chuyên đề hiệu ứng compton

Hiệu ứng Compton Mô hình tính chất sóng ánh tiên đoán rằng khi một bức xạ điện từ bị tán xạ trên một hạt tích điện thì bức xạ điện từ tán xạ về khắp mọi phương phải có cùng tần số với

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH LÀO CAI

CHUYÊN ĐỀ:

HIỆU ỨNG COMPTON

Người biên soạn: Phạm Nguyên Hoàng

HIỆU ỨNG COMPTON TÍNH CHẤT LƯỢNG TỬ ÁNH SÁNG

1 Quan điểm về tính chất lượng tử ánh sáng.

Tiên đề cơ bản để làm căn cứ cho việc giải thích các hiện tượng theo quan điểm lượng tử là:

Bức xạ điện từ được tạo thành từ các hạt mang năng lượng nhỏ và gián đoạn gọi là phôtôn hay lượng tử Mỗi phôtôn có năng lượng hoàn toàn xác định và chỉ phụ thuộc vào tần số của bức xạ:



Trong đó: h  6, 625.1034(J.s) là hằng số planck ( được xác định bằng thực nghiệm )

f : là tần số của bức xạ điện từ

 : là bước sóng của sóng điện từ

Theo quan điểm lượng tử thì các phôtôn chuyển động với vận tốc bằng vận tốc truyền ánh sáng ( c=3.108m/s) Do đó, theo thuyết tương đối thì khối lượng nghỉ của các phôtôn bằng không, hay nói cách khác năng lượng của phôtôn chỉ có nguồn gốc động học ( động năng ) Nếu phôtôn tồn tại thì nó chuyển động với vận tốc ánh sáng, nếu nó không chuyển động với vận tốc đó thì nó cũng không còn tồn tại

Theo thuyết tương đối: năng lượng toàn phần của một hạt là:

2 0

0





Trong đó: K là động năng của hạt, p là động lượng của hạt, E là năng lượng toàn phần của hạt Đối với phôtôn thì: mo=0

E K

E p c









E K

E p c





 







2 Hiệu ứng Compton

Mô hình tính chất sóng ánh tiên đoán rằng khi một bức xạ điện từ bị tán xạ trên một hạt tích điện thì bức xạ điện từ tán xạ về khắp mọi phương phải có cùng tần số với bức xạ tới Tuy nhiên, năm 1922, H.Compton đã chứng minh được rằng: tần số của bức xạ sau khi tán xạ phụ thuộc vào góc tán xạ của

nó Điều này chỉ được giải thích dựa trên các quan điểm lượng tử của ánh sáng

Trong cơ học lượng tử, Hiệu ứng Compton hay tán xạ Compton xảy ra khi bước sóng tăng lên

(và năng lượng giảm xuống), khi những hạt phôtôn tia X (hay tia gamma) có năng lượng từ khoảng 0,5

MeV đến 3,5 MeV tác động với điện tử trong vật liệu Độ mà bước sóng tăng lên được gọi là dịch

chuyển Compton

Theo Compton, hạt lượng tử năng lượng của tia X khi va chạm vào các hạt khác cũng bị tán xạ giống như hạt electron Ở đây sự tán xạ của hạt phôtôn là sự thay đổi đường đi của chùm tia phôtôn khi gặp phải một môi trường có sự không đồng nhất về chiết suất với những khoảng cách mà chiết suất thay đổi gần bằng độ dài bước sóng photon Thực ra sự tán xạ là sự lan truyền của sóng trong những môi trường có hằng số điện và hằng số từ thay đổi hỗn loạn, rất phức tạp nếu sử dụng các hệ phương trình Maxwell để giải và tìm chiết suất hiệu dụng của môi trường Sự tán xạ có thể xem đơn giản như

sự va chạm đàn hồi của các quả bóng trong một môi trường Khi xem xét sự va chạm đó, định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng vẫn được áp dụng

Ví dụ ta có một lượng tử năng lượng của tia X, va chạm vào một electron đứng yên Một phần năng lượng và xung lượng của tia X chuyển vào cho electron và sau khi tán xạ thì lượng tử năng lượng tán xạ (hạt hình thành sau tán xạ) có năng lượng và xung lượng nhỏ hơn của lượng tử năng lượng ban đầu (tia X) Vì năng lượng của lượng tử tán xạ nhỏ hơn năng lượng của lượng tử ban đầu nên tần số của lượng tử tán xạ nhỏ hơn tần số của lượng tử ban đầu và khi đó bước sóng của lượng tử tán xạ lại lớn hơn bước sóng của lượng tử ban đầu

3 Giải thích hiệu ứng Compton

Compton đã nhận ra rằng, hiện tượng này có thể dễ dàng giải thích bằng mô hình hạt của bức xạ

điện từ khi cho rằng các photon của tia Rơnghen va cham đàn hồi với các electron trong trạng thái liên

kết của khối than chì theo quy luật của va chạm đàn hồi, các photon sẽ truyền một phần năng lượng cho electron và do đó sau khi va chạm sẽ có một năng lượng nhỏ hơn Đến đây theo giả thuyết lượng tử của Planck và lý thuyết Phôtôn của Einstein bức xạ sẽ có tần số nhỏ hơn và do đó có bước sóng lớn hơn

Sơ đồ thí nghiệm tán xạ của Compton

Muốn tính sự thay đổi bước sóng của chùm tia Rơnghen tới tán xạ trên những electron gần như tự

do của vật thể ta xem xét góc tán xạ

Giả thuyết lượng tử của Planck về sự phụ thuộc của năng lượng vào tần số:

E = hf (1)

Hệ thức Einstein trong thuyết tương đối hẹp:

E = m (2)

Từ (1)(2) => Khối lượng động m của Phôtôn:

c

Xung lượng của Photon (p = mv):

Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng và năng lượng:

+ Bảo toàn xung lượng:

photon + electron = ' photon + ' electron

 photon = ' photon + ' electron

 ' photon = photon - ' electron

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

 pelectron'2  p2photon  p'2photon  2 pphoton p'photon os c 



' 2

2 ' 2 2 . ' os

electron

+ Bảo toàn năng lượng:

E photon + E electron = E' photon + E' electron

=> E' electron - E electron = E photon - E' photon (6)

Lại có: Ep hoton h c ; E'photon h c'

Năng lượng nghỉ của Electron tính theo công thức: Eelectron  m ce 2

Eelectron' h c h c' m ce. 2

Công thức quan hệ giữa xung lượng và năng lượng: E2  (pc)2  (m c0 2)2

Áp dụng cho xung lượng và năng lượng cho electron sau va chạm:

Eelectrom'2  ( pelectron' ) c 2  ( m ce )2 2 (8)

Thay (5) và (7) vào (8):

( h c h c m ce ) ( h h 2 h h os ) c  c m ce.

Khai triển và rút gọn ta được:

2 2 2

e

e

hc

'

2 (1 os )

e

hc

c

m c

(1 os )

e

h

c

m c

Ta có    '   là sự thay đổi bước sóng gây ra bởi tán xạ của Phôtôn trên các electron Đây gọi là độ dịch chuyển Compton Vậy bước sóng bức xạ sau khi tán xạ sẽ tăng lên, giá trị tăng lên của bước sóng tán xạ phụ thuộc vào góc tán xạ

Công thức xác định độ dịch chuyển Compton còn có thể viết dưới dạng sau:

2

e

h

m c



2 , 4 2 1 0 ( )

c

e

h

m

m c

khá nhỏ so với bức xạ nhìn thấy, do đó khi làm thí nghiệm với ánh sáng nhìn thấy ta không nhận biết

(m) đến 10-13(m) thì

độ dịch chuyển Compton khá lớn, ta dễ dàng quan sát được độ dịch chuyển Compton

Hiệu ứng Compton đã thực sự thuyết phục các nhà vật lý rằng sóng điện từ thực sự thể hiện một tính chất giống như một chùm hạt chuyển động với vận tốc ánh sáng Hay nói khác đi sóng và hạt là hai thuộc tính cùng tồn tại trong các quá trình biến đổi năng lượng

4 Một số ví dụ minh họa:

VD1: Khi chịu tán xạ Compton, một electron bị tán xạ theo một góc  so với phương ban đầu của photon tới Hãy xác định động năng của electron sau khi tán xa?

Giải:

Vì sự va chạm của electron và photon được coi là va chạm hoàn toàn đàn hồi xuyên tâm nên động lượng và năng lượng toàn phần của hệ được bảo toàn:

+ Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:

Ephoton  Eelectron  E'photon  Eelectron'

 h f  m ce 2  h f '  Ke  m ce 2

Đối với phôtôn, có vận tốc bằng vận tốc ánh sáng nên: h f  Pp ho ton c

( Pphoton : là động lượng của phôtôn )

 Pphoton c  Pphoton' c  Ke ( 1 )

+ Áp dụng định luật bảo toàn động lượng:

P photon  P electron  P ph' oton  P electron'

 P photon  P ph' oton  P electron'

( Vì ban đầu electron đứng yên )  P ph' oton  P photon  P electron'

Bình phương hai vế ta có:

Pph'2oton  Pph2oton  Pelectron2  2 Pphoton Pelectron os c  ( 2 )

Theo thuyết tương đối: Eelectron2  ( Pelectron. ) c 2  ( m ce 2 2)

electron e



1 ( Ke 2 K m ce e )

c

Thay ( 1 ) và ( 3 ) vào ( 2 ):

ph n electron e e

P

c

Bình phương ( 4 ) và kết hợp với ( 3 ) ta được:



2

Rút Ke ra và thay: Pphoton h f

c



2 2

e e

hf c

m c

K h f

c







 Nhận xét: Giá trị động năng của electron đạt giá trị cực đại khi góc   0

VD2: Một tia X có bước sóng  0, 3.1010( ) m

60

Compton Tìm bước sóng của photon sau tán xạ và động năng của electron?

Giải:

e

h

c

m c

e

h

c

m c

34

31 8

6, 625.10

9,1.10 3.10 c







 0, 312.1010( ) m

+ Động năng của electron: Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng toàn phần:

     

0, 3 0, 32

e

 

 1, 59keV

TD3: Xác định độ tăng bước sóng và góc tán xạ trong hiện tượng compton biết bước sóng ban

đầu của photon là: 0,03A và vận tốc của electron bắn ra là: v = 0 c = 0,6c

Bài giải

Cho

0

0,03







A

c c

Động năng của electron bắn ra là:

2

1-2

m c e

E m c e m c e

v c



Động năng này về trị số bằng độ giảm năng lượng của photon sau khi tán xạ:

- ' hc hc

-h -h 

 



 Vậy





2

2

1

1-hc 1-hc

m c e

2

1-m c e h









1 34



 







 0, 0435A 0







2

: sin

2 2



2

2

0

2

TD4: Dùng định luật bảo toàn động lượng và công thức Compton Tìm hệ thức liên hệ giữa các

góc tán xạ  và góc , xác định phương bay ra của electron

Bài giải:

Gọi P, P’ là động lượng của photon trước và sau khi tán xạ, Pe là động lượng của electron bắn ra (ban đầu electron đứng yên)

Theo định luật bảo toàn động lượng

P = P’ + Pe Góc giữa các véc tơ P và 'P là 



P và Pe là 

Theo hình vẽ: tg  = 'sin

- cos





P

P P

2

 

c

Do đó:

sin 2

cos

2

2











 



 

h

g c

tg

c

TD5: Tìm bước sóng của một photon biết rằng trong hiện tượng tán xạ Compton năng lượng

photon và động năng electron bay ra bằng nhau khi góc giữa hai phương chuyển động của chúng bằng

900

Bài giải

Như ta đã biết: Động năng truyền cho electron bằng độ giảm năng lượng của photon =

'

 

hc hc

Theo bài ra, phần động năng đó về trị số bằng năng lượng của photon tán xạ =

'



hc

hc hc hc  

Từ đó suy ra: '

2





2



2



 c

1











g tg

Với điều kiện của đề bài:

2



   Có thể viết: cot 2 cot

1











g

g

2 1 2





c tg

   

1

2 1







4

 

 c 

c

h

me Thay số:

34

29,1.10 31.3.108

V Các bài toán tham khảo

T1 Một photon X năng lượng 0,3 MeV va chạm trực diện với một electron lúc đầu ở trạng thái nghỉ

a) Tính vận tốc lùi của electron bằng cách áp dụng các nguyên lý bảo toàn năng lượng và xung lượng?

b) Chứng minh rằng vận tốc tìm được trong phần (a) cũng phù hợp với giá trị tìm được khi dùng công thức Compton

T2 Một tia X bước sóng 0,4Ǻ bị một electron làm tán xạ theo một góc 60o do hiệu ứng Compton Tìm bước sóng của photon tán xạ và động năng của electron

T3 Trong thí nghiệm về hiệu ứng Compton, một electron đã thu được năng lượng 0,100MeV do một

tia X năng lượng 0,500MeV chiếu tới

a) Tính bước sóng của photon tán xạ biết rằng lúc đầu electron ở trạng thái nghỉ?

b) Tìm góc hợp thành giữa photon tán xạ và photon tới

T4 Trong tán xạ Compton một photon tới đã truyền cho electron bia một năng lượng cực đại bằng 45

keV Tìm bước sóng của photon đó?

T5 Xác định góc tán xạ Compton cực đại mà trong đó photon tán xạ có thể sinh ra một cặp pôzitôn –

electron

T6 Một photon có bước sóng λi va chạm vào một electron tự do đang chuyển động Sau va chạm

bước sóng λf = 1,25.10-10 m và có phương lệch góc θ = 60o so với phương của photon λ0 Tính năng lượng và bước sóng De Broglie của electron đã tương tác với photon ban đầu

Cho biết: hằng số Plăng h = 6,6.10-34 J.s; khối lượng nghỉ của electron me = 9,1.10-31 kg; vận tốc ánh sáng c = 3,0.108 m/s

T7 Trong hiện tượng tán xạ Compton, chùm tia tới có bước sóng λ Hãy xác định động năng của

electron bắn ra đối với chùm tán xạ theo góc θ Tính động lượng của electron đó Tìm giá trị cực đại của động năng của electron bắn ra

T8 Photon có năng lượng 250keV bay đến va chạm với một electron đứng yên và tán xạ theo góc

120o (tán xạ Compton) Xác định năng lượng của photon tán xạ

T9 Một photon trong một chùm tia X hẹp, sau khi va chạm với một electron đứng yên, thì tán xạ theo

một phương làm với phương ban đầu một góc θ Ký hiệu λ là bước sóng của tia X

1 Cho λ = 6,2pm và θ = 60o, hãy xác định:

a) Bước sóng λ’ của tia X tán xạ

b) Phương và độ lớn của vận tốc của electron sau va chạm

2 Tia X trên được phát ra từ một ống tia X (ống Coolidge) có hai cực được nối vào hai đầu cuộn thứ cấp của một máy biến thế tăng thế với tỷ số biến thế k = 1000 Hai đầu của cuộn sơ cấp của máy biến thế này được nối vào một nguồn hiệu điện thế xoay chiều có hiệu điện thế hiệu dụng U có thể biến thiên liên tục (nhờ dùng một máy biến thế tự ngẫu) từ 0 đến 500V

a) Hỏi U phải có trị số tối thiểu Um bằng bao nhiêu để có thể tạo được tia X nêu ở câu 1

b) Với hiệu điện thế Um ấy, vận tốc của electron trong ống tia X khi tới đối catot có trị số bằng bao nhiêu?

c) Để hướng chuyển động của electron vuông góc với phương của photon tán xạ (có bước sóng λ’) thì bước sóng λ của photon tới không được vượt quá trị số bao nhiêu?

d) Giả sử sau va chạm electron có vận tốc v = 2.108 m/s vuông góc với tia X tán xạ; hãy tính bước sóng λ của tia X tới và hiệu điện thế cần đặt vào cuộn sơ cấp của máy biến thế tăng thế nói trên

T10 Một photon có năng lượng ε = 1,00 MeV, tán xạ lên một electron tự do đứng nghỉ.Sau tán xạ

bước sóng của photon biến thiên 25% giá trị của nó Tính góc tán xạ và động năng của electron thu được

T11 Một photon có năng lượng bằng năng lượng nghỉ của electron tán xạ trên một electron chuyển

động nhanh Sau tán xạ thì electron dừng lại và photon bị tán xạ dưới góc 60o Xác định độ dịch chuyển của bước sóng trong hiệu ứng Compton và động năng của electron trước tán xạ

T12 Một photon có năng lượng ε tán xạ trên một electron tự do

a) Xác định độ dịch chuyển bước sóng lớn nhất có thể có trong hiệu ứng Compton

b) Xác định năng lượng lớn nhất mà electron có thể thu được trong hiện tượng này

T13 Một ống Rơnghen làm việc ở hiệu điện thế U = 105V Bỏ qua động năng của electron khi nó bứt

a khỏi catot Một photon có bước sóng ngắn nhất được phát ra từ ống trên tới tán xạ trên một electron

tự do đang đứng yên Do kết quả tương tác, electron bị “giật lùi”

a) Hãy tính góc “giật lùi” của electron (góc giữa hướng bay của electron và hướng của photon tới) và góc tán xạ của photon Biết động năng của electron “giật lùi” là Wđ = 10keV

b) Tính động năng lớn nhất mà electron có thể thu được trong quá trình tán xạ

(Đề thi chọn Đội tuyển dự thi IPhO 2006)

V Hướng dẫn giải

T1 a) Gọi E, p là năng lượng và xung lượng của photon tới, còn E’, p’ là năng lượng và xung lượng

của photon tán xạ

Gọi m0 là khối lượng nghỉ của electron, V là vận tốc của lùi của electron

Theo định luật bảo toàn năng lượng:

2 2 2

2

2 0 2

0

1

511 , 0 ' 511 , 0 3 , 0 1

'

c V E

c V

c m E c m

E

















= 0o, ta có:

c V

c

V c

E c

c V

mV c

E c

E

1

511 , 0 ' 3 , 0 1

' 0

2 2 2

2



















Giải hệ hai phương trình (1, 2) ta được: V = 0,65c

c m

h c

m

h c

m

h c

m

0 0

0 0

2 '

2 180 cos 1 cos

1

Mà ta lại có: E = hc/λ; E’ = hc/λ’ nên ta có:

MeV E

c m E E c

m hc

1 ' 24 , 7 511 , 0

2 3 , 0

1 2

1 '

1 2

'

2 0 2

0



















 



Thay E’ vào phương trình (1) ta có: V = 0,65c

T2 Ta có:

A c

m

h

312 , 0 60 cos 1 0243 , 0 30 , 0 cos 1 '

0















Theo đinh luật bảo toàn năng lượng, ta có:

e

K

hc c m

hc















312 , 0

4 , 12 3

, 0

4 , 12 '

2 0 2

0





Vậy Ke = 1,59 keV

T3 a) Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:

A MeV

A MeV E

hc

MeV E

MeV E

MeV

c m K E c m

3 3

2 0 2

0

10 31 490

, 0

10

4 , 12 ' '

400 , 0 '

100 , 0 ' 500

,

0

'

































b) Photon tới có bước sóng:

A MeV

A MeV E

10 8 , 24 500

, 0

10

4 ,









Theo phương trình hiệu ứng Compton:







cos 1 10 3 , 24 10

8 , 24 10

31

cos 1 '

3 3

3 0





















A A

A

c m h

Từ đó: θ = 42o

p

’

p

pe