Về sự tồn tại nghiệm và phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu mạnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCPHẠM THỊ MỸ LƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ MỸ LƯƠNG

VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN

CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ MỸ LƯƠNG

VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN

CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

2.1 Phát biểu bài toán và ví dụ 152.2 Sự tồn tại nghiệm 20

3 Thuật toán giải bài toán cân bằng đơn điệu mạnh 25

3.1 Thuật toán với tốc độ hội tụ tuyến tính 253.2 Thuật toán không cần điều kiện kiểu Lipschitz 28

Lời cam đoan

Luận văn thạc sỹ:"Về sự tồn tại nghiệm và phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu mạnh" được thực hiện bởi tác giả Phạm Thị Mỹ Lương - học

viên lớp Cao học Toán Ứng Dụng 2014 - 2016, cùng sự hướng dẫn của GS.TSKH

Lê Dũng Mưu - Viện Toán học - Viện Hàm lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, không trùng với bất kỳ nghiêncứu nào khác

Thái Nguyên, ngày 24 tháng 11 năm 2015

Học viên

Phạm Thị Mỹ Lương

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và sự chỉbảo nghiêm khắc của GS.TSKH Lê Dũng Mưu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcnhất đến thầy Trong quá trình học tập, tôi đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và sựgiảng dạy nhiệt tình của PGS Lê Thị Thanh Nhàn, PSG Tạ Duy Phượng, GS Trần

Vũ Thiệu, TS Nguyễn Thị Thu Thủy cùng các thày, cô giáo tham gia giảng dạy khóahọc 2014 - 2016, những người đã tâm huyết giảng dạy và trang bị cho tôi nhiều kiếnthức cơ sở

Xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thị Thu Thủy đã động viên, giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập

Xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin TrườngĐHKH, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong sướt quá trìnhhọc tập tại trường

Xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn bè, đồngnghiệp đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và quá trìnhlàm luận văn Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực củabản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sựđóng góp quý báu của các thày, cô cùng bạn đọc

Thái Nguyên, 2015 Phạm Thị Mỹ Lương

Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Danh sách ký hiệu

R không gian số thực

H không gian Hilbert thực

NC(x) nón pháp tuyến tại điểm x trên tập C

F ix(S) tập điểm bất động của ánh xạ S

PC(x) phép chiếu trực giao của điểm x trên tập C

hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y

δC(.) hàm chỉ trên C

kxk chuẩn của vectơ x

xn → x dãy {xn}hội tụ mạnh tới x

xn * x dãy {xn}hội tụ yếu tới x

x := y x được gán bằng y

∃x tồn tại x

Danh sách hình vẽ

2.1 Hình vẽ minh họa 183.1 Hình vẽ minh họa 33

Mở đầu

Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng <.,.> và chuẩn k.k Giả sử C

là tập lồi, đóng, khác rỗng và f : C × C → R sao cho f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C.Đối tượng của luận văn cao học này là bài toán cân bằng (còn được gọi là bất đẳngthức Ky Fan) Bài toán được phát biểu như sau:

Tìm

x∗ ∈ C : f (x∗, y) > 0, ∀y ∈ C (EP )Bài toán (EP) là một bài toán tổng quát với ý nghĩa là các bài toán tối ưu, bất đẳngthức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động Kakutani, mô hìnhcân bằng Nash cho trò chơi không hợp tác, như là các trường hợp đặc biệt của nó.Khi f là hàm lồi và khả vi dưới theo biến thứ 2 trên tập C thì từ phương pháp giảibài toán tối ưu ta có thể phát triển để giải bài toán (EP)

Trong những năm gần đây, phương pháp giải bài toán (EP) đã thu hút nghiên cứu.Một trong những phương pháp phổ biến nhất là phương pháp điểm gần kề Phươngpháp này được Martinet giới thiệu đầu tiên cho bất đẳng thức biến phân và sau đó

đó đã được mở rộng bởi Rockafellar cho việc tìm kiếm các không điểm của một toán

tử đơn điệu cực đại Moudafi và Konnov tiếp tục mở rộng phương pháp điểm gần kềcho bài toán (EP) với song hàm f đơn điệu và đơn điệu yếu

Một phương pháp giải khác cho bài toán (EP) là nguyên lý bài toán phụ Nguyên lýnày đã được Cohen giới thiệu đầu tiên cho bài toán tối ưu và sau đó mở rộng cho bấtđẳng thức biên phân Gần đây, Mastreni tiếp tục mở rộng nguyên lý bài toán phụ chobài toán (EP) khi song hàm f đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz CònNoor sử dụng nguyên lý bài toán phụ để phát triển các thuật toán lặp giải bài toán

(EP) với song hàm f đơn điệu mạnh từng phần.

Các phương pháp bó, đạo hàm mở rộng là những phương pháp phát triển trong ngànhtoán học, bất đẳng thức biến phân mới gần đây đã được mở rộng cho bài toán (EP).Mục đích của luận văn là trình bày những kiến thức cơ bản nhất và bài toán cân bằng(EP) Đặc biệt, luận văn đi sâu vào trình bày sự tồn tại nghiệm và phương pháp chiếugiải bài toán (EP) trong trường hợp song hàm đơn điệu mạnh

Bản luận văn này gồm những nội dung sau:

- Giới thiệu những điểm cơ bản nhất về bài toán cân bằng:

• Phát biểu bài toán

• Các trường hợp riêng

• Định lý tồn tại nghiệm tổng quát

- Trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng đơn điệu

- Giới thiệu hai thuật toán để giải bài toán cân bằng đơn điệu mạnh

Dù đã nghiêm túc nghiên cứu và rất cố gắng thực hiện luận văn, nhưng với trình độhạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót.Kính mong sự góp ý của các Thầy Cô, các bạn và các anh chị đồng nghiệp để luậnvăn này hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa hơn

Thái Nguyên, ngày 24 tháng 11 năm 2015

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản nhất về: không gian Hilbert;tập lồi, hàm lồi và một số ví dụ Các kiến thức trong chương này được trích từ tàiliệu [1 − 4]

1.1 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn thực gọi là không gian tuyến tính thực X

nếu với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số kxk (được gọi là chuẩn của x), thỏa mãn các điều kiện:

i) kxk > 0 với mọi x 6= 0, kxk = 0 ⇔ x = 0,

ii) kx + yk 6 kxk + kyk với mọi x, y ∈ X,

iii) kαxk 6 |α| · kxk với mọi x ∈ X, mọi α ∈ R.

Định nghĩa 1.1.2 Cho H là không gian tuyến tính thực và H × H → R

(x,y)7→hx,yi

thỏa mãn các điều kiện:

i) hx, xi > 0 với mọi x ∈ H, hx, xi = 0 ⇔ x = 0,

ii) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H,

iii) hλx, yi = λ hx, yi với mọi x, y ∈ H, λ ∈ R,

iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H

Khi đó cặp (H, < >) được gọi là không gian tiền Hilbert.

Định nghĩa 1.1.3 Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.

Trong suốt luận văn này, ta luôn kí hiệu H là không gian Hilbert

Ví dụ 1.1.1 (Không gian Euclide n chiều)

Xét không gian véc tơ Cn = {x = (x1, x2, , xn) : x1, x2, , xn ∈ C} với tích vô

[a,b]là không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] với

f ∈ Ł2[a,b] sao cho

Định nghĩa 1.1.4 Xét dãy {xn}n>0và x thuộc H Khi đó:

• Dãy {xn} được gọi là hội tụ mạnh tới x (kí hiệu: xn → x) nếu

lim

n→+∞kxn− xk = 0,

• Dãy {xn} được gọi là hội tụ yếu tới x (kí hiệu: xn * x) nếu

lim

n→+∞hy, xni = hy, xi , ∀y ∈ H

Mệnh đề 1.1.1.• Nếu dãy {xn} hội tụ mạnh tới x thì dãy {xn} cũng hội tu yếu tới x,

• Mọi dãy hội tụ mạnh (hội tụ yếu) đều bị chặn và giới hạn theo sự hội tụ mạnh (hội

tụ yếu) nếu tồn tại là duy nhất,

• Nếu H là không gian hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu là tương đương

nhau,

• Nếu dãy {xn}n>0là một dãy bị chặn trong H thì ta trích ra được một dãy con hội tụ yếu,

• Nếu dãy {xn}n>0là một dãy bị chặn trong H hữu hạn chiều thì ta trích ra được một dãy con hội tụ mạnh.

1.2 Tập lồi và hàm lồi

Định nghĩa 1.2.1 Tập C trong H được gọi là một tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C, mọi

λ ∈ [0, 1] thì λx + (1 − λ)y ∈ C.

Ví dụ 1.2.1 Các tập sau đây đều là các tập lồi:

a) Các nửa không gian đóng, các nửa không gian mở.

ii) Tập hợp C được gọi là tập đóng nếu C chứa mọi điểm biên của nó,

iii) Tập hợp C được gọi là tập compact yếu nếu C là tập đóng và bị chặn.

Định nghĩa 1.2.3 Cho C là một tập lồi trong H và một điểm x ∈ C.Khi đó:

i) Tập

NC(x) = {z ∈ H : hz, y − xi 6 0, ∀y ∈ C}

được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x.

ii) Tập

−NC(x) = {z ∈ H : hz, y − xi > 0, ∀y ∈ C}

được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x.

Định nghĩa 1.2.4 Cho hàm f : H → R ∪ {+∞} Khi đó:

i) Hàm f được gọi là hàm lồi trên H nếu

Nhận xét 1.2.1 Mọi hàm lồi chặt đều là hàm lồi, nhưng điều ngược lại không đúng.

Ví dụ 1.2.2 Một số hàm lồi quen thuộc:

1 Hàm chuẩn Euclide: kxk =phx, xi, x ∈ H

Thật vậy, đặt z = λx + (1 − λ)y, với mọi x, y ∈ H và λ ∈ (0, 1) bất kì.

Khi đó tồn tại các dãy {xn} , {yn} trong C sao cho:

n→∞ky − ynk = dC(y)

Do C là tập lồi nên zn = λxn+ (1 − λ) yn ∈ C Ta có:

dC(z) 6 kz − znk

Do đó nó là một hàm lồi nhưng không lồi chặt.

Nhận xét 1.2.2 Nếu tồn tại π ∈ C sao cho kπ − xk = dC(x) thì π được gọi là hình

chiếu khoảng cách của x trên C.

Ta kí hiệu hình chiếu khoảng cách của x trên C là PC(x), thì π = PC(x).

Mệnh đề 1.2.1 Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H Khi đó:

i) Với mọi x ∈ H và π ∈ C thì hai tính chất sau đây là tương đương:

là siêu phẳng tựa của C tại PC(x) và tách hẳn x khỏi C, tức là:

hPC(x) − x, y − PC(x)i > 0, với mọi y thuộc C

kπ − xk2 6 kx − yλk2 = k(π − x) + λ (y − π) k2hay

λky − πk2+ 2 hy − π, π − xi > 0, với mọi y ∈ C, λ ∈ (0, 1)

x − π ∈ NC(π)và

x − π0 ∈ NC(π0) Chọn y = π0, theo phần trên ta có:

hx − π, π0− πi 6 0hay

hx − π0, π − π0i 6 0

Suy ra

kπ − π0k2 6 0

Vậy π = π0

iv) a) Theo phần ii) ánh xạ x 7→ PC(x)xác định khắp nơi.

Vì z − PC(z) ∈ NC(PC(z)), với mọi z nên

hx − PC(x) , PC(y) − PC(x)i 6 0và

hy − PC(y) , PC(x) − PC(y)i 6 0

Cộng hai bất đẳng thức trên ta được:

hPC(y) − PC(x) , PC(y) − PC(x) + x − yi 6 0Kết hợp với bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta được:

kPC(x) − PC(y)k 6 kx − yk

b) Áp dụng tính chất b) của i) lần lượt với PC(x)và PC(y)ta có:

hPC(x) − x, PC(x) − PC(y)i 6 0và

hy − PC(y) , PC(x) − PC(y)i 6 0

Suy ra

hPC(x) − PC(y) + y − x, PC(x) − PC(y)i = hPC(x) − PC(y) , y − xi

hx∗, y − xi + f (x) 6 f (y) , với mọi y ∈ H.

Ký hiệu tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x)

f được gọi là khả dưới vi phân trên một tập nếu nó khả dưới vi phân tại mọi điểmtrên tập đó

Trong trường hợp ∂f (x) 6= ∅ thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại điểm x

Mệnh đề 1.2.2 Nếu hàm f : H → R là hàm lồi thì ∂f (x) 6= ∅, với mọi x ∈ X hay

f là khả dưới vi phân khắp nơi.

Trong định nghĩa sau ta xét C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gianHilbert thực H

Định nghĩa 1.2.6 Một song hàm f : C × C → R được gọi là:

i) Đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu

f (x, y) + f (y, x) 6 −βkx − yk2, với mọi x, y ∈ C, ii) Đơn điệu chặt trên C, nếu

f (x, y) + f (y, x) < 0, với mọi x, y ∈ C, x 6= y,

iii) Đơn điệu trên C, nếu

f (x, y) + f (y, x) 6 0, với mọi x, y ∈ C,

iv) Liên tục có tính chất kiểu Lipschitz trên C với hằng số L1, L2 > 0, nếu

f (x, y) + f (y, z) > f (x, z) − L1kx − yk2L2kx − yk2, với mọi x, y, z ∈ C.

Định nghĩa 1.2.7 Ánh xạ F : C → H được gọi là:

i) Đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu

Nhận xét 1.2.3 Nếu F : C → H là Lipschitz trên C với hằng số L > 0 thì với mỗi

x, y ∈ C, f (x, y) = hF (x) , y − xi thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz.

Hơn nữa, F đơn điệu (đơn điệu mạnh, đơn điệu chặt) khi và chỉ khi

> −L kx − yk ky − zk

> −Lµ

2 kx − yk2− L

2µky − zk2,với µ > 0 bất kì Vậy f là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz

• Với

f (x, y) = hF (x) , y − xivà

hF (x) − F (y) , x − yi > 0, ∀x, y ∈ C

Tương tự, ta chứng minh được F đơn điệu mạnh (đơn điệu chặt) khi và chỉ khi f đơnđiệu mạnh (đơn điệu chặt)

Chương 2

Bài toán cân bằng

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản nhất về bài toán cân bằng, đặc biệt

là bài toán đơn điệu mạnh, cụ thể là: giới thiệu bài toán, các ví dụ, định lý tồn tạinghiệm Các khái niệm và kết quả ở đây được lấy chủ yếu từ tài liệu [6], [7]

2.1 Phát biểu bài toán và ví dụ

Bài toán cân bằng

Bài toán cân bằng (hay còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan) được phát biểu nhưsau: Cho H là không gian Hilbert thực và C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và

f : C × C → R Khi đó bài toán cân bằng là:

Tìm

x ∈ C : f (x, y) > 0, ∀y ∈ C (EP )

Ký hiệu tập nghiệm của bài toán này là Sol

Dưới đây ta luôn giả thiết f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C Một song hàm thỏa mãn điềukiện này được gọi là song hàm cân bằng, C được gọi là tập chấp nhận được hay làtập chiến lược

Tiếp theo là một số ví dụ về bài toán cân bằng:

Ví dụ 2.1.1 Bài toán tối ưu

Xét bài toán:

min {ϕ (x) |x ∈ C}

x∗ ∈ C, v∗ ∈ F (x∗) : hv∗, y − x∗i > 0, ∀y ∈ C (V I)

Giả sử với mỗi x ∈ C, tập F (x) là tập lồi, compact và khác rỗng.Với mỗi x, y ∈ C,

ta mô tả bài toán (V I) về bài toán cân bằng như sau:

Đặt f (x, y) := max

v∈F (x)hv, y − xi , suy ra f (x, y) > 0, với mọi y ∈ C khi và chỉ khi

x là nghiệm của bài toán (V I).

Xét trường hợp riêng C = Rn+ và F đơn trị Khi đó bài toán (V I) tương đương với bài toán bù sau:

Ta hiểu sự tương đương ở đây là tập nghiệm của hai bài toán trùng nhau.

Thật vậy, giả sử x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân,ta có:

hF (x), y − xi > 0, với mọi y ∈ C.

Lần lượt chọn y = x + ei (véc tơ đoen vị thứ i), ta có:

Suy ra Fi(x) > 0, với mọi i.

Nếu chọn y = 0 ta có

0 6 − hF (x), xi 6 0

Vậy xTF (x) = 0.

Ngược lại, mọi nghiệm của bài toán bù đều là nghiệm của bất đẳng thức biến phân.

Một trường hợp riêng điển hình cho bất đẳng thức biến phân là bài toán quyhoạch lồi:

min {f (x) : x ∈ C}

trong đó f là hàm lồi khả dưới vi phân trên tập lồi C

Bài toán quy hoạch lồi được mô tả dưới dạng bất đẳng thức biến phân (V I), với

F = ∂f như sau:

Tìm x∗ ∈ C và v∗ ∈ ∂f (x∗)sao cho hv∗, y − x∗i > 0, với mọi y ∈ C

Giả sử x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên, với v∗ ∈ ∂f (x∗), theo địnhnghĩa của dưới vi phân ta có:

hv∗, y − x∗i + f (x∗

) 6 f (y), với mọi y

Do x∗là nghiệm của bất đẳng thức biến phân nên hv∗, y − x∗i > 0, với mọi y ∈ C Suy ra f(x∗) 6 f (y), với mọi y ∈ C Do đó, x∗ là một nghiệm của bài toán Ngượclại, nếu x∗ là nghiệm của bài toán trên, thì theo điều kiện cần và đủ tối ưu của quyhoạch lồi, ta có:

0 ∈ ∂f (x∗) + NC(x∗) Theo định nghĩa về nón pháp tuyến của C tại x∗, suy ra x∗ là nghiệm của bất đẳngthức biến phân (V I), với F (x) = ∂f(x)

Một ví dụ cho bất đẳng thức biến phân trong kinh tế như sau: Giả sử C là tập hợp cácchiến lược (tập ràng buộc) các phương án sản xuất có thể lựa chọn Với mỗi phương

án sản xuất x ∈ C, tập F (x) là tập các giá thành chi phí có thể ứng với phương án

x Khi đó bài toán (V I) chính là bài toán tìm phương án sản xuất x∗trong tập chiếnlược C và giá thành v∗ứng với x∗sao cho chi phí sản xuất là thấp nhất Trong trường

hợp ánh xạ giá không phụ thuộc vào phương án sản xuất, tức là F (x) = c với mọi

x ∈ C thì bất đẳng thức biến phân (V I) chính là bài toán quy hoạch quen thuộc:

Trong bài toán này, véc tơ giá c không phụ thuộc vào phương án sản xuất

Xét trên góc độ hình học, bất đẳng thức biến phân (V I) là bài toán tìm điểm x∗ ∈ Csao cho tập F (x∗)có một phần tử là véc tơ pháp tuyến (trong) của tập C tại điểm x∗

Hình 2.1: Hình vẽ minh họa

Ví dụ 2.1.3 Bài toán điểm bất động Kakutani.

Cho F : C → 2C Điểm x được gọi là điểm bất động của F nếu x ∈ F (x) Giả sử với mọi x ∈ C hàm F (x) lồi, compact và khác rỗng Khi đó bài toán đi tìm một điểm bất động của F có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng (EP ).

Thật vậy, với mỗi x, y ∈ C, ta đặt: