Phần I: Mở đầuTrong quá trình dạy học sinh môn toán lớp 8, đặc biệt trong khi bồi dỡng HSG có những bài toán chứng minh bất đẳng thức, tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vớng mắc về phơng
Trang 1Phần I: Mở đầu
Trong quá trình dạy học sinh môn toán lớp 8, đặc biệt trong khi bồi dỡng HSG có những bài toán chứng minh bất đẳng thức, tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vớng mắc về phơng pháp giải, quá trình giải thiếu logic và cha chặt chẽ, cha xét hết các trờng hợp xảy ra Lí do là học sinh cha nắm vững định nghĩa, tính chất của bất
đẳng thức, cũng nh các hằng bất đẳng thức,cha phân biệt và cha nắm đợc các
ph-ơng pháp giải đối với từng dạng bài tập.Mặt khác sách giáo khoa lại cha đề cập nhiều về cách giải, do đó HS cha có đợc phơng pháp giải những bài tập này Vì thế trong quá trình dạy về vấn đề này tôi nghĩ cần phải làm thế nào để học sinh biết áp dụng định nghĩa, tính chất bất đẳng thức để phân chia đợc các dạng, tìm ra
đợc phơng pháp giải đối với từng dạng bài Từ đó học sinh thấy tự tin hơn khi gặp loại bài tập này và có kỹ năng giải chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tòi, sử dụng phơng pháp giải nhanh gọn, hợp lí Chính vì những lí do trên mà tôi chọn và trình bày
kinh nghiệm: Một số ph“Một số ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức”
Phần II: Nội dung
A Cơ sở thực tiễn
Học sinh cha nắm vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức, cũng nh các hằng bất đẳng thức,cha phân biệt và cha nắm đợc các phơng pháp giải đối với
phòng giáo dục đào tạo huyện quỳnh phụ
Giải pháp công nghệ
Một số ph ơng pháp chứng minh
bất đẳng thức
Năm học 2010 - 2011
Mã trờng:
Trang 2từng dạng bài tập Chính vì vậy mà khi gặp dạng toán này học sinh thờng ngại, lúng túng không tìm đợc hớng giải và khi giải hay mắc sai lầm
B giải pháp
I Những kiến thức cơ bản
1/ Định nghĩa bất đẳng thức
Hệ thức dạng a > b ( hoặc a < b, a b, a ≤ b ) là bất đẳng thức và gọi a là
vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức
2/ Các tính chất
Tính chất bắc cầu: a > b; b > c a > c
Tính chất đơn điệu của phép cộng: a> b a + c > b + c
Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, đợc bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b ; c > d a + c > b + d
Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều, đợc bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ: a > b ; c < d a - c > b – d
Tính chất đơn điệu của phép nhân
+ Nhân hai vế của BĐT với cùng số dơng: a > b; c > 0 ac > bc
+ Nhân hai vế của BĐT với cùng số âm : a > b; c < 0 ac < bc
Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm
a > b 0, c > d ac > bd
Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức:
a > b > 0 an
> bn
a > b <=> an > bn với n lẻ
| a | > | b | <=> an > bn với n chẵn
So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng:
Nếu m > n > 0 thì: a > 1 am
> an
a = 1 am
= an
0 < a < 1 am
< an
Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu: a> b, ab > 0 1
a < 1 b
Chú ý : Trong các tính chất trên, nhiều dấu >(hoặc <)có thể thay bởi (hoặc ≤)
3/ Các hằng bất đẳng thức
a2 0, - a2 ≤ 0
| a | 0 Xảy ra đẳng thức khi a = 0
| a | a Xảy ra đẳng thức khi a 0
| a + b | ≤ | a | + |b | Xảy ra đẳng thức khi ab 0
| a - b | | a | - |b | Xảy ra đẳng thức khi ab > 0 và | a| |b |
a2
+ b2 2ab
( ab
2 )2 ab hay ( a + b )2 4 ab ( bất đẳng thức CoSi)
1
a + 1
b
4
a b với a, b > 0
a
b + b
a 2 với a, b > 0
(a2
+ b2 )( x2
+ y2) ( ax2 + by2) ( bất đẳng thức Bu-nhi – a – cốp- xki)
II.Các ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Trang 31/ Ph ơng pháp dùng định nghĩa.
Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B là số dơng
Ví dụ 1: Chứng minh x + 1
x 2 nếu x > 0
Giải
Xét hiệu x + 1
x- 2 =
2
x
= (x-1)2 x Vì x > 0,( x – 1 ) 20 nên x + 1
x- 2 0 Vậy x + 1
x 2 với x > 0.Dấu “Một số ph = ” xảy ra khi x= 1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng ( x – 1) ( x – 2 ) ( x- 3) ( x – 4) - 1
Giải
Xét hiệu: ( x – 1)(x – 2) ( x- 3)(x – 4) –(-1) = (x2 – 5x + 4) (x2 – 5x + 6)+ 1
Đặt x2 – 5x + 5 = y, biểu thức trên bằng ( y – 1)( y + 1)+ 1 = y2 0
Vậy ( x – 1) ( x – 2 ) ( x- 3) ( x – 4) - 1
2/
Ph ơng pháp d ùng các tính chất của bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + 1 ab + a + b
Giải
Ta có: a2 + b2 2ab ( 1)
b2 + 1 2b ( 2)
a2 + 1 2a ( 3 ) Cộng từng vế của (1); (2) và (3): : 2a2 + 2b2 + 2 2 ab + 2a + 2b
a2
+ b2 + 1 ab + a + b
Dấu “Một số ph = ” xảy ra khi a = b = 1
Ví dụ 2: Chứng minh các bất đẳng thức với a, b, c là các số dơng.
a) ( a + b + c) (1
a + 1
b +
1
c ) 9 b)
a
b c +
b
c a +
c
a b 1,5
Giải
a) Ta có A = ( a + b + c) (1
a + 1
b +
1
c ) = 1 +
a
b + a
c +
b
a +1 + b
c + c
a +
c
b +1 = 3 + (a
b + b
a ) + (a
c + c
a) + (b
c + c
b )
Dễ dàng chứng minh x
y + y
x 2 với x, y dơng
Do đó A 3 + 2 + 2 + 2 = 9 Vậy A 9
Dấu “Một số ph = ’’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
b) áp dụng bất đẳng thức câu a ta có ( x + y + z) (1
x + 1
y +
1
z ) 9 trong đó x, y, z > 0
Với x= b + c, y = a + c, z = a + b ta đợc:
2( a + b + c) (
1
b c +
1
a c +
1
a b ) 9
Trang 4 ( a + b + c) (
1
b c +
1
a c +
1
a b ) 4,5
b c +
a c +
a b 4,5
a
b c + 1 +
b
a c + 1 +
c
a b +1 4,5
a
b c +
b
c a +
c
a b 1,5 Dấu “Một số ph = ’’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ví dụ 3: Cho x 0, y 0, z 0 Chứng minh rằng:
( x + y ) (y + z ) ( z + x ) 8xyz (1)
Giải
Hai vế của (1) đều không âm nên để chứng minh (1), ta sẽ chứng minh
(x + y )2(y + z )2(z + x )2 64 x2 y2 z2
Ta có : (z + x )2 4xz
(x + y )2 4xy
(y + z )2 4yz
Hai vế của bất đẳng thức trên đều không âm, nhân từng vế ta đợc
(x + y )2(y + z )2(z + x )2 64 x2 y2 z2
[( x + y ) (y + z ) ( z + x )] 2 [8xyz]2
Các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều không âm nên
( x + y ) (y + z ) ( z + x ) 8xyz
Dấu “Một số ph = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2
3
1
2 +
3
1
3 +
3
1
4 + +
3
1
n < 1
4
Giải
Gọi A là vế trái của bất đẳng thức trên Ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dới dạng phơng pháp làm trội: để chứng minh A < B, ta làm trội A thành C ( A < C ) rồi chứng minh C ≤ B
Làm trội mỗi phân số ở A bằng cách làm giảm các mẫu, ta có:
13
k <
3
1
k k =
2
1 k(k 1) =
1 (k 1)k(k 1) Do đó:
A <
3
1
2 2 +
3
1
3 3 +
3
1
4 4 + +
3
1
= 1
1.2.3 + 1
2.3.4 + 1
3.4.5 + +
1 (n 1)n(n 1)
Đặt C = 1
1.2.3 + 1
2.3.4 + 1
3.4.5 + +
1 (n 1)n(n 1) Nhận xét rằng
1 (n 1)n -
1 n(n 1) =
2 (n 1)n(n 1) nên
C = 1
2 1
1.2 - 1
2.3 + 1
2.3 - 1
3.4 + 1
3.4 - 1
4.5 + +
1 (n 1)n-
1 n.(n 1)
Trang 5= 1
2 1
2 -
1 n.(n 1) = 1
4 -
1 2n.(n 1) < 1
4 Vậy
3
1
2 +
3
1
3 +
3
1
4 + +
3
1
n < 1
4
Chú ý: Khi làm trội một biểu thức, có trờng hợp ta phải chia biểu thức thành
nhiều nhóm ròi làm trội trong trừng nhóm
Xét ví dụ sau: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2:
1 + 1
2 + 1
3 + +
n
1
2 1 < n
Giải
Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là A, ta có:
A = 1+(1
2+ 1
3)+(
2
1
2 + + 1
7) + (
3
1
2 + + 1
15) + + (
n 1
1
2 + +
n
1
2 1)
ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số bởi phân số lớn nhất trong nhóm, ta đợc:
A < 1 + 1
2 2 +
2
1
2 4 +
3
1
2 8 + +
n 1
1
2 2 n-1 = 1 + 1 +1 + + 1 = n Vậy 1 + 1
2 + 1
3 + +
n
1
2 1 < n
3/
Ph ơng pháp : Dùng ph ơng pháp phản chứng.
Ví dụ: a) Chứng minh bất đẳng thức (a + b)2 4ab
b) Cho a2 + b2 ≤ 2 Chứng minh rằng a + b ≤ 2
Giải
a) Gải sử (a + b)2 < 4ab thì a2 + 2ab + b2 < 4ab
a2
- 2ab + b2 < 0 (a - b)2 < 0 ( Vô lí ) Giả sử sai
Vậy (a + b)2 4ab
b)Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế ta đợc:
a2
+ 2ab + b2 > 4 ( 1)
Mặt khác ta có 2ab ≤ a2 + b2 a2 + 2ab + b2 ≤ 2 (a2 + b2 )
Mà 2 (a2 + b2 ) ≤ 4 ( giả thiết), do đó a2 + 2ab + b2 ≤ 4 mâu thuẫn với ( 1)
Vậy a + b ≤ 2
4/
Ph ơng pháp : Dùng các phép biến đổi t ơng đ ơng.
Ví dụ: Cho các số dơng a và b thỏa mãn điều kiện a + b = 1
Chứng minh rằng ( 1 + 1
a)( 1 + 1
b) 9
Giải
( 1 + 1
a)( 1 + 1
b) 9 ( 1) <=> a1
a b 1
b 9 <=> ab + a + b + 1 9 ab ( vì ab > 0)
<=> a + b + 1 8 ab <=> 2 8 ab (vì a + b = 1 )
<=> 1 4 ab <=> ( a + b )2 4 ab (vì a + b = 1 )
<=> ( a - b )2 0 ( 2 )
Bất đẳng thức ( 2) đúng, mà các phép biến đổi trên tơng đơng Vậy bất
đẳng thức ( 1) đợc chứng minh
Dấu “Một số ph = ’’ xảy ra khi và chỉ khi a = b
Trang 6Chú ý : Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng, cần lu ý các biến đổi tơng đơng có
điều kiện, ví dụ a2 > b2<=> a > b với a, b > 0
m > n <=> am > an với m, n nguyên dơng, a > 1
Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tơng đơng
5/
Ph ơng pháp : Dùng ph ơng pháp quy nạp toán học
Ví dụ1: Chứng minh rằng: 2n > n3 với mọi số tự nhiên n 10
Giải
+ Bất đẳng thức đúng với n = 10 vì 210 = 1024 > 103
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có 2k > k3 ( k 10) Ta cần chứng minh 2k+1 > (k+1)3
Xét hiệu 2k+1 - (k+1)3 = 2 2k - k3 – 3k2 – 3k – 1 = 2 (2k – k3 ) + k3 – 3k2 – 3k – 1
Theo giả thiết quy nạp 2k > k3 ta cần chứng minh k3 – 3k2 – 3k – 1 > 0 Ta có:
k3 – 3k2 – 3k – 1 = k( k2 – 3k – 3) -1= k [ k( k-3) – 3 ] – 1
Do k 10 k ( k – 3) 70 k [ k( k-3) – 3 ] – 1 669 > 0
2k+1 > (k+1)3
Vậy 2n > n3 với mọi số tự nhiên n 10
Ví dụ2: Chứng minh
1
n 1+
1
n 2+
1
n 3+ + 1
2n> 13
24với mọi số tự nhiên n 2
Giải
+ Bất đẳng thức đúng với n = 2 vì S = 1
3+ 1
4 = 7
12 > 13
24 + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có S k > 13
24 ( k 10) Ta cần chứng minh S k+1 > 13
24
Ta có Sk =
1
k 1+
1
k 2+
1
k 3+ + 1
2k > 13 24
Sk+1 =
1
k 2+
1
k 3+
1
k 4+ +
1 2(k 1)
Do đó Sk+1 - Sk =
1 2k 1 +
1 2k 2-
1
k 1 =
1 2(k 1)(2k 1) > 0
Sk+1 > Sk, mà S k > 13
24 S k+1 > 13
24 Vậy
1
n 1+
1
n 2+
1
n 3+ + 1
2n > 13
24với mọi số tự nhiên n 2
III Vài điểm chú ý khi chứng minh bất đẳng thức.
Chú ý 1: Khi chứng minh bất đẳng thức , nhiều khi ta cần đổi biến.
Ví dụ : Cho a + b + c = 1 chứng minh rằng a2 + b2 + c2 1
3
Giải
Đặt a = 1
3 + x, b = 1
3 + y , c = 1
3 + z Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0
Ta có: a2 + b2 + c2 = (1
3 + x)2 + (1
3 + y)2+ (1
3 + z)2
Trang 7=(1
9 +2
3 x + x2) + (1
9 +2
3 y + y2) + (1
9 +2
3 z + z2) = 1
3 + 2
3 ( x + y + z) + x2 + y2 + z2
= 1
3+ x
2 + y2 + z2
1 3 Dấu “Một số ph = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x= y = z = 0 <=> a = b = c = 1
3
Chú ý 2: Với các bất đẳng thức mà các biến có vai trò nh nhau, ta có thể sắp thứ tự các biến.
Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức abc ( b + c – a)( a + c – b) ( a + b – c ) với a, b, c là các số dơng
Giải.
Do vai trò của a, b, c nh nhau, ta giả sử rằng a b c Xét hai trờng hợp
* b + c ≤ a khi đó vế trái của bất đẳng thức là số dơng, còn vế phải không
d-ơng Bất đẳng thức đợc chứng minh
* b + c > a khi đó hai vế của bất đẳng thức đều dơng
Ta có ( b + c – a) ( b + a –c) = b2 – ( c- a )2 ≤ b2
( a + c – b) ( b + c –a) = c2 – ( a- b )2 ≤ c2
( b + a – c) ( c + a –b) = a2 – ( b- c )2 ≤ a2
Nhân từng vế ba bất đẳng thức trên, ta đợc
[( b + c – a)( a + c – b) ( a + b – c )]2 ≤ [ abc]2
Các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều dơng nên
abc ( b + c – a)( a + c – b) ( a + b – c )
Dấu “Một số ph = ’’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Chú ý 3: Khi chứng minh bất đẳng thức, trong nhiều trờng hợp ta cần xét
từng khoảng giá trị của biến.
Ví dụ: Chứng minh rằng x8 – x7 + x2 – x + 1 > 0
Giải.
Đặt A= x8 – x7 + x2 – x + 1 = x7 ( x – 1 ) – ( x – 1) + x2
= ( x – 1 ) (x7 – 1) + x2
Nếu x 1 thì x7 1, do đó ( x – 1 ) (x7 – 1) 0 còn x2 0 nên A > 0
Nếu x < 1 thì x7 < 1, do đó ( x – 1 ) (x7 – 1) > 0 còn x2 0 nên A > 0
III/ Kết luận:
Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy, học sinh lớp tôi dạy đã biết cách làm các bài chứng minh bất đẳng thức.Học sinh không còn lúng túng và thấy ngại khi gặp dạng bài tập này Cụ thể khi làm phiếu điều tra hai lớp 8A và 8B tr-ờng THCS với đề bài sau:
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/ x2 + xy + y2 > 0
2/ x8 – x7 + x4 – x + 1 > 0
3/3
4 + 5
36 + 7
144 + +
2 2
2n 1
n (n 1) < 1 ( n nguyên dơng )
Bài 2: Cho ba số a, b, c khác nhau đôi một Chứng minh rằng tồn tại một trong
các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn ( a + b + c )2
Bài 3: Cho a, b, c, là ba cạnh của một tam giác chứng minh rằng
Trang 8a
b c +
b
c a +
c
a b < 2 Kết quả nhận đợc nh sau:
- Học sinh của tôi không còn lúng túng về phơng pháp giải cho từng dạng bài trên
- Biết lựa chọn cách giải hợp lí, nhanh, gọn
- Hầu hết đã trình bày đợc lời giải chặt chẽ
- Kết quả cụ thể nh sau:
Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã rút ra một số bài học cho bản thân trong việc bồi dỡng học sinh khá - giỏi Những bài học đó là:
1 – Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán sắp dạy
2 – Hệ thống các phơng pháp cơ bản để giải loại toán đó
3 – Khái quát hoá, tổng quát hoá từng dạng, từng loại bài tập
4 – Tìm tòi, khai thác sâu kiến thức Su tầm và tích luỹ nhiều bài toán, sắp xếp thành từng loại để khi dạy sẽ giúp học sinh nắm vững dạng toán
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong việc dạy học sinh khá, giỏi lớp 8 giải một dạng toán Rất mong đợc sự ủng hộ đóng góp ý kiến của các bạn
đồng nghiệp để tôi có những kinh nghiệm nhiều hơn trong việc dạy các em học sinh giải toán
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Quỳnh Phụ ngày 24 tháng 4 năm 2011
Tài liệu tham khảo
1)Sách giáo khoa Toán 8 – NXB Giáo dục – 2004
2)Vũ Hữu Bình – Nâng cao và phát triển Toán 8- NXB Giáo Dục – 2010
3)Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng khanh:Tuyển tập các bài toán hay và khó - 2004 4) Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng khanh - Tuyển chọn 400 bài tập toán 8
5)Vũ Hữu Bình – Toán bồi dỡng học sinh lớp 8- NXB Giáo dục – 2007