Phương pháp phân rã DouglasRachford giải bài toán cân bằng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCDƯƠNG THỊ DIỆU LINH PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ DOUGLAS-RACHFORD GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCDƯƠNG THỊ DI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG THỊ DIỆU LINH

PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ DOUGLAS-RACHFORD GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG THỊ DIỆU LINH

PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ DOUGLAS-RACHFORD GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS NGUYỄN BƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2016

2 Phương pháp phân rã Douglas-Rachford giải bài toán cân bằng 23

2.1 Bao hàm thức đơn điệu và bài toán cân bằng 242.2 Thuật toán và sự hội tụ 29

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS.TS NguyễnBường Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tớiThầy, người đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn và tạo điềukiện cho tác giả trong suốt thời gian làm luận văn

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các giáo sư,phó giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - ViệnHàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các thầy cô trong trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiếnthức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân Tác giả xin gửilời cảm ơn chân thành đến các thầy cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, khoa Toán

- Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp

đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn độngviên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập,nghiên cứu và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2016

Học viên

Dương Thị Diệu Linh

Danh sách ký hiệu

R++ tập các số thực dương

N tập các số tự nhiên

H không gian Hilbert thực

H∗ không gian liên hợp của H

C tập con lồi đóng của H

EP(H) bài toán cân bằng với song hàm H

EP(F, G) bài toán cân bằng với hai song hàm F và G

SH tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(H)

SF +G tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(F, G)

hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y

k·k chuẩn sinh bởi tích vô hướng

dom A miền xác định của toán tử A

gra A đồ thị của toán tử A

Fix T tập các điểm bất động của toán tử T

xn → x dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

xn * x dãy {xn} hội tụ yếu tới x

proxf toán tử gần kề của hàm f

sri C phần trong tương đối của tập C

Γ0(H) họ tất cả các hàm lồi f nửa liên tục dưới từ H đến

(−∞, +∞]

Mở đầu

Sự cân bằng thường được hiểu như là một trạng thái đồng đều nhau giữanhững lực lượng đối lập hay những đối tượng có ảnh hưởng qua lại lẫn nhau.Thuật ngữ này được sử dụng rộng rãi trong khoa học và kỹ thuật như trongvật lý, hóa học, kỹ thuật, Trong hóa học, cân bằng hóa học xảy ra khi tốc

độ của phản ứng thuận bằng với tốc độ của phản ứng nghịch Trong sinh học,cân bằng sinh thái là trạng thái ổn định tự nhiên của hệ sinh thái, hướng tới

sự thích nghi cao nhất với điều kiện sống, trạng thái này xảy ra khi tươngquan lực lượng giữa con mồi và thú săn mồi trong hệ sinh thái đó có tỷ lệtương đồng với nhau

Có nhiều bài toán liên quan đến sự cân bằng được nhìn nhận trong mộtthể thống nhất qua các mô hình toán học khác nhau của nó như bài toán điểmyên ngựa, bài toán điểm bất động Kakutani Mô hình chung cho bài toáncân bằng đó là

Tìm x ∈ C sao cho (∀y ∈ C) H(x, y) ≥ 0,

trong đó C là tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H, vàsong hàm H : C × C → R thỏa mãn H(x, x) = 0 với mọi x ∈ H được gọi

là song hàm cân bằng

Bài toán này lần đầu được đưa ra vào năm 1955 bởi H Nikaido, K Isodakhi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác vàvào năm 1972 nó được xét đến dưới dạng một bất đẳng thức minimax bởi

tác giả Ky Fan, người đã có nhiều đóng góp quan trọng cho bài toán nên bàitoán được gọi là bất đẳng thức Ky Fan, tuy nhiên nó có tên gọi là bài toáncân bằng (equilibrium problem) theo cách gọi của các tác giả L D Muu và

W Oettli năm 1992, E Blum và W Oettli năm 1994 Bài toán cân bằng làmột mô hình toán học thống nhất cho nhiều lớp bài toán quan trọng riêng lẻ

Vì vậy, các kết quả thu được về bài toán cân bằng được áp dụng trực tiếp chocác bài toán đặc biệt của nó, ngược lại, nhiều kết quả của mỗi bài toán riêng

lẻ nói trên có thể mở rộng cho bài toán cân bằng với những điều chỉnh phùhợp nhờ đó nó có thể mang lại nhiều ứng dụng hơn

Các hướng nghiên cứu thường được đặt ra đối với bài toán cân bằnglà: nghiên cứu những vấn đề định tính như sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tậpnghiệm, tính ổn định và nghiên cứu định lượng bao gồm xây dựng các thuậttoán để giải, tốc độ hội tụ của các thuật toán và áp dụng bài toán này vàotrong các bài toán thực tế Trong các vấn đề nêu trên, thì việc nghiên cứu xâydựng các phương pháp giải chiếm một tỉ trọng lớn trong các hướng nghiêncứu về bài toán cân bằng Tính đến nay, đã có nhiều kết quả đạt được cho một

số lớp bài toán cân bằng lồi và đơn điệu, trong đó phải kể đến các phươngpháp: phương pháp hàm đánh giá, phương pháp sử dụng nguyên lý bài toánphụ, phương pháp điểm gần kề, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phươngpháp điểm trong và các phương pháp chiếu

Trong luận văn này tác giả trình bày phương pháp phân rã giải bài toáncân bằng với tổng hai song hàm thỏa mãn những điều kiện chuẩn Chứngminh rằng bài toán này tương đương với bài toán tìm không điểm của tổnghai toán tử đơn điệu cực đại tương ứng với điều kiện thích hợp Thuật toán là

hệ quả của phương pháp phân rã Douglas-Rachford ứng dụng cho bao hàmthức đơn điệu bổ trợ

Mục đích của luận văn là tìm hiểu về bài toán cân bằng và phương

pháp phân rã Douglas-Rachford để giải bài toán cân bằng trong không gianHilbert thực trên cơ sở bài báo [3] công bố năm 2012.

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1: Một số vấn đề cơ bản Tác giả nhắc lại một số kiến thức cơ

bản nhất của giải tích hàm và giải tích lồi sẽ được sử dụng ở chương sau Tiếptheo là giới thiệu về bài toán cân bằng, một số ví dụ và sự tồn tại nghiệm củabài toán này Cuối cùng trình bày thuật toán Douglas-Rachford giải bài toántìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại và thuật toán phân rãsong song giải bài toán tìm không điểm của tổng hữu hạn toán tử đơn điệucực đại

Chương 2:Phương pháp phân rã Douglas-Rachford giải bài toán cân bằng Trong chương này, tác giả trình bày mối liên quan mật thiết giữa bao

hàm thức đơn điệu và bài toán cân bằng Đồng thời cũng trình bày về thuậttoán và sự hội tụ của phương pháp phân rã Douglas-Rachford

Mặc dù tác giả đã cố gắng hết sức thực hiện luận văn, nhưng với trình độhạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Kính mong sự góp ý của các thầy cô, các bạn và các anh chị đồngnghiệp để luận văn này hoàn chỉnh hơn

Chương 1

Một số vấn đề cơ bản

Trong chương này, tác giả trình bày ba mục Cụ thể đầu tiên nhắc lạimột số khái niệm và các kết quả cần thiết về không gian Hilbert thực Tiếptheo tác giả giới thiệu bài toán cân bằng Cuối cùng tác giả mô tả thuật toánDouglas-Rachford giải bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơnđiệu cực đại tương ứng với điều kiện thích hợp Các kiến thức của chươngnày được tổng hợp từ các tài liệu [1], [2] và [4]

1.1 Không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính H xác định trên trường số thực R

được gọi là không gian tiền Hilbert nếu trong đó xác định một hàm hai biến

h·, ·i : H × H → R thỏa mãn các tính chất sau:

i) hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H và hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

ii) hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ H;

iii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ H;

vi) hαx, yi = α hx, yi , ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R

Hàm h·, ·i thỏa mãn bốn tính chất trên gọi là tích vô hướng trên H và

hx, yi là tích vô hướng của hai phần tử x và y.

Nhận xét 1.1 Mọi không gian tiền Hilbert H là không gian tuyến tính định

chuẩn với chuẩn của x ∈ H xác định bởi kxk = phx, xi

Định nghĩa 1.2 Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian

Ví dụ 1.2 Trong không gian l2, ta đưa vào tích vô hướng:

Định nghĩa 1.3 Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H gọi

là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu của H) và ký hiệu là H∗

Định nghĩa 1.4 Cho không gian Hilbert thực H, một hàm f : H → R Khi

đó

i) Một hàm f xác định trên tập H được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm

x0 ∈ Hnếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(x0) − ε, với mọi

xthuộc H thỏa mãn kx − x0k < δ

ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên H tại x0 ∈ H nếu hàm −f

nửa liên tục dưới tại x0 ∈ H.

iii) Hàm f được gọi là liên tục trên H tại điểm x0 ∈ H nếu hàm fvừa nửa liên tục dưới trên H tại điểm x0 ∈ H và vừa liên tục trên trên

H tại điểm x0 ∈ H

vi) Hàm f được gọi là liên tục (nửa liên tục) trên H nếu hàm f liên tục

(nửa liên tục) tại mọi điểm trên H

Định nghĩa 1.5 Dãy {xn}∞n=1 trong không gian Hilbert H được gọi là hội

tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu lim

n→∞hxn, yi = hx, yi với mọi y ∈ H Dãy{xn}∞n=1 được gọi là hội tụ mạnh nếu lim

n→∞hxn − xi = 0

Ký hiệu xn * x chỉ sự hội tụ yếu, xn → x chỉ sự hội tụ mạnh của dãy

xn đến phần tử x ∈ H

Chú ý 1.1 Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu,

nhưng điều ngược lại là không đúng

Định nghĩa 1.6 Cho H là không gian Hilbert, C là tập con khác rỗng của

H được gọi là tập lồi nếu ∀x1, x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1]ta đều có

Hàm f(x) được gọi là hàm mặt cầu và f là hàm lồi trên C

Định nghĩa 1.8 Cho không gian Hilbert thực H, tập C ⊆ H và hàm lồi

f : C → R ∪ {+∞} Khi đó, dưới vi phân của f tại x∗, ký hiệu là ∂f(x∗),được xác định bởi

∂f (x∗) = {p ∈ H : f (x) − f (x∗) ≥ hp, x − x∗i , ∀x ∈ C}

Hàm f được gọi là khả dưới vi phân trên C nếu ∂f(x) 6= ∅, ∀x ∈ C.

Ví dụ 1.4 (Dưới vi phân của hàm lồi thuần nhất dương) Cho f : Rn

→ R làhàm lồi thuần nhất dương, tức là hàm lồi f thỏa mãn

f (λx) = λf (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ Rn.Khi đó,

∂f (x∗) = {p ∈ Rn : hp, x∗i = f (x∗), hp, xi ≤ f (x), ∀x ∈ C}

Chứng minh. Nếu p ∈ ∂f(x∗) thì

hp, x − x∗i ≤ f (x) − f (x∗), ∀x ∈ C (1.1)Thay x = 2x∗ vào (1.1), ta có

Định lí 1.1 Mỗi tập con đóng và bị chặn C của một không gian Hilbert là

compact yếu, tức là với mỗi dãy bị chặn trong C có thể trích ra được một dãy con hội tụ yếu tới một phần tử của một không gian này Tập con C của không gian Hilbert H được gọi là đóng yếu nếu {xn * x} thì x ∈ C.

Định lí 1.2 (Định lí Mazur) Mỗi tập con lồi của một không gian Hilbert là

đóng yếu.

Định nghĩa 1.9 Cho X, Y là hai tập con bất kỳ của H và F : X → 2Y là

ánh xạ từ X vào tập hợp toàn bộ các tập con của Y Khi đó, ta nói F là ánh

xạ đa trị từ X vào Y , tức là với mỗi x ∈ X, F (x) là tập con của Y (F (x)

→ C

Định nghĩa 1.10 Cho A: H → 2H là toán tử đa trị Khi đó

dom A = {x ∈ H | Ax 6= ∅} là miền xác định của A,

gra A = {(x, u) ∈ H × H | u ∈ Ax} là đồ thị của A

Toán tử A là đơn điệu nếu

(∀(x, u) ∈ gra A) (∀(y, v) ∈ gra A) hx − y, u − vi ≥ 0

Ví dụ 1.6 Một ví dụ quan trọng của ánh xạ đa trị đơn điệu là dưới vi phân

của hàm lồi Thật vậy, giả sử h: H → R là hàm lồi chính thường khả dưới viphân Khi đó, với mọi x, y ∈ H và u ∈ ∂h(x), v ∈ ∂h(y), theo định nghĩadưới vi phân ta có

h(y) − h(x) ≥ hu, y − xi và h(x) − h(y) ≥ hv, x − yi

Cộng hai vế bất đẳng thức nói trên, ta được

hu − v, x − yi ≥ 0

Hay (∀(x, u) ∈ gra A) (∀(y, v) ∈ gra A)

hx − y, u − vi ≥ 0

Vậy ∂h: H → 2Hđơn điệu trên H

Định nghĩa 1.11 Toán tử đa trị A: H → 2H được gọi là toán tử đơn điệu cực đại nếu A là toán tử đơn điệu và đồ thị của nó không chứa trong đồ thịcủa toán tử đơn điệu khác trong H

Trong trường hợp này, giải thức của A, JA = (Id + A)−1 được xác định,đơn trị và dom JA = H Toán tử phản xạ RA = 2 JA − Id là toán tử khônggiãn

Với toán tử đơn trị T : dom T ⊂ H → H thì tập các điểm bất động được

ký hiệu

Fix T = {x ∈ H | x = T x},

ta nói T là không giãn nếu

(∀x ∈ dom T ) (∀y ∈ dom T ) kT x − T yk ≤ kx − yk ,

và T là không giãn chặt nếu (∀x ∈ dom T )(∀y ∈ dom T )

kT x − T yk2 ≤ kx − yk2 − k(Id − T )x − (Id − T )yk2

Định nghĩa 1.12 Cho H là không gian Hilbert và H∗ là không gian liênhợp của H Toán tử A: H → 2H ∗

được gọi là đơn điệu đều trên H nếu tồn

tại một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0 và δ(0) = 0 thỏa mãn

hAx − Ay, x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀x, y ∈ H

Nếu δ(t) = cAt2, (t > 0)với cA là một hằng số dương thì toán tử A được

gọi là toán tử đơn điệu mạnh.

Định nghĩa 1.13 Toán tử A được gọi là toán tử đồng bức với hằng số η > 0

hay η−ngược đơn điệu mạnh trên H nếu

hAx − Ay, x − yi ≥ η kAx − Ayk2 ∀x, y ∈ H

1.2 Bài toán cân bằng

Trong những năm gần đây, một số công trình đã được đề xuất để nghiêncứu bài toán cân bằng, ký hiệu là EP(H) được phát biểu như sau

Tìm x ∈ C sao cho (∀y ∈ C) H(x, y) ≥ 0,trong đó C là tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H, và

H : C × C → R thỏa mãn các điều kiện sau

Điều kiện 1.1 Song hàm H : C × C → R thỏa mãn:

(i) (∀x ∈ C) H(x, x) = 0

(ii) (∀(x, y) ∈ C × C) H(x, y) + H(y, x) ≤ 0

(iii) ∀x ∈ C, H(x, ·): C → R là hàm lồi nửa liên tục dưới.

(iv) (∀(x, y, z) ∈ C3) limε→0+H((1 − ε)x + εz, y) ≤ H(x, y)

Tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(H) được ký hiệu là SH

Định lí 1.3 (Điểm bất động Kakutani) Cho C là tập lồi compact trong

không gian Hilbert H và F : C → 2C là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên

và F (x) lồi đóng, khác rỗng với mọi x ∈ C Khi đó F có điểm bất động, tức

là tồn tại x∗ ∈ C, x∗ ∈ F (x∗).

Một trường hợp riêng của quan trọng của định lí này là Định lí điểm bấtđộng Brouwer sau

Định lí 1.4 (Điểm bất động Brouwer) Cho C là tập lồi compact yếu trong

không gian Hilbert thực H và F là một ánh xạ (đơn trị) nửa liên tục từ C vào C Khi đó tồn tại x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ ∈ F (x∗).

Định lí sau đây là dạng mở rộng của Định lí điểm bất động Kakutani từtrường hợp không gian hữu hạn chiều sang không gian vô hạn chiều

Định lí 1.5 (Định lí điểm bất động Ky Fan) Cho K là tập lồi compact khác

rỗng trong không gian Banach X và F : K → 2K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng khác rỗng Khi đó, F có điểm bất động tức là tồn tại x∗ ∈ K sao cho x∗ ∈ F (x∗).

Định lí 1.6 (Định lí cực đại của Berge) Cho X, Y là các không gian tôpô,

F : X → 2Y là ánh xạ nửa liên tục trên trên X sao cho F (X) compact Giả

sử g : X × Y → R là hàm số nửa liên tục trên trên X Khi đó hàm giá trị tối ưu

h(x) = max {g(x, y) | y ∈ F (x)}

nửa liên tục trên và ánh xạ tập nghiệm tối ưu

S(x) = {y ∈ F (x) | g(x, y) = h(x)}

nửa liên tục trên.

Dựa vào Định lí điểm bất động Kakutani và Định lí cực đại của Berge,

ta có mệnh đề sau nói về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Mệnh đề 1.1 Cho C là một tập lồi, compact khác rỗng trong không gian

Hilbert thực H và song hàm cân bằng f : C × C → R ∪ {+∞} có các tính chất

(i) f(·, y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C;

(ii) f(x, ·) lồi, nửa liên tục dưới và khả vi dưới vi phân trên C với mọi

x ∈ C.

Khi đó bài toán cân bằng EP(H) có nghiệm.

Chứng minh. Với mỗi x ∈ C, ta gọi S(x) là tập nghiệm của bài toán

Do C compact và f(x, ·) nửa liên tục dưới, nên theo Định lí Weistrass,bài toán này tồn tại nghiệm Hơn nữa, do C lồi, compact f(x, ·) lồi nên S(x)lồi, compact Theo Định lí cực đại của Berge, ánh xạ f nửa liên tục trên Và

S là ánh xạ từ C vào C Vậy theo Định lí điểm bất động Kakutani, tồn tại

x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ ∈ S(x∗) Bây giờ ta chỉ ra x∗ là nghiệm của bài toáncân bằng EP(H) Thật vậy, do f(x, ·) lồi, khả dưới vi phân, theo điều kiệncần và đủ của tối ưu quy hoạch lồi, ta có

0 ∈ ∂2f (x∗, x∗) + NC(x∗)

Theo định nghĩa của dưới vi phân và nón pháp tuyến, từ đây ta có

v∗ ∈ ∂2f (x∗, x∗) + NC(x∗)thỏa mãn

Bổ đề 1.1 Cho T : dom T = H → H là một toán tử không giãn sao cho

Fix T 6= ∅ Cho (µn)n∈N là một dãy nằm trong (0, 1) và (cn)n∈N là một dãy thuộc H sao cho P

là đơn trị và không giãn chặt [3, Bổ đề 2.12], và toán tử phản xạ

RF : H → H : x 7→ 2JFx − x

là không giãn

Cho C ⊂ H là tập lồi đóng khác rỗng Ta nói rằng 0 là điểm trong tươngđối chặt của C, được viết như sau 0 ∈ sri C nếu ∪λ>0λC = span C Nónpháp tuyến của C là toán tử đơn điệu cực đại

Bài toán 1.1 (Bài toán tối ưu) Cho C là tập lồi đóng, khác rỗng trong không

gian Hilbert thực H và g : C → R là một hàm số xác định trên C Khi đó,bài toán tối ưu được phát biểu như sau

Tìm x∗ ∈ C sao cho g(x∗) ≤ g(y), y ∈ C

Nếu ta đặt f(x, y) = g(y) − g(x) với mọi x, y ∈ C thì bài toán tối ưu cóthể quy về bài toán cân bằng EP(H).

Thật vậy, ta giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.4) nên ta có

Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng EP(H)

Ngược lại, nếu x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng EP(H) thì ta có

f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C

Theo cách đặt ta có

f (x∗, y) = g(y) − g(x∗) ≥ 0, ∀y ∈ C

⇒ g(y) ≥ g(x∗), ∀y ∈ C

Vậy x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (1.4)

Bài toán 1.2 (Bài toán bất đẳng thức biến phân) Cho C là tập lồi đóng, khác

rỗng trong không gian Hilbert thực H và F : C → 2H là một ánh xạ đa trị.Tức là với mỗi x ∈ C thì giá trị F (x) là một tập khác rỗng trong H Ta xétbài toán bất đẳng thức biến phân

Thật vậy, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Vậy x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng EP(H)

Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng EP(H) ta có

Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

1.3 Phương pháp Douglas-Rachford giải 0 ∈ Ax + Bx

Bây giờ ta tìm hiểu bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơnđiệu cực đại A và B (xem [4, Định lí 23.41]):

Tìm x ∈ H sao cho 0 ∈ Ax + Bx

Định lí sau đây trình bày phương pháp giải bài toán trên

Định lí 1.7 (Thuật toán Douglas-Rachford) Cho A và B là toán tử đơn điệu

cực đại từ H vào 2H sao cho zer (A + B) 6= ∅, cho (λn)n∈N là một dãy nằm trong [0, 2] sao cho P

n∈N

λn(2 − λn) = +∞, cho γ ∈ R++ và cho x0 ∈ H.