Trong thời gian gần 4 năm trực tiếp giảng dạy ở trơng THCS Nga Điền Tôi nhận thấy: Dạng toán tìm cực trị của đa thức, đặt biệt là đa thức bậc hai, bậc ba một ẩn, hai ẩn luôn có mặt tron
Trang 1Phụ lục
II Thực trạng – hiệu quả của vấn đề nghiên cứu 3
3.1 Bài tập vân dụng của đa thức bậc hai một ẩn 7
3.3 Bài tập vân dụng của đa thức bậc hai hai ẩn 10
A đặt vấn đề:
I Lời nói đầu:
Đa thức bậc hai là biểu thức toán học thờng xuyên xuát hiện trong chơng trình toán học thcs nói chung đặt biệt là ở lớp 8; lớp 9 soay quanh nó là nhũng dạng toán rất đa dạng, phong phú và thú vị, gây cho ngời làm có cảm giác vừa lạ vừa quen Khi nào thi đa thức đật giá trị lớn nhất? Khi nào thi đa thức đạt giá trị nhỏ nhất? Đó là nhũng câu hỏi làm say mê biêt bao thế hệ yêu toán
Trang 2Trong thời gian gần 4 năm trực tiếp giảng dạy ở trơng THCS Nga Điền Tôi nhận thấy:
Dạng toán tìm cực trị của đa thức, đặt biệt là đa thức bậc hai, bậc ba một ẩn, hai ẩn luôn có mặt trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và cả thi vào Ptth Nhng học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn trong khi giải dạng toán này Vậy dạng toán này nó mang thông điệp gì? Nó muốn giáo dục con ngời cái gì? vấn đề này tuỳ mỗi ngời có một cách lý giải khác nhau cách nhìn nhận khác nhau và cảm nhận khác nhau Theo tôi “ nếu chúng ta không đặt vấn đề này trong khuôn khổ của toán học nũa, về khía cạnh của con ngời đâu là giá trị lớn nhất của con ngời? Đâu là giá trị nhỏ nhất của con ngời? Khi nào thì chúng xẩy ra? Có phải ai cũng giống ai không?” Thì tôi tin chắc rằng quý vị cũng sẻ có những cảm nhận rất riêng của chính minh Chẳng hạn một vận động viên cử tạ Anh ta chỉ có thể nâng
đợc 250kg nhng nếu thêm vào 2kg nữa thì anh ta không thể nâng đợc Vậy có
ng-ời cho răng 250 kg anh ta còn nâng đợc thi thêm vào 2kg nữa thì có đáng kể gì nhng tại sao anh ta lại thất bại? phải chăng giới hạn cử tạ lớn nhất của anh ta là 250kg Tôi đồng ý, thiết nghĩ không phải là 2kg thậm chí chỉ là 20g thôi nếu thêm vào thì cha chắc anh ta đã thành công Bởi vì ngỡng lớn nhất của anh là 250 kg thôi Vậy cực trị nó là cái gì?
“Là ngỡng là giới hạn lớn nhất hay nhỏ nhất mà chủ thể đó đạt đợc không thể vợt qua đợc nữa” Mỗi chủ thể khác nhau thì có những ngỡng cũng khác nhau trong những điều kiện cũng khác nhau Trong toán học cũng thế mỗi biểu thức khác nhau có thể đạt cực trị khác nhau và với những cách làm riêng biệt
Tuy nhiên đây lại là khó khăn thực sự của không ít học sinh Theo đánh giá chủ quan của tôi thì không đến 10% học sinh nắm, vận dụng vào giải toán đợc Trớc thực trạng tôi xin đợc chình bầy ý kiến của mình về dạng toán thú vị
này Đó là “ đôi điều về đa thức và cực trị”
II Thực trạng:
1 Thực trạng.
Trang 3Qua một thời gian công tác tại Nga Điền, tôi đã tích cực đi sâu tìm hiểu các nguyên nhân dẫn đến chất lợng học tập của học sinh còn khiêm tốn Đặt biệt là chất lợng của môn toán nh sau:
* Nga Điền là một địa phơng thuộc xã bãi ngang còn nhiều khó khăn về điều kiện cơ sở vật chất phục vụ cho công tác dạy và học
* Đa số các học sinh là con em gia đình công giáo đẻ nhiều, điều kiện kinh tế còn khó khăn, thờng xuyên đi làm ăn xa nên cha thực sự quan tâm đến việc học tập của các em
* Học sinh đa số là tham gia đầy đủ nhng cha thực sự say xa vào học tập, các
em còn mãi chơi Còn mất nhiều thời gian ham gia các hoạt động tôn giáo
* Về phía giáo dục thờng xuyên luân chuyển cán bộ cha ổn định ảnh hởng đến tâm lý, phơng pháp giáo dục phải thờng xuyên thay đổi Đây cũng là một vấn đề gây khó khăn cho học sinh
* Nhiều vấn đề trong học tập chỉ đợc học tập ở mức độ cơ bản, đại khái cha giảng dạy một cách có hệ thống, mở rộng, đào sâu
* Về môn toán: đây là môn học mang tính hệ thống, khả năng t duy trừu tơng cao Muốn học tốt đòi hỏi học sinh phải say xa học tập thực sự, có kiến thức cơ bản tốt, biết tìm tòi sáng tạo nhng đa số các em còn lời học ngại tìm tòi
Theo tôi đấy là những nguyên nhân chính dẫn đến cho chất lợng giáo dục của Nga Điền còn nhiều khiêm tốn, cha cao
2 Kết quả.
Vì các nguyên nhân trên, dẫn đến chất lợng học tập của học sinh về dạng toán này còn tơng đối thất cụ thể còn gặp những khó khăn là:
* Còn mơ hồ cha thực sự hiểu đợc cực trị là gì.( cực đại, cực tiểu)
* Cha định hình, cha xác định rõ ràng đợc hớng giải quyết một bài toán cực trị
* Việc vận dụng cực trị vào giải các bài toán khác dờng nh không biết làm
Cụ thể số lợng học sinh nắn đợc qua các năm nh sau:
Trang 48: 13 10,2 14 13,1
Với những thực trang trên tôi xin phép đợc nêu lên những suy nghĩ của mình
về dạng toán đa thức và cực trị, một cách có hệ thống Góp thêm một cách nhiền
về dạng toán thuc vị này
B Giải quyết vấn đề:
I Các giải pháp thực hiện:
1 Giải pháp 1: Nghiên cứu cơ sở lý luận
* Tim trong các tài liệu tham khảo nh:
- một số vấn đề phát triển đại toán của Vũ Hữ Bình
- tạp trí toán học tuổi trẻ
- trên internet
2 Giải pháp 2:
- Thảo luận tranh thủ trao đổi ý kiến của các đồng nghiệp về các vấn đề liên quan
- Hội giảng tìm những phơng pháp lý giải dễ hiểu nhất giúp học sinh tiếp cận dễ dàng hơn
3 Giải pháp 3:
- Tổ trức dạy thí điểm trên lớp có khảo sát kết quả cụ thể
- Đa vào dạy bồi dỡng học sinh khá giỏi
II các biện pháp tổ chức thực hiện:
1 Đa thức bậc hai một ẩn:
1.1:Lý thuyết:
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c với (a≠ 0)
Đa f(x) về dạng: f(x) = [g(x)]2 + M (*)
Biến đổi tơng đơng biểu thức f(x) ta có:
4
) 2 [(
) (
)
a a
b x a a
c a
bx x
a
x
a a
b x a
4
) 2 ( + 2 − ∆
với ∆ =b2 − 4ac
Trang 5* Nếu a>0 thì f(x) ≥−4a∆
a x M
4 ) inf( =− ∆
2
−
=
* Nếu a<0 thì Maxf x a
a x f
4 ) ( 4
) ( ≤ − ∆⇒ =− ∆
khi x a b
2
−
=
1.2: Bài tập minh hoạ
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất các biểu thức sau:
a A = 3x2 - 6x + 10 b B = -2x2 + 5x - 7
c C = ( x+1)2 + (x - 3)2
Giải
a) trong niểu thức A có a = 3 > 0 nên A sẽ đạt giá trị nhỏ nhất:
3
7 ) 1 2 [(
3 ) 3
10 2
(
3 x2 − x+ = x2 − x+ + = x− 2 + ≥
7
=
⇒MinA khi x-1 = 0 ⇔ x = 1
Nhận xét: Đây là cách giải theo quy trình biến đổi, còn nếu áp dụng ngay lý thuyết ở trên thi chúng ta có cách giải ngọn ngàng sau:
a =3 > 0 nên MinA = 7
12
84 4
=
=
−
a
b
4
5 ( 2 ] 16
31 ) 4
5 [(
2 ) 16
31 16
25 4
5 2 (
⇒MaxB=−831 khi 0 45
4
5 = ⇔ =
x
Nhận xét: áp dụng công thức đã xây dựng ở trên thì:
MaxB = 56 825=−831
−
−
khi 2 45 =45
−
−
=
−
=
a
b x
c) C = x2 + 2x +1 + x2 -6x + 9 = 2x2 - 4x + 10 = 2( x – 1)2 + 8≥ 8
⇒ MinC = 8 khi x – 1 =0 x = 1
Nhận xét: áp dụng công thức trên thì ta cũng có kết quả rơng tự
2 Đa thức bậc hai hai ẩn:
2.1 Cơ sở lý thuyết:
xét đa thức bậc hai f(x;y) = ax2 + by2 + cxy + dx +ey + h với ( a2 +b2> 0)
không làm mất tính tổng quát giả sử a≠ 0 Biến đổi tơng đơng biểu thức trên :
a
h a
ey a
dx a
cxy y a
b x
Trang 6= ]
4
2 4 4
) 4
2 4 2
2 4 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
a
h y a
e y a
b a
cdy a
d a
y c a
cdy a
d a
d x a
y c a
cy x
x
=
a
d ah y a
cd ae y a
c ab a
d a
cy
x
a
4
4 2
2 4
4 ) 2 2
(
2 2
2
+
+
4
2 ( 4
4 ) ) 4
2 ( 4
2 2 [(
4
4 ) 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
c ab
cd ae c
ab
d ah c
ab
cd ae c
ab
cd ae y y a
c ab a
d a
cy
x
a
−
−
−
−
− +
−
− +
−
− +
− + +
+
c ab
cd ae y a
c ab a
d a
cy
x
−
− +
− + +
2
2
4
2 ( 4
4 ) 2
2
) 4
( 4
) 2
( 4
4
2
2 2
c ab a
cd ae a
d ah
−
−
−
−
*Nếu
0 4
0
2 >
−
>
c ab
a
thì f(x;y) ≥M ⇔ Min f(x;y) = M khi
0 4
2
0 2 2
2 =
−
−
−
= + +
c ab
cd ae x
a
d a
cy x
*Nếu
0 4
0
2 <
−
<
c
ab
a
thì f(x;y) ≤M ⇔ Max f(x;y) = M khi
0 4
2
0 2 2
2 =
−
−
−
= + +
c ab
cd ae x
a
d a
cy x
2.2 Bài tập minh hoạ:
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các đa thức sau:
a) A = x2 + xy + y2 - 3x – 3y + 2008
b) B = -5x2 – 2xy – 2y2 +14x + 10y – 1
Giải
Từ A = x2 + xy + y2 - 3x – 3y + 2008 thực hiện quy trình trình biến đổi ta có
4
9 2
3 4
3 4
9 2
3 2
2 2
3 2 4 2 2
2 2
2 + x y+ y − x − y + + y − y− +
x
( 2 1 ) 2005
4
3 ) 2
3 2 ( + − 2 + 2 − + +
( 1 ) 2005 2005
4
3 ) 2
3 2
b) B = -5x2 – 2xy – 2y2 +14x + 10y – 1
⇔-5B = 25x2 +10xy +10y2 – 70x – 50y +5
= 25x2 + y2+ 49 + 10xy – 70x – 14y + 9y2 – 36y - 44
= (5x + y - 7)2 + 9y2 – 36y + 36 – 80
= (5x + y - 7)2 + ( 3y - 6)2 – 80 ≥ − 80
Trang 7⇒ -5B ≥ − 80 ⇔ B≤ 16 ⇒ MaxB = 16 khi x = 1; y = 2
Nhận xét: Sử dụng phơng đã xây dựng ở trên Đa các ẩn vào trong các hằng
đẳng thức sau đó mới đánh giá
3 Bài tập vận dụng:
3.1 Bài tập vận dụng của đa thức bậc hai một ẩn
Bài 3: Tìm giá tri lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A= x2 +43x+11 b) B= 7 − 4x− 2x2
Giải
a)
11 4
3
=
x
x
A
Phân tích đa thức dới mẫu x2 + 4x+ 11 về dạng (*) khi đó A có dạng sau:
A= ( 23)2 7≤73
+
+
x
Nhận xét: Biểu thức A đạt giá trị lớn nhất khi x2 + 4x +11 đạt giá trị nhỏ nhất( nhng giá trị đó phải dơng)
b) Để tìm đợc lớn nhất của B ta phải đa B về đa thức và vận dụng phơng pháp trên
để tìm
từ B= 7 − 4x− 2x2 ⇒ B2 = 7 – 4x – 2x2 = 9 – 2( x2 – 2x + 1)
= 9 – 2(x-1)2 ≤ 9 => B≤ 3 ⇒MaxB= 3 khi x = 1
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất
a) C = x(x+1)(x+2)(x+3)
b) D = (x+5)4 +(x+1)4
Giải
a) Nhận xét: Để tìm đợc cực trị của biểu thức thì thơng đa C về đa thức bậc hai
Để đa đa thức C về bậc hai thi đặt ẩn phụ nh sau:
C = ( x2 + 3x)( x2 + 3x +2) (1)
Đặt t = x2 + 3x khi đó (1) có dạng : C = t2 + 2t = (t2 + 2t + 1) -1
= (t+1)2 - 1≥ − 1
⇒ Min C = -1 khi t = -1 hay x2 + 3x = -1
Trang 8b) Nhận xét: Cũng nh câu trên ta cũng phải đa về đa thức xậc hai:
từ D = (x+5)4 +(x+1)4 (2)
đặt x = t – 3 thì (2) có dạng:
D = (t+2)4 + (t – 2)4 = 2t4 +32t2 +32 ≥ 32 => Min D = 32 khi t = 0 hay x =-3 ở
đây 2t4 +32t2 +32 là đa thức bậc hai của t2
Bài 5:Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x 3 + y 3 + xy + 2 biết x + y = 1
Giải:
a) từ x + y = 1 ⇒ y = 1- x thay vào C ta có: C = x2+ (1- x)2 +2
= 2x2 - 2x +3 = 2( x2 – x +
4
1
) +
2
5 2
5
≥ ⇒ Min C =
2
5
khi x =
2
1
thay vào
x + y =1 thi x = y =
2 1
3.2 Tìm cực trị của phân thức:
ở đây chỉ đa ra những dạng phân thức có mẫu thức dơng và với phơng pháp giải chỉ sử dụng kiến thức của lớp 8:
Phơng pháp:
- Xét phân thức: M N((x x)) có M(x) > 0
- Thêm bớt vào phân thức một số a thích hợp sau đó đa phân thức về dạng:
x M
x A k x
M
x
N
+
=
) (
) ( )
(
)
(**) với k = ± 1
* Nếu k = 1 thì phân thức đạt giá trị nhỏ nhất
* Nếu k = -1 thì phân thức đạt giá trị lớn nhất
Bài 6 Tìm giá trị lớn, nhất nhỏ của phân thức:
2
1 2
2 +
+
=
x
x M
Giải
Từ
2
1 2
2 +
+
=
x
x M
- Nhận xét: Rễ thấy nếu –(x2 + 2 ) + ( 2x+ 1 ) = − (x2 − 2x+ 1 ) = − (x− 1 ) 2 ≤ 0 nên thêm bớt vào phân thức -1 thì đa phân thức về dạng (**)
Trang 91 1
2
) 1 ( 1 2
) 1 2 ( 1 1 2
1 2
2
2 2
2
+
−
−
= + +
+
−
−
= +
− +
+
=
x
x x
x x x
x
M
⇒MaxM = 1 khi x – 1 = 0 ⇔x= 1
- Nhận xét: Nếu x2 + 2 + 2 ( 2x+ 1 ) =x2 + 4x+ 4 = (x+ 2 ) 2 ≥ 0 nên nhân phân thức với 2 sau đó thêm bớt 1 vào phân thức và đa về dạng (**)
2
) 2 ( 1 2
4 4 1
1 2
2 4 2
2
4
2 2
2 2
+
+
=
− +
+ +
=
− + +
+
= +
+
=
x
x x
x x x
x x
x
M
2
1 2
1 1
⇒ M M MinM khi x + 2 = 0 ⇔ x = -2
Vậy Max M = 1 khi x = 1
Min M =
2
1
−
khi x = -2
Bài 7 Tìm giá trị của biểu thức: = (x+ 10 ) 2
x C
Giải
Nhân xét: Nhận thấy − (x+ 10 ) 2 + 40x= − (x− 10 ) 2 ≤ 0 nên nhân 40 vào C sau
đó thêm bớt -1
Từ = (x+ 10 ) 2
x
) 10 (
) 10 ( 1 1 ) 10 (
40 )
10 (
40
2 2
+
−
−
= +
− +
= +
=
⇒
x
x x
x x
x C
⇒ 40C≤ 1 ⇔C≤ 401 ⇒MaxC= 401 khi x− 10 = 0 ⇔x= 10
Vậy
40
1
=
MaxC khi x = 10
3.3 Bài tập vận dụng của đa thức bậc hai hai ẩn
Bài 8 : cho a + b+ c =1 tìm giái trị nhỏ nhất của:
P = a3 + b3 +c3 + a2(b+c) + b2(c +a) + c2( a+b)
Giải Nhận xét: P là biểu thức chứa ba ẩn và bậc ba bằng cách sử dụng điều kiện
của bài toán để đa về dạng quen thuộc
Dể thấy từ a + b+ c =1 ⇒ b +c = 1 – a; a + c = 1 – b; a + b =1 – c thay vào p:
P = a3 + b3 +c3 + a2(1-a) + b2(1-b) + c2( 1-c)
Trang 10= a2 + b2 + c2 (3)
Mặt khác từ a + b+ c =1 ⇒ c = 1-a-b thay vào (3) ta có
P = a2 + b2 + (1 –a-b)2 = 2a2 + 2b2 -2a -2b + 2ab +1
4
1 2 4
3 ) 4
2 4
1 4 2 2
2 2
+
− +
−
− +
b a
= 2(a
3
1 ) 9
1 3
2 ( 2
3 ) 2
1
2
2
−
3
1 3
1 ) 3
1 ( 2
3 ) 2
1 2 (
2 a+b− 2 + b− 2 + ≥
⇒ MinP =
3
1
khi a = b = c =
3 1
Bài 9: cho M = 3x2 +3y2 -2x -2y +6x + 1 tìm gái trị của M biết xy =1; x+y đạt giá trị lớn nhất
Giải Nhận xét: Để tìm đợc giá trị của M thì phải tìm đợc giái trị lớn nhất của ;
y
x+ Từ xy =1 ⇒ y = 1x ; ⇒ x+y = x+1x = +1 ≥ 2
x
x ⇒ ; x+y đạt giá trị lớn nhất khi x = 1 ⇔x= ± 1 ⇒y= ± 1
* với x = y = 1 thì M = 8
* với x = y - 1 thì M = 0
Bài 10: Tìm cặp (x;y) với y nhỏ nhất thoả mãn x2 + 5y2+ 2y - 4xy - 3 =0 (4)
Giải:
Từ (4) ⇔ x2 -4xy +4y2 +y2 +2y +1 =4
⇔ (x-2y)2 +(y+1)2 =4
Vì (x-2y)2 ≥ 0 ⇒ (y+1)2 ≤ 4
⇔ (y+1+2)(y+1-2)≤ 0
⇔ (y+3)(y-1)≤ 0
⇔ Min y = -3 ; thây y = -3 vào (4) ⇔ x = -6
Vậy cặp số cần tìm là ( -6;-3)
Nhận xét: Dựa vào hằng đẳng thức (x-2y)2 ≥ 0 mà ta đánh giá đợc (y+1)2 ≤ 4 Từ
đó tìm đợc giới hạn giá trị của y
Trang 11Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
C = xy + yz + zx trong đó x; y; z thoả mãn: x + y + z = 3
Giải:
Nhận xét: Đây là đa thức ba ẩn ta tìm cách đa về đa thức hai ẩn dựa vào giả
thiết: x + y + z =3 Bằng cách rút z = 3 – x - y thay vào C
Từ x + y + z = 3 ⇒ z = 3 – x - y thây vào C ta đợc:
C = xy + (y + x)(3 - x - y) = xy – x2 – y2 - 2xy +3x+3y = - x2- y2 – xy + 3x +3y
4
9 2
3 4
3 3 4
3 2 4
9 4
2 2
−
− +
−
−
y
4
3 ) 2
3
2
2
−
x
⇒giá trị lớn nhất của C = 3 khi x =y =1
Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của B=x+y với x; y thoả mãn:
3x2 +y2 + 2xy+ 4 = 7x+ 3y
Giải
Nhận xét: Trớc hết áp dụng quy trình phân tích ở phần 2.1 đối với đa thức
y x xy
y
x 2 4 7 3
3 2 + 2 + + − − có dạng:
Từ 3x2 +y2 + 2xy+ 4 = 7x+ 3y
4
1 ) 1 ( 2 ) 2
3
(
0 4
1 2 4 2 ) 3 4
9 3 2 (
0 3 7 4 2 3
2 2
2 2
2
2
2
=
− +
−
+
⇔
=
− +
− +
− +
− +
+
⇔
=
−
− + + +
⇔
x y
x
x x x y
xy x
y
y x xy
y
x
2
1 2
3 2
1 4
1 ) 2
3 (
0 )
1
(
2 x− 2 ≥ ⇒ x+y− 2 ≤ ⇔ − ≤x+y− ≤ ⇔ ≤x+y≤
⇒MaxB= 2 khi x = y =1
⇒MinB= 1 khi x = 1; y = 0
Bài 13 Tim nghiệm nguyên của phơng trình: x2 + xy +y2 = 2x + y
Giải
Trang 12Nhận xét: Đây là bài toán nghiệm nguyên theo t duy thông thờng sẽ sử sụng những cách thông thờng đặc trng cho bài toán nghiệm nguyên Nhng chúng ta thử
đi theo hớng khác theo tinh thân của bài viếc này Đó là phân tích đa thức và tìm cực trị của biểu thức
Từ ⇔ x2 + xy + y2 = 2x + y ⇔ x2 + xy + y2 - 2x – y =0
Đặt f(x;y) = x2 + xy + y2 - 2x – y
0 4
3 ) 1 2 (
4
3 ) 2 1
4 (
2 2
2 2 2
2
≥ +
− +
=
+
−
− + + +
=
y y
x
y y x xy y
x
⇒ Minf(x;y) = 0 khi y=0 và 1 0
2 − = + y
x ⇒ x = 1; y = 0 Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là: (1; 0)
Bài 14 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2
2 2
y x
y xy x M
+
+ +
=
Giải
* Tìm giá trị nhỏ nhất
Nhận xét: Nhận thấy 2 (x2 +xy+y2 ) − (x2 +y2 ) = (x−y) 2 ≥ 0 Tơng tự nh các bài 6;7 Nhân 2 vào phân thức sau đó thêm bớt 1 vào
2 2
2
2 2
2 2
2 2
≥ + +
+
= +
− +
+ +
=
⇒ +
+ +
=
y x
y x y
x
y xy x M y
x
y xy x
M
2
1 2
1
=
⇒
≥
⇒M MinM khi x = -y
* Tìm giá trị lớn nhất:
Nhận xét: Nhận thấy 2 (x2 +xy+y2 ) − 3 (x2 +y2 ) = − (x−y) 2 ≤ 0 nên nhân 2 vào phân thức, sau đó thêm bớt 3 vào phân thức
Từ 2 2 2 2 2 2( 2 2 2 2) 3 3 (2 2)2 + 3 ≤ 3
+
−
−
= +
− +
+ +
=
⇒ +
+ +
=
y x
y x y
x
y xy x M y
x
y xy x
M
⇒ 2M ≤ 3 ⇒MaxM =23 khi x = y
Vậy Min M = 12 khi x = -y