D05 sử dụng định lý tỉ số thể tích muc do 3

Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABC bằng Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng MNP cũng bằng kho

Câu 8: [2H1-2.5-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho tứ diện S ABC có thể tích

V Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA, SB và SC Thể tích khối tứ diện có đáy

là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABC bằng

Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng MNP cũng bằng khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng MNP

Ta có: .

.

1

Câu 31: [2H1-2.5-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SAa 2 Một mặt phẳng đi qua A

vuông góc với SC cắt SB, SD, SC lần lượt tại B, D, C Thể tích khối chóp SAB C D   là:

A

3

2 39

 a

3

2 23

 a

329

a

3

2 33

 a

Lời giải Chọn C

O

D A



S ABCD

323

a

Ta có AD SDCADSD; AB SBCABSB

Do SCAB D SCAC

Tam giác S AC vuông cân tại A nên C là trung điểm của SC

Trong tam giác vuông S AB ta có

2 2

  

S AB C D

a

Câu 37 [2H1-2.5-3] (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Cho hình chóp S ABC Gọi

M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB Tính tỉ số .

M S

Lời giải Chọn B

Ta có

1 ,3

S

V  nên d O ABC ,  2 Vậy mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc mặt cầu tâm O, bán kính R2

Câu 27 [2H1-2.5-3] (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho khối tứ diện ABCD

có thể tích 2017 Gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD,

ACD, BCD Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ

14

x

y

của SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích

V khối chóp S AEMF

A

3

636

a

3

69

a

3

66

a

3

618

a

Lời giải Chọn D

F

M

O C

618

S AEMF

a

Câu 36 [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SAa 2 Gọi B, D là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng AB D  cắt SC tại C Thể tích khối chóp SAB C D   là:

 a

329

a

3

2 33

 a

Lời giải Chọn C

C' D'

O

D A



S ABCD

323

a

Vì B, D là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SDnên ta có SCAB D 

Gọi Clà hình chiếu của A lên SC suy ra SC ACmà ACAB D A nên ACAB D  hay

   

C SC AB D

Tam giác S AC vuông cân tại A nên C là trung điểm của SC

Trong tam giác vuông S AB ta có

2 2

23

 a

a

23

Câu 38 [2H1-2.5-3] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm

E trên cạnh AB sao cho AE3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V

Câu 36: [2H1-2.5-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABC có đáy

ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy Gọi M là trung điểm BC Mặt phẳng  P đi qua A và vuông góc với SM cắt SB, SC lần lượt tại E, F Biết

14

S AEF S ABC

V  V Tính thể tích V của khối chóp S ABC

A

32

a

38

a

325

a

312

a

V 

Lời giải Chọn B

F

E

M S

B

C A

H

Ta có BCSM Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM Do FE  P  SBC

.

14

12

SH SM

  Vậy H là trung điểm cạnh SM

Suy ra SAM vuông cân tại A 3

2

a SA

V , gọi M , N, P, Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD và BCD Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng

Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CD, BD

AMNP

AMNP AEFI AEFI

A

3616

a

3624

a

3

3 616

a

368

a

Lời giải Chọn A

N M

S

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Khi đó ta có SOA là góc giữa hai mặt phẳng SBDvà

ABCD nên SOA 60 Khi đó tan 60 SA

V

33

Trong mặt phẳng SAC: Ta kẻ  d //AC và AC cắt  d tại K Khi đó áp dụng tính đồng dạng của các tam giác ta có: OH OA 1 SK OA

SC SC

.

14

Câu 45: [2H1-2.5-3] (Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Cho hình chóp đều S ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60 Kí hiệu V , 1 V lần 2

lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho Tính tỉ số 1

V

2

3227

V

2

12

V

2

98

V

V 

Lời giải Chọn A

I M

O

S

B A

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Suy ra SOABCD Và góc giữa cạnh bên SA với mặt

đáy ABCD là góc SAO Theo giả thuyết SAO 60 , nên tam giác SAC đều, suy ra

Gọi M là trung điểm SA Trong SAC, đường trung trực của cạnh SA cắt SO tại I

Khi đó, IS IA IB IC ID    nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Tam giác SAO có SI SOSM SA 2 6

Suy ra

3

1

2 2

Câu 33: [2H1-2.5-3] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt

phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB, SAC, SAD chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là V1 và V2 V1V2 Tính tỉ lệ 1

Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SAD, SAC

Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, AC thì 1 2 3

3

SG SG

Qua G1 dựng đường song song với AB, cắt SA, SB lần lượt tại M , N

Qua N dựng đường song song với BC, cắt SC tại P

Qua P dựng đường song song với CD, cắt SD tại Q

Thiết diện của hình chóp S ABCD khi cắt bới G G G1 2 3 là tứ giác MNPQ

Câu 45: [2H1-2.5-3] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho điểm M nằm

trên cạnh SA, điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác S ABC sao cho 1

2

SM

MA  , 2

SN

NB  Mặt phẳng   qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 phần Gọi V1

là thể tích của khối đa diện chứa A, V2 là thể tích của khối đa diện còn lại Tính tỉ số 1

2

?

V V

A 1

2

4.5

V

2

5.4

V

2

5.6

V

2

6.5

Q

M

N

P E

Chọn B

- Trong mặt phẳng SAC dựng MP song song với SC cắt AC tại P Trong mặt phẳng

SBC dựng NQ song song với SC cắt BC tại Q Gọi D là giao điểm của MN và PQ Dựng ME song song với AB cắt SB tại E (như hình vẽ)

V 

Câu 40: [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Cho khối chóp S ABCD

có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a, tam giác BCD cân tại C và

a

3

2 321

a

3314

a

3312

a

Lời giải Chọn A

Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABD và I là trung điểm BD thì 3

P

I O K

a

BC IC IB  và AC2  AB2BC2

 tam giác ABC vuông tại B BCSAB; AM SAB BCAM

Lại có tam giác SAB vuông nên AM SB M là trung điểm SB 1

2

SM SB

39

Câu 5: [2H1-2.5-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,

SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và  SAa Điểm M thuộc cạnh SA sao cho

Giả sử MBC cắt SD tại N Khi đó  MN BC AD suy ra // // SM SN k k 0

Câu 22: [2H1-2.5-3] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình bình

hành có M là trung điểm SC Mặt phẳng  P qua AM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại P và Q Khi đó SAPMQ

2

2.3

Chọn A

I O

Q

D

C B

S

A

Trong ABCD gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong SAC gọi I là giao điểm của SO và AM

Trong SBD từ I vẽ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại P, Q, suy ra

A BCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với BCa, CDa 3 Hai mặt ABD và

ABC cùng vuông góc với mặt phẳng BCD Biết ABa, M , N lần lượt thuộc cạnh

AC, AD sao cho AM 2MC, ANND Thể tích khối chóp A BMN là

a

3318

a

339

a

Lời giải Chọn C

A

B

C

M N

D

a

Do AM 2MC 2

3

AM AC

Câu 4: [2H1-2.5-3] (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - Lân 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có

đáy là hình bình hành và có thể tích là V Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP

cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N Gọi V1 là thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ nhất của V1

Vậy giá trị nhỏ nhất của V1

V bằng 1

3

Câu 45: [2H1-2.5-3] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Cho khối chóp tam giác S ABC có thể tích

bằng 6 Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnh BC CA AB, , . Thể tích V của khối chóp

a

323

a

D

34

Câu 1910: [2H1-2.5-3] Cho hình chóp S ABCD Gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của SA ,

SB , SC , SD Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C D    và S ABCD là:

Chọn B

Xét hình chóp S.ABC

' ' '

' ' '

Lời giải Chọn A

.2



Câu 1932 : [2H1-2.5-3] Cho hình chóp S ABC

có SAa; SB3a 2; SC 2a 3, 60

ASBBSCCSA  Trên các cạnh SB ; SC lấy các điểm B, C sao choSASB'SC'a Thể tích khối chóp S ABC

là:

Trên các cạnh SB; SC lấy các điểm B C ', ' sao cho

Câu 1940 : [2H1-2.5-3] Cho hình chóp S ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc

với đáy, SB hợp với đáy một góc 45 H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD mặt

phẳng AHK, cắt SC tại I Khi đó thể tích của khối chóp S AHIK là:

Câu 1988 [2H1-2.5-3] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích

bằng V Gọi I là trọng tâm tam giác SBD Một mặt phẳng chứa AI và song song với BD cắt các cạnh SB SC SD, , lần lượt tại B C D  , , Khi đó thể tích khối chóp S AB C D    bằng:

V V

1 2

3 3.4

V k

V

Câu 9 [2H1-2.5-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG1) Cho khối chóp S ABC có

M A

MN a NPa Suy ra MNP vuông tại M Hạ SH vuông góc với mpMNP thì  H

là trung điểm của PN mà:

2

,2

22

a SH

a

12

23

SC

SP SB

SN SA

SM V

V

ABCD S

MNP

23

Câu 227: [2H1-2.5-3][THTT-477-2017] Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh

bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy một góc  Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là

H'

C

B A

B'

C' A'

H

S

Gọi H là hình chiếu của A trên ABC Khi đó  A AH

Ta cóA H A A sinbsin nên thể tích khối lăng trụ là

2

3 sin

C

D A

Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có:

.

31

1

33

Câu 15: [2H1-2.5-3] [2017] Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Gọi M N, lần lượt là

trung điểm của các cạnh A B và BC  Mặt phẳng (DMN) chia hình lập phương thành 2 phần

Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh A V, 2 là thể tích của phần còn lại Tính tỉ số 1

A

N

M A'

S

H

Lời giải Chọn B

Gọi H  ABDN; MH cắt B B' tại K, cắt A A' tại S; SD cắt A D' ' tại E

Thiết diện tương ứng là ngũ giác DNKME

Phần đa diện chứa A có thể tích là: V1 V S ADH. V S A EM ' V K BNH.

Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: BABH; AH 4 'A M; AD4 'A E và

S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh

SA, SD Mặt phẳng   chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P Đặt SQ x

 

cạnh SC tại C Tính thể tích của khối chóp S AB C D.   

A

33

a

31645

a

32

a

324

a

Lời giải Chọn B

I

O A

Ta có V S AB C D.   2V S AB C.    1 mà      *



SAB C SABC

Tương tự AD SC Từ đó suy ra SC AB D   AB C D   nên SCAC

S ABC có MSA, NSB sao cho MA 2MS, NS  2NB Mặt phẳng   qua hai điểm

M , N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó ( số bé chia số lớn )

Q N

M

A

B

C S

Cách 1: Ta có mặt phẳng   cắt các mặt SAC theo giao tuyến MQ SC và cắt mặt SBCtheo giao tuyến NP SC Thiết diện tạo bởi mặt phẳng   với hình chóp là hình thang

Q

N M

C S

Gọi I MNAB,Áp dụng đị nh lý Me-ne-la-us cho tam giác SAB, ta có

11

9





Câu 49: [2H1-2.5-3] (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối chóp S ABCD có

đáy là hình bình hành ABCD Gọi M , N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB,

SBC, SCD, SDA Biết thể tích khối chóp S MNPQ là V , khi đó thể tích của khối chóp

J

Q P

H

N

K M

I O

D

S

A

B C

S S

S S

S S

 

  

 

29

Câu 18: [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Cho hình chóp S ABCD

có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi M , N là trung điểm của SA, SB Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần tỉ số thể tích hai phần S MNCD và

lượt là trọng tâm của các tam giác SAB,SBC, SCA Tính 1 2 3

Chọn B

G3 G2

N

P M

Câu 6578: [2H1-2.5-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07 – 2017] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể

tích bằng V Lấy điểm A trên cạnh SA sao cho S A SA

Gọi thể tích V S ABCD.  a.h a.h

2

1.3

ASBCSB , ASC900, SASBa SC; 3a.Thể tích V của khối chóp S ABC là:

A

3212

a

366

a

324

a

3618

a

Lời giải Chọn C

Gọi M là điểm trên đoạn SC sao cho SC3SM ABBM a AM; a 2 ABM vuông tại B  Trung điểm H của AM là tâm đường tròn ngoại tiếp ABM

(ABM)

SH

SABM

a V

13

Câu 6592: [2H1-2.5-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07 – 2017] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể

tích bằng V Lấy điểm A trên cạnh SA sao cho S A SA

Gọi thể tích V S ABCD.  a.h a.h

2

1.3

1

'h h

a a mà: h h

3

1' , a a

3

1' , h a h a

3

1'

D'

M

H

Trên cạnh ABlấy điểm B; trên cạnh AB lấy điểm Dsao cho ABADAC2 a

Gọi V1 là thể tích tứ diện A B CD   ; V2 là thể tích tứ diện A BCD

Khi đó các tam giác AB C ACD AB D ;  ;   đều cạnh bằng 2a suy ra tam giác B CD  đều, cạnh bằng 2a

Tứ diện AB CD  đều cạnh bằng 2a nên có thể tích

2 2

3 a



1 1 cos cos cos 2 cos cos cos6

2 2

1

60 0

60 0

A S

Chọn D

.

1 1 cos cos cos 2 cos cos cos6

2 2

1

60 0

60 0

A S

Câu 6633: [2H1-2.5-3] [THPT LÝ THƯỜNG KIỆT năm 2017] Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là hình bình hành M là trung điểmSC, mặt phẳng  P chứa AM và song song với

Gọi O là tâm hình bình hành đáy

I AOSO

Đường thẳng qua I và song song BDcắt SB SD, tại B  , D

Ta có V SAB MD  V SAB M V SAMD

M

D O

A

C B

S

hình bình hành và có thể tích là V Trên các cạnh SB,SC lần lượt lấy các điểm M N, sao cho

Trong mpSBCgọi EMNBC Trong mpABCDgọi FAEBD

Trong mpSBDgọi PFMSD Khi đóPAMNSD

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBCta có: EB NC MS 1

3

EB EC

5

SP SD

Khi đó:

12

SMNP SMNP SBCD

2a

K D

B H

Ta có:

2

tam giác vuông cân tại B, ABa, SA vuông góc với mặt phẳng ABC, góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 30 Gọi M là trung điểm của cạnh SC Thể tích của khối chóp S ABM bằng:

A

3 3 24

a

3 3 36

a

3 3 12

a

3 3 18

a

Lời giải Chọn B

Tam giác ABC vuông cân tại B và ABa nên

Tam giác SAB vuông tại A: tan 30 3

B

Câu 6655: [2H1-2.5-3] [TTGDTX Nha Trang - Khánh Hòa - 2017] Cho hình chóp tứ giác

S ABCD có thể tích bằng V Trên cạnh SA lấy A sao cho 1

3

SA  SA Mặt phẳng qua A và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SDlần lượt tại B', C, D Tính thể tích khối chóp S A B C D    

B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB 60 , BCa, SAa 3 Gọi M là trung điểm của SB Tính thể tích V của khối tứ diện MABC

A

36

a

34

a

33

a

32

a

V 

Lời giải Chọn B

Gọi H là trung điểm AB MH SA// , mà SAABC MH ABC và

3

Tam giác ABC là nửa tam giác đều AC2BC2a và 3 3

2

AC

AB a nên diện tích đáy là:

Vì M trung điểm SB nên tỷ số thể tích tứ diện 1

2

MABC SABC

MABC

a

vuông góc với nhau, ABa AC; 2a và AD3a Gọi M và N lần lượt là trung điểm củaBD CD, Tính thể tích V của tứ diệnADMN

A

334

a

323

a

34

a

V a

Lời giải Chọn C

34

a

38

a

312

a

Lời giải Chọn C