Luận văn phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng và áp dụng vào một số bài toán cân bằng hai cấp

Bài toán cân bằng khá đơn giản về mặt hình thức nhưng nó bao hàm nhiều lớp bài toán quan trọng trong thực tế như: bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất độn

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới

sự hướng dẫn nghiêm túc và nhiệt tình của GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam) Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy và kính chúc thầy cùng gia đình luôn mạnh khỏe Tôi xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giảng dạy tại Đại học sư phạm Hà Nội 2

và Viện toán học, Viện Hàn Lâm Khoa học và công nghệ Việt Nam đã mang lại cho tôi nhiều kiến thức bổ ích và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tôi chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.

Cuối cùng, con cảm ơn Bố Mẹ đã vất vả tạo mọi điều kiện cho con học tập

và được kết quả như ngày hôm nay.

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, 2016 Người viết Luận văn

Nguyễn Thị Quỳnh

M uc luc

M ỏ d ầ u

1 M Ộ T SỐ K IẾ N T H Ứ C C H U A N b ị

1.1 Các khái niệm và các kết quả cơ bản

1.1.1 Một số khái niệm về tập lồi

1.1.2 Một số khái niệm về hàm lồ]

1.1.3 Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi

1.2 Bài toán cân bằng và một số bài toán mô tả dưới dạng cân bằng 1.2.1 Bài toán cân bằng

1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân

1.2.3 Bài toán tối ưu

1.2.4 Bài toán điểm bất đông

1.2.5 Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

1.2.6 Bài toán điểm yên ngựa

1.2.7 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

1.3 Bài toán cân bằng tương đương

1.4 Bài toán cân bằng hai cấp

1.4.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

8

11

11 11 13 16 19 19 19 21 21 22 23 24 27 29 29

1.4.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trẽn tập nghiệm của

2 P H Ư Ơ N G P H Á P CH TẾU GTẢT BÀT T O Á N C Â N B A N G GTẢ

2.1 Một phương pháp chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đờn điệu

2.2 Bài toán cân bằng giả đớn điệu

2.3 Thuật toán cho bài toán cân bằng giả đơn điệu

31 35 39

3 Ứ N G D Ụ N G V À O M Ộ T s ố B À I T O Á N C Â N B A N G h a i

3.1 Áp dụng vào bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trẽn

3.2 Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân trẽn tập nghiệm của bài toán cân bằng

3.3 Ắp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

D anh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

INI = -y/{x, x) chuẩn của véc tơ X

v / o o đạo hàm của / tại X

mi n ị f ( x ) : X e c} giá trị cực tiểu của / trên c

agrmin { f ( x ) : X € C} tập các điểm cực tiểu của / trên c

Nc( x) nón pháp tuyến của tập c tại điểm X

tập nghiệm của bài toán cân bằng

Mở đầu

1 LÝ D O C H Ọ N Đ Ề T À I

Sự cân bằng thường được hiểu như là một trạng thái đồng đều nhau giữa những lực lượng đối lập hay giữa những đối tượng có ảnh hưởng qua lại lẫn nhau, phụ thuộc nhau Thuật ngữ này được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngữ cảnh khoa học và kỹ thuật như trong Vật lí, Hóa học, Sinh h ọ c

Trong Vật lí, trạng thái cân bằng của một hệ, theo thuật ngữ cổ điển, xảy ra khi hợp lực tác động lên hệ bằng không và trạng thái này được duy trì trong một thời gian dài.

Trong Hóa học, cân bằng hóa học xảy ra khi tốc độ của phản ứng thuận bằng với tốc độ phản ứng nghịch Trong Sinh học, cân bằng sinh thái là trạng thái ổn định tự nhiên của hệ sinh thái, hướng tới sự thích nghi cao nhất với điều kiện sống.

Bài toán này được đưa ra lần đầu tiên bởi H.Nikaido và K.Isoda vào năm

1955 khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác, được Ky Fan giới thiệu vào năm 1972 thường được gọi là bất đẳng thức Ky Fan Tuy nhiên, nó có tên gọi là bài toán cân bằng.

Bài toán cân bằng khá đơn giản về mặt hình thức nhưng nó bao hàm nhiều lớp bài toán quan trọng trong thực tế như: bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash Vì vậy việc nghiên cứu bài toán cân bằng là rất cần thiết Gần đây, nhiều tác giả đã mở rộng bài toán trên cho trường hợp véc tơ Và hơn thế nữa, người ta xét cả cho trường hợp bài toán cân bằng liên quan tới các ánh xạ đa trị Tính đến nay, đã có nhiều kết quả nghiên cứu về phương pháp giải cho lớp bài toán cân bằng vô hướng Bằng cách kết hợp giữa thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng với kĩ thuật siêu phẳng cắt ta thu được thuật toán cho bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.

Phần trọng tâm của luận văn này là trình bày một phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và áp dụng vào một số bài toán cân bằng hai cấp Cấu trúc luận văn gồm 3 chương:

• Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị.

• Chương 2 Một phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu.

• Chương 3 ứ ng dụng vào một số bài toán cân bằng hai cấp.

Luận văn này được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện hàn lâm Khoa học

và Công nghệ Việt Nam Tác giả luận văn xin cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn đã dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giúp tác giả hoàn thiện luận

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô và cán bộ công nhân viên của Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu tại Viện.

Trong quá trình viết luận văn cũng như xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Chương 1

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại khái niệm cũng như các kết quả bổ trợ cần thiết được sử dụng ở chương sau Kiến thức của chương này được tham khảo chủ yếu ở tài liệu PQ, [3], [7].

Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm, kết quả cơ sở của giải tích lồi.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 Trong không gian Hilbert thực H tập c c 1 :

1 Tập c được gọi là lồi nếu Vx, y e c , VẰ Ễ [0,1] =>■ \ x + (1 - A)y € c ,

2 Tập c được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu Vz £ c, VA > 0 => Xx £ c,

3 Nếu tập c vừa lồi vừa là nón có đỉnh tại 0 thì được gọi là nón lồi.

V í dụ 1 1 - Tập rỗng và cả không gian là tập lồi.

- Tập M, N, trong không gian M" như sau được gọi là các nón lồi có đỉnh tại

M = {(¡r i, ,£„) e Rn : Xị ^ 0, i = 1,71} (tập M được gọi là orthant không âm

N = {(x i, ,x„) ẼMn : i j > 0 , ỉ = l , n} (tập N được gọi là orthant dương).

0:

Dưới đây là một số phép toán của tập lồi.

Đ ịn h lý 1.1 Nếu M , N là các tập lồi trong không gian Hiỉbert thực H thì các

được gọi là nón pháp tuyến (ngoài) của c tại x° và tập - N c (x°) được gọi là nón

pháp tuyến (trong) của c tại x ũ.

Ta nhận thấy 0 e Nc( x° ) và theo định nghĩa trên ta thấy Nc( x° ) là một nón

ta nói d c ( y) là khoảng cách từ y đến c. Nếu tồn tại P c { y) £ c sao cho dc( y) =

Il y — Pc(y)\\, thì ta nói P c ( y) là hình chiếu của y trên c.

M ệ n h đ ề 1.1 (xem [3j, Mệnh đề 5.1) (Phép chiếu trên tập lồi) Cho c là một

tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực HI Khi đó

1 V ị/ G H hình chiếu P c (x ) của X trên c luôn tồn tại và duy nhất,

2 tư = P c (x ) <*=>■ {x — cư, y — cư) ^ 0, Vy G c ,

Cho tập hợp c khác rỗng, lồi của không gian Hilbert thực H và ánh xạ

/ : c — > R u {+oo}

Đ ịn h n g h ĩa 1 4 Khi đó:

1 Hàm số / được gọi là tựa lồi trên c nếu VA Ễ M tập mức {x G c : ỉ(x) < A}

là tập lồi,

2 Hàm số / được gọi là lồi trên c nếu

f ( Xx + (1 - A y)) < A f ( x ) + (1 - A)/(y), Vx, y G C,VA G [0,1],

3 Hàm số / được gọi là lồi chặt trên c nếu

f ( Ằx + (1 - A y)) < A f ( x ) + (1 - X) f ( y) , Vx, y G c,x Ỷ y, VA G (0,1),

4 Hàm số / được gọi là lồi mạnh trên c với hệ số 7 > 0 nếu

f ( Xx + (1 - A y)) < A f ( x ) + (1 - A )f ( y) - A(1 - A)7 ||y - z ||2,

V®, 2/ G c , VA G [0,1],

5 Hàm số / được gọi là tựa lõm, (lõm, lõm chặt, lõm mạnh) nếu —/ là hàm tựa lồi (lồi, lồi chặt, lồi mạnh) trên c,

6 Các tập

d o m f = {x £ c : f ( x ) < +oo},

e p iị = {(x, t) e C x l : f ( x ) < t},

lần lượt gọi là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f.

Nếu d o m f Ỷ 0 và f ( x ) > —00 với mọi X e c thì hàm / được gọi là hàm chính

thường.

V í d ụ 1 2 c ác hàm chuẩn như : f ( x ) = Il a: Il , f ( x ) = ||x||2 ,/(a;) = m axi=Y^\xi\

là các hàm lồi trên R”.

Hàm f ( x , y ) = X2 + y2 là hàm lồi mạnh.

Hàm f ( x ) = yj\x\ là hàm tựa lồi trên R.

Đ ịn h lý 1 2 (xem [2], Đ ịnh lý 2.3) Giả sử f : X -> E u {+oo} là hàm lồi và

a e [-oo,+ oo] K h i đó các tập mức

L l ư ) = (x e X : f ( x ) < a},

L a ( f ) = {x e X : f ( x ) < a},

là các tập lồi.

Đ ịn h n g h ĩa 1 5 Giả sử / : HI -» R, H là không gian Hilbert thực Khi đó:

1 Hàm / được gọi là nửa liên tục dưới tại x° e HI nếu

l i mx^ xof(x) ^ ỉ ( x°)

(nghĩa là với Ve > 0 ,3 7 > 0 sao cho Vz € H thỏa mãn || íc — ÍC° II < 7 ta có

f ( x ) ^ f ( x° ) - e )

2 Hàm được gọi là n ử a liê n tụ c d ư ớ i trên c nếu nó là nửa liên tục

dưới tại mọi X e c Hàm / được gọi là n ử a liê n tụ c t r ê n trên c nếu - / là nửa liên tục dưới trên c Hàm / được gọi là liê n tụ c trên c nếu nó vừa nửa liên tục dưới và vừa là nửa liên tục trên trên c

Đ ịn h lý 1 3 ( Xe m ¡2], Đ ịnh lý 2.9) Giả sử Ị là hàm lồi chính thường trên H

«à 1° e I K h i đó các khẳng định sau là tương đương:

(a) f liên tục tại điểm x°;

(b) Ị bị chặn trên trong m ộ t lân cận mở của x°;

(c) int(epif) Ỷ 0 /

(d) in t(d o m f ) Ỷ 0 và ỉ liên tục trên i nt ( domf ) , đồng thời

i nt ( epi f ) = { ( z , í ) Ễ E X R : Ï Ễ i n t ( d o m f ) , f ( x) < t}.

Đ ịn h n g h ĩa 1.6 Cho hàm / : H R, H là không gian Hilbert thực Khi đó

hàm / được gọi là L i p s c h i t z đ ịa p h ư ơ n g t ạ i I 0 e l nếu tồn tại một lân cận

u của x°, tồn tại số K > 0 sao cho:

Đ ịn h lý 1.4 (X e m [2], Định lý 2.10) Cho f là hàm lồi trên tập mở D c H, / bị chặn trong m ộ t lân cận của điểm nào đó thuộc D, H là không gian Hilbert

thực K hi đó f Lipschitz địa phương trên tập D.

H ệ q u ả 1.1 / : D ->■ R là hàm lồi, liên tục tại điểm x° thuộc tập lồi mở D thì / được gọi là Lipschitz địa phương trên tập D.

Phép tính vi phân là một trong những phép tính cơ bản nhất của giải tích Nhờ những tính chất đặc thù của hàm lồi mà phép tính vi phân của nó ngày càng trở nên đa dạng và phong phú hơn.

Đ ịn h n g h ĩa 1.7 Giả s ù / i H - ^ R j x e H I v à d e H I {0} Khi đó hàm / được gọi là :

1 Khả vi (Fréchet) tại X nếu tồn tại véc tơ X* e HI sao cho:

khi đó X* được gọi là đạo hàm của / tại X và được kí hiệu là v / ( x ) hoặc /'(x);

2 Có đạo hàm theo hướng d tại X nếu tồn tại giới hạn

Như vậy, nếu hàm / khả vi tại X thì nó có đạo hàm theo mọi hướng tại X và

Đ ịn h lý 1.6 Cho ỉ : R" -» R u { +00} khả vi, c c Rn /ầ íáp ỉồi đóng, K hi đó

các điều kiện sau là tương đương:

1 / là hầm 5 lồi m ạnh trên C;

2- f ( y) - f ( x) ^ ( V f ( x ) , y - x) + ỏ II y - x||2;

3- ( Vf ( y ) - X f ( x ) , y - x) ^ ỗ II y - x\\2.

Đ ịn h n g h ĩa 1.8 Cho hàm / : H -» R u { +00} là hàm lồi chính thường trên H

Ta nói phần tử UI e H là dưới đạo hàm của hàm / tại X G H nếu

ỉ ( y ) - f ( x ) > ( w , í i - i ị , V ẽ I

Tập tất cả các dưới đạo hàm của hàm / tại X được gọi là dưới vi phân của

hàm / tại X và kí hiệu là df ( x) Hàm / được gọi là khả dưới vi phân tại X nếu

d f ( x ) khác rỗng.

Đ ịn h lý 1.7 ( Xe m [3'], M ệnh đề 11.3) Cho ỉ : R" -» U {+oo} là hàm lồi chính

thường K h i đó:

1 N ếu X Ỷ dom Ị thì d f ( x ) bằng rỗng.

2 N ếu X e i nt ( domf ) thì df ( x ) khác rỗng và compact.

Đ ịn h lý 1 8 ( Xe m [2], Đ ịnh lý 4 3) Cho f là hàm lồi chính thường trên R"

K hi đó các điều kiện sau tương đương:

1 . CƯ e df ( x)

2 f ' ( x, d) ^ {u, d)

Đ ịn h l ý 1 9 ( Xe m [3] , M ệnh đề 11.8) Cho f là hàm lồi trên R", có giá trị hữu

hạn trên tập lồi m ở c, {/jfc} là dãy hàm hữu hạn trên c, hội tụ theo từng điểm trên c đến Ị ( tức với m ỗi X e c : lim ero fk(x) = f ( x) N ếu c e c, { z fc} c c sao cho lim ỵ ^ aox k = X thì với bất kỳ y £ R n và dãy { y k } hội tụ về y ta có:

lim sup f'k{xk\ y k) ^ f'(x-,y)

Giả sử c là tập lồi đóng khác rỗng trong R K h i đó, m ọi điểm cực tiểu địa

phương của f trên c đều là cực tiểu toàn cục, ngoài ra tập các điểm cực tiểu

argmi nxec f ( x ) của / trên c là m ột tập lồi Hơn nữa, nếu f lồi chặt thì hàm số

có không quá m ộ t điểm cực tiểu trên c N ếu f lồi m ạnh thì hàm số luôn có duy nhất m ộ t điểm cực tiểu toàn cục trên c.

Đ ịn h l ý 1 1 1 ( Xe m [3], M ệnh đề 11.12) Giả sử c là tập lồi khác rỗng trong

R và f : Rn -> M u {+oo} là hàm lồi khả dưới vi phân trên c K hi đó Xo là điểm

cực tiểu của / trên c khi chỉ khi:

0 e df ( x° ) + N c (x°).

Như vậy, với các giả thiết trong định lý (ỊTTTTỊ) thì điểm x° € i n t e là điểm cực tiểu của / trên c khi và chỉ khi 0 € df ( x°) Đặc biệt, nếu hàm / khả vi thì điều

kiện này trở thành V f ( x° ) = 0.

1.2 B à i to á n cân b ằ n g và m ộ t số b ài to á n m ô t ả

dưới d ạ n g cân b ằ n g

Giả sử c là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực HI và

/ : c X c ->• R u { +00} thỏa mãn f ( x , x ) = 0 với Vx € C; một hàm / như vậy

được gọi là song hàm cân bằng Bài toán cân bằng được phát biểu:

Ta sẽ ký hiệu bài toán này là E P ( C , f ) và tập nghiệm của nó là Sf

v ề mặt hình thức bài toán cân bằng khá đơn giản, nhưng nó lại bao hàm nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như: bài toán tối

ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash.

Dưới đây là những bài toán được mô tả dưới dạng bài toán cân bằng.

Cho c c H là một tập lồi khác rỗng, HI là không gian Hilbert thực và

F : c -> HI là một ánh xạ đơn trị Xét bài toán:

Tìm X* sao cho (F(x*), y — X*) ^ 0,Vy e c

Ta gọi bài toán trên là bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) Khi ta đặt

f ( x , y ) := {F(x*), y — x), thì ta thấy tập nghiệm của bài toán V I P ( C , F ) cũng chính là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP( C, / ) Nếu c là một nón lồi đóng

khác rỗng trong R" thì bài toán bất đẳng thức biến phân V I P ( C , F ) trở thành bài toán bù CP( C, F) được định nghĩa như sau:

Tìm X* € c sao cho F(x*) € c +, {F{x*), x*) = 0.

Trong đó, c + — {x e R" : (x, y) ^ Q,Vy £ C} là nón cực của c (xem [3], trang

220-221) Vậy bài toán C P ( C , F ) là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Tìm X* e c sao cho h(x*) ^ h(y),\/y e c.

Trong đó, h một hàm lồi khả dưới vi phân trên c Như ta đã biết, điểm

X* e c là nghiệm của bài toán COP( C, h) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị M V I P ( C , d h ) sau:

'

Tìm X* e c , u * € dh(x*) sao cho

<

{u*,y - X*) ^ 0,Vy e c.

Xét về khía cạnh kinh tế, bài toán M V I P ( C , F) chính là bài toán tìm phương

án sản xuất X* trong tập các phương án sản xuất c (hay tập chiến lược) và véc

tơ giá u* trong tập các giá thành F(x*) ứng với phương án sản xuất X* sao cho chi phí sản xuất là thấp nhất.

Xét về khía cạnh hình học, bài toán M V I P ( C , F), là bài toán tìm một điểm

X* G c sao cho trong tập F(x*) có một phần tử là véc tơ pháp tuyến ngoài của tập c tại X*.

Cho tập c c H lồi đóng khác rỗng, H là không gian Hilbert thực, h : c -> M

là hàm số xác định trên c Bài toán tối ưu được phát biểu:

Tìm X* e c sao cho h(x*) ^ h(y), Vy e c

Ta đặt f ( x , y ) := h(y) — h(x) thì bài toán tối ưu đươc đưa về bài toán cân bằng EP( C, / )

Giả sử c c HI là một tập lồi đóng khác rỗng, H là không gian Hilbert thực

và ánh xạ đơn trị F : c -» c Khi đó, bài toán điểm bất dộng F P ( C , F ) là bài

toán:

Đặt:

Tìm X* e c sao cho X* = F(x*).

ỉ { x , y ) = {x - F( x ) , y - x)Mx, y e c.

Bài toán F P ( C , F ) trở thành bài toán E P ( C , f )

Bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị MF P ( C , F) là bài toán tổng quát

Khi đó, X* e c là nghiệm của bài toán MF P ( C , F ) khi và chỉ khi X* là nghiệm

của bài toán cân bằng E P ( C , f ) (Xem [3], trang 221-222).

Xét một trò chơi không hợp tác gồm có p đấu thủ, đấu thủ thứ i có tập chiến

lược là Cj c và có hàm chi phí là fi : c ->■ R với c = C\ X Ơ2 X C3 X Cp

tương ứng, tức là, nếu đối thứ nhất,thứ hai, ., thứ p, lần lượt chiến lược chơi

là Xị e C\ , X2 € C2, -,Xp e Cp, thì chi phí của mỗi đối thủ tương ứng sẽ là

h ( x 1, x 2, ■■;Xp) , f 2(xi , X2, .,Xp), fp(x1, x 2, , xp).

Mục tiêu của mỗi đối thủ là tìm kiếm một chiến lược chơi trong tập chiến lược chơi tương ứng để chi phí của mình là nhỏ nhất.

Ký hiệu X = ( x i , x 2, , Xp) , một điểm X* € c được gọi là điểm cân bằng Nash

nếu không tồn tại một đối thủ nào có thể giảm được chi phí chỉ bằng cách thay đổi chiến lược chơi của mình trong khi các đối thủ khác vẫn giữ nguyên chiến lược của họ Về mặt toán học, điểm X* e c được gọi là điểm cân bằng Nash nếu

ỉi( x \, ,x*ị_v x^,x*i+v ,£*) ^ fi(x*v .,x*ị_v yi,x*i+1, ,x l),V y i € Cị và Vỉ = 1 ,p.

Bài toán tìm điểm cân bằng Nash X* được gọi là bài toán cân bằng Nash Nếu đặt

f ( x ,y) = J2P i=1[fi(x 1 , - , x ũ - , x p ) - f i (x i, - ,Vi , - ,

xp)ì-Bài toán cân bằng Nash được đưa về bài toán cân bằng EP( C, / ) Hàm / xác

định bởi công thức trên được gọi là song hàm Nikaido - Isoda.

Cho A , B là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực HI,

(fi : Ả X B ->■ R Bài toán điểm yên ngựa được phát biểu như sau:

Tìm (x*, y*) £ A x B, sao cho

<

ip(x*,y) < ip(x*,y*) < i p(x, y*), y(x, y) £ A X B.

<

Điểm (x*,y*) £ A X B của bài toán gọi là điểm yên ngựa của (p trên A x B

Ta sẽ chỉ ra bài toán điểm yên ngựa có thể được mô tả dưới dạng bài toán cân bằng.

Với mỗi u = (x , y ) , v = (x',y') £ c = A X B ta đặt

Với x ' — X* và sau đó y' — y*, ta có

<p(x*,y) < p( x*, y*) < p( x, y *)

Điểm (x*, y*) là điểm yên ngựa.

Ngược lại, giả sử (x*, y*) G A X B là điểm yên ngựa của (p trên A X B ta có:

<p(x*,y) ^ <p(x*,y*) < ( p( x, y*) , V( x, y) G A x B.

Trong phần này chúng tôi trình bày một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm

và một số tính chất của tập nghiệm của bài toán cân bằng E P ( C , f )

Đ ịn h lý 1 1 2 ( X e m [7], K y Fan’s Theorem) Cho song hàm cân bằng f :

c X c R u {+oo} có các tính chất sau:

1 f ( , y ) nửa liên tục trên với m ỗi y G c ,

2 f ( x , ) tựa lồi trên c với m ỗi X G c

K hi đó bài toán E P ( C , f ) có nghiệm, nếu c compact hoặc thỏa m ẫn điều kiện bức sau:

Tồn tại tập compact B sao cho:

c r \ B ^ X £ c \ B, 3 y € c n B : f ( x, y) < 0

Sau đây là một trường hợp riêng của định lý Ky Fan.

Đ ịn h lý 1 1 3 ( Xe m [1], Đ ịnh lý 3.13) Cho c là m ộ t tập lồi, compact, khác

rỗng, và song hàm cân bằng / : C x C - > R u {+ 0 0 } có các tính chất sau:

1 f ( , y ) nửa liên tục trên với m ọi y e c ,

2 f ( x , ) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phẫn trên c với m ọi X € c

K hi đó bài toán cân bằng E P ( C , f ) có nghiệm.

Ta nhắc lại một số định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm để xét tính duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng.

Đ ịn h n g h ĩa 1 9 Cho C c l Song hàm cân bằng / : C x C - > R u {+oo} được gọi là :

a) đơn điệu mạnh trên c với hệ số a > 0 nếu

e) giả đơn điệu theo X* trên c nếu

Tính đơn điệu của toán tử được định nghĩa sau đây có liên quan chặt chẽ với

tính chất đơn điệu của song hàm.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 0 Cho C c i Toán tử F : c H được gọi là:

a) đơn điệu mạnh trên c với hệ số a > 0 nếu

Đ ịn h lý 1 1 4 ( X e m ¡8], Proposition ị.2) Cho c lồi, compact, khác rỗng và

song hàm cân bằng / : C x C - > l U {+oo} K hi đó:

í N ếu f là đơn điệu chặt trên c thì bài toán cân bằng E P ( C , f ) có

nghiệm duy nhất.

2 N ếu f ( , y ) nửa liên tục trên với m ọi y e c và f ( x , ) lồi, nửa liên tục

dưới với m ỗi X € c và / đơn điệu m ạnh trên c thì bài toán cân bằng E P ( C , f )

có nhiều nhất m ộ t nghiệm.

Thường thì khi xem xét tìm kiếm lời giải cho bài toán cân bằng E P ( C , f )

người ta đưa về giải một bài toán cân bằng khác tương đương với nó nhưng dễ

giải hơn Sau đây là một số định lý về bài toán cân bằng tương đương Ta giả

thiết c là một tập lồi trong không gian R".

Đ ịn h lý 1 1 5 Giả sử c là tập lồi trong không gian R"; song hàm

f , g : 1" X I " -> I u {+oo},

với m ỗi X e c cố định, thỏa m ãn điều kiện sau:

f €(x, y ) = f ( x , y ) + ek(x, y), e là số dương bất kì.

B ổ đ ề 1 1 ( X e m [2], Proposition 2.1) Cho h là hàm khả vi liên tục và ỗ lồi

m ạnh trên c Song hàm cân bằng / : C x C - > I xác định trên c sao cho với

m ỗi X £ c hàm f ( x , ) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên c

K hi đó, X* là nghiệm của bài toán cân bằng E P ( C , f ) khi và chỉ khi nó là

nghiêm của bài toán cân bằng sau:

Tìm X* £ c : f(x*, y) + h(y) — h(x*) — {Xh(x*), y — X*) Vy £ c

H ệ q u ả 1.3 Với các giả thiết của Bố đề 1.1 thì X* là nghiệm của bài toán cân

bằng E P ( C , Ỉ ) khi và chỉ khi:

X* = argmin { f ( x*, y) + h(y) - h(x*) - ( Vh(x*), y - X*) : y £ C}.

1.4 B à i to á n cân b ằ n g h ai cấp

Cho c là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert HI và song hàm

/ , J : ơ x ơ -> M u{+oo} xác định trên c Bài toán cân bằng hai cấp B E P ( C, f , g )

như sau:

Tìm X* £ S f sao cho g( x*, y ) ^ 0,V ị / e S f

ở đó, S f = { u £ c : f ( u , y ) > 0,Vy £ C}

Tuy rằng bài toán BE P( C, f , g ) có dạng đơn giản nhưng nó khá tổng quát vì

nó chứa nhiều lớp bài toán quan trọng khác như là các trường hợp riêng của nó, chẳng hạn:

Giả sử c là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và các

ánh xạ G, F : c ->• H Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp B V I P ( C , F , G )

là bài toán

Tìm X* £ S p sao cho { G( x *) , y — X*) ^ 0,Vy £ Sp-

ơ đó, S p = { u £ c : { F ( u ) , y — u) ^ 0,Vy £ C}

Bằng cách đặt g ( x , y ) = {G ( x ) , y —x); f ( x , y) = { F ( x ) , y — x) , x , y £ c thì bài

toán B V I P ( C , F , G) trở thành bài toán B E P ( C , f , g )

1.4.2 B ài toán bất đẳng th ứ c biến phân trên tập nghiệm của

bài toán cân bằng

Cho c là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, ánh xạ

G : c -» H và f ( x , y ) là song hàm cân bằng xác định trên c. Bài toán bất đẳng

thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng V I E P ( C , f , G ) là bài

đó sẽ trình bày một phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [3j, [4j, [6j, [10j.

th ứ c b iến p h â n g iả đơn đ iệu

Bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu V I P ( C , F ):

Tìm X* e c sao cho {F(x*), y - X * ) ^ 0,Vy e c.

Trong đó, c là một tập lồi đóng trong không gian R" và ánh xạ F : c -> R"

(Xem [3], Mệnh đề 5.2) ta có bài toán V I P ( C , F ) tương đương với bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ h(x) = P c(x — aF( x) ) , với a > 0.

Dựa trên cơ sở đó, người ta đã xây dựng lên thuật toán chiếu cho bài toán

bất đẳng thức biến phân V I P ( C , F ) (Xem [6j, Chapter 12).

Ta kí hiệu Sp là tập nghiệm của bài toán V I P ( C , F )

T h u ậ t to á n c h iế u cơ b ả n được xác định bởi quy tắc lặp:

Bước khởi tạo: x° e c , k = 0.

Bước lặp thứ k (k = 0,1.2 ): Có x k ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính x k + 1 = P c (x k — F ( x k)).

Bước 2: Nếu x k + 1 = x k thì dừng, x k là nghiệm.

Ngược lại, thay k bởi k + 1 và chuyển về Bước lặp thứ k.

Dãy {a:*} được xác định bởi thuật toán chiếu cơ bản sẽ dừng sau một số hữu

hạn bước lặp tới nghiệm duy nhất của bài toán V I P ( C , F ) hoặc sẽ hội tụ tới nghiệm của bài toán V I P ( C , F) với điều kiện toán tử F là T- đơn điệu mạnh và

L- Lipchitz trên c

Tuy nhiên, thuật toán này không hội tụ khi toán tử F là đơn điệu trên c

Tức, thuật toán chiếu cơ bản không áp dụng cho lớp bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu.

Để thu được thuật toán chiếu cho lớp toán tử đơn điệu tổng quát hơn, người

ta đã mở rộng thuật toán đạo hàm tăng cường cho bài toán bất đẳng thức biến phân.

Thuật toán chiếu kép ( thuật toán đạo hàm tăng cường) được xác định theo

quy tắc lặp:

Bước khởi tạo: x° e c, T > 0, k = 0

Bước lặp thứ k (k = 0,1.2 ): Có x k ta thực hiện các bước sau

Bước 1 : Tính = P c ( x k — r F { x k)).

Bước 2: Nếu x ^ = x k thì dừng, x k là nghiệm.

Ngược lại, tính x k + 1 = P c ( x k — t F ( x ^ ) ) , thay k bởi k + 1 và chuyển đến bước lặp thứ k.

Giả thiết toán tử F là liên tục Lipchitz với hằng số L và F giả đơn điệu trên

c theo tập nghiệm SF của nó, chọn tham số r < ỵ thì dãy {a:*} sinh bởi Thuật

toán đạo hàm tăng cường hội tụ tới nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến

phân VI P( C, F)( Xem [6], Theorem 12.1.11).

Thuật toán đạo hàm tăng cường có điểm ưu việt là có thể áp dụng được cho một lớp rộng các bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu theo tập nghiệm Tuy nhiên, nó vẫn còn một số hạn chế như tại mỗi bước lặp chúng ta phải tính hai phép chiếu Hơn nữa, thuật toán này còn đòi hỏi phải biết hằng số

Lipchitz của toán tử F, mà trong nhiều trường hợp toán tử F rất khó tìm hằng

số Lipchitz hoặc không Lipchitz Khi đó ta không thể sử dụng thuật toán này.

Để giải quyết những vấn đề đó M.V.Solodov và B.F.Svaiter đã đề xuất thuật toán gọi là (thuật toán Solodov-Svaiter) bằng cách kết hợp giữa thuật toán chiếu

và quy tắc tìm kiếm theo tia Armjo.

T h u ậ t to á n 2 1 Thuật toán Solodov- Svaiter

Bước khởi tạo: x° € c , 7, ơ € (0,1), k = 0.

Bước lặp thứ k (k = 0,1.2 ): Có x k ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Tính r ( xk) = x k — P c ( x k - F ( x k)) Nếu r ( xk) = 0 thì dừng, x k là

nghiệm, ngược lại, chuyển sang bước 2.

Bước 2: Tìm 77ijfc là số nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn:

Với giả thiết toán tử F là giả đơn điệu theo tập nghiệm của bài toán VI P( C, F )

và liên tục trên R" thì dãy { z fc} sinh bởi thuật toán Solodov - Svaiter hội tụ tới

nghiệm của bài toán VI P( C, F).

M ệ n h đ ề 2 1 Cho X £ R", c là tập lồi đóng trong không gian R" Với mỗi

z € c , ta định nghĩa nửa không gian

-Hơn nữa, do X = P ịị (X ) và H z là nửa không gian nên X — X trực giao với

u - x,v - ãĩ.Do đó theo định lý Pitago có:

11 II2 _ ,1 —II2 II— II2

||a: — ti|| = ||a: — x\\ + ||a: — ti|| ,

\\x — IM = a: — x\\ + a: — ?;

Mà U — PcnH (x) nên II a; — u\\ < ||x — u|| , Vv Ễ ơ n Hz ,u ^ V Từ đó suy ra Ilu — X II < IlV — ®||, điều này mâu thuẫn với

||u — är|| < ||it — x|| , Vu Ễ c n Hz , u Ỷ v

nên u = V hay u = PcnH (x).

Thuật toán này có thể áp dụng cho một lớp rộng các toán tử F vì nó chỉ cần

đòi hỏi tính giả đơn điệu theo tập nghiệm, tính liên tục, mà không cần đòi hỏi

tính Lipchitz của toán tử F Mặt khác, số các bước lặp giải bài toán V I P ( C , F )

theo thuật toán này là ít hơn đáng kể so với thuật toán khác Nhưng trong thuật toán này, ở mỗi bước lặp ta phải tính hình chiếu trên tập c n H k thay vì trên c

như trong các thuật toán chiếu khác.

Những điểm ưu việt của thuật toán này cho thấy việc mở rộng thuật toán

cho bài toán cân bằng E P ( C , f ) và các bài toán khác là khá cần thiết.

Cho Í2 c R" là một tập lồi mở chứa tập lồi đóng C v à / : C x C - > K l à song hàm cân bằng xác định trên c Bài toán cân bằng E P ( C , f ) như sau:

Tìm X* e c sao cho ỉ ( x*, y) ^ 0,Vy e c

Ta sử dụng đến các giả thiết sau về song hàm cân bằng / để xây dựng phương pháp giải:

(A l) Hàm f ( , y ) liên tục theo biến thứ nhất trên Q với mỗi y e c

(A2) Hàm f ( x ,.) là lồi trên Í2 với mỗi Xe c .

(A3) Hàm / là giả đơn điệu trên c theo tập nghiệm Sf của bài toán cân

bằng EP( C, / )

(A4) Hàm h ( ) là S- lồi mạnh và khả vi liên tục trên Q.

Với mỗi Z £ C, Ỡ2 f { z , z ) là các tập dưới đạo hàm của hàm f ( z , ) tại điểm z,

tức là

Ỡ2 f ( z , z) = {íư e R n : f ( z , y) ^ f ( z , z) + {u,y - z) , Vy £ C }

= (cư e R " : f ( z , y ) ^ (u, y - z) ,Vy e C }.

Với mỗi z £ c, U) £ Ỡ2Ỉ(z, z) ta định nghĩa nửa không gian H z