Giải mạch điện bằng số phức

Số phức biểu diễn các đại lượng sin ký hiệu bằng các chữ in hoa có dấu chấm ở trên... Đạo hàm của một hàm hình sin theo thời gian biểu diễn dưới dạng phức thì bằng số phức biểu diễn hàm

1 BIỂU DIỄN DÒNG ÁP HÌNH SIN BẰNG SỐ PHỨC

1.1 Khái niệm số phức.

Cho số phức •

V = a + jb gồm có:

a: phần thực ; jb: Phần ảo

Chúng được biểu diễn bằng một véctơ trong mặt phẳng phức

Môđun của số phức: c= a2 +b2

Arcgument của số phức: ϕ = acrtgb a

V

a

b

+j Trục thực

-j Trục ảo

c

Hình 2.4

• các dạng biểu diễn của số phức

+ Dạng đại số: •

V = a + jb + Dạng lượng giác: •

V = c(cosϕ + jsinϕ) + Dạng số mũ: •

V = ce jϕ (công thức ơle: cosϕ + jsinϕ = e jϕï )

+ Dạng cực: •

V = c∠ ϕ

Trong kỹ thuật điện số phức biểu diễn ho các đại lượng dòng áp hình sin, có mođun đungd bằng trị hiệu dụng còn acrgument bằng pha ban đầu của đại lượng điện hình sin đó

Số phức biểu diễn các đại lượng sin ký hiệu bằng các chữ in hoa có dấu chấm ở trên •

I , •

U , •

E

Ví dụ: i1 = 210I1 sin (ωt+π2 )→ •

I = 10 2

π

j e

* Chu ýù :

- Số phức liên hiệp

Cho số phức •

V = a + jb thì số phức ∧

V = a – jb là số phức liên hiệp Hai số phức được gọi là liên hiệp với nhau khi chúng có cùng phần thực và phần ảo trái dấu

- Số đo j (j2 = -1)

Từ số phức dưới dạng lượng giác:

c(cosϕ + jsinϕ) = ce jϕ

Khi c =1, ϕ = π2 → cos

2

π + jsinπ2 = 2

π

j

e ⇒ j = 2

π

j

e ; - j =

2

π

j

e−

1.2 Các phép tính của số phức.

a) Cộng trừ số phức.

Cho số phức: 1

•

V = a1 + jb1 2

•

V = a2 + jb2

•

V = (a1 + a2 ) + j(b1 + b2)

Cho số phức: •

V = a + jb ⇒ •

V + ∧

V = 2a = 2Re •

V

•

V - ∧

V = 2jb = 2 Imf •

V

b) Phép nhân chia số phức.

Cho số phức: 1

•

V = c1e jϕ1 ; 2

•

V = c2e jϕ2

1

•

•

V = c1 c2e j(ϕ1+ϕ2)

•

•

2

1

V

V

=

2

1

c

2

1 ϕ

ϕ −

j

e

c) Nhân số phức với ±j.

cho số phức •

V = ce jϕ ⇒ j •

V = jce jϕ = 2

π

j

e ce jϕ = c )

2 (ϕ+π

j e

⇒ -j •

V = -jce jϕ = 2

π

j

e− ce jϕ = c )

2 (ϕ−π

j e

a

b

+j Trục thực

-j Trục ảo

c

-JV +JV

Hình 2.5

⇒ Như vậy khi nhân một số phức với j, ta quay véctơ biểu diễn số phức một

góc π2 ngược chiều kim đồng hồ Khi nhân với (-j ) ta quay véctơ biểu diễn số phức một góc π2 cùng chiều kim đồng hồ ( hình 2.5)

d) Đạo hàm của một hàm hình sin theo thời gian biểu diễn dưới dạng phức.

Đạo hàm của một hàm hình sin theo thời gian biểu diễn dưới dạng phức thì bằng số phức biểu diễn hàm hình sin đó nhân với jω.

Cho dòng điện i = Im sin (ωt+ϕ )

⇒

dt

di

= = jω •

e) Tích phân của một hàm hình sin theo thời gian biểu diễn dưới dạng phức.

Tích phân của một hàm hình sin theo thời gian biểu diễn dưới dạng phức thì bằng số phức biểu diễn hàm hình sin đó chia cho jω.

Cho dòng điện i = 2 I sin (ωt+ϕ)

jω

•

Ví dụ

Cho dòng điện i = 2 50 sin (ωt+π)

di

= jω •

I = jω50 ej 3

π

∫idt = j Iω• =

ω

π

j

e j3

50

1.3 Định luật kiếchốp 1.

Tổng đại số các dòng điện tại một nút thì bằng không.

∑

=

n

k k

i

• Quy ước:

Dòng điện nào có chiều đi tới nút thì lấy dấu dương ngược lai thì lấy dấu âm

1.4 Định luật Kiếchốp 2.

Đi theo một vòngkhép kín, theo một chiều tuỳ ý đã chọn, tổng đại số các điện áp rơi trên các phần tử R,L,C bằng tổng đại số các sức điện động trong vòng

• Quy ước:

Những sức điện động và dòng điện có chiều trùng với chiều đi vòng sẽ lấy

dấu dương, ngược lại mang dấu âm

∑

=

n k k u

=

m l l e

* Biểu diễn số phức các phương trình trong định luật kiếchốp

∑

=

n k k i

1 = 0 → ∑

=

•

n k k I

1 = 0

∑

=

n

k k

u

1 = ∑

=

m

l l

e

1

→ ∑

=

•

n k k U

=

•

m l l E

1

• Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình 1.7 Hãy viết định luật Kiếchốp I và II cho mạch điện

1 1

R 1

R 3

C 3

C 2

L 2

i 2 3

M

Hình 1.7 Phương trình định luật kiếchốp 1 tại nút M:

Ig − − =Ig Ig

Phương trình định luật kiếchốp 2:

(1) (2)

R I jX I jX I jX I E E

jX I R I jX I jX I E E

2 PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

* Các bước thực hiện.

- Biểu diễn điện áp và tổng trở các nhánh dưới dạng phức

U → •

U

R,x → −

Z = R + jx

- Dùng định luật Omh, địng luật kizhhoff để tính các dòng, áp khác dưới dạng phức Từ đó suy ra trị hiệu dụng

* VÍ DỤ

Cho mạch điện như hình 3.1 với các thông số mạch như sau

R1 = 5 Ω ; R2 = 5 3 Ω ; X1 = X2 = 5Ω ; U = 100 V

Tính I1, I2, I, UCD ?

R1 R2

X2

X1

u

A

B Hình 3.1 Bài giải

Tổng trở phức nhánh 1

1 1

Z = + = 5 + j 5 Dòng điện phức nhánh 1:

1

1

Z

U I

•

•

= = 5100+ j5 = 10 – j10 Trị số hiệu dụng: I1 = 10 2 + 10 2 = 10 2 A

Tổng trở phức nhánh 2

2 2

Z = − = 5 3 - j 5 Dòng điện phức nhánh 2:

2

2

Z

U I

•

•

= = 5 1003−j5 = 5 3 + j 5

⇒Trị số hiệu dụng: I2 = 10 A

Theo định luật kiếchốp:

•

•

•

+

=I1 I2

I = 10 – j10 + 5 3 + j 5 =(10 + 5 3

) – j 5

⇒Trị số hiệu dụng: I = 19,32 A

Điện áp phức U* CD là:

U* = U* CD + U* CD = -R1

* 1

I + R2

* 2

I

= -5(10 – j10 ) + 5 3(5 3 + j 5)

= 25 + j(50 + 25 3)

⇒Trị số hiệu dụng: UCD = 96,59 V

3 PHƯƠNG PHÁP DÒNG ĐIỆN NHÁNH

* Các bước giải:

- Xác định mạch điện có m nhánh, n nút từ đó suy ra số nút độc lập là n-1, số vòng độc lập là m-n+1

- Viết các phương trình định luật kirchhoff 1 cho n-1 nút độc lập và phương trình định luật kirchhoff 2 cho m-n+1 vòng độc lập

- Giải hệ phương trình nút và vòng đã biết tìm được dòng điện trên các nhánh

* Thí dụ :

Cho mạch điện như hình vẽ

Z1=Z2=Z3=2 + j2 (Ω)

e1=e2 =120 2 sin314t (V)

Tính dòng điện trong các nhánh ?

I1 U

A

B

Hình 3.4

Bài giải Mạch có : n = 2 → 1 nút độc lập

m = 3 → 2 vòng độc lập

- Chọn chiều dương cho các mạch vòng độc lập như trên hình vẽ, viết các phương trình theo định luật kirchhoff 1 và 2 cho các nhánh và các vòng

Nút A : I* 1-I* 2-I* 3 = 0 (1)

*

I 1 + Z2

*

I 2 = E1 (2)

*

I 3 - Z2

*

I 2 = -E3 (3)

Ta có : I* 1-I* 2-I* 3 = 0 (4)

(2+j 2) I* 1+(2+j 2) I* 2 =120 (5) (2+j 2)I* 3 - (2+j 2)I* 2 =-120 (6) Giải hệ phương trình (4),(5),(6)

Cộng (5),(6) => (2 +j 2)I* 1 + (2+j 2)I* 3 = 0 (7)

Nhân (4) với (2+j 2) rồi cộng với (5)

(4+j4)I* 1 –(2+j2)I* 3 = 120 (8) Từ (7) và (8) => I1= 10 10

) 1 (

20 )

1 ( 6

120

j j

+

= +

=> I1 = 10 2 (A) ;=> I2 , I3

4 PHƯƠNG PHÁP MẠCH ĐIỆN VÒNG

* Các bước giải

Xét số nút n, vòng m từ đó suy ra số vòng độc lập : m-n+1

- Gán cho mỗi mạch vòng độc lập một dòng chạy kín trong vòng gọi là dòng điện vòng Iv

- Viết pt định luật kirchhff 2 cho các mạch vòng độc lập với dòng điện tác dụng lên mạch là các dòng điện vòng

- Giải hệ phương trình đã biết với ẩn số là các dòng điện vòng

- Dòng chạy trong mỗi nhánh bằng tổng đại số các dòng điện vòng chạy qua nhánh đó

* Ví dụ :

Giải bài toán theo hình trên bằng phương pháp mạch vòng

Z1=Z2=z3=2+j2 (Ω)

e1 = e3 = 120 2sin 314 ϕt (V)

Tính I1,I2,I3 ?

I1 U

A

B

Hình 3.5 Bài giải Gán cho mỗi vòng định luật một vòng chạy kín trong vòng ( theo hình vẽ)

Phương trình định luật kirchhoff 2 cho các vòng









−

=

− +

=

− +

3

* 1

* 2 2

* 3 2

1

* 2

* 2 1

* 2 1

) (

) (

E I

Z v I Z Z

E I Z I Z Z

v

v V

<=>









−

= +

− +

= +

− +

120 )2

2(

)4 4(

120 )2

2(

)4 4(

1

* 2

*

2

* 1

*

v

v V

I j v

I j

I j I

j

Nhân 2 vào pt1 rồi cộng vào pt2

=> 10(1 ) ( )

1

) 1 ( 20 ) 1 ( 20

120 )

6 6 (

2 1

1

A j j

j j

I

I j v

v

−

=

−

−

= +

=

= +

) ( 2 10

10 10 1

1 1

A I

j I

=

⇒

−

=

=

⇒

Nhân 2 vào pt2 rồi cộng pt1:

6(1+j)Iv2=-120

IV2= 10 10 ( ) 1

20

A j

j= − + +

−

I2 = IV1-IV2 = 10 - j10 -(-10+j10) = 20 – j20 (A)

) ( 2 20

I =

⇒

3

2 3

A I

j I

=

⇒

+

−

=

=

5 PHƯƠNG PHÁP ĐIỆN ÁP HAI NÚT.

Phương pháp này chỉ áp dụng cho những mạch có nhiều nhánh nhưng chỉ có hai nút

* Các bước giải:

- Tuỳ ý chọn chiều dòng điện nhánh và điện áp hai nút

- Tìm điện áp hai nút theo công thức:

∑

∑

=

=

k k

n

k

k k AB

Y

E Y U

1 1

Yk: là tổng trở phức nhánh Yk=

k Z

1

Ek: là suất điện động nhánh thứ k

- Tìm dòng điện nhánh bằng cách áp dụng định luật Ôm cho nhánh có nguồn

Khi đó dòng điện trên mỗi nhánh sẽ được tính:

k AB k

Với quy ước: dòng điện và nguồn suất điện động nào ngược chiều với điện áp UAB thì lấy dấu “+”, ngược lại lấy dấu “-“

* Ví dụ:

Giải mạch điện thí dụ trên theo phương pháp điện áp hai nút

I1

U AB

A

B

Hình 3.6 v

E E

j Z

Z Z

120

2 2

3 1

3 2 1

=

=

Ω +

=

=

=

Vẽ chiều dương điện áp UAB như hình vẽ

- Tính UAB

Y

E E Y U

E E

E j

Y Y Y

Y Y Y

E Y E Y E Y Y

E Y U

AB

K

K K AB

80 3

240 3

3

0

; 120

; 2 2 1

3 1 3 1

2 3

1 3

2 1

3 2 1

3 3 2 2 1 1

=

=

+

=

+

=

=

=

= +

=

=

=

+ +

+ +

=

=

∑

∑

Dòng điện trên các nhánh:

1

40 2 2

1 80

2 10 10

10 1

20 2 2

1 80 120

2 2

2

2

1 1

1

1

A I

j J

j Y

U E

I

A I

j J

j Y

U E

I

AB

AB

=

⇒

−

= +

= +

=

−

−

=

=

⇒

−

= +

= +

−

=

−

=

6 PHƯƠNG PHÁP XẾP CHỒNG

Tính chất xếp chồng là tính chất cơ bản của mạch điện tuyến tính :

Trong 1 mạch điện tuyến tính có nhiều nguồn, dòng điện, điện áp trên một

nhánh nào đó sẽ bằng tổng đại số các dòng áp trên nhánh đó do từng nguồn riêng

rẽû tác dụng lên mạch trong khi các nguồn khác bằng 0

*

Ví dụ:

Giải mạch điện thí dụ trên theo phương pháp xếp chồng

I13

U

I23 I33

A

B

e1 = 0 e3

U

A

B

e1 e3 = 0

I1

U

I2 I3

A

B

I11 I21 I31

a) b) c)

Hình 3.7 Theo tính chất xếp chồng

I1 = I11 - I13

I2 = I21 + I23

I3 = I31 - I33

Theo hình 3.7b :

1

40 ) 1 ( ) 2 2 (

120

23 1

j j

j Z

Z

E

−

= +

= + + +

= +

Vì Z2=Z3

2

* 11 31

* 21

*

j

I I

(A) Theo hình 3.7a

) 1 ( 20 ) 1 ( ) 2 2 (

120

12 3

3

j j

Z Z

E

+ + +

= +

=

) 1 ( 10 2 Z

13 23 2

1 =Z ⇒I = I = I = − j

Theo tính chaát xeáp choàng:

I1 = I11-I13 = 20 – j20 – (10 –j10) = 10-j10

⇒I1=10 2 (A)

I2=I21 + I23 = 10 – j10 +10 –j10 = 20 –j20

⇒I2=20 2 (A)

I3= I31- I33 =10 – j10 –(20 –j20)= -10 +j10

⇒I3=10 2 (A)