Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp

Lời cam đoanLuận văn thạc sỹ:"Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp" được thực hiện bởi tác giả Lê Mai Oanh - học viên lớp Cao học Toán Ứng Dụng khó

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ MAI OANH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ MAI OANH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản 5

1.1.1 Một số khái niệm về hàm lồi và tập lồi 5

1.1.2 Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi 12

1.2 Bài toán cân bằng 14

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản 14

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất cơ bản của tập nghiệm bài toán cân bằng 15

1.2.3 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng 19

1.3 Bài toán cân bằng tương đương 24

1.4 Bài toán cân bằng hai cấp 26

1.4.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 27

1.4.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng 27

2 Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán

2.1 Mô tả bài toán 29

2.2 Phương pháp hàm phạt 30

2.3 Hàm đánh giá và hướng giảm 37

2.4 Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 46

Lời cam đoan

Luận văn thạc sỹ:"Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp" được thực hiện bởi tác giả Lê Mai Oanh

- học viên lớp Cao học Toán Ứng Dụng khóa 2014 - 2016 của trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùng sự hướng dẫn của GS TSKHNguyễn Xuân Tấn - Viện Toán học - Viện Hàm lâm Khoa học và Công nghệViệt Nam

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, không trùng vớibất kỳ nghiên cứu nào khác

Thái Nguyên, năm 2015

Học viên

Lê Mai Oanh

Lời cảm ơn

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự quan tâm của cácthầy giáo, cô giáo và các bạn học viên, luận văn của tôi đến nay đã đượchoàn thành

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong thời gian làm luận văn.

Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáotrong bộ môn Toán Ứng Dụng nói riêng và khoa Toán - Tin trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung đã cho tôi những kiến thức cầnthiết để hoàn thành luận văn Cuối cùng tôi xin cảm ơn sự động viên, giúp

đỡ của gia đình, bạn bè đã dành cho tôi trong quá trình nghiên cứu và hoànthành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Thái Nguyên, 2015

Lê Mai Oanh

Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Một số kí hiệu và viết tắt

Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác địnhtrong bảng dưới đây:

R = R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng

hx, yi = xTy tích vô hướng của hai vectơ x và y

kxk = phx, xi chuẩn của vectơ x

riC phần trong tương đối của tập C

xk → x dãy xk hội tụ đến x

PC(x) hình chiếu của x lên tập C

NC(x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x

ϕ0(x) = ∇ϕ (x) đạo hàm của hàm ϕ tại x

ϕ0(x; d) đạo hàm theo hướng d của ϕ tại x

∂ϕ (x) dưới vi phân của ϕ tại x

∂f (x, x) dưới vi phân của hàm f (x, ) tại x

∇xf (x, y) đạo hàm của hàm f (., y) tại x

∇yf (x, y) đạo hàm của hàm f (x, ) tại y

Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) ≥ 0, với mọi y ∈ C

trong đó C ⊂ H là một tập lồi, đóng và f : C × C → R ∪ {+∞} làsong hàm cân bằng (f (x, x) = 0, ∀x ∈ C)

Công thức này lần đầu tiên được đưa ra bởi H Nikaido và K.Isoda năm 1955 [24] khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trongtrò chơi không hợp tác, được Ky Fan giới thiệu năm 1972 [11] vàthường được gọi là bất đẳng thức Ky Fan

Cùng với việc nghiên cứu, xây dựng các phương pháp giải bàitoán cân bằng, các nhà khoa học còn quan tâm đến bài toán cân bằnghai cấp

Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H và f, g :

C × C → R ∪ {+∞} là các song hàm cân bằng xác định trên C.Bài toán cân bằng hai cấp BEP (C, f, g) (bài toán cân bằng trên tập

nghiệm của bài toán cân bằng) là bài toán:

Tìm x∗ ∈ Sf sao cho g (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ Sftrong đó Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng

Tìm u ∈ C sao cho f (u, y) ≥ 0, với mọi y ∈ C

Bài toán cân bằng hai cấp BEP (C, f, g) được tác giả A Moudafi[21] xét đến đầu tiên Tuy có dạng đơn giản nhưng bài toán BEP (C, f, g)khá tổng quát vì nó chứa nhiều lớp bài toán quan trọng khác như bàitoán bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán bất đẳng thức biến phântrên tập nghiệm của bài toán cân bằng

Trong các phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp thì phươngpháp hiệu chỉnh đóng vai trò quan trọng Một phương pháp hiệu chỉnhquen thuộc là phương pháp điểm gần kề Phương pháp này được đềxuất bởi B Martinet [17] vào năm 1970 cho bài toán bất đẳng thứcbiến phân và được phát triển bởi R T Rockafellar năm 1976 cho baohàm thức đơn điệu cực đại Năm 1999, A Moudafi [20] đã áp dụngphương pháp điểm gần kề cho bài toán cân bằng đơn điệu và đếnnăm 2010 [21] ông đã áp dụng phương pháp này cho lớp bài toán cânbằng hai cấp đơn điệu Ý tưởng chính của phương pháp này là kếthợp phương pháp hàm phạt và phương pháp điểm gần kề để đưa việcgiải bài toán cân bằng hai cấp về việc giải một dãy các bài toán cânbằng với song hàm cân bằng là f + kg Để chứng minh sự hội tụ củathuật toán đã đưa ra, tác giả A Moudafi đòi hỏi các giả thiết về tínhđơn điệu, tính liên tục, tính lồi của các song hàm và đặc biệt là giảthiết kxk+1 − xkk = 0 (k) với xk là nghiệm của bài toán cân bằng

EP (C, f + kg), đây là một giả thiết rất khó kiểm chứng vì chúngkhông liên quan đến dữ liệu đầu vào của bài toán Do đó việc tiếp tụcnghiên cứu và đề xuất các thuật toán giải bài toán cân bằng hai cấp vớicác giả thiết như trên hoặc các giả thiết yếu hơn là rất cần thiết Chính

vì lý do này, cùng với sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Xuân Tấntôi chọn đề tài "Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp".

- Áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cânbằng giả đơn điệu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp giải cho bài toán cân bằng hai cấp đó

là phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá

4 Phương pháp nghiên cứu

Để trình bày phương pháp giải cho bài toán cân bằng hai cấp tôi

sử dụng phương pháp hàm phạt, kết hợp phương pháp hàm đánh giá

và nguyên lý bài toán phụ

5 Ý nghĩa của đề tài nghiên cứu

Đề tài đã trình bày được phương pháp hàm phạt cho bài toán cânbằng hai cấp Chứng minh định lí về sự hội tụ của dãy nghiệm của cácbài toán phạt tới nghiệm của bài toán cân bằng hai cấp ban đầu Trìnhbày phương pháp hàm đánh giá để giải bài toán phạt, mở rộng kháiniệm giả ∇- đơn điệu từ khái niệm ∇- đơn điệu Chứng minh đượcbất kì điểm dừng nào của hàm đánh giá cũng là nghiệm của bài toáncân bằng nếu song hàm cân bằng thỏa mãn giả thiết giả ∇- đơn điệuchặt Áp dụng các phương pháp đã trình bày vào bài toán nảy sinh khi

sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng giảđơn điệu

Thái Nguyên, năm 2015

Lê Mai Oanh

Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 2014 - 2016

Chuyên ngành Toán ứng dụng

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Email: lemaioanh889@gmail.com

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các khái niệm cũng như các kết quả để bổ trợ chochương sau Bao gồm đầu tiên là các kết quả cần thiết về giải tích lồi và giảitích hàm Thứ hai là các khái niệm liên quan đến bài toán cân bằng, sự tồntại nghiệm, các tính chất cơ bản và các trường hợp riêng quan trọng của bàitoán cân bằng Thứ ba là sự liên quan giữa bài toán cân bằng với các bài toánkhác trong lý thuyết tối ưu Cuối cùng là trình bày về bài toán cân bằng haicấp và các trường hợp riêng Các kết quả trong chương được lấy từ tài liệutham khảo [1], [2], [3], [9], [11], [13], [15], [16], [18], [21], [22], [24], [26],[27] Các chứng minh xem trong các tài liệu tham khảo kể trên

1.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản

1.1.1 Một số khái niệm về hàm lồi và tập lồi

Tập lồi

Giả sử X là không gian tuyến tính, R là tập các số thực

Định nghĩa 1.1 Tập C ⊂ X được gọi là tập lồi nếu:

∀x1; x2 ∈ C; ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λ.x1 + (1 − λ) x2 ∈ C

Định nghĩa 1.2 Giả sử C ⊂ X, x1, x2 ∈ C Đoạn nối x1, x2 được định nghĩa

như sau:

[x1; x2] = {x ∈ C : x = λ.x1 + (1 − λ) x2}

Từ định nghĩa trên ta có nhận xét:

Nhận xét 1.1 Tập C lồi nếu ∀x1; x2 ∈ C ⇒ [x1; x2] ⊂ C

Ví dụ 1.1 Các tam giác và hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi Hình

cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi

Mệnh đề 1.1 Giả sử Cα ⊂ X(α ∈ I); I là tập các chỉ số bất kì Khi đó, tập

Mệnh đề 1.3 Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T : X −→ Y là

toán tử tuyến tính Khi đó

(i) C ⊂ X lồi ⇒ T (C) lồi;

(ii) B ⊂ Y lồi ⇒ nghịch ảnh T−1(B) của B là tập lồi.

Định nghĩa 1.3 Vectơ x ∈ X được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1; x2; ; xm ∈

X, nếu tồn tại λi ≥ 0(i = 1, , m),

Định nghĩa 1.4 Giả sử C ⊂ X Tương giao của tất cả các tập lồi chứa C

được gọi là bao lồi của tập C và ký hiệu là coC

Nhận xét 1.2 CoC là một tập lồi đóng Đó là một tập lồi đóng nhỏ nhất

chứa C

Mệnh đề 1.4 Giả sử C ⊂ X lồi Khi đó phần trong intC và bao đóng C là

các tập lồi.

Định lý 1.1 (xem [2, Định lý 2.3]) Bao lồi đóng của tập C trùng với bao

đóng của bao lồi C tức là CoC = CoC.

Nón lồi

Giả sử X là không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.5 Tập K ⊂ X được gọi là nón lồi có đỉnh tại O, nếu

∀x ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ K

K được gọi là nón có đỉnh tại xo, nếu K − xo là nón có đỉnh tại O

Định nghĩa 1.6 K là nón lồi nếu K là nón có đỉnh tại O và K là một tập

Tập tất cả các vectơ pháp tuyến của tập lồi C tại x0 ∈ C được gọi là nónpháp tuyến ngoài của C tại x0 Kí hiệu là NC(x0) Như vậy

NC(x0) = {x∗ ∈ X∗ : hx∗, x − x0i ≤ 0, ∀x ∈ C}

Tập −NC(x0)được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x0

Nhận xét 1.3 NC(x0) là một nón lồi đóng

Định nghĩa 1.8 Cho C là một tập lồi trong không gian tuyến tính X Vectơ

d ∈ X, d 6= 0 được gọi là phương lùi xa của C nếu

{x + λd : λ ≥ 0} ⊂ C; ∀x ∈ C

(Mọi tia xuất phát từ một điểm bất kì x ∈ C theo phương d đều nằm trọntrong C)

Định lý 1.3 (xem [2]) Tập tất cả các phương lùi xa của C là một nón lồi.

Định nghĩa 1.9 Nón lồi tạo lên bởi tập tất cả các phương lùi xa của một tập

lồi C và vectơ −→0 được gọi là nón lùi xa của C Kí hiệu là recC

Định nghĩa 1.10 Giả sử C khác rỗng (không nhất thiết lồi) là một tập con

của không gian Hilbert H và y ∈ H là một vectơ bất kì, gọi

dC(y) = inf

x∈Ckx − yk

Ta nói dC(y) là khoảng cách từ y đến C Nếu tồn tại PC(y) ∈ C sao cho

dC(y) = ky − PC(y)kthì ta nói PC(y) là hình chiếu của y trên C

Từ định nghĩa trên ta thấy hình chiếu PC(y) của y trên C là nghiệm củabài toán tối ưu

min{1

2kx − yk2}

Nói cách khác, việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về tìm cực tiểucủa hàm kx − yk2 trên C.

Mệnh đề 1.6 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert

H Khi đó

(i) Với mọi y ∈ H và w ∈ C thì w = PC(y) khi và chỉ khi y − w ∈ NC(w)

hay hy − w, x − wi ≤ 0, ∀x ∈ C;

(ii) Hình chiếu PC(y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất;

(iii) kPC(x) − PC(y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ H (tính không giãn);

(iv) kPC(x) − PC(y)k2 ≤ hPC(x) − PC(y), x − yi, ∀x, y ∈ H (tính đồng

(iii) hàm f được gọi là hàm lồi mạnh trên C với hệ số δ > 0 nếu với mọi

x1; x2 ∈ C và với mọi số thưc λ ∈ [0, 1] thì

Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Jensen) (xem[2, Định lý 2.2]) Giả sử f : X →

[−∞; +∞] Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi ∀λi ≥ 0(i = 1, , m),

là các tập lồi.

Định lý 1.6 (xem [2, Định lý 2.9]) Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X

và x0 ∈ X Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) f bị chặn trên trong một lân cận của x0;

(ii) f liên tục tại x0;

(iii) int (epif ) 6= φ;

(iv) int (domf ) 6= φ và f liên tục trên int (domf ).

Đồng thời:

int (epif ) = {(x, µ) ∈ X × R : x ∈ int (domf ) , f (x) < µ}

Định nghĩa 1.14 Hàm f được gọi là hàm tựa lồi nếu ∀x, y ∈ X, ∀z ∈ [x, y]

thì

f (z) ≤ max{f (x), f ((y)}

Định nghĩa 1.15 Cho f : H → R Khi đó:

(i) Hàm f được gọi là nửa dưới liên tục (lower semicontinuous) tại x0 ∈

H (với f (x0) < ∞), nếu với mọi ε > 0 tồn tại lân cận U của x0 saocho

f (x0) − ε ≤ f (y), ∀y ∈ U ;(ii) Nếu f(x0) = +∞ thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu ∀N >

0, tồn tại lân cận U của x0 sao cho

f (y) ≥ N, ∀y ∈ U ;(iii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên H nếu f nửa liên tục dưới tạimọi điểm x ∈ H

Chú ý 1.1 f được gọi là nửa liên tục trên (upper semicontinuous) trên H

nếu −f là nửa liên tục dưới trên H f được gọi là liên tục trên H nếu nó vừa

là nửa liên tục dưới vừa là nửa liên tục trên trên H

1.1.2 Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi

Cho f là hàm xác định trên không gian Hilbert H; f : H → R; d ∈H\{0}

Định nghĩa 1.16 Hàm f được gọi là khả vi tại x nếu tồn tại vectơ x∗

∈ Hsao cho:

lim

y→x

f (y) − f (x) − hx∗, y − xi

Định nghĩa 1.17 Đạo hàm của hàm f theo phương d tại x, kí hiệu là

f0(x, d)được định nghĩa là giới hạn sau:

f0(x, d) = lim

λ→0 +

f (x + λd) − f (x)

λnếu giới hạn tồn tại (có thể hữu hạn hoặc ±∞)

Từ hai định nghĩa trên có thể thấy được rằng nếu hàm f khả vi tại x thì nó

có đạo hàm theo mọi phương tại x và f0

(b) Nếu thêm vào đó f khả vi trên C thì

(i) δky − xk2 ≤ hOf(y) − Of(x); y − xi, ∀x, y ∈ C;

(ii) 0 ≤ f (x) − f (x∗) ≤ 1

δk 5 f (x)k2, ∀x ∈ C.

Nhận xét 1.4 Nếu f khả vi và δ lồi mạnh trên tập lồi đóng C ⊂ Rn thì tacó:

Định nghĩa 1.19 Tập tất cả dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi

phân của f tại x, kí hiệu là ∂f(x), tức là:

∂f (x) = {x∗ ∈ H : f(x) − f(x) ≥ hx∗, x − xi}

Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f(x) 6= φ

Định lý 1.8 (xem [27, Theorem 2.6]) Một hàm lồi chính thường f trên Rn

khả dưới vi phân tại mỗi điểm x ∈ int (domf ) và

Hơn nữa, với bất kì số  > 0, tồn tại chỉ số k0 sao cho:

∂fk xk
⊂ ∂f (x) + B[0; 1], ∀k ≥ k0,

với B[0; 1] là hình cầu đơn vị đóng trong Rn.

Định lý 1.10 (xem [27, proposition 2.31]) Giả sử C ⊂ Rn là một tập lồi khác rỗng và f : Rn → R ∪ {+∞} là một hàm lồi, khả dưới vi phân trên C.

Khi đó x0 là điểm cực tiểu của f trên C khi và chỉ khi

0 ∈ ∂f x0
+ NC(x0)

Hệ quả 1.1 Với các giả thiết như trong Định lý (1.10) thì điểm x0 ∈ intC

là một điểm cực tiểu của f trên C khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f x0
Đặc biệt, nếu

hàm f khả vi thì điều kiện này trở thành 5f (x0) = 0.

Định lý 1.11 (xem[15, Theorem 2.4.11, Section 2.4.12, 2.5.4]) Giả sử C ⊂

1.2 Bài toán cân bằng

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản

Bài toán cân bằng

Ta xét bài toán cân bằng hay bất đẳng thức Ky Fan như sau:

Xét H là không gian Hilbert thực, C là tập lồi đóng khác rỗng của H và

f : C × C → R ∪ {+∞} Khi đó bài toán cân bằng là bài toán:

Tìm x∗ ∈ C sao cho: f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.Bài toán cân bằng kí hiệu là EP (C, f), tập nghiệm của nó kí hiệu là Sf.Dưới đây ta luôn giả thiết f(x, x) = 0, ∀x ∈ C.

Một song hàm thỏa mãn điều kiện này được gọi là song hàm cân bằng Cđược gọi là tập chấp nhận được hay là tập chiến lược, f là hàm cân bằng củabài toán EP (C, f)

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất cơ bản của tập nghiệm bài

toán cân bằng

Trong phần này ta trình bày một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm và một

số tính chất cơ bản của tập nghiệm bài toán cân bằng

Để xét tính duy nhất nghiệm và các phương pháp tìm nghiệm của bài toáncân bằng ta cần đến các định nghĩa sau về tính đơn điệu của song hàm cânbằng f và tính đơn điệu của toán tử F

Định nghĩa 1.20 Giả sử C ⊂ H Song hàm cân bằng f : C × C → R ∪

(d) giả đơn điệu (pseudomonotone) trên C nếu

f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0;

(e) giả đơn điệu theo x∗ (pseudomonotone with respect to x∗) trên C nếu

∀y ∈ C, f (x∗, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x∗) ≤ 0

Từ định nghĩa trên ta suy ra a ⇒ b ⇒ c ⇒ d ⇒ e, ∀x∗ ∈ C

Định nghĩa 1.21 Cho C ⊂ H Toán tử F : C → H được gọi là

(a) đơn điệu mạnh trên C với hệ số γ > 0 nếu

+ Hàm f (x, ) tựa lồi, nửa liên tục dưới trên C;

+ Hàm f (., y) tựa lõm, nửa liên tục trên trên C.

Khi đó bài toán EP (C, f ) có nghiệm.

Định lý 1.12 (Điểm bất động Kakutani) (xem [24]) Cho C là một tập lồi,

compact trong không gian Rn và F : C → 2C là một ánh xạ đa trị, nửa liên tục trên và F (x) lồi, đóng, khác rỗng với mọi x ∈ C Khi đó, F có điểm bất động, tức là tồn tại x∗ ∈ C, x∗ ∈ F (x∗).

Định lý 1.13 (Định lí cực đại Berge) (xem [16]) Cho X, Y là các không

gian tôpô, F : X → 2Y là ánh xạ nửa liên tục trên trên X sao cho F (x) compact, hơn nữa F (X) compact Giả sử f : X × X → R là hàm số nửa liên tục trên trên X Khi đó hàm giá trị tối ưu

g(x) := max{f (x, y) : y ∈ F (x)}

nửa liên tục trên và ánh xạ tập nghiệm tối ưu

S(x) := {y ∈ F (x) : f (x, y) = g(x)}

nửa liên tục trên.

Dựa vào Định lí điểm bất động Kakutani và Định lí cực đại Berge, ta cómệnh đề sau nói về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Mệnh đề 1.8 Cho C là một tập lồi, compact, khác rỗng và song hàm cân

bằng f : C × C → R ∪ {+∞} có các tính chất:

(i) f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C;

(ii) f (x, ) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C với mọi x ∈ C Khi đó bài toán EP (C, f ) có nghiệm.

Hệ quả 1.2 Cho C là một tập lồi, đóng (không cần compact) và song hàm

cân bằng f như ở mệnh đề trên Giả sử điều kiện bức C1 sau đây được thỏa mãn:

Tồn tại tập compact B sao cho

C ∩ B 6= φ, ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C : f (x, y) < 0

Khi đó bài toán EP (C, f ) có nghiệm.

Định lý 1.14 (Ky Fan) (xem [11, Ky Fan’s Theorem]) Cho f : C × C →

R ∪ {+∞} là một song hàm cân bằng có các tính chất sau:

(i) f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C;

(ii) f (x, ) tựa lồi trên C với mọi x ∈ C.

Khi đó bài toán EP (C, f ) có nghiệm, nếu như C compact hoặc điều kiện bức C1 được thỏa mãn.

Bây giờ ta xét tính duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng thông qua mệnh

đề sau:

Mệnh đề 1.9 Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng và f : C ×C → R∪{+∞}

là song hàm cân bằng Khi đó:

(i) Nếu f là đơn điệu chặt trên C thì bài toán cân bằng EP (C, f ) có nhiều nhất một nghiệm;

(ii) f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C và f (x, ) lồi, nửa liên tục dưới với mỗi x ∈ C và f đơn điệu mạnh trên C, thì bài toán EP (C, f ) luôn

có và có duy nhất nghiệm.

1.2.3 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Bài toán tối ưu

ϕ(x) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ C ⇔ f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C

Vậy bài toán tối ưu là một trường hợp riêng của bài toán EP (C, f)

Bài toán điểm bất động Kakutani

Giả sử C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và ánh xạ đơn trị F : C →

C Khi đó bài toán điểm bất động F P (C, F ) là bài toán:

Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ = F (x∗).Bằng cách đặt

f (x, y) = hx − F (x), y − xi, ∀x, y ∈ C

thì bài toán F P (C, F ) trở thành bài toán EP (C, f).

Tổng quát hơn, điểm bất động của ánh xạ đa trị MEP (C, F ) là bài toán

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Xét bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị sau:

Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và F : C → 2H là một ánh xạ

đa trị (có nghĩa là với mỗi x ∈ C, giá trị F (x) là một tập khác rỗng) Xét bàitoán bất đẳng thức biến phân đa trị MV IP (C, F ):

Tìm x∗ ∈ C; u∗ ∈ F (x∗)sao cho hu∗, y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C

Giả sử với mỗi x ∈ C, F (x) là một tập lồi, compact và khác rỗng, đặt

Ta có thể minh họa bất đẳng thức biến phân MV IP (C, F ) dưới góc độ

mô hình kinh tế như sau:

Giả sử C là tập các chiến lược (tập ràng buộc) các phương án sản xuất

có thể lựa chọn Với mỗi phương án sản xuất x ∈ C, tập F (x) là tập các giáthành, chi phí có thể ứng với phương án x Khi đó bài toán MV IP (C, F )

chính là bài toán tìm phương án sản xuất x∗ trong tập chiến lược C và giá trị

u∗ ứng với x∗ sao cho chi phí là thấp nhất Trong trường hợp ánh xạ khôngphụ thuộc vào phương án sản xuất, tức là F (x) = c với mọi x, bất đẳng thứcbiến phân trở thành bài toán quy hoạch quen thuộc:

min{cTx : x ∈ C}

Về mặt hình học, bài toán bất đẳng thức biến phân MV IP (C, F ) làbài toán tìm một điểm x∗ ∈ C sao cho tập F (x∗) có một phần tử là vectơpháp tuyến (ngoài) của tập C tại điểm x∗

Một trường hợp riêng quan trọng của bài toán MV IP (C, F ) là khi

C = Rn+ và F đơn trị Khi đó bài toán MV IP (C, F ) tương đương với bàitoán sau được gọi là bài toán bù:

Tìm x ≥ 0 sao cho F (x) ≥ 0, xTF (x) = 0

Ta chỉ ra rằng bài toán bù này tương đương với bất đẳng thức biến phân :

Tìm x ≥ 0 sao cho hF (x), y − xi ≥ 0, ∀y ≥ 0

Sự tương đương ở đây được hiểu theo nghĩa tập nghiệm của bài toán nàytrùng nhau

Ngoài ra, bài toán quy hoạch lồi

min{f (x) : x ∈ C}

trong đó f là một hàm lồi khả dưới vi phân trên tập lồi C, có thể mô tả dướidạng bất đẳng thức biến phân MV IP (C, F ), với F = ∂f

Thật vậy, khi F = ∂f, bài toán MV IP (C, F ) được viết là:

Tìm x∗ ∈ C, u∗ ∈ ∂f (x∗)sao cho hu∗, y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C

Nếu x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân này thì do u∗ ∈ ∂f (x∗) nêntheo định nghĩa của dưới vi phân ta có

hu∗, y − x∗i + f (x∗) ≤ f (y), ∀y ∈ C

Thế nhưng x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân nên

hu∗, y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C

Từ đây suy ra f (x∗) ≤ f (y), ∀y ∈ C

Vậy x∗ là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi

Trái lại, nếu x∗ là nghiệm của bài toán trên thì theo điều kiện cần và đủ tối

ưu của quy hoạch lồi ta có

0 ∈ ∂f (x∗) + NC (x∗)

Từ đây theo định nghĩa của nón pháp tuyến của C tại x∗, ta suy ra x∗ lànghiệm của bất đẳng thức biến phân MV IP (C, F ) với F = ∂f

Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

Xét một trò chơi có p người chơi (đấu thủ) Giả sử Ci ⊂ Rpi là tập phương

án mà đấu thủ thứ i có thể lựa chọn trong đó (gọi là tập chiến lược)

Đặt C = C1× C2× × Cp và gọi fi : C → R là hàm chi phí Điều này cónghĩa là nếu đối thủ thứ nhất, thứ hai, , thứ p, lần lượt chọn chiến lược chơicủa mình là x1 ∈ C1, x2 ∈ C2, , xp ∈ Cpthì chi phí của mỗi đối thủ tươngứng sẽ là f1(x1, x2, , xp) , f2(x1, x2, , xp) , , fp(x1, x2, , xp) Mục tiêucủa mỗi đối thủ là tìm kiếm một chiến lược chơi trong tập chiến lược chơitương ứng để làm cực tiểu chi phí của mình Ký hiệu x = (x1, x2, , xp),một điểm x∗ ∈ C được gọi là điểm cân bằng Nash nếu một đối thủ i nào

đó rời khỏi phương án cân bằng trong khi các đối thủ khác vẫn giữ nguyên

phương án cân bằng thì đối thủ i không giảm được chi phí Về mặt Toán học,điểm x∗ ∈ C được gọi là điểm cân bằng Nash nếu

fi x∗1, , x∗i−1, x∗i, x∗i+1, , x∗p
≤ fi x∗1, , x∗i−1, yi, x∗i+1, , x∗p
,với mọi yi ∈ Ci và với mọi i = 1, 2, , p

Bài toán cân bằng Nash được hiểu là bài toán tìm điểm cân bằng Nash x∗.Xây dựng hàm f : C × C → R, bằng cách đặt

ta đưa bài toán cân bằng Nash về bài toán cân bằng EP (C, f)

Hàm f xác định bởi công thức trên được gọi là song hàm Nikaido-Isoda(xem [24])

Bài toán điểm yên ngựa

có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng

Thật vậy, với mỗi u = (x, y)T, v = (x0, y)T, ta đặt

C := A × B, f (u, v) := L (x0, y) − L (x, y0) Khi đó, nếu u∗ là nghiệm của bài toán cân bằng với C và f, tức là

u∗ ∈ A × B, f (u∗, v) ≥ 0, ∀v ∈ C = A × B,