Đề thi-Đáp án học sinh giỏi Thái Bình09

3 điểm Cho tam giác ABC nhọn, ngoại tiếp đờng tròn tâm O.. Gọi r1 là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABD; r2 là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ACD.. Xác định vị trí của điểm D

Sở Giáo dục - Đào tạo

Thái Bình Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2008-2009

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3 điểm)

Cho x, y là các số nguyên khác 1 thỏa mãn



Chứng minh rằng x2y22  1 chia hết cho x + 1

Bài 2 (3 điểm)

Bài 3 (3 điểm)

Giải phơng trình sau: x 3 4 x 12 x        x 28

Bài 4 (3 điểm)

Cho:

x 0; y 0; z 0

9

xy yz zx

4







 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Bài 5 (3 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, ngoại tiếp đờng tròn tâm O Chứng minh rằng:

1

Bài 6 (3 điểm)

Cho tam giác ABC đều, có độ dài cạnh là 1 Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng với B và C Gọi r1 là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABD; r2 là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ACD Xác định vị trí của điểm D để r1.r2 đạt giá trị lớn nhất

Bài 7 (2 điểm)

Cho 2009 điểm khác nhau nằm bên trong hình chữ nhật có chiều dài 251cm và chiều rộng 4cm Vẽ 2009 hình tròn nhận các điểm trên làm tâm và có cùng bán kính

là 2 cm Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 hình tròn trong số chúng chứa ít nhất 3

điểm trong 2009 điểm nói trên

Hết

-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

đề chính thức

Së Gi¸o dôc - §µo t¹o

Th¸i B×nh K× thi chän häc sinh giái N¨m häc 2008-2009

Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm M¤N to¸n

(Gåm 06 trang)

Bµi 1

(3 ®)

§Æt

2

2

a; b;c;d Z; (a;b) 1; (c;d) 1; b 0; d 0











0,25

XÐt

k

Bµi 2

(3 ®) §Æt a = 7 3

5, b = 7

5 3

ab 1

 









0,25 0,25

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) = (a + b) [(a + b)2 - 3ab]

= x (x2 - 3) = x3 - 3x

0,25 0,25

a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2(ab)2 = [(a + b2) - 2ab]2 - 2(ab)2

(a3 + b3)(a4 + b4) = a7 + b7 + (ab)3(a + b) = 3 5 34

(a3 + b3)(a4 + b4) = (x3 - 3x) (x4 - 4x2 + 2)

= x7 - 3x5 - 4x5 + 12x3 + 2x3 - 6x

(1) (2)  x7 - 7x5 + 14x3 - 6x = 34

x

15

 15x7 - 105x5 + 210x3 - 90x = 34 + 15x

Ta thÊy 15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 nhËn x = 7 3

5 + 7

5

15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 cã tÊt c¶ c¸c hÖ sè lµ sè nguyªn

0,25 0,25

Bài Nội dung Điểm

 15kx7 - 105 kx5 + 210kx3 - 105kx - 34k (k là số nguyên khác không)

Bài 3

(3 đ) x 3 4 x 12 x        x 28 (*)

ĐKXĐ: -12  x  4

0,25

Đặt x + 3 = u

(4 x)(12 x)  = v

 u2 + v2 = x2 + 6x + 9 + 48 - 8x - x2 = 57 - 2x

0,25

Từ (1) (2) có u2 + v2 - 1 = 2uv

 (u + v)2 = 1





0,25 0,25 Xét u - v = 1  v = u - 1

 

















 2

















0,25

Xét u - v = -1  v = u + 1











 2

2

















0,25

0,25

Bài 4

(3 đ) Có x > 0 

2

x

2 > 0 ; y > 0  8y

2 > 0

áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 số dơng

2

x

2 và 8y

2 ta có:

2 2

x 8y

hoặc

hoặc

Bài Nội dung Điểm

Tơng tự

2 2

x

0,25 0,25 Xét A = x2 + 14y2 + 10z2 - 4 2y

Có xy + xz + yz = 9

A = 6 

2 2

2 2

2 2

x 0; y 0; z 0

9

xy yz xz

4 x

8y 2 x 8z 2

2y 1 0 2y 1 0





























1 y 2 1 z 2

x 2























(8)

0,25

0,25

Từ (7) (8) có Amin = 6  x; y; z 2; ;1 1

2 2

Bài 5

(3 đ) Gọi E; F; P lần lợt là tiếp điểm của (O) với cạnh AB; AC; BC

 AEO = AFO = 90o (t/c tiếp tuyến)

 A ; E ; F ; O thuộc đờng tròn đờng kính AO

Gọi A1 là trung điểm AO

 A1 là tâm đờng tròn đờng kính AO

2EA1F (hq góc nt) sin EA1I = 1

2EA1F (I là giao điểm của AO và EF)

0,25 A

H

C C P

B

O I A

1

Bµi Néi dung §iÓm

 sin BAC = EA1I

 sin EF = AO sinBAC

T¬ng tù EP = BO sinABC

FP = CO sinACB

0,25 0,25

Cã AO  EF (suy ra tõ tÝnh chÊt 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau)

sin BAC











0,25

sin ABC

BA.BC

sin ACB

CA.CB

1

Bµi 6

(3 ®)

KÎ DE  AB

2, DE = x 32

0,25

DEA vu«ng t¹i E

 AD2 = AE2 + DE2

 AD2 =

2 2

1

Cã SABD =

2

ABD

S











 r1 =

2

2 1 x   x  x 1

0,25 0,25

0,25

T¬ng tù cã: r2 =

E

A

Bài Nội dung Điểm

x 1 x 3





x 1 x 3





x 1 x 3





2

1



=

2

0,5

Có

2

1

2



2

x



2

x



2

r r

8



Xét r1.r2 = 2 3

8

2

x 2



Từ (1) (2) ta có: Để (r1.r2) max = 2 3

8

 thì vị trí của D cần tìm là: D là trung điểm

của BC

0,25

Bài 6

(3 đ) Chia hình chữ nhật có chiều dài251cm, chiều rộng 4cm thành 1004

hình vuông có độ dài cạnh là 1cm

0,25

 2009 điểm phân biệt nằm bên trong hình chữ nhật chứa 1004 hình vuông có độ

 Tồn tại ít nhất 1 hình vuông có độ dài cạnh là 1cm chứa ít nhất 3 điểm trong

Hình vuông có độ dài cạnh là 1cm  Khoảng cách lớn giữa 2 điểm thuộc miền của

Không mất tính tổng quát, giả sử 3 điểm đó là A, B, C

0,25 0,25 0,25

Từ (1) (2) chứng tỏ rằng tồn tại ít nhất 1 hình tròn có tâm là một trong 2009 điểm

1

2 2

Chú ý:

1 Trên đây chỉ là các bớc giải và khung điểm bắt buộc cho từng bớc theo giới hạn chơng trình đến tuần 25 của lớp 9; yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận và biến đổi hợp lí mới đợc công nhận cho điểm

2 Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm

3 Chấm từng phần Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn