất nhiều người quan tâm đến lĩnhvực các bài toán bờ Riemann, các phương trình tích phân kỳ dị Cauchy, phươngtrình tích phân dạng chập và đã thu được một số kết quả nhất định Từ đó, lýthuyết toán tử và phương trình tích phân kỳ dị đã trở thành một mảng lớn kháhấp dẫn trong toán học hiện đại ở Việt Nam (Xem [1]-[5])

Tuy nhiên cho đến nay, tài liệu tham khảo về lĩnh vực này vẫn còn rất ít, trìnhbày ở mức độ sơ lược Đặc biệt, các dạng của phương trình tích phân dạng chậpvẫn chưa được hệ thống một cách chi tiết Ngoài ra, việc nghiên cứu còn cho tathấy được vẻ đẹp, sự phong phú của nhiều loại phương trình tích phân nói chung

và phương trình tích phân dạng chập nói riêng (Xem [1]-[2])

Xuất phát từ những vấn đề nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài "Phương trìnhtích phân dạng chập trong lớp hàm {0}" với hy vọng sẽ tìm hiểu sâu về lý thuyết,

hệ thống các phương trình tích phân dạng chập và minh họa rõ nét qua các ví

dụ, nhằm làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}

và các phương trình tích phân mở rộng liên quan.

Phạm vi nghiên cứu: tài liệu, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, cáctài liệu từ các website, tạp chí toán học và các diễn đàn toán học

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu và cáctài liệu tiếng Anh, các trang web Từ đó, tác giả phân tích, đánh giá, tổng hợp

và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tạo được một đề tài có tính hệ thống, tổng quan đầy đủ về phương trình tíchphân dạng chập trong lớp hàm {0}

Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nghiên cứu và tìm hiểu toán học hiện đạinói chung và phương trình tích phân dạng chập nói riêng

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương

Chương 1 Trình bày một số định nghĩa, định lý và các tính chất trong lớphàm {0} Tiếp theo là hai kết quả quan trọng: công thức Xokhotski-Plemelij vàbài toán biên Riemann, được dùng nhiều trong giải phương trình tích phân dạngchập

Chương 2 Trình bày cách giải phương trình tích phân dạng chập đặc trưngvới một nhân, hai nhân và minh họa bằng ví dụ

Chương 3 Trình bày một số loại phương trình tích phân khác như phươngtrình tích phân cặp, phương trình tích phân Winer-Hoff, phương trình tích phândạng Volterra và nêu một số ví dụ

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH

PHÂN KỲ DỊ VÀ BIẾN ĐỔI

FOURIER 1.1 Lớp hàm Holder và lớp hàm {0}

1.1.2 Lớp hàm {0}

Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]) Ta nói F (x) thuộc lớp hàm {{0}} nếu nó là ảnh củabiến đổi Fourier và đồng thời thuộc lớp hàm Holder và L2(−∞, +∞) Như vậy,lớp {{0}} là tập hợp các hàm số Holder trong L2(−∞, +∞) dạng

1

√2π

1.2 Tích phân kỳ dị Công thức Xokhotski-Plemelij

1.2.1 Giá trị chính của tích phân kỳ dị thực

Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]) Giá trị chính (theo Cauchy) của tích phân kỳ dị

1.2.2 Giá trị chính của tích phân đường kỳ dị

Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]) Giới hạn của tích phân

Z

Γ %

ϕ(τ )

τ − tdτ khi % → 0 được gọi

là giá trị chính của tích phân kỳ dị

Trong luận văn này, tích phân kỳ dị luôn được hiểu là giá trị chính của nó

Kí hiệu [w]Γ là độ tăng trưởng của w dọc theo Γ thì chỉ số của G(t) được viếtdưới dạng

Vì hàm G(t) liên tục, nên sự tăng trưởng của argumen dọc theo chu tuyến đóng

sẽ là bội của 2π Vậy nên ta có nhận xét:

Nhận xét 1.1 Chỉ số của hàm số liên tục trên chu tuyến đóng và không triệttiêu trên đó luôn là một số nguyên

Nhận xét 1.2 Chỉ số của tích hai hàm số bằng tổng của các chỉ số Chỉ số củamột thương bằng hiệu các chỉ số tương ứng

1.2.4 Công thức Xokhotski-Plemelij

Định lý 1.1 ([1]-[2]) Giả sử Γ là chu tuyến trơn (đóng hoặc mở) và ϕ(τ ) là hàm

số tọa vị trên chu tuyến và thỏa mãn điều kiện Holder Khi đó, tích phân dạngCauchy

ϕ(t) và tích phân kỳ dị Φ(t) dưới dạng công thức Xokhotski như sau:

1.3 Bài toán biên Riemann

1.3.1 Thiết lập bài toán

Giả thiết rằng Γ là chu tuyến đóng, đơn và trơn chia mặt phẳng phức thànhmiền trong D+ và miền ngoài D− (giả thiết ∞ ∈ D−) Cho hai hàm số trên chutuyến, G(t) và g(t) thỏa mãn điều kiện Holder, trong đó G(t) không triệt tiêutrên biên

Với mỗi hàm Φ(z) xác định và giải tích trên D+ và D−, ta ký hiệu

Bài toán đặt ra là tìm hai hàm số Φ+(z) giải tích trên D+ và Φ−(z) giải tích trên

D− (kể cả z = ∞ ∈ D−) và thỏa mãn trên Γ quan hệ tuyến tính

hoặc

Φ+(t) = G(t)Φ−(t) + g(t) (1.21)Hàm G(t) được gọi là hệ số của bài toán biên Riemann và hàm g(t) được gọi làthành phần tự do của bài toán

(1.20) được gọi là bài toán biên Riemann thuần nhất

(1.21) được gọi là bài toán biên Riemann không thuần nhất

Chỉ số κ của hệ số bài toán Riemann sẽ được gọi là chỉ số của bài toán

1.3.2 Bài toán bước nhảy

Bài toán

Bài toán bước nhảy là bài toán biên Riemann dạng đơn sơ nhất

Giả thiết rằng trên chu tuyến đóng Γ cho hàm sốϕ(t)thỏa mãn điều kiện Holder

Ta cần xác định hai hàm số giải tích Φ+(z), Φ−(z) triệt tiêu tại vô cùng và thỏamãn điều kiện

Φ+(t) − Φ−(t) = ϕ(t) (1.22)

Công thức nghiệm

Hàm số tùy ý ϕ(t) cho trên chu tuyến đóng và thỏa mãn điều kiện Holder, cóthể biểu diễn duy nhất dưới dạng hiệu của hàm số Φ+(t), Φ−(t), là giá trị biêncủa hàm giải tích Φ+(z), Φ−(z) dưới giả thiết Φ−(∞) = 0

Nếu không đòi hỏi điều kiện Φ−(∞) = 0, thì nghiệm của bài toán được cho bởicông thức

1.3.3 Bài toán biên Riemann thuần nhất

Giả thiết rằng bài toán biên thuần nhất (1.20) có nghiệm và giả sử hàm số

2 Trường hợp κ > 0 Giả thiết rằng gốc tọa độ nằm trong miền D+ Hàm số

tκ có chỉ số κ Ta viết điều kiện biên dưới dạng

1.3.4 Bài toán biên Riemann không thuần nhất

Xét bài toán biên Riemann không thuần nhất (1.21) Ta viết G(t) bởi thươngcủa giá trị biên của hàm chính tắc của bài toán thuần nhất,

Tương tự như bài toán thuần nhất, ta thu được kết quả sau:

1 Khi κ > 0, thì ta thu được nghiệm

Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ(z)], (1.33)trong đó, X(z), Ψ(z) đã nói ở trên và Pκ là đa thức bậc κ với hệ số tùy ý

2 Khi κ < 0, thì ta thu được nghiệm

Định lý 1.2 ([1]-[2]) Trong trường hợp κ 6 0 thì bài toán bờ Riemann khôngthuần nhất giải được ứng với mọi thành phần tự do và nghiệm tổng quát của nóđược cho bởi công thức

Nếu κ < −1 thì bài toán không thuần nhất nói chung là không giải được Để

nó có nghiệm, điều kiện cần và đủ là thành phần tự do của bài toán thỏa mãnthêm −κ − 1 điều kiện

đa thức κ − 1

1.3.5 Ví dụ

1.4 Biến đổi Fourier

1.4.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược

F (x) là biến đổi Fourier của f (x), ta có

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

Ta sử dụng biến đổi Fourier để giải phương trình tích phân dạng chập nói trên

Ta thu được nghiệm của phương trình tích phân dạng chập (2.1)

trong đó λ là tham số thực.

Trong trường hợp này, nhân của phương trình tích phân dạng chập có dạng

k(t) = λ√

2πe−|t|, −∞ < t < ∞ (2.9)Tích phân Fourier có dạng

g(s)ds

Đối với trường hợp giải chuẩn bị phá vỡ −∞ < λ 6 −1

2, ta thu được phương

trình ứng với bài toán biên Riemann suy biến Ta có1+2λ 6 0 Đặt−1−2λ = a2.Phương trình (2.8) đưa về dạng

vô điều kiện và nghiệm của nó phụ thuộc vào κ hằng số phức tùy ý.

Khi chỉ số κ 6 0, thì phương trình tích phân dạng chập thuần nhất (2.11)(với g = 0) chỉ có nghiệm đồng nhất bằng 0 Phương trình không thuần nhất giảiđược vô điều kiện khi κ = 0 và nghiệm là duy nhất

Khi chỉ số κ < 0, thì điều kiện

là điều kiện cần và đủ để (2.11) giải được.

Trong mọi trường hợp, nghiệm được cho bởi công thức

Ta thu được nghiệm của bài toán

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN CẶP

VÀ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG

VOLTERRA 3.1 Phương trình tích phân cặp

3.1.1 Dạng phương trình

Trong thực tế, có rất nhiều bài toán mà ẩn hàm xác định trên hai tập phân biệtứng với hai điều kiện khác nhau Những phương trình cho theo cách đó thườngđược gọi là phương trình cặp Ta xét phương trình cặp tích phân dạng chập

trong đó, các hàm có mặt trong phương trình đều thuộc lớp {0}

Nhận xét rằng, ta có thể viết phương trình cặp (3.1) dưới dạng phương trình mộtnhân

√2πk2(t − s), t < 0.

Hoàn toàn tương tự như trường hợp phương trình cặp tích phân dạng chập vớihai nhân khi đặt

√2πk2(t − s), s < 0.

Để sử dụng biến đổi Fourier, ta viết phương trình cặp dưới dạng

phương trình dạng chập với hai nhân Điều kiện giải được ứng với chỉ số âm, códạng

Công thức cuối này cho thấy, nghiệm không phụ thuộc vào F−(x), tức là, khôngphụ thuộc vào cách lựa chọn phần thác triển bổ sung thêm Công thức tính chỉ

số của bài toán có dạng

1 + K+(x) là hàm thác triển giải tích được vào nửa mặt phẳng trên,

trừ ra không quá hữu hạn cực điểm là các không điểm của 1 + K+(z)

Ta xét trường hợp giải chuẩn, tức là 1 + K+(z) không triệt tiêu trên trục thực

Vì thế, chỉ số của bài toán luôn không dương Ta viết điều kiện biên dưới dạng

1 Trước hết, ta xét trường hợp, khi 1 + K+(z) không có không điểm trong nửamặt phẳng trên (tức là κ = 0) Khi đó, ta thấy ngay F+(x) ∈ {{0, +∞}}

và do đó, phương trình luôn có nghiệm duy nhất

1 + K+(z) sẽ không có cực điểm và vì thế phương trình

Ký hiệu

R−(x) = − K

−(x)

1 + K−(x) ∈ {{−∞, 0}}.Lấy biến đổi Fourier ngược, ta thu được

ν n

X

j=1

Cjn(z − zn)j ∈ {{−∞, 0}}