D01 max min thể tích muc do 3

Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất... Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất.. Tính thể tích V của tứ diện DMNP khi thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất

Câu 13 [2H1-5.1-3] (SGD Bình Dương - HKI - 2017 - 2018 - BTN) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh

ABx và các cạnh còn lại đều bằng 2 Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất

A x2 3 B x 6 C x2 D x 3

Lời giải Chọn B

Cách 1 Gọi H là trung điểm AB CH AB

x x

Cách 2: Gọi H là trung điểm CD, dễ thấy AH CD





 (do ACD, BCD cân đáy CD) Suy

ra CDABH  ABH  BCD theo giao tuyến BH

Vì vậy trong ABH kẻ AKBH tại KBH thì AK BCD

Vậy V ABCD lớn nhất  AKmax

Trong AHK có AK AHnên AK lớn nhất khi KHAH BH

(Vì ACD, BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2 nên AHBH 3)

Vậy V ABCD lớn nhất khi x 6

Câu 18 [2H1-5.1-3](Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Xét khối tứ diện

ABCD, ABx, các cạnh còn lại bằng 2 3 Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất

Lời giải Chọn D

2 3

x 2

H

M

C A

[Phương pháp tự luận]

Gọi M , H lần lượt là trung điểm của AB và CD

Ta có tam giác ABC, ABD cân lần lượt tại C và D Suy ra CM AB AB CDM

Ta có: CAB DAB c c c  suy ra MCMD Ta được MHCD

Tứ diện BMCH có đường cao BM, đáy là tam giác MHC vuông tại H

A

B

C

D x

H K

z y

H

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương  2

V  , đạt được khi x  y z 3 tức là tứ diện đã cho là tứ diện đều cạnh 3

Câu 6: [2H1-5.1-3] (CHUYÊN THÁI BÌNH L3) Cho khối chóp S ABC có SAa, SBa 2,

a

3

63

a

3

66

a

Lời giải Chọn D

Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là

Câu 50: [2H1-5.1-3] (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Cho x, y là các số thực dương

thay đổi Xét hình chóp S ABC có SAx, BC y, các cạnh còn lại đều bằng 1 Khi thể tích khối chóp S ABC đạt giá trị lớn nhất thì tích x y bằng :

Chọn A

- Do SBSC ABAC1 nên các tam giác SBC và ABC cân tại S và A

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SA, ta có:

44



2 21

[Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] [2017] Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình

vuông không nắp có thể tích là 4 lít Tìm kích thước của hộp đó để lượng vàng dùng mạ là ít nhất Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau

A Cạnh đáy bằng 3, chiều cao bằng 4 B Cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 2

C Cạnh đáy bằng 4, chiều cao bằng 3 D Cạnh đáy bằng 2, chiều cao bằng 1

Lời giải Chọn D

Gọi x là cạnh của đáy hộp

h là chiều cao của hộp

 

S x là diện tích phần hộp cần mạ

Khi đó, khối lượng vàng dùng mạ tỉ lệ thuận với S(x)

 Dựa vào BBT, ta có S x  đạt GTNN khix2

Câu 38: [2H1-5.1-3] (THPT HAU LOC 2_THANH HOA_LAN2_2018_BTN_6ID_HDG) Cho tứ

diện ABCD có AB 3a, AC 4a, AD 5a Gọi M N P, , lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, DBC, DCA Tính thể tích V của tứ diện DMNP khi thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất

A

3

104

a

3

807

a

3

2027

a

3

12027

a

Lời giải Chọn C

Ta có:

3

6 AB AC DE

1

6 AB AC DE(DE là đường cao của hình chóp D ABC )

Dấu bằng xảy ra khi: DA DE và BAC 90

Câu 1873 [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S ABC có SAa, SBa 2, SCa 3 Tính thể tích lớn

nhất Vmax của khối chóp đã cho

A Vmax a3 6 B

3 max

62

a

3 max

63

a

3 max

6.6

a

Lời giải Chọn D

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng SBCAHSBC.

Dấu '''' xảy ra khi SA SB SC, , đôi một vuông góc với nhau

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là

3 max

Câu 1875 [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB4, cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và  SC6 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

Đặt cạnh BC x 0

Tam giác vuông ABC, có AC2 16x2

Tam giác vuông SAC, có SA SC2AC2  20x2

f x  x x trên 0; 2 5 

Câu 1876 [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SASBSC1

Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC Vì S ABC là hình chóp đều

Câu 1877 [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD4 Các cạnh

bên bằng nhau và bằng 6 Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

Gọi O ACBD Vì SASBSCSD suy ra hình chiếu của S trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  SOABCD.

Đặt AB x 0

Tam giác vuông ABC, có AC AB2BC2  x216

Tam giác vuông SOA, có

Câu 1879 [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD4a Các

cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

A

3 max

83

Do SASBSCSDa 6 nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD 

trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật Gọi

Câu 1881 [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC Biết  SC1, tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

Câu 1883 [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên

SA y y0 và vuông góc với mặt đáy ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt

AM x 0 x a Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S ABCM , biết 2 2 2

x y a

A

3 max

3.3

a

3 max

38

a

Lời giải Chọn B

a

Câu 1888 [2H1-5.1-3] Cho tứ diện SABC có SA AB AC, , đôi một vuông góc với nhau, độ dài các

cạnh BCa, SBb, SCc Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã cho

Dấu '''' xảy ra khi x  y z   a b c

Câu 1889 [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SAa

và vuông góc với mặt đáy ABCD Trên  SB SD, lần lượt lấy hai điểm M N, sao cho

6

a

3 max

672

a

3 max 48

a

Lời giải Chọn B

S AMN

a

Câu 1891 [2H1-5.1-3] Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều Khi diện tích

toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu?

Gọi h0 là chiều cao lăng trụ; a0 là độ dài cạnh đáy

Theo giả thiết ta có

3 4 32

Câu 1892 [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S ABCD có SAx0 x 3, tất cả các cạnh còn lại bằng

nhau và bằng 1 Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S ABCD lớn nhất?

Gọi O là tâm của hình thoi ABCDOAOC  1

Theo bài ra, ta có SBD CBDOSOC  2

Câu 1893 [2H1-5.1-3] (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là

tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC 

bằng 3 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC và  ABC, tính cos khi thể tích khối chóp

Gọi M là trung điểm của BC, kẻ AHSM HSM  1

Tam giác ABC cân suy ra BC AM Mà SAABCSABC

Tam giác vuông cân ABC , BC2AM

Câu 1894 [2H1-5.1-3] Cho khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B Khoảng cách từ

A đến mặt phẳng SBC bằng  a 2, SABSCB90 0 Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S ABC có thể tích nhỏ nhất

Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình vuông

Suy ra

2 2

2.2

ax SD

Vì ABCD A B C D     là hình hộp chữ nhật suy ra BCABB A 

Khi đó A B là hình chiếu của A C trên mặt phẳng ABB A 

30 A C ABB A ,    A C A B ,  CA B Đặt BB h h 0 

Tam giác vuông A B B  , có A B  A B 2BB2  x2h2

Câu 1899 [2H1-5.1-3] Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường

chéo bằng 6 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho

A Vmax 16 2 B Vmax 12 C Vmax 8 2 D Vmax 6 6

Lời giải Chọn C

Giả sử a b c, , là các kích thước của hình hộp chữ nhật

a b c

V abc    

Câu 1900 [2H1-5.1-3] Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a b c, , Dựng một hình lập

phương có cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên Biết rằng thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật Gọi S là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật Tìm giá trị lớn nhất Smax của S

Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương bằng a b c 

 

x y a

c y a

Câu 1902 [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V Gọi

M là trung điểm của cạnh SA N, là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN2NB; mặt phẳng

  di động qua các điểm M N, và cắt các cạnh SC SD, lần lượt tại hai điểm phân biệt

Gọi a SK 0 a 1 

SC

Vì mặt phẳng   di động đi qua các điểm M N và cắt các cạnh , SC SD lần lượt tại hai ,

Câu 1991 [2H1-5.1-3]Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước 80cm 50cm Người ta cắt ở

bốn góc của tâm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm nhôm lại thì được một cái thùng không nắp dạng hình hộp Tính thể tích lớn nhất

Hình hộp được tạo thành có kích thước: chiều dài 80 2 x cm , chiều rộng 50 2 x cm , chiều cao x cm

Câu 1992 [2H1-5.1-3]Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 60cm 40cm Người ta cắt 6

hình vuông bằng nhau như hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng cmx , rồi gập tấm bìa lại để

Các kích thước khối hộp lần lượt là: 60 3

AD cm Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh MN và QP vào phía trong đến khi AB và CD

trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy Tìm x để thể tích

khối lăng trụ lớn nhất?

x x

24cm

A,D

P C

B,C B

P

A x9 B x8 C x10 D x6

Lời giải Chọn B

 Gọi I là trung điểm NP  IA đường cao của ANP cân tại A  2  2

 , y    0 x 8 6;12

+ Tính giá trị: y 8 16 3, y 6 0, y 12 0

 Thể tích khối trụ lớn nhất khi x8

Câu 13 [2H1-5.1-3] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D    

có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36 , độ dài đường chéo AC bằng 6 Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải Chọn C

Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a , b , c0

Câu 14 [2H1-5.1-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG1) Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình thoi

cạnh a , SA SB SC a   Thể tích lớn nhất của khối chóp S ABCD là

Kẻ SH ABCD tại H H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Mà ABC cân tại B và

x y thỏa mãn bất đẳng thức nào dưới đây?

A xy2xy4550 B xy2x y 2550

C x2xyy2 5240 D x3 y 19602

Lời giải Chọn A

O

a a

Đặt ABa

Gọi M là trung điểm CDCDAM,CDBM CDABM

Khi đó V ABCD V ABMCV ABMD 1 1

1

Câu 466: [2H1-5.1-3] Nhân ngày quốc tế phụ nữ 8-3 năm 2017, ông A quyết định mua tặng vợ một món

quà và đặt nó vào trong một chiếc hộp có thể tích là 32 ( đvtt ) có đáy hình vuông và không có nắp Để món quà trở nên thật đặc biệt và xứng đáng với giá trị của nó ông quyết định mạ vàng cho chiếc hộp, biết rằng độ dạy lớp mạ tại mọi điểm trên hộp là như nhau Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là Để lượng vàng trên hộp là nhỏ nhất thì giá trị của phải là?

Lời giải Chọn B

Ta có, để lượng vàng cần dùng là nhỏ nhất thì Diện tích S phải nhỏ nhất ta có

,

Câu 471: [2H1-5.1-3] Cho một tam giác đều ABC cạnh a Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có

cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác Xác định giá trị lớn nhất của hình chữ nhật đó?

Lời giải

Gọi H là trung điểm của BC  BH = CH =.Đặt BM = x, ta có:

Tam giác MBQ vuông ở M, và BM = x 

Ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là f 0, 4 83200 VNĐ

Câu 475: [2H1-5.1-3] Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính,

biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn

Gọi là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn

Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là:

Diện tích hình chữ nhật:

Ta có

Suy ra là điểm cực đại của hàm

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là:

Câu 488: [2H1-5.1-3] Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 60cm Ta gấp tấm nhôm

theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây

để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?

lăng trụ không đổi nên thể tích khối lăng trụ max khi f x max

Câu 6305: [2H1-5.1-3] [THPT Thanh Thủy- 2017] Nhân ngày 8/3 ông D quyết định mua tặng vợ

một món quà và đặt nó vào trong một chiếc hộp có đáy hình vuông và không có nắp với thể tích hộp là32 đvtt  Để món quà trở nên đặc biệt và ý nghĩa ông quyết định mạ vàng cho chiếc hộp, biết rằng độ dày của lớp mạ đều nhau Khi đó chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp

lần lượt là bao nhiêu để tiết kiệm vàng nhất?

A 4và 2 B 2 và 8 C 4 và 3

2 D 2 và 4

Lời giải Chọn D

b

B' A'

( với a b, 0 )

Theo giả thiết ta có: 2

2

3232

a

    Khi đó tổng diện tích các mặt của chiếc hộp được mạ vàng là:

Dựa vào BBT ta thấy: Diện tích mạ vàng nhỏ nhất bằng 48 ( đvdt) khi x4

Vậy chiều cao chiếc hộp bằng 2và cạnh đáy chiếc hộp bằng 4

Câu 6855: [2H1-5.1-3] [BTN 164] Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD60cm Ta gấp

tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất ?

A x15 B x25 C x30 D x20

Lời giải Chọn D

Ta có PN60 2 x, gọi H là trung điểm của PN suy ra AH 60x900

trụ không đổi nên thể tích khối lăng trụ max khi f x  max

Câu 6856: [2H1-5.1-3] [BTN 164] Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD60cm Ta gấp

tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất ?

A x15 B x25 C x30 D x20

Lời giải Chọn D

Ta có PN60 2 x, gọi H là trung điểm của PN suy ra AH 60x900

trụ không đổi nên thể tích khối lăng trụ max khi f x  max

Câu 6857: [2H1-5.1-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Khối chóp S ABCD có đáy ABCD là

hình thoi cạnh a SASBSCa, Cạnh SD thay đổi Thể tích lớn nhất của khối chóp

Chọn D

a x

a a

O D

C H S

Khi SD thay đổi thi AC thay đổi Đặt ACx.Gọi OACBD

Vì SASBSC nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 6858: [2H1-5.1-3] [TTGDTX Cam Ranh - Khánh Hòa] Người ta cắt một tờ giấy hìnhvuông

cạnh bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp.Tính cạnh đáy của khối chóp để thể tích lớn nhất

Từ giả thiết ta có hình vẽ

Gọi S ABCD là hình chóp thoả yêu cầu bài

Gọi H là trung điể mAB, O là tâm hình vuông ABCD

Câu 6859: [2H1-5.1-3] [THPT Quoc Gia 2017] Xét khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân

tại A,SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBCbằng 3 Gọi  là góc giữa mặt phẳng SBC và ABC, tính cos khi thể tích khối chóp S ABC nhỏ nhất

Gọi M là trung điểm BC, Hlà giao điểm của đường thẳng qua A và vuông góc với SM Ta được: Góc giữa mặt phẳng SBC và ABC là SMA

3

;sin

AM



3cos

Câu 47: [2H1-5.1-3] (Sở Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có SCx

0 x 3, các cạnh còn lại đều bằng 1 (tham khảo hình vẽ) Biết rằng thể tích khối chóp

S ABCD lớn nhất khi và chỉ khi x a

b a b,   Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a22b30 B a28b20 C b2  a 2 D 2a3b2  1

Lời giải Chọn B

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD, vì SASBSD nên HAO với O là

Ta xét hai tam giác SBD và ABD có cạnh BD chung, SBAB, SDAD nên

SA SC SH

Câu 34: [2H1-5.1-3] (THPT Ngọc Tảo - Hà Nội - 2018 - BTN – 6ID – HDG) Một tấm kẽm

hình vuông ABCD có cạnh 30 cm Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ dưới để được một lăng trụ khuyết hai đáy

D

B

B A