Tải Tuyển tập bài toán tổ hợp đếm - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 11

đổ i v ị trí các lon cho nhau sao cho không có hai ngày bày nh ư nhau.. Có bao nhiêu cách gán điểm cho các câu hỏi nếu tổng số điểm là 100 và mỗi câu hỏi ít nhất 5 điểm.. Người ta mu[r]

2

CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢP

Chương này sẽ nhắc lại một số lý thuyết về tập hợp và hệ thống lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Các nội dung này cũng được giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ cơ bản, nâng cao và hệ chuyên nghành toán

Một tập hợp hữu hạn có m phần tử được gọi là sắp thứ tự nếu với mỗi

phần tử của tập hợp đó ta cho tương ứng một số tự nhiên từ 1 đến m , sao

cho với những phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau

Khi đó bộ sắp thứ tự m phần tử là một dãy hữu hạn m phần tử và hai

bộ sắp thứ tự a a1, , ,2 a và m b b1, , ,2 b m bằng nhau khi mọi phần tử tương ứng bằng nhau

Định nghĩa (Tài liệu chuẩn kiến thức 12)

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

Nếu X Y, là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì

Quy tắc nhân (Tài liệu chuẩn kiến thức 12)

Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiên hai công việc nhỏ là H1 và H2 Trong đó:

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

Nếu A A1, 2, ,A là n tập hợp hữu hạn n n1, khi đó số phần tử của tích

đề các các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần

Để liên hệ với quy tắc nhân hãy nhớ là việc chọn một phần tử của tích đề các A1A2  A n được tiến hành bằng cách chọn lần lượt một phần tử

phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử

Pn  n! 1.2  n 1  n

1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp

Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1) Kết quả của việc lấy k phần

tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự

nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

Giả sử tập A có n phần tử (n 1) Mỗi tập con gồm k phần tử của

A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (1 k   n )

là nk

Định lý 1.5.1 Số các chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử bằng n r

Chứng minh

7

Rõ ràng có n cách chọn một phần tử từ tập n phần tử cho mỗi một trong r vị trí của chỉnh hợp khi cho phép lặp Vì vậy theo quy tắc nhân, có

Định lý 1.5.2 Số hoán vị của n phần tử trong đó có n 1 phần tử như nhau

như nhau thuộc loại k bằng

C      cách đặt nk phần tử loại k vào hoán vị

Theo quy tắc nhân tất cả các hoán vị có thể là:

8

1.5.3 Tổ hợp lặp

Một tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là một cách chọn không có thứ tự k phần tử có thể lặp lại của tập đã cho Như vậy một tổ hợp lặp kiểu này là một dãy không kể thứ tự gồm k thành phần lấy từ tập n phần tử Do

Mỗi dãy n  1 thanh và k ngôi sao ứng với một tổ hợp lặp chập k của

n phần tử Do đó mỗi dãy ứng với một cách chọn k chỗ cho k ngôi sao từ

9

CHƯƠNG 2 - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN

Chương 1 đã trình bày lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp Dựa trên cơ

sở lý thuyết đó trong chương này khóa luận sẽ tập trung trình bày một số bài toán tổ hợp cơ bản, phù hợp với học sinh THPT khi tham gia các kì thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học

2.1 Một số bài toán đếm không lặp

Trong các bài toán về phép đếm không lặp, mỗi phần tử cần đếm chỉ

có thể xuất hiện tối đa một lần Để giải các bài toán đếm không lặp người

ta sử dụng hai quy tắc chính của phép đếm là quy tắc cộng và quy tắc nhân, cũng như sử dụng hai phương pháp đếm trực tiếp hoặc đếm gián tiếp

Vậy có A74=840 số thỏa mãn bài toán

Trường hợp 2: Nếu a5 được chọn từ {2, 4, 6} thì a5có 3 cách chọn

a1 được chọn từ tập X\{0, a5} nên a1 có 6 cách chọn

a a a2, ,3 4 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ X\{a a1, 5} do đó

nó là một chỉnh hợp 6 chập 3 Có A63 cách chọn

Vậy có 3.6.A63=2160 số thỏa mãn bài toán

Vậy số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ X là:

840+2160=3000 số

b) Vì n là số tiến nên a1  a2   a5 và do a1 0

nên 1 a1  a2   a5

Mỗi cách chọn ra 5 chữ số thì chỉ có 1 cách sắp xếp từ nhỏ đến lớn Vậy số các số cần tìm là số cách chọn ra 5 chữ số từ tập X \ {0} Vậy có C75=21 số thỏa mãn điều kiện

Bài 3:

Cho A0, 1, , 5, có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3

Giải:

11

Ta “dán” hai chữ số 2 và 3 thành một chữ số kép Có hai cách dán 23 hoặc 32 Bài toán trở thành: “Từ năm chữ số thuộc B={0;1; 4;5;số kép} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau”

Gọi số có năm chữ số được lập từ B là n = a a a a a1 2 3 4 5, a iB, a1 0

sao cho mỗi chữ số xuất hiện nhiều nhất một lần Tính tổng tất cả các số

Có A85 số

Trường hợp 3: số có dạng a a1 2 a7 với a16

a1 có 3 cách chọn là 7, 8, 9

13

a a a a a a là một bộ 6 phần tử từ 2, 3, 4, , ,5 6 7 A \ {a }1 và có kể thứ tự các phần tử

Có A96 số

Vậy có 3.A74  A853.A74 A85  A96 69720 số thỏa mãn bài toán

Bài 6:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau trong đó mỗi số

có tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị

5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1 và 5

Giải:

Trong 5 chữ số thì có 2 chữ số là 1 và 5 Ta chỉ cần chọn ra ba số thuộc tập hợp 2,3, 4,6,7 Số cách chọn là 3

5 10

C  Với 5 số được chọn ra có 5! cách thành lập số thỏa mãn

Vậy có 3

5

5!C  1200.

Bài 9:

chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ này đứng cạnh nhau

Giải:

Vì có 3 số lẻ nên có 6 ‘số kép’ sau 13, 31, 15, 51, 35, 53 Bài toán trở thành

có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập B{0, 2, 4, 6,số kép}

Gọi A A A1, 2, 3lần lượt là tập hợp các số chẵn có 4 chữ số khác nhau được lập

từ tập Btrong đó ‘ số kép’ đứng ở vị trí thứ nhất, thứ hai, thứ ba

Trường hợp 1 : số kép đứng ở vị trí thứ nhất

Ba chữ số còn lại được chọn từ tập 0, 2, 4,6: Có 3

4

A cách chọn

Phân tích 360 ra thừa số nguyên tố : 360 2 3 5  3 2

Số d là ước của 360 phải có dạng d 2 3 5m n p với 0  m 3,0  n 2, 0  p 1.

Vậy theo quy tắc nhân, ta có 3 1 2 1 1 1       24 ước tự nhiên của 360

Tổng quát hóa

Để tìm số các ước của số A ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1 : Phân tích A ra thành thừa số nguyên tố

3

1 2

1n 2n 3n n k.

k

A p p p p với p i  1,i 1,k và đôi một khác nhau

Bước 2 : Số d là ước của A phải có dạng

Mặt khác tập hợp AB là tập các ước nguyên dương của 5400 và 18000,

vì thế AB cũng là tập hợp của các ước dương của ước chung lớn nhất của

1000

200 5

a Chọn ra mỗi loại đúng 2 cây

b Chọn ra mỗi loại có ít nhất một cây

Vậy theo quy tắc nhân có 15.6.1=90 cách

b Gọi A là tập hợp cách chọn 6 cây trong 12 cây

18

Bài 14:

Một thầy giáo có 20 cuốn sách đôi một khác nhau Trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa Ông

em một cuốn sao cho sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba thể loại văn học, âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?

Giải:

Có C126 cách chọn 6 cuốn sách bất kỳ trong 12 cuốn trong đó

Có C C5 75 1 cách chọn 6 cuốn có 5 cuốn văn học

Có C C4 84 2 cách chọn 6 cuốn có 4 cuốn âm nhạc

Có C C3 93 3 cách chọn 6 cuốn có 3 cuốn hội họa

Vậy có C126  (C C5 75 1+C C4 84 2+C C3 93 3)=805 cách chọn thỏa mãn điều kiện

Với mỗi cách chọn ta có 6! Cách tặng

Vậy số cách tặng thỏa mãn là 805.6!=579600 cách

Chú ý: Đối với bài này ta có thể dùng cách phân chia trường hợp thỏa

mãn điều kiện (cách giải trực tiếp)

Bài 15:

sinh khối lớp 10, 4 học sinh khối lớp 11 và 3 học sinh khối lớp 12

a Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho học sinh thuộc không quá 2 khối lớp

b Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 6 người sao cho tổ nào cũng có học sinh khối lớp 12 và có ít nhất hai học sinh khối lớp 10

20

Bài 16:

Có C54 cách chọn 4 viên không có màu vàng

Có C74 cách chọn 4 viên không có màu trắng

Có C84 cách chọn 4 viên không có màu đỏ

Trong C74 cách chọn 4 viên bi không có bi trắng có chứa C54 cách chọn 4 viên chỉ có màu vàng

đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.

Giải:

Gọi A là tập hợp cách chọn đề có 3 câu dễ, 1 câu khó, 1 câu trung bình Gọi B là tập hợp cách chọn đề có 2 câu dễ, 2 câu khó, 1 câu trung bình Gọi C là tập hợp cách chọn đề có 2 câu dễ, 1 câu khó, 2 câu trung bình Gọi D là tập hợp cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài ra

Giải:

Gọi A là tập hợp mọi cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh

Gọi B là tập hợp cách chọn không thỏa mãn yêu cầu đề bài

Gọi C là tập hợp cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài

C cách chọn thỏa mãn bài toán

Tổng quát: Số cách cách chọn nhóm k bạn trong số n bạn vào một nhóm

sao cho có một bạn làm trưởng nhóm là k

Có bao nhiêu cách chọn một nhóm người trong số n người sao cho

có một người làm nhóm trưởng, một người là nhóm phó.

k k C





 cách chọn một nhóm người trong số n người sao cho

có một người làm nhóm trưởng , một người là nhóm phó

Bài 25 : ( Hoán vị vòng quanh)

a Tính số hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau

b Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước : Anh 3 người, Nga

5 người, Mỹ 2 người, Pháp 3 người, Trung Quốc 4 người Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịnh thì ngồi cạnh nhau

Giải :

a Nếu sắp xếp một phần tử vào một vị trí nào đó (chú ý vị trí đầu tiên không đóng vai trò gì do đây là hoán vị theo đường tròn), thì n 1

25

phần tử còn lại được sắp xếp vào n 1 vị trí còn lại Số cách chọn đó

là n 1 !

Vậy số hoán vị vòng quanh của n là n 1 !

b Nếu một phái đoàn nào ngồi vào chỗ trước thì theo phần a bốn phái đoàn còn lại có 4! Cách sắp xếp

Như vậy có 24 cách sắp xếp các phái đoàn ngồi theo quốc gia mình Bây giờ ta xem có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho nội bộ từng phái đoàn

Từ giả thiết ta có

3! Cách sắp xếp cho phái đoàn Anh

5! Cách sắp xếp cho phái đoàn Nga

2! Cách sắp xếp cho phái đoàn Mỹ

3! Cách sắp xếp cho phái đoàn Pháp

4! Cách sắp xếp cho phái đoàn Trung Quốc

Theo quy tắc nhân số cách sắp xếp cho hội nghị là

4!3!5!2!3!4! 4976640

Chú ý : Ta có thể mở rộng phần 1 của bài 25 như sau :

Số cách sắp xếp m số khác nhau từ tập hợp n số 1;2; ;nlên một đường tròn bằng

Bài 26: ( Bài toán vui)

Một cửa hàng có 10 lon nước giải khát đôi một khác nhau dùng để bày hàng Người ta xếp các lon đó thành hình quả núi, số lon từ hàng dưới cùng đến hàng trên cùng lần lượt là 4, 3, 2, 1 Hàng ngày người ta đổi vị trí các lon cho nhau sao cho không có hai ngày bày như nhau Hỏi bắt đầu từ ngày 1.1.2000 thì có thể tiến hành đến ngày nào ?

Giải :

Có 10 vị trí khác nhau, bày 10 lon nước giải khát đôi một khác nhau, vậy số cách bày là

10! 3628800 

Vậy cần có 3628800 ngày để bày hết tất cả các cách

Do cứ 4 năm thì có một năm nhuận, nên số ngày của chu kì 4 năm là

365.4 1 1461   ngày

Ta thấy 3628800 2483.1461 1137  

Ta lại lưu ý rằng những năm chia hết cho 400 không phải năm nhuận như vậy không kể năm 2000, trong 2483 4 năm có thêm 24 năm chia hết cho 4

mà không phải năm nhuận

Vậy 3628800ngày  2483.4năm  1137 24 9935   năm +66 ngày

Như vậy có thể bày tới ngày thứ 66 của năm 11936

Do năm này là năm nhuận nên 66 31 29 6   

Vậy ngày cuối cùng có thể bày là mồng 6 tháng 3 năm 11936

2.1.3 Bài toán tương tự

Bài 27: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại quá 1 lần

Bài 34: Một hộp đựng 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4

a) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu cùng màu, 3 quả cầu cùng số

b) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu, 3 quả cầu khác màu và khác số?

Bài 35: Trong kỳ thi kết thúc môn toán học rời rạc có 10 câu hỏi Có bao nhiêu cách gán điểm cho các câu hỏi nếu tổng số điểm là 100 và mỗi câu

hỏi ít nhất 5 điểm

28

Bài 36: Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế Người ta muốn sắp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau:

a) Bất kỳ hai học sinh ngồi cùng nhau hoặc đối diện nhau đều không cùng giới tính

b) Bất kỳ hai học sinh ngồi đối diện nhau đều không cùng giới tính

Bài 37: Ở một trường tiểu học có 50 học sinh giỏi toàn diện, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi Cần chọn ra 3 học sinh trong 50 em nói trên đi dự trại

hè Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong nhóm 3 em được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào

Bài 38: có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách

Bài 39:Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu

Bài 40 :Trong một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú ( trongđó có nam sinh Cường và nữ sinh Hoa) Cần lập một ban cán sự lớp gồm 6 người với têu cầu có ít nhất 2 nữ, ngoài ra biết Cường và Hoa không thể làm việc cùng nhau trong ban cán sự

Bài 41: Đội dự tuyển bóng bàn có 10 , 7 nam trong đó có danh thủ nam là

Vũ Mạnh Cường và danh thủ nữ là Ngô Thị Thu Thuỷ Người ta cần lập một đội tuyển bóng bàn quốc gia từ đội dự tuyển nói trên Đội tuyển quốc gia có 3 nữ và 4 nam Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển quốc gia sao cho trong đội tuyển quốc gia có mặt chỉ một và một trong 2 danh thủ nói trên

Bài 42:Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4 Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu, vừa khác số

29

2.2 Một số bài toán đếm có lặp

Trong các bài toán đếm có lặp, mỗi phần tử cần đếm có thể xuất hiện nhiều lần Để giải các bài toán đếm có lặp, người ta thường quy về các bài toán đếm không lặp và sử dụng thêm một số kiến thức khác

Ta đã biết để một số có từ hai chữ số trở lên chia hết cho 4 thì điều kiện cần

và đủ là hai số cuối của số đó phải chia hết cho 4

Từ tập A có thể lập được các số sau chia hết cho 4:

30

Bước 3 chọn số hàng nghìn có 6 cách chọn

Theo quy tắc nhân số cách chọn là 9.6.6=324

Vậy có 324 số thỏa mãn bài toán

Bài 45:

Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho số 1 có mặt tối đa 5 lần, các số 2,3,4 có mặt tối đa 1 lần

Giải:

Vì các số 2, 3,4 có mặt tối đa 1 lần nên ta phải lập ra số có 6 chữ số từ

1;2;3;4nên số 1 phải có mặt tối thiểu 3 lần

Gọi A3 là tập hợp các số có 6 chữ số trong đó số 1 có mặt 3 lần Khi đó mỗi

10 720

A  cách chọn

a Có bao nhiêu số điện thoại mà các chữ số xếp theo thứ tự tăng dần

b Có bao nhiêu số điện thoại gồm 3 cặp 2 số giống nhau

c Có bao nhiêu số điện thoại mà số 6 có mặt đúng 2 lần, số 2 và số 5 mỗi

số có mặt đúng một lần và hai số còn lại có tổng chia hết cho 3

Giải:

a Ứng với một cách chọn ra 6 phần tử phân biệt từ tập A0;1;2; ;9 thì

có đúng một cách sắp xếp 6 phần tử ấy theo thứ tự tăng dần Vì vậy số dãy số có 6 chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần chính bằng số cách chọn

ra 6 phần tử phân biệt tại tập hợp A

Do đó số các số điện thoại mà các chữ số xếp theo thứ tự tăng dần là 6

10 210

C 

b Số dãy số gồm 6 chữ số dạng ababab bằng số các dãy số có hai chữ số

ab Đây là phép đếm có lặp nên số dãy số ab là 10.10=100 số

c Bước 1 chọn hai vị trí để đặt hai con số 6 Số cách chọn là 2

6 15

C  Bước 2 chọn hai vị trí trong bốn vị trí còn lại để xếp hai số 2 và 5 Cách xếp này kể cả thứ tự nên số cách chọn là 2

Với hai vị trí còn lại có 3 cách đặt hai số 0,0; 3,3; 9,9

Với hai vị trí còn lại có 12 cách đặt các cặp số

           0,3 ; 0,9 ; 1,8 ; 3,9 ; 4,8 ; 7,8

Vậy số cách chọn ở bước 3 là: 3+12=15