Nếu làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ.. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi tôr cần bao lâu để hoànn thành công việc đó.. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB tại D..
Trang 1Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH
Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)
a Tính:
1 3
1 1 3
1
+
−
−
b Giải phơng trình: x2 + 2x - 3 = 0
Bài 2: (2 điểm)
Hai tổ cùng làm một công việc Nếu làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ II làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc Hỏi nếu làm một mình thì mỗi tôr cần bao lâu để hoànn thành công việc đó
Bài 3: (2 điểm)
Cho phơng trình: x2 - 2(m+1)x + m - 4 = 0 (1)
a Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi m
b Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu
c Giá trị x1, x2 là nghiệm của (1)
Chứng minh rằng: A = (1-x2)x1 + (1-x1)x2 khôg phụ thuộc vào m
Bài 4: (1 điểm)
Chứng minh rằng số 99999 + 111111 3 không thể biểu diễn đợc dới dạng (A+B 3)2
trong đó A, B là các số nguyên ?
Bài 5: (3 điểm)
Cho đờng tròn tâm O bán kinh R, đờng thẳng d cắt (O) tại A và B
C thuộc d ở ngoài (O) Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB tại D
CP cắt (O) tại điểm thứ hai là I AB cắt IQ tại K
a Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp
b Chứng minh CI.CP = CK.CD
c Các điểm A, B, C cố định Đờng tròn tâm O thay đổi nhng vẫn luôn đi qua A và B Chứng minh rằng IQ luôn đi qua điểm cố định
Trang 2
-Đáp án toán: Tuyển sinh vào lớp 10 PTTH
Bài 1: (2 điểm)
a
1 3
1 1 3
1
+
−
1 3
1 3 1
3
1 3
−
−
−
−
+
(0,5 đ)
=
1 3
1 3 1 3
−
+
−
2
b Tính đợc ∆' = 4 (0,25 đ) ⇒ ∆ ' = 2 (0,25 đ)
Tính đợc: x1 = 1 ; x2 = -3 (0,5 đ)
Bài 2: (2 điểm)
- Gọi Tổ I làm một mình xong công việc hết x giờ (x>15)
Tổ II là y giờ (y>15) (0,25 đ)
1 giờ tổ I làm đợc 1x (công việc), tổ II làm đợc 1y (công việc), Cả hai tổ làm đợc 151 (công viêc)
Ta có phơng trình (1):
x
1
+ 1y =
15
1
(0,5 đ)
5 giờ tổ I làm đợc
x
5 (công việc) ; 3 giờ tổ II làm đợc 3y (công việc)
Ta có phơng trình (2): 5x + 3y = 10030 (0,25 đ)
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
= +
= + 100
30 3 5
15
1 1 1
y x
y
x
(0,25 đ)
Giải hệ phơng trình đợc: x = 20; y = 60 (0,5 đ)
Nhận định kết quả trả lời:
Tổ I làm một mình xong công việc hết 20 giờ, tổ II hết 60 giờ (0,25 đ)
Bài 3: (2 điểm)
a Tính ∆' = 0
4
19 2
1 2
>
+
+m với ∀ m Chứng tỏ (1) có 2 nghiệm với ∀ m
(0,5 đ)
b (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇒ m-4<0 ⇔ m<4 (0,5 đ)
c
−
=
+
=
+
4
)1 (2
2
1
2 1
m x
x
m x
x
A = x1 - x2x1 + x2 - x1x2 = (x1 + x2) - 2x1x2 (0,25 đ)
= 2(m + 1) - 2(m - 4) = 2m + 2 - 2m + 8 = 10 (0,25 đ)
Điều đó chứng tỏ A không phụ thuộc vào m (0,25 đ)
Trang 3Bài 4: (1 điểm)
Giả sử 99999 + 111111 3 viết đợc dới dạng (A + B 3)2
Vô lí (vì 2AB là số chẵn còn 111111 là số lẻ)
⇒ Điều giả sử trên là không đúng
Vậy 99999 + 111111 3 không viết đợc dới dậng (A+B 3)2 (0,5 đ)
Bài 5: (3 điểm)
a = = 900⇒ đpcm (1 đ)
b Tam giác vuông CIK đồng dạng tam giác vuông CDP (có 1 góc C chung) (0,5 đ)
CP
CK
CD
CI = (0,25 đ) ⇒ CI.CP = CK.CD (0,25 đ)
c Ta cần chứng minh điểm K cố định
Thật vậy:
Từ CI.CP = CK.CD ⇒ CK =CI CD.CP (0,25 đ)
Mặt khác: ∆ CIB đồng dạng ∆ CAP (g.g) (0,25 đ)
CP
CB CA
CI = ⇒ = mà C, A, B, D cố định
⇒ CK =CB CD.CA không đổi ⇒ K cố định (0,5 đ)
Chú ý: Giải bằng cách khác ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.
PDK PIK
C
I O
A
Q
P
D
d
B Κ