TAI LIEU ON TAP MON TOAN

Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽA. Đường thẳng là đường tiệm cận ngang hay tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

-I CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM.

1 Bài toán về hàm số đơn điệu:

A Lý thuyết:

Có 2 hướng các em hs cần nắm vững:

Hướng 1: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số có đạo hàm trên

+ Nếu với mọi và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên

nghịch biến trên

Chú ý:

Đối với hàm phân thức hữu tỉ thì dấu khi xét dấu đạo hàm không xảy ra

Hướng 2: Giúp hs nhìn bảng biến thiên (hoặc bảng dấu y’) mà trả lời.

Ví dụ 1 (C10 MH2 2020) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Ví dụ 2 Cho đồ thị hàm số có đồ thị như hình vẽ Hàm số đồng biến trên

khoảng nào dưới đây?

x y x

A 5 B 4 C 3 D 2.

Ví dụ 5 (C39 MH1 2020) Cho hàm số (m là số thực) Có bao nhiêu giá trịnguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên ?

C Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ôn)

1 (C4 MH1 2020) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

2 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

3 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

C Hàm số đồng biến trên D Hàm số nghịch biến trên

A và B C và D. và

7 Cho hàm số: với là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên

của để hàm số nghịch biến trên khoảng ?

tục nhưng không có đạo hàm.

 Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

B Các ví dụ:

Ví dụ 6 (C13 MH2 2020) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

Ví dụ 7 (C27 MH2 2020) Cho hàm số có bảng xét dấu của như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

 

x

11 Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên sau.

.Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A Hàm số có giá trị cực tiểu bằng

B Hàm số đạt cực đại tại điểm và đạt cực tiểu tại điểm

C Hàm số có đúng một cực trị.

D Hàm số có giá trị lớn nhất bằng và giá trị nhỏ nhất bằng

12 Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ Hàm số

đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

13 Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu của như sau:

Tìm số cực trị của hàm số

14 Cho hàm số Khẳng định nào sau đây đúng?

A Giá trị cực tiểu của hàm số bằng B Hàm số đạt cực đại tại

C Giá trị cực đại của hàm số bằng D Hàm số đạt cực đại tại

3 Bài toán về min-max:

2.1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

hàm

Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

2.2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Bước 1:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn

Ghi chú: A, B không thể là GTLN hay GTNN được Vậy khi so sánh mà số lớn nhất (nhỏ nhất) rơi vào A,

B, thì ta kết luận hàm số không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

Chú ý:

 Nếu nghịch biến, liên tục trên thì

 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó

Ví dụ 11 Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn Tính giá trị

Ví dụ 12 C48 MH2 2020: Cho hàm số ( là tham số thực) Gọi là tập hợp tất cả

Ví dụ 13 C42 MH1 2020.Gọi S tập hợp giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất hàm

số trên đoạn bằng 16 Tổng các phần tử của S bằng

C Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ôn)

15 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn lần lượt là

M m  

3

94

M m 1

� �

� �2

22 Tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng.

1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng hoặc

) Đường thẳng là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

2 Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

3 Lưu ý:

và tiệm cận đứng

B Các ví dụ:

Do chủ đề này trong MH2 chỉ có 1 câu và thuộc lĩnh vực nhận biết, vậy nên nghĩ rằng

không cần khai thác nhiều về đường tiệm cận, chủ yếu phân tích kỹ về đường tiệm cậ cho đồ thị

113

185

133

72

185

32

x y x

 



2

C Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ôn)

27 Cho hàm số có đồ thị là Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A có tiệm cận ngang là B chỉ có một tiệm cận

C có tiệm cận ngang là D có tiệm cận đứng là

28 Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:

A Đường thẳng là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

B Đường thẳng là đường tiệm ngang của đồ thị hàm số đã cho

C Đường thẳng là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

D Đường thẳng là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

31 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

x y x







21

x y x







2 12

x y x







12

y x



12

x y x





2

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận.

B Đồ thị hàm số có TCĐ là đường thẳng và TCN là đường thẳng .

C Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận.

D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng và tiệm cận đứng là đường thẳng

32 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số có tổng số bao nhiêu tiệm cận (chỉ xét các tiệm cận đứng và ngang)?

mx y

A B C D.

Ví dụ 18 C9 MH1 2020 Hàm số nào dưới đây có đồ thị dạng như đường cong hình vẽ bên?

Ví dụ 19 C43 MH2 2020: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Trong các số , và có bao nhiêu số dương?

Ví dụ 20 C28 MH1 - 2020.Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên.Mệnh đề nào dưới đây đúng?

C Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ôn)

34 Cho hàm số như hình vẽ dưới đây

Hỏi là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

35 .Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở

bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

38 Đường cong trong hình sau là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?





11

x y x





3

bx c







Phương trình hoành độ giao điểm của và là Khi đó:

 Số giao điểm của và bằng với số nghiệm của phương trình

 Nghiệm của phương trình chính là hoành độ của giao điểm

 Để tính tung độ của giao điểm, ta thay hoành độ vào hoặc

có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình là

Hướng dẫn

Ví dụ 23 C30 MH2 2020: Số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

Ví dụ 24 C46 MH2 2020: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn của phương trinh là

Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là

C Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ôn)

49 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Phương trình có số nghiệm là

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để phương trình có đúng 3 nghiệm thực phân biệt

52 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

Hỏi phương trình với có bao nhiêu nghiệm?

53 Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình

Tìm để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

1 Công thức về lũy thừa

Với a, b là những số thực dương, m và n là những số thực tùy ý Khi đó ta có:

m f x   2 3m

13

2 Công thức liên quan đến căn bậc n

Chú ý: Trong hai công thức đầu, nếu n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 2 thì a, b là số thực

Hàm số đồng biến trên khi , nghịch biến trên khi

Hàm số đồng biến trên khi nghịch biến trên khi

)0

loglog log log

a b

a

c c

a a

a a

Câu 5 Rút gọn biểu thức với

Câu 12 Cho các mệnh đề sau:

(I) Cơ số của logarit phải là số nguyên dương (II) Chỉ số thực dương mới có logarit

1log

log 120 2

ab

+ +

=

Giả sử với đáp án A, nếu đúng thì hiệu phải bằng 0.

Nhập vào màn hình với A, B là các biến đã lưu và nhấn dấu = Màn hình xuất hiện số khác 0 Do đó đáp án A không thỏa mãn

Thử lần lượt và ta chọn được đáp án đúng là C

nào dưới đây là đúng?

b ab a ab

+ + -

log

a a

a

x x

a b 1 a b< <

loga b< < 1 logb a 1 log < a b< logb a

logb a< loga b< 1 logb a< < 1 loga b

e y e

= -

Câu 44 Đường cong trong hình bên là đồ thị của

một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là

hàm số nào?

Câu 45 Đường cong trong hình bên là đồ thị của

một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là

2

x

e y x

= +

M m e

Câu 1 Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tập Mệnh đề nào sau đây làđúng?

T

2 3 2

P =

2

P =

5 2

P =

S lnx2 > ln 4( x- 4 )(2; )

3 Phương pháp tính nguyên hàm

3.1 Phương pháp đổi biến số

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn

, trục hoành và hai đường thẳng , :

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,

liên tục trên đoạn và hai đường thẳng , :

B LUYỆN TẬP

Câu 1 Mệnh đề nào sau đây là sai?

y f x

y 0 H

( ) d

b a

D

Câu 2 Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng nếu

tại điểm có tung độ bằng

Câu 16 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn ,

Tìm tham số thực để

Câu 20 Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó,

ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc , trong đó là khoảng thờigian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tôcòn di chuyển bao nhiêu mét?

Câu 21 Một vật đang chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc

, trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây gần nhất với kết quả nào sau đây?

Câu 22 Một vật đang chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc

, trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăngtốc Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăngtốc bằng bao nhiêu mét?

I

ae b e

-+

+ +

�

với là các số nguyên dương

A

1 3

a=

1 3

4300m3

1900m3

2200m31

2 0

d4

x I



0d



0d

Câu 34 Cho đồ thị hàm số y= f x( ) như

hình vẽ bên Diện tích S của hình phẳng

phần tô đậm trong hình được tính theo công

thức nào sau đây?

trục hoành Ox (như hình vẽ) được tính

bởi công thức nào dưới đây?

Câu 37 Sơ đồ ở bên phải phác thảo của một

khung cửa sổ Diện tích S của cửa sổ được tính

bởi công thức nào sau đây?

A

1

2

2 1

2 1

2 1

1 2 5

-9

1 2

 O

2

5 22

S =

B

2 2 1 3

-C

2 2 1

3

1 1

C Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ôn)

58 Cho hai số phức và Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức

C Phần thực bằng và phần ảo bằng D Phần thực bằng và phần ảobằng

63 Cho số phức thỏa Tìm phần ảo của



69 Cho hai số phức và , Tìm tập hợp tất cả các giá trị



23

 Cho hai số phức z1  a bi a b , ��

và z2  c di c d , ��

Khi đó: z z1 2 a bi c di     � �ac bd  ad bc i 

Đặc biệt: z0  với mọi số phức 0 z.

 Lũy thừa của i : i01, i1 i i, 2  1, i3i i2.  i

C Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ôn)

78 Cho hai số phức , Tổng của hai số phức và là

1 Căn bậc hai của số thực âm

 Cho số z, nếu có số phức z1 sao cho z2 z

1  thì ta nói z1 là một căn bậc hai của z.

 Mọi số phức z � đều có hai căn bậc hai.0

 Căn bậc hai của số thực zâm là �i z

.Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là �i a

2 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2bx c  0, a b c, ,  �,a 0 Xét biệt số  b24ac của

 Khi  0, phương trình có một nghiệm thực

b x

C Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ôn)

88 Gọi là nghiệm có phần ảo âm của Tìm tọa độ điểm biểu diễn của

91 Gọi là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình Tìm tọa độ điểm

biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức?

94

�  �

12;

43

119

Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là

các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC

ta có:

B A

MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ:

1 Diện tích hình phẳng

1.1 Tam giác thường:

*

* p là nủa chu vi, R bán kính đường tròn ngoại tiếp , r là bán

kính đường tròn nội tiếp

1.2 Tam giác đều cạnh a:

1.3 Tam giác vuông:

a) S =

1

2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

1.4 Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a (nửa hình vuông):

a) S =

1

2a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2

1.5 Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

1.6 Tam giác cân:

a) S =

1

ah

2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

1.7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

1.8 Hình thoi: S =

1

2 d1.d2=ah (d1, d2 là 2 đường chéo, h: đường cao; a: cạnh đáy)

1.9 Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

1.10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy).

1.11.Hình Thang: S=

2 Các hệ thức lượng trong tam giác.

2.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho vuông ở A ta có :

60 o 30 o

C B

f) b= a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a= , b= c tanB = c.cot C

+Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hay cosgóc kề Cạnh huyền bằng cạnh góc vuông chiasin góc đối hay cos góc kề

+Trong một tam giác vuông cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đốihay cotang góc kề

2.2 Hệ thức lượng trong tam giác thường:

*Định lý hàm số Côsin: a2= b2 + c2 - 2bc.cosA

*Định lý hàm số Sin:

B PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH HÌNH CHÓP

B 1: Xác định đáy và đường cao của khối chóp

B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h

B 3: Áp dụng công thức V =

Chú ý: Đường cao hình chóp

1/ Chóp có cạnh bên vuông góc, đường cao chính là cạnh bên

2/ Chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy; đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông gócđáy

3/ Chóp có mặt bên vuông góc đáy đường cao nằm trong mặt bên vuông góc đáy

4/ Chóp đều, đường cao là đoạn nối đỉnh với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

5/ Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnh xuống mặt đáy , đường cao là từ đỉnh tới hình chiếu

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Câu 1: Cho một khối chóp có diện tích đáy là B chiều cao h thể tích bằng Khi đó:

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết và

Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

a3 312

6a

3

6a.8

Câu 4: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3cm Cạnh bên tạo

với đáy một góc bằng 600 Thể tích của khối chóp đó là:

C 2

39

D 2

63

Câu 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC=a, biết SA vuông

góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 600 Thể tích khối chóp S.ABC là

3 66

a

C.

3 612

a

D

3 624

a

Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với đáy,

mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 600 Thể tích khối chóp S.ABCD là

3 32

a

C.

3 33

a

D.

3 34

36

4

S ABC

a

Câu 8: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a Tam giác SAB cân tại S và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SC và (ABCD) bằng 600 Thể tích khối chóp

S.ABCD là:

A.V S ABCD. 18a3 3 B.

3

9 152

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau:

BA = 3a, BC =BD = 2a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD Thể tích khối chóp C.BDNM là

A V 8a3 B

3

23

a

V 

D.V a3

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD biết ABCD là một hình thang vuông ở A và D; AB = 2a; AD =

DC = a Tam giác SAD vuông ở S Gọi I là trung điểm AD Biết (SIC) và (SIB) cùng vuông góc

với mp(ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

a

D

3 33

a

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;

AB AD 2a  , CD = a; góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Thể tích khối chóp S.ABCD theo a là