giải bài toán QĐ bằng TPKĐ

CHƯƠNG 14 TÍNH QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ MẠCH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KINH ĐIỂN Từ bản chất giải quá trình quá độ mạch tuyến tính là giải hệ phương trình vi phân hệ số hằng cho th

CHƯƠNG 14 TÍNH QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ MẠCH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

TÍCH PHÂN KINH ĐIỂN

Từ bản chất giải quá trình quá độ mạch tuyến tính là giải hệ phương trình vi phân hệ số hằng cho thỏa mãn sơ kiện ta sử dụng lý thuyết phương trình vi phân đưa ra phương pháp như sau :

§1 Phương pháp tích phân kinh điển giải quá trình quá độ mạch tuyến

tính

Phương pháp phân tích quá trình quá độ dựa trên sự tích phân phương trình vi phân cho thỏa mãn sơ kiện gọi là phương pháp tích phân kinh điển

I Nội dung và tinh thần phương pháp :

Theo lý thuyết phương trình vi phân thì nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất sẽ là xếp chồng nghiệm phương trình vi phân thuần nhất và nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất Tức biểu thức nghiệm có dạng : xTQKTN = xTQTN + xRKTN (14-1)

Trong đó : xTQKTN là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có vế 2 (phương trình vi phân không thuần nhất)

xTQTN là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân không có vế 2 (phương trình vi phân thuần nhất)

xRKTN là nghiệm riêng của phương trình vi phân có vế 2 (phương trình vi phân không thuần nhất)

Áp dụng tinh thần này để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính biểu diễn giai đoạn quá độ của mạch điện

Ta thấy rằng trong phương trình mạch điện thì vế 2 chỉ nguồn kích thích, cho nên phương trình không có vế 2 tức là không có kích thích cưỡng bức, mà khi mạch không có kích thích cưỡng bức thì trong nó chỉ có thể có quá trình tạo ra do quá trình cũ (trước đóng mở), nên tạo gọi nghiệm này là nghiệm tự do : xTQTN = xTd

Khi có kích thích cưỡng bức tác động vào mạch sau khi đóng mở (với thời gian đủ lớn) thì quá trình trong mạch sẽ xác lập, vì vậy nghiệm riêng của phương trình vi phân có vế 2 chính là nghiệm xác lập nên : xRKTN = xXL

Nên từ (14-1) có : xqd = xxl + xtd (14-2)

Từ đó thấy rõ ta đã qui việc xác định nghiệm quá độ về việc xác định nghiệm xác lập xếp chồng với nghiệm tự do để tránh việc phải tích phân phương trình vi phân của mạch

E

C r K

Ví dụ : Xét quá trình quá độ của mạch hình

(h.14-1) sau khi đóng khóa K

Phương trình vi phân mô tả mạch sau khi đóng khóa K

là : ur + uC = E

h.14-1

i.r + uC = E

vì có i = C.u'C nên được phương trình vi phân biểu diễn giai đoạn quá độ của mạch điện là : Cu'C.r + uC = E

Đây là phương trình vi phân có vế 2 (vế 2 là nguồn một chiều E) Vì nguồn một chiều E tác động vào mạch sau khi đóng khóa K nên sẽ có một nghiệm riêng chính là nghiệm xác lập một chiều sau khi đóng khóa K Vì là xác lập một chiều nên u'C = 0 còn uCxl = E

Phương trình thuần nhất (không vế 2) cho nghiệm xtd nên biến số lúc này là uCtd Cr.u'Ctd + uCtd = 0

∫

−

rC

1 u

du , u dt

du

r

C

Ctd

Ctd Ctd

Ctd

Tích phân phương trình vi phân ta được nghiệm tự do uCtd :

rC t

Ctd Ctd

e A u

, C r

t A

u

Vậy ta có nghiệm quá độ : uCqd = uCxl + uCtd = E + A rC

t

e− Qua ví dụ thấy rằng việc tìm nghiệm xác lập sau khi đóng mở (xác lập sau) ứng với việc giải hệ phương trình sau đóng mở ở chế độ xác lập, được thực hiện như ở Lý thuyết mạch tập 1 đã quen biết ( lưu ý nếu xác lập sau là mạch điều hòa, ta dùng phương pháp chuyển đổi ảnh phức giải ra nghiệm ảnh rồi trả về giá trị thời gian)

Còn việc xác định nghiệm tự do : Để tránh việc phải tích phân phương trình vi phân không vế 2 xác định xtd ta dựa vào đặc điểm của nghiệm tự do ta thấy nghiệm này có dạng hàm mũ : xTd = Aept

Nên thấy ngay chỉ cần xác định p, A sẽ lắp ghép được xtd =Aept Trong đó p phụ thuộc vào cấu trúc, thông số của mạch gọi là số mũ đặc trưng (ở ví dụ trên ta thấy

p = -1/rC, với mạch r - C) Vì nghiệm tự do có dạng hàm mũ xTd = A.eptnên :

td pt

pt

dt

d

'

p

x Ae p

1 Ae

vi phân không vế hai với nghiệm tự do hàm mũ sẽ thành phương trình đại số :

0 u CrpuCtd + td = từ đó có uCtd(Crp+1)=0

Trong đó (Crp+1)=∆p ta gọi là đa thức đặc trưng (đa thức chứa p) Còn A là hằng số tích phân sẽ xác định tùy thuộc vào sơ kiện của bài toán Vậy cần đưa ra những giải pháp xác định số mũ đặc trưng p

II Cách xác định số mũ đặc trưng p : có 2 phương pháp để xác định p

1 Phương pháp đại số hóa phương trình vi phân không vế 2 theo nghiệm tự do để rút ra đa thức đặc trưng ∆p Lập luận ∆p = 0 giải ra được p

Ví dụ : trong mạch r-C có phương trình đại số hóa uCtd(rCp+1)= uCtd.∆p=0

Vì uCtd = 0 là nghiệm tầm thường nên ∆p = 0 = rCp + 1 giải được

rC

1

p=−

Ví dụ : Lập đa thức đặc trưng cho mạch như hình (h.14-2)

Từ phương trình không vế 2 là :

0 idt C

1 ' i L

r

C

Thay iTd = Aep.t vào phương trình không có vế 2 ta

được phương trình đại số là :

0 ) pC

1 Lp r

i

0 pC

i Lpi r

i

Td

Td Td Td

= +

+

= +

Rút ra đa thức đặc trưng

pC

1 Lp r

Cho ∆p = 0 rút ra LCp2 +Crp+1=0

LC

1 L

r p

p2 + + = giải ra được

LC

1 L

2

r L

2

r p

2

2 ,

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

±

−

=

Vậy ta đại số hóa được phương trình vi phân không vế 2 bằng cách thay chỗ có bằng

∫dt

p

1

, chỗ có

dt

d bằng p từ đó rút ra ∆p = 0 giải ra được số mũ đặc trưng p

2 Phương pháp đại số hóa sơ đồ mạch theo p rồi tính tổng trở (tổng dẫn) vào theo p, giải ZV(p) = 0 hoặc YV(p) = 0 tính được p

Sơ đồ đại số hóa theo p có được bằng cách từ sơ đồ sau khi đóng, mở nếu có điện trở R thì giữ nguyên, còn gặp cuộn cảm L thì thay bằng pL, gặp tụ điện C thì thay bằng

pC

1

Hở mạch một nhánh bất kỳ của sơ đồ đại số hóa, từ đó nhìn vào mạch ta có mạng một cửa Tính tổng trở vào theo p Tổng trở vào này ZV(p) về mặt hình thức giống như ZV(jω) của mạng một cửa xác lập hình sin đã học Chỉ việc thay jω bằng p là có được ZV(p) Lưu ý ZV(p) này ứng với mạch không có nguồn; nên nếu từ cửa nhìn vào mạch nếu có nguồn áp thì nối tắt, có nguồn dòng thì hở mạch nguồn dòng Vì mạch điện không có nguồn kích thích nên có quan hệ : itd.ZV(p) = 0 và vì itd không lấy nghiệm tầm thường nên có ZV(p) = 0, từ đây giải ra p

Ví dụ : Mạch r-C có sơ đồ đại số hóa như hình (h.14-2a), tổng trở vào :

ZV(p) =

pC

1

r +

ZV(p)

1/pC

r

giải ZV(p) =

pC

1

r + = 0 được

rC

1

p= − Với mạch r-L-C ta có sơ đồ đại số hóa như

hình (h.14-2b) Từ sơ đồ tính tổng trở vào :

h.14-2a

ZV(p)

1/pC

ZV(p) =

pC

1 Lp

pC

1 rCp LC

=

phương trình này được :

0 1 rCp LC

⇔

LC

1 L

2

r L

2

r p

2

2 ,

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

±

−

Đối với mạch gồm các nhánh song song có thể tính tổng dẫn đầu vào của sơ đồ đối với cặp nút YV(p) và cho YV(p) = 0, giải ra p

r

b h.14-2c

a K

Ví dụ : Tính p trong mạch hình (h.14-2c)

Có Yvab(p) = pC

r

1 +

cho Yvab(p) = 0 rút ra được

rC

1

p=−

Ví dụ : Tính p ở mạch điện hình (h.14-3)

Biết r1 = r2 = 10Ω, L = 0,1H, C = 10-3F

a Tính p từ đa thức đặc trưng ∆p = 0 Viết hệ phương trình đại số hóa không

nguồn :

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

+

−

=

− +

+

0 ) pC

1 r i ) pC

1 ( i

0 pC

1 i ) pC

1 Lp r i

2 2 1

2 1

1

i1 L

r1

2

1 K

E

C

i2

r2

từ đó dẫn ra ma trận ∆p và cho ∆p = 0

pC

1 r pC

1

pC

1 pC

1 Lp r p

2

1

+

−

+

+

=

ta được phương trình đặc trưng :

0 ) pC

1 ( ) pC

1 r )(

pC

1 Lp r

2

=

∆

0 r pL LCr p r r pCr 0

pC

1 r C

L pLr pC

1 r r

r

0 ) pC

1 ( ) pC

1 ( pC

1 r C

L pLr pC

1 r r

r

2 2

2 1 2 1 2

2 1

2

1

2 2

2 2

1 2

1

= + + +

+

→

= +

+ +

+

=

− +

+ + +

+

0 r r ) L r Cr ( p LCr p

p= 2 2 + 1 2 + + 1 + 2 =

b Tính p từ tổng trở vào Zv(p) = 0 ở sơ đồ đại số hóa hình (h.14-3a)

− Tổng trở đầu vào nhìn từ cửa 1 là :

r2 1/pC

pL

r1

Zv1(p)

0 pC

1 r pC

1 r pL r ) p

(

Z

2

2

1 1

+

+ +

=

0 r r ) L r Cr ( p LCr

p2 2 + 1 2 + + 1 + 2 =

⇔

h.14-3a

giải phương trình này được p

1/pC

pL

r2

r1

ZV2(p)

− Nối tắt nguồn E, hở mạch nhánh 2,

ta có tổng trở đầu vào từ cửa là nhánh 2 như

hình (h.14-3b) :

h.14-3b

0 r r ) r Cr L ( p LCr p ) p

(

Z

pC

1 pL r

pC

1 ) pL r r ) p

(

Z

2 1 2 1 2

2 2

V

1

1

2 2

V

= + + +

+

=

+ +

+ +

=

giải phương trình này được p

− Nối tắt nguồn E, hở mạch nhánh tụ, ta có tổng trở đầu vào từ cửa là nhánh 3 như hình (h.14-3c):

0 r r ) r Cr L ( p LCr p ) p

(

Z

r pL r

r pL r pC

1 ) p

(

Z

2 1 2 1 2

2 3

V

2 1

2 1

3

V

= + + +

+

=

+ +

+ +

=

1/pC pL

r2

r1

ZV3(p)

giải phương trình này được p

− Có thể tính YV(p) giữa các nút 1 và 2; cho

YV(p) = 0 cũng giải được p, tổng dẫn vào giữa hai

nút 1, 2 như hình (h.14-3d) :

0 r r ) C r r L ( p LCr p ) p (

Y

0 pL LC p r pC r r r r ) p (

Y

0 pL r pC ) pL r r r ) p (

Y

r

1 pC pL r

1 )

p (

Y

2 1 2

1 2

2 2

,

1

V

2 2 2

1 2 1 2

,

1

V

1 1

2 2 2

,

1

V

2 1

2

,

1

V

= + + +

+

=

= + +

+ +

=

= + + +

+

=

+ + +

=

h.14-3c

2

1

1/pC

pL

r2

r1

h.14-3c

thay số vào các ZV(p) trên hay YV(p) ta đều được :

p2 + 200p + 20.103 = 0 giải ra được : p1,2 = -100 ± j100

Vậy chúng ta dễ dàng xác định p từ phép tính đại số giải ZV(p) = 0 hoặc YV(p) = 0

III Số mũ đặc trưng p và dáng điệu nghiệm tự do, dáng điệu nghiệm QTQĐ

Số mũ p phụ thuộc vào cấu trúc, thông số mạch điện nên nó quyết định dáng điệu của quá trình tự do, do đó dáng điệu của QTQĐ

Số mũ đặc trưng p được giải từ phương trình ∆p = 0 hoặc ZV(p) = 0 nên p có thể có những day hay gặp như sau : là số thực dương hoặc âm, là số phức liên hợp, là nghiệm kép

Ta phân tích để thấy rõ vai trò của p quyết định đến dáng điệu của nghiệm tự do cũng như nghiệm quá độ :

1 Khi pk thực dương : pk > 0 :

Thì xtd = A.epkttăng đơn điệu dần đến vô hạn như hình (h.14-4)

Biểu diễn pK trên mặt phẳng phức pk > 0 nằm trên trục thực phía dương như hình (h.14-4a)

Từ xqđ = xtd + xxl thấy xtd tăng đến ∝ nên xqđ tiến đến ∝ mà không tiến đến xác lập Ta nói QTQĐ không tiến đến quá trình xác lập, ổn định mà tiến đến tiến đến vô cùng lớn một cách đơn điệu

Vậy khi pK nằm trên trục thực, phía dương của mặt phẳng phức thì quá trình tự do đơn điệu tiến đến ∝ do đó QTQĐ cũng tiến đến ∝, không tiến tới xác lập, ổn định

pk > 0

h.14-4 h.14-4a

j

xtd

pk< 0

xtd

h.14-5a0 1

j

2 Khi pk thực âm : pk < 0 :

Thì xtd =A.epktgiảm dần đơn điệu dần đến 0 như hình (h.14-5), khi t → ∞ thì

xtd → 0 nên xqđ = xtd + xxl → xxl quá trình quá độ tiến đến xác lập, và ổn định Trên mặt phẳng phức : pk < 0 nằm trên trục thực phía âm như hình (h.14-5a)

Vậy khi pk nằm trên trục thực phía âm của mặt phẳng phức thì quá trình tự do tiến đến 0 và do đó QTQĐ sẽ tiến đến xác lập, ổn định

3 Khi pk là nghiệm phức liên hợp : pk =ak ± jωk

Lúc này nghiệm tự do có dạng :

) t

cos(

e A 2 e A e

A

k t

p 2 t p 1 td

k

*

=

là dao động với tần số bằng phần ảo của pk là ωk Với biên độ giảm hay tăng tùy

ak (phần thực của pk) Có hai trường hợp xảy ra :

a Với ak < 0 thì khi t → ∞ biên độ của xtd giảm đến 0, dao động giảm dần đến

0 như hình (h.14-6) nên xqđ = xxl + xtd dao động tiến đến xác lập, ổn định

Khi ak < 0 thì pk = ak ± jωk nằm bên trái mặt phẳng phức như hình (h.14-6a)

b Với ak > 0 thì khi t → ∞ biên độ dao động tăng dần đến ∞, xtd dao động tăng dần đến ∞, không tiến đến xác lập, không ổn định Lúc này xuất hiện quá trình tự kích như (h.14-7)

Khi aK > 0 thì pk = ak ± jωk nằm trên nửa phải mặt phẳng phức như (h.14-7a)

t

a k

Ae

h.14-6 h.14-6a

0

ak < 0

j

1 t

xtd

t

a k

Ae

h.14-7a h.14-7

0

j ak > 0

1 t

xtd

4 Khi pk là nghiệm bội :

Thì nghiệm tự do có dạng : xtd =(A1 +A2t + +Aktk−1)epkt

Thường gặp : pk là nghiệm kép thì nghiệm tự do có dạng : xtd =(A1 +A2t)epkt

Nếu pK thực dương trong trường hợp này khi t → ∞ thì xtd không tiến đến xác lập, ổn định, do đó QTQĐ không tiến đến xác lập, ổn định

Nếu pk thực âm thì quá trình tự do tiến đến 0 nên quá trình quá độ tiến đến xác lập, ổn định

Qua phân tích trên thấy rõ số mũ đặc trưng pk quyết định xtd và xqđ

Trong đó phần thực của pK, Re(pk) quyết định cường độ quá trình tự do tăng hay giảm với tốc độ nhanh hay chậm (tùy Re(pk) âm, dương, lớn, bé)

Còn Im(pk) phần ảo của pK quyết định xtd có dao động hay không với tần số lớn hay bé

Biểu diễn pk trên mặt phẳng phức ta thấy :

Khi pk nằm ở nửa trái mặt phẳng phức (nếu Re(pk) < 0), xtd giảm đến 0, xqđ tiến đến xác lập, ổn định

Khi pk nằm ở nửa phải mặt phẳng phức (nếu Re(pk) > 0), xtd tăng đến ∞, xqđ không tiến đến xác lập, ổn định mà tăng đến vô cùng lớn như hình (h.14-8)

Rõ ràng pK chứa thông tin về quá trình của mạch điện nên có thể dựa vào sự phân bố của pK trên mặt phẳng phức để có được một số tính chất của quá trình trong mạch điện mà không cần giải phương trình mạch điện Đây cũng là một phương pháp phân tích mạch điện

Khu vực quá trình ổn định ak < 0

Xác lập

0

j

1 Không xác lập

Khu vực quá trình không ổn định ak > 0

h.14-8

IV Các bước tính QTQĐ bằng phương pháp tích phân kinh điển :

1 Dựa vào sơ đồ cũ, quá trình cũ ở t < 0 tính uC(-0), iL(-0)

2 Dựa vào luật đóng mở có uC(-0), iL(-0) suy ra sơ kiện độc lập uC(0), iL(0)

3 Dựa vào sơ đồ mới, quá trình mới t > 0 viết hệ phương trình hiện hành rồi thay tại t = 0 tính một số sơ kiện phụ thuộc, nếu còn thiếu sơ kiện thì đạo hàm hệ phương trình hiện hành theo t rồi thay tại t = 0 để tính tiếp

4 Tính số mũ đặc trưng p

5 Đặt nghiệm quá độ dưới dạng xqđ = xxl + A.ept Dạng của nghiệm tự do xtd tùy thuộc vào số mũ đặc trưng p, khi Re{ }p > thì QTQĐ tăng trưởng vô hạn nên không 0 cần phải tính tiếp các bước sau

6 Dựa vào sơ đồ xác lập sau khi đóng, mở tính xxl

7 Thay biểu thức nghiệm quá độ tại t = 0 để xác định hằng số tích phân A với

xqđ (0) = xxl(0) + A từ đây xác định A

8 Lắp A tính được vào biểu thức xqđ = xxl + A.ept ta được nghiệm quá trình quá độ

§2 Phân tích quá trình quá độ trong mạch cấp 1

Aïp dụng phương pháp tích phân kinh điển để xét QTQĐ trong một số mạch thường gặp, trước hết cho mạch đơn giản nhất là mạch gồm r - C hoặc r - L đây là những mạch mà phương trình mô tả quá trình quá độ là phương trình vi phân cấp 1 nên những mạch trên gọi là mạch cấp 1

Việc phân tích các QTQĐ trong mạch cấp 1, cũng như cấp 2, ngoài mục đích minh họa nội dung các bước theo phương pháp tích phân kinh điển nó còn giúp ta hiểu biết các đặc điểm của quá trình quá độ trong những mạch đó

I Quá trình quá độ trong mạch r - C:

1 Quá trình phóng điện của tụ điện :

Bài toán là : Nạp cho tụ C để uC(-0) = Uo , rồi cho phóng qua trở r Xác định điện áp, dòng điện phóng của tụ điện qua r sau khi đóng khóa

K như hình (h.14-9)

Đây là bài toán QTQĐ trong mạch cấp 1, có phương

trình vi phân là : rCu'C + uC = 0

Với sơ kiện uC(0) = uC(-0) = U0 (vì là bài toán chỉnh)

Theo phương pháp tích phân kinh điển có điện áp quá

độ trên tụ điện : uCqđ = uCxl + uCtd

Vì mạch sau khi đóng K xác lập không có nguồn cung cấp nên có uCxl = 0 do đó

uCqđ = uCtd = Aept

K

r C

h.14-9

- Xác định p :

Từ sơ đồ đại số hóa : Z(p) = r + 1/pC = 0 giải ra p = -1/rC như hình (h.14-9a) Có thể từ phương trình đại số hóa rCu'Ctd + uCtd = 0 với

uCtd = A.ept có : pCruCtd + uCtd = uCtd(rCp + 1) = 0

Rút ra : ∆p = rCp + 1 = 0 giải được p = -1/rC 1/pC r

- Dạng nghiệm quá độ : uCqđ = Ae-t/rC = uCtd

Thấy rõ là do năng lượng điện trường tích lũy ở tụ điện

- Thay dạng nghiệm tại t = 0 để tính hằng số tích phân A :

uC(0) = U0 = uCtd(0) = A

h.14-9b)

t

uC(t)

iC(t)

uCtd , iCtd

Eo/r

Eo

Điện áp quá độ trên tụ điện :

uCqđ(t) = Uoe-t/rC = uCtd(t)

Vậy áp quá độ chính là áp tự do khi phóng điện

tự do trong mạch r - C Áp quá độ này giảm đơn điệu

từ U0 đến 0

Còn dòng điện phóng của tụ điện qua điện trở

nhảy vọt từ 0 đến

r

U0

− tại thời điểm t = 0 rồi sau đó giảm đơn điệu đến 0

rC / o rC

/ o Ctd

Ctd

r

U e

U rC

1 C '

Cu i

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

=

=

vì có p = -1/rC < 0 nên quá trình tắt dần đến 0 và đơn điệu với hệ số tắt dần là p

= -1/rC, như hình (h.14-9b) Ta thấy sau khoảng thời gian t = τ = |1/p| = rC quá trình tự

do sẽ giảm đi e lần : p t )

o

pt o e U

e U

e= +τ Đây là khoảng thời gian đặc trưng cho tốc độ tắt, gọi là hằng số thời gian (khoảng thời gian để cường độ quá trình giảm đi e lần)

Thường sau khi đóng mở thời gian t = 3τ thì quá trình tự do chỉ còn e-3 giá trị ban đầu, còn nghiệm quá độ đạt giá trị cỡ 0,95 nghiệm xác

lập Mỗi mạch có một hằng số thời gian nhất định, nên có

thể dựa vào hằng số này để so sánh, chọn lựa các mạch

điện cần thiết

K

E

r C

2 Quá trình nạp tụ điện :

h.14-10)

Đây là QTQĐ khi đóng mạch r - C vào áp một chiều

Bài toán : Đóng mạch r - C vào nguồn hằng E = const như

hình (h.14-10) Ta có : uC(-0) = 0 = uC(+0) (vì bài toán chỉnh)

Điện áp quá độ trên tụ điện : uCqđ = uCxl + uCtd , trong đó : uCxl là áp xác lập một chiều trên tụ sau khi đóng khóa K nên uCxl = E do đó :uCqđ = E + Ae-t/rC

Tại t = 0, uCqđ(0) = uC(0) = 0 = E + A rút ra A = -E

nên uCqđ(t) = E - E.e-t/rC = E(1 - e-t/rC), điện áp quá độ ở t = 3τ là :

E

)

3

(

vậy QTQĐ chấm dứt sau thời gian t = 3τ = 3rC

còn iCqđ = C.u'Cqđ =

r

e

E − /rC

và uRqđ = E - uCqđ = E.e-t/rC

Ta thấy điện áp trên tụ tăng từ 0 đến uCxl = E một cách đơn điệu Dòng điện nạp ta ị t =

0 nhảy vọt từ 0 đến E/r sau đó giảm dần đơn điệu, đến xác lập iC = 0 nếu tụ có cách điện tốt, nó như hở mạch Các đường uCqđ, uCtd, iCqđ, uRqđ

được biểu diễn ở hình (h.14-10a)

h.14-10a

uCxl

iCqđ

uCtđ

uRqđ

uCqđ

τ 0

-E

E E/r

u, i

t

3 Đóng mạch r - C vào áp điều hòa :

Như (h.14-11) : e(t) = Emsin(ωt + ψe)

Sơ kiện : uC(-0) = 0 = uC(+0) (vì bài toán chỉnh)

Điện áp quá độ trên tụ điện :

uCqđ = uCxl + uCtd = uCxl + Ae-t/rC

Tính nghiệm xác lập sau khi đóng K, vì xác lập điều hòa

e(t)

r C

ω

=

= ϕ ϕ

〈−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ ω +

Ψ

〈

=

=

•

•

rC

1 arctg r

x arctg với

C

1 r

E Z

E

2 2

e m

rC

XL

h.14-11

2 x I Z I U

; z

E z

E

π

〈−

=

= ϕ

+ Ψ

〈

= ϕ

〈−

Ψ

〈

=

2 C

z

E 2 C

1 z

E

CXL

π

− ϕ + Ψ

〈 ω

=

π

〈−

ω

ϕ + Ψ

〈

=

•

2 t

sin(

C z

E ) t (

CXL

π

− ϕ + Ψ + ω ω

= Nghiệm quá độ : uCqđ = uCxl + Ae-t/rC

rC t

e m

2 t

sin(

C z

E

ω

=

Tại t = 0 : uCqđ(0) = uC(0) = ) A

2

sin(

C z

E

e

ω

2

sin(

C z

E

e

ω

−

rC t

e m

e m

2

sin(

C z

E ) 2 t

sin(

C z

E ) t

(

ω

−

π

− ϕ + Ψ + ω ω

=

Ta thấy áp quá độ trên tụ C gồm thành phần xác lập dao động hình sin và số hạng tự do là hàm mũ tắt dần đơn điệu tiến đến 0, biên độ của hàm mũ phụ thuộc sơ kiện như (h.14-11c)

Trường hợp ta xét là : uC(0) = 0 nên uC(0) = 0 = uCxl(0) + uCtd(0) có uCxl(0) = - uCtd(0) Với sơ kiện này :

- Nếu đóng mở đúng lúc uCxl(0) = 0 thì uCtd(0) = 0 tức là quá trình tự do không xảy ra và A = 0 Trong mạch sẽ hình thành quá trình xác lập ngay mà không xảy ra quá trình quá độ như hình (h.14-11a)

- Nếu đóng mở lúc uCxl(0) = UCm thì uCtd(0) = - UCm và nếu quá trình tự do tắt chậm thì khoảng 1/2 chu kỳ (của điện áp xác lập hình sin), điện áp quá độ trên tụ điện sẽ cỡ 2 lần biên độ điện áp xác lập, uCqđ(T/2) ≈ 2UCm

Khi uC(0) = 0 và đóng lúc ψxl = π/2, uCxl(0) = UCm : thì có thể uCqđ(0) = 2UCm như (h.14-11c)

Từ phân tích như trên thấy rằng : tùy thời điểm đóng mở (tùy góc pha ban đầu và sơ kiện) mà quá trình quá độ sẽ có dáng vẻ khác nhau

u

t

u

0

uCxl

uCtd(0) uCtd

uCqđ

UCm

uCxl

t

u

0

h.14-11c

uCqđ

uCtd

-2UCm -UCm

uCxl

t 0

Khi uC(0) = 0 và khóa

K đóng tại thời điểm góc pha ban đầu của áp xác lập ϕ

Khi uC(0) = 0 và khóa

K đóng tại thời điểm

uCxl(0) = 0 nên có quá

trình xác lập ngay