Bài 5: 6 điểm Cho ABC không là tam giác đều và có ba góc đều nhọn, đường cao AH, đường trung tuyến AM, đường phân giác CE cắt nhau tạo thành tam giác PQR.. Chứng minh rằng: PQR khôn
Trang 1ĐỀ NGHIỆM THU HSG CẤP TRƯỜNG
HỌC KÌ II- LỚP 7
MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài 1: (6 điểm)
a) Cho các số:
A = 11 … 11 (2m chữ số 1)
B = 11 … 11 ((m+1) chữ số 1)
C = 66 … 66 (m chữ số 6)
Chứng minh rằng: A + B + C + 8 là một số chính phương
b) Chứng minh rằng: 32n + 1 + 2n + 2
7 , n N
Bài 2: ( 3 điểm) Cho hai số dương x, y và x + y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
P = 1 1x y
Bài 3: (3 điểm)
Tìm đa thức P(x) rồi tìm nghiệm của đa thức P(x), biết rằng:
x3 + 2x2(4y – 1) – 4xy2 – 9y3 – P(x) = – 5x3 + 8x2y – 4xy2 – 9y3
Bài 4 :(4 điểm) Cho ABC có 3 đường trung tuyến AM, BN và CP Chứng minh rằng:
3
p AM BN CP p
4 (với p = AB + AC + BC)
Bài 5: ( 6 điểm) Cho ABC không là tam giác đều và có ba góc đều nhọn, đường cao AH, đường trung tuyến AM, đường phân giác CE cắt nhau tạo thành tam giác PQR Chứng minh rằng: PQR không thể là tam giác đều
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ NGHIỆM THU HSG CẤP TRƯỜNG
HỌC KÌ II- LỚP 7
1
a) Ta có: A = 11 … 11 = 102m – 1 + 102m – 2 + … + 10 + 1 = 10m 1 1
9
B = 11 … 11 = 10m + 10m – 1 + … + 10 + 1 = 10m 1 1
9
C = 66 … 66 = 6.11 … 11 = 6.10m 1
9
10 10 6.10 64
A B C 8
9
2 m
10 8 3
(đpcm) Vậy: A + B + C + 8 là một số chính phương
b) Ta có: 32n + 1 = 3.9n
= 3(7 + 2)n
= 3(7k + 2n) , k N
= 7a + 3.2n , a N
Ta lại có: 2n+2 = 4.2n
Do đó, ta có: 32n + 1 + 2n + 2 = 7a + 7.2n
Vậy: 32n + 1 + 2n + 2
7 , n N
0.5 điểm
0.5 điểm 0.5 điểm 1.0 điểm 0.5 điểm
1.0 điểm 0.5 điểm 1.0 điểm 0.5 điểm
2
1 1 x y 5 10 4
x y xy xy (x y) 5
Đẳng thức xảy ra khi: x = y =5
2 Vậy: GTNN của P là 45 đạt được khi: x = y =52
1.5 điểm 0.5 điểm 1.0 điểm
3
Ta có: x3 + 2x2(4y – 1) – 4xy2 – 9y3 – P(x) =
= – 5x3 + 8x2y – 4xy2 – 9y3
P(x) = [x3 + 2x2(4y – 1) – 4xy2 – 9y3] – (– x3 + 8x2y – 4xy2 – 9y3)
= x3 + 8x2y – 2x2 – 4xy2 – 8y3 + 5x3– 8x2y – 4xy2 + 9y3
= 6x3 – 2x2
Xét P(x) = 0 6x3 – 2x2 = 0 2x2(3x – 1) = 0
x 0 1 x 3
Vậy: Nghiệm của đa thức P(x) là x1 = 0; x2 = 31
1.0 điểm 1.5 điểm 0.5 điểm
4 - Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA
- CM: AMB DCM AB DC (1) 0.5 điểm
Trang 3Câu Nội dung Biểu điểm
Aùp dụng bất đẳng thức trong tam giác ACD có: AD < AC + CD
Hay: 2AM <AC + AD AM AC CD
2
Từ (1) và (2) AM AC AB
2
Tương tự:
AB BC BN
2
; CP CA CB
2
AC AB AB BC CA CB
AM BN CP
2
2(AC AB BC)
2
AB AC BC p
(*) Mặt khác: Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC
Aùp dụng bất đẳng thức trong các tam giác: AGB; BGC; CGA, ta có:
AB GA GB
BC GB GC AB BC CA 2(GA GB GC)
CA GC GA
(3)
Mà: GA = 23AM; GB = 32BN; GC =23 CP
Thay vào (3) ta được: AB + BC + CA <4
3 (AM + BN + CP)
AM + BN + CP > 34(AB + BC + CA) = 34p (**)
Từ (*) và (**) 3
4p < AM + BN + CP < p (đpcm)
0.5 điểm 0.25 điểm
1.0 điểm
0.5 điểm
1.0 điểm 0.25 điểm
5
Giả sử: PQR đều
Ta có: PCH PHC HPC 90 0 600 300
(Do PHC vuông tại H)
ACP 60
(1)
Do PCH 30 & MQC PQR 60 0 0 (đđ)
QMC 90
Hay: BM AC (2)
Từ (1) và (2) ABC đều
(Trái với giả thiết)
Vậy: điều giả sử trên sai; nghĩa là PQR không thể là tam giác đều
0.25 điểm 1.25 điểm
1.5 điểm
0.5 điểm 0.5 điểm
Mỗi cách giải khác (nếu đúng) đều được điểm tối đa
- hết
P
A
D
M B
C A
G
Trang 4DANH SÁCH HỌC SINH THI GIỎI TOÁN CẤP TRƯỜNG - LỚP 7
1 Bùi Lê Kim Anh
2 Nguyễn Hoài Nghĩa
3 Nguyễn Quốc Thông
4 Trần Trung Hiếu
5 Huỳnh Hiệp
6 Phạm Thuý Hằng
7 Nguyễn Văn Lập
8 Nguyễn Tấn Trường
9 Nguyễn Bá tấn
10 Trần Đức Lực