Hàm Số Lượng Giác Phương Trình Lượng Giác

Hàm số lượng giác và các phương trình lượng giác là một trong những dạng toán quan trọng trong chương trình lớp 11 và có thể xuất hiện trong kì thi THPT Quốc Gia vào những năm tới. Chính vì vậy bài tập chương này sẽ sâu chuỗi cho các em toàn bộ bài tập một cách có hệ thống từ tự luận đến trắc nghiệm một cách hiệu quả nhất,và đây là tổng hợp bài tập phương trình lượng giác có hướng dẫn giải chi tiết giúp các bạn lớp 11 tự học ở nhà với các bài tập phương trình lượng giác từ cơ bản đến nâng cao.

1 Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác

Quan sát và dùng các cơng thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung gĩc giống nhau, chẳng hạn:

Nếu đặt tsin2 X, cos2 X hoặc t sin , cosX X thì điều kiện là 0 t 1

Ví dụ 1 Giải phương trình: 4cos2x4sinx 1 0

4

x x

32

 2  2

pt3 1 2sin x 7sinx   2 0 6sin x7sinx 5 0

5sin

31sin

2

x x

sin 1

1sin

4

x x

Với cos2x2 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 6 Giải phương trình: 1tan2 2 5 0.

ÀI T V N ỤN

BT 1 [1D1-2]Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2sin2xsinx 1 0 b) 4sin2x12sinx 7 0

c) 2 2 sin2x (2 2)sinx 1 0 d) 2sin3xsin2x2sinx 1 0

e) 2cos2 x3cosx 1 0 f) 2cos2x3cosx 2 0

g) 2cos2x( 2 2)cos x 2 h) 4cos2x2( 3 2)cosx 6

i) tan2x2 3 tanx 3 0 j) 2tan2x2 3 tanx 3 0

k) tan2x (1 3)tanx 3 0. l) 3cot2x2 3cotx 1 0

m) 3cot2x (1 3)cotx 1 0 n) 3cot2x (1 3)cotx 1 0

Lời giải

22sin 1

k l x

 

cot 1

3cot

BT 2 [1D1-2] Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 6cos2x5sinx 2 0 b) 2cos2x5sinx 4 0

c) 3 4cos 2xsin (2sinx x1) d) sin2 x3cosx 3 0

e) 2sin2x3cosx 3 0 f) 2cos 22 x5sin 2 1 0.x 

g) 3sin2x2cos4 x 2 0 h) 4sin4x12cos2 x7

i) 4cos4x4sin2x1 j) 4sin4x5cos2x 4 0

Lời giải

a) 6cos2x5sinx  2 0 6 1 sin  2x5sinx 2 0

2

1sin

26sin 5sin 4 0

4sin

x  Phương trình vô nghiệm

b) 2cos2x5sinx  4 0 2 1 sin  2x5sinx 4 0

Với sinx 2 Phương trình vô nghiệm

c) 3 4cos 2xsin (2sinx x  1) 3 4 1 sin  2x2sin2 xsinx

Với sin 1 sin sin 6 2 ,

Với cosx 2 Phương trình vô nghiệm

e) 2sin2 x3cosx   3 0 2 1 cos  2x3cosx 3 0

x  Phương trình vô nghiệm

g) 3sin2x2cos4 x  2 0 3 1 cos  2x 2cos4x  2 0

x

x x

x x

BT 3 [1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2cos2 8cosx x 5 0 b) 1 cos2 x2cos x

c) 9sinxcos2x8 d) 2 cos2 x5sinx0

e) 3sinxcos2x2 f) 2cos2x8sinx 5 0

g) 2cos2x3sinx 1 0 h) 5cos 2sin 7 0

 

2

3cos

24cos 8cos 3 0

1cos

24sin 8sin 3 0

1sin

Ta có: sin2xcos2xcosx  2 1 cos2x2cos2x 1 cosx 2 0

Ta có: cos2xcos2xsinx   2 0 1 2sin2x 1 sin2xsinx 2 0

BT 4 [1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3cos2x2cos2x3sinx1 b) cos4 12sinx 2x 1 0

c) cos4x2cos2x 1 0 d) 16sin2 cos2 15

g) 1 cos4 x2sin2x0 h) 8cos2 xcos4x1

i) 6sin 32 xcos12x4 j) 5(1 cos ) 2 sin x   4xcos 4x

k) cos4 xsin4xcos4x0 l) 4(sin4xcos ) cos44x  xsin 2x0

cos2x sin2xcos2x sin2 x 2cos 2 1 02 x

    f) cos2x 3sin 2x 3sinx 4 cos x

g) 3sin 2x 3sinxcos2xcosx2.h) 2

Với cos 6 2 1 cos 6 2 cos

Xét phương trình cos2x 3sin2x 3sin x 4 cos x

Xét phương trình 3sin2x 3sin xcos2 cosx x2 biến đổi tương tự như câu f ta được:

t t

2

x

   hoặc cosx4 (loại)

       hoặc sinx 2 (loại)

Với sin 1 sin

Vậy tập nghiệm của phương trình: Sk2 , k .

BT 6 [1D1-2] Giải các phương trình lượng giác sau:

 2 2

4cos 1

k x

BT 7 [1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 8sin cosx xcos4x 3 0 b) 2sin 82 x6sin 4 cos4x x5

h) 3cos4x2cos2x 3 8cos 6x k) 3cosx  2 3(1 cos ).cot  x 2x

l) sin3 cos2x x 1 2sin cos2 x x m) 2cos5 cos3 sinx x xcos8 x

n) 4(sin6xcos ) 4sin 2 6x  x o) sin 4x 2 cos3x4sinxcos x

Lời giải

a) 8sin cosx xcos4x 3 0.

x x

   2  cos 1 2  

2cos

32

Điều kiện: sinx  0 x kk 

PT 3cos sinx 2x2sin 2x3 1 cos cos  x 2x 0

3cos 1 cosx x 2 1 cos x 3 1 cos cosx x0

3 2

2cos

3

1cos

23

2sin 2 cos2x x 2 2cos2 cosx x 4sinx 2sin cos cos2 1 cos2 cosx x x x x 2sinx

x x

22cos cos 1 0

2

6cos 1

e) 4sinx 3 2(1 sin ) tan  x 2 x f) 2sin3x 3 (3sin2 x2sinx3)tan x

g) 5sin 3(1 cos )cot2 2

2 3 2

2cos x cos x cos x 0

    2cos2xcosx 1 0cos 1

x x x

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

c) (2tan2 x1)cosx 2 cos2 x

Lời giải

Điều kiện:

2

x  k

2(2tan x1)cos x 2 cos2 x (2tan2x1)cosx 3 2cos2x(1).

Khi đó pt(1) 2sin2xcos2x3cos x2cos 3x 2cos3x3cos2x3cosx 2 0

 

cos 1cos 2

1cos cos

22cos x 3cos x 2 cos2 cosx x sin2 sinx x 0

Lời giải

24sinx 3 2(1 sin )tan x x 4sin 3 2(1 sin ) sin2 2

2

x x x

x x

2cos 2

x x

cot

x x

1cos

2

x x x

3 3cos3 sin3 4cos 3cos 3sin 4sin

(thỏa mãn điều kiện)

k) 32 tan 2 3 sin 1 tan tan

3

x x

2 Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cosin (phương trình cổ điển)

Dạng tổng quát: asinx b cosx c ( ) , ,  a b \ 0  

Điều kiện cĩ nghiệm của phương trình: a2b2 c2, (kiểm tra trước khi giải)

 Giả sử: cos 2a 2 , sin 2b 2 ,  0;2  

Lưu ý Hai công thức sử dụng nhiều nhất là: sin cos cos sin sin( )

cos cos sin sin cos( )

1  3   3 nên phương trình luôn có nghiệm

cos cos7 sin sin 7 cos

k k x

Phương trình tương đương với:cos2x 3sin 2x1 1cos2 3sin 2 1

1cos cos2 sin sin 2

3cos x sin x 3cosx sinx

     3 cosxsinx 3 cosxsinx 1 0

2 ,2

26

1sin

Lời giải

Phương trình tương đương với:2sin2x3sinx 2 2sin cosx xcosx0

sinx 2 2sin x 1 cos 2sin x x 1 0

      2sinx1 sin xcosx2 0

3sin 2x cos2x 4sinx 1

    2 3sin cosx x 1 2sin2 x4sinx1

Phương trình tương đương với: cos 2cos 2 2sin 3cos 2 1sin 2

BT 10 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3sin cos 2sin

b) cosx 2 sin 2xsin x

Phương trình tương đương với: sinxcosx 2 sin 2x 2 sin 2 sin 2

c) sin3x 3cos3x2sin 2 x

Phương trình tương đương với: 1sin3 3cos3 sin 2

d) sinxcosx2 2 sin cos x x

Phương trình tương đương với: 2 sin 2 sin 2 sin sin 2

e) 2cos3x 3sinxcosx0

Phương trình tương đương với: 1cos 3sin cos3 cos cos 3 

f) (sinxcos )x 2 3cos2x 1 2cos x

Phương trình tương đương với: 1 sin 2 x 3cos2x 1 2cosx

1sin 2 3cos2x cosx

g) 2 cos2xsinxcosx0

Phương trình đã cho tương đương với: 2 cos2 cos sin 2 cos2x 2 cos

g) sin3x 3cos3 2sinx x0

Phương trình đã cho tương đương với:sin3 3 cos3 2sin 1sin3 3cos3 sin

l) sinx 3 cosx 2 4cos2x

Phương trình tương đương với :sinx 3 cosx4cos2x2

sinx 3 cosx 2 2cos x 1

m) 4sin2xsinx 2 3 cosx

Phương trình tương đương với :sinx 3 cosx 2 4sin2 x

sinx 3 cosx 2 1 2sin x

1sin 3cos cos2

n) 2cosx 3sinxcosx 1 1

Phương trình tương đương với :2 3sin cosx x2cos2x2cosx1

3sin 2x cos2 1 2cosx x 1

o) 3sin 2x2sin2 x4sin3 cosx x2

Phương trình tương đương với : 3sin 2x2 1 sin  2 x4sin3 cosx x

23sin 2x 2cos x 4sin3 cosx x

   2 3sin cosx x2cos2x4sin3 cosx x0

Xét TH 2: 3sinxcosx2sin3x0

3sinx cosx 2sin3x

24 2

k x

Phương trình tương đương với : 3cos5 sin5 sinx x xsinx  3cos5 sin5x x2sinx

3cos5 1sin5 sin

k k x

k k x

Phương trình tương đương với: 3sin7xcos7xcosxcosx

Lời giải

Phương trình tương đương với: 2sin (1 2sin ) sinx  2x  x 3cos3 x

22sin (1 2sin ) sinx x x 3cos3 x

16 2

k x

Phương trình tương đương với: sin 2x 3 cos2x2 2cos 3 1 2 x 

x) 3sin 2x2cos2 x2 2 2cos2  x

Phương trình tương đương với: 2 3sin cosx x2cos2x2 2(1 cos2 ) x

 * cos 2 3 sin 2cos 4 0

BT 11 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 2xcosxcos2 sin x x

Lời giải

k x

2

2sin

cos2x 3sin 2x 3sinxcosx 1cos2 3sin 2 3sin 1cos

2 2323

k x

2cos 3sin 1

cos3x 3sin3x 3cos2 sin2x x

10 5

k x

cos7x 3sin7x 3cos5 sin5x x

sin 2x2cos xsinxcosx1sin 2x2cos2x 1 cosxsinx

sin 2x cos2x cosx sinx

k x

f) 4sin2xtanx 2(1 tan )sin3 x x1

Điều kiện cosx0

24sin xtanx 2 1 tan sin3 x x1

(thoả điều kiện)

 2 sin 2xcos2x  2 sin3x

32sin sin

k x

Điều kiện 2 2 sin 1

Điều kiện cosxcos3x 0 sin 2 sinx x 0 sin 2x0

Với điều kiện trên phương trình trở thành

 * 2cos2 2 3 sin cos cos 3 sin 1 cos 2 3 sin 2 cos 3 sin

1cos 2 3sin 2 1cos 3sin cos 2 cos

22

 * cos 2 1 tan tan tan 2sin 1 cos 2 1 sin sin2 sin 2sin 1

2

x

cos2 sin2x x cos sinx x

BT 12 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin2 2 3cosx 2x2cos x

Với 3cos xsin x 1 0

1cos 3sin 1 cos cos sin sin cos

c) sin 2xcosxsinx1

1 sin 2x sinx cosx

1sin 3cos 1 cos sin sin cos sin sin sin

e) 3sin2 cos2x x4sin x1

Phương trình tương đương với : 3sin2x 1 2sin 2x4sin 1x

23sin2 2sinx x 4sin x 0

3

x x

x x

phương trình tương đương với : tan sin 1 cos 2 tan sin cos 1

sin sin cos cos cos

 2cos2 cosx x 1 sinxcos2x 2cos2 cosx x2sin cosx x2cos2x

 cos (cos2x xsinxcos ) 0x   cos cosx 2 xsin2xsinxcosx0

 cos sinx xcosxcosxsinx 1 0

x x

 8sin cos2x x 3sinxcosx

 4 1 cos2 cos  x x 3sinxcosx

 4cosx4cos2 cosx x 3sinxcosx

 4cosx2 cos3 cos x x 3sinxcosx

 cosx 3sinx2cos3x

(thỏa điều kiện)

Cách 2: Nhân 2 vế (h) cho sin x ta được:

3 Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4)

Dạng tổng quát: a.sin2 Xb.sin cosX Xc.cos2X d (1)a b c d, , , 

Dấu hiệu nhận dạng: Đ ng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cosin (tan

và cotan được xem là bậc 0)

 cĩ phải là nghiệm hay khơng ?

 Bước 3 Đặt ttanX để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn tx

 Lưu ý Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn

Ví dụ 1 Giải phương trình: 2cos2x2sin 2x4sin2x1

Giải:

pt2cos x4sin cosx x4sin x1

Xét cosx0 thì sin2x1, phương trình trở thành 4.1 1 (vơ lí)

pt4sin xsin cosx x3sinx3cos x0

Xét cosx0 thì sin2x 1 sinx 1, phương trình trở thành

4.1 3.1 0  (vơ lí); hoặc 4.( 1) 3.( 1) 0 3   (vơ lí)

Suy ra cosx0

Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

Điều kiện cosx0

Dễ thấy sinx0 không là nghiệm của phương trình

Chia hai vế phương trình cho sin x2 ta được

k x

BT 13 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2sin2x3 3sin cosx xcos2x2

b) sin2xsin cosx x2cos2x0

c) cos2 x 3sin 2x 1 sin 2x

d) 2cos2x3 3sin 2x 4 4sin 2x

e) 3sin2 x (1 3)sin cosx xcos2x 1 3

f) 2sin2x (3 3)sin cosx x( 3 1)cos 2 x 1 0

g) 4sin2x5sin cosx x6cos2x0

h) cos (32 2 ) 3 cos 4 9 1 sin 2 2

2

BT 14 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx2cos 3x b) cos3xsin3xsinxcos x

c) sinx4sin3xcosx0 d) 4(sin3xcos ) cos3x  x3sin x

e) 6sinx2cos3x5sin 2 cos x x f) cos3x4sin3xsinx3cos sin x 2x

g) 3cos4xsin4x4sin cos 2x 2x h) 4sin3x3(cos3xsin ) sin cos x  2x x

i) 2 2 cos3 3cos sin

k) cos tan 4 1 sin 22x 2 x  x0 l) tan sinx 2x2sin2 x3(cos2xsin cos ).x x

m) sin3x 3cos3xsin cosx 2 x 3sin cos 2 x x

n) 4sin4x4cos4x5sin 2 cos2x xcos 22 x6 o)

3cot x2 2 sin x (2 3 2)cos x

GIẢI BÀI T P V N DỤNG 3

BT 13

a) 2sin2x3 3sin cosx xcos2x2

Xét cosx0 thì sin2x1, phương trình trở thành 2 2 (đúng)

b) sin2xsin cosx x2cos2x0

Xét cosx0 thì sin2x1, phương trình trở thành 1 0 (vô lí)

ptcos x2 3sin cosx xsin x1

Xét cosx0 thì sin2x 1 sinx 1, phương trình trở thành

1 1

  (vô lí); Suy ra cosx0

Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x2 ta được

d) 2cos2x3 3sin 2x 4 4sin 2x cos2x3 3sin cosx x2sin2x 2.

Xét cosx0 thì sin2x1, phương trình trở thành   2 2 (đúng)

f) 2sin2 x (3 3)sin cosx x( 3 1)cos 2 x 1

Xét cosx0 thì sin2x1, phương trình trở thành 2 1 (vô lý)

g) 4sin2x5sin cosx x6cos2x0.

Xét cosx0 thì sin2x1, phương trình trở thành 4 0 (vô lý)

tan

44

ptcos 2x 3sin 4 sin 2x x1cos 22 x2 3sin 2 cos2 sin 2x x 2 x1

Xét cos2x0 thì sin 22 x 1 sin 2x 1, phương trình trở thành

1 1

  (vô lí); Suy ra cos2x0

Xét cos2x0, chia hai vế phương trình chocos 2x2 ta được

k x

 2 2 cos sin cosx x x sin x 2cos x 0

  (vô lí); Suy ra cosx0

Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

  (vô lí); Suy ra cosx0

Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

  (vô lí); Suy ra cosx0

Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

  (vô lí); Suy ra cosx0

Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

g) 3cos4xsin4x4sin cos 2x 2x

Xét cosx0 thì sin2x 1 sinx 1, phương trình trở thành

1 0 (vô lí); Suy ra cosx0

Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x4 ta được

Xét cosx0 thì sin2x 1 sinx 1, phương trình trở thành

1 0

  (vô lí); Suy ra cosx0

Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

(Lưu ý: bài này cũng có thể đặt cos x2 làm nhân tử chung)

j) sin2 (1 cos2 )2 2cos2

  (vô lí); Suy ra cosx0

Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

k) cos tan 4 1 sin 22x 2 x  x0.

Đk: cos4x0

Xét cosx0 thì phương trình trở thành

1 0 (vô lí); Suy ra cosx0

Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x2 ta được

  (vô lí); Suy ra cosx0

Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

m) sin3x 3cos3xsin cosx 2x 3sin cos 2x x

Xét cosx0 thì sin2x 1 sinx 1, phương trình trở thành

1 0

  (vô lí); Suy ra cosx0

Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

2 2

pt 2sin 2x5sin 2 cos2x xcos 2x2

Xét cos2x0 thì sin 22 x 1 sin2x 1 , phương trình trở thành

2 2

  (vô lí); Suy ra cos2x0

Xét cos2x0 , chia hai vế phương trình chocos 2 x2 ta được

cos 2 2 cos 03cos 2 2cos 0

21cos

2

x x

4 Phương trình lượng giác đối xứng

 Dạng 1. a(sinxcos )x  b sin cosx x c 0 (dạng tổng/hiệu – tích)

PP

 Đặt tsinxcos , x t  2  t2 và viết sin cosx x theo t

Lưu ý, khi đặt t sinxcosx thì điều kiện là: 0 t 2

 Dạng 2. a(tan2xcot )2x  b (tanxcot )x  c 0

PP

 Đặt ttanxcot , x t    2 t2 và biểu diễn tan2 xcot2x theo t và

lúc này thường sử dụng: tan cot 1, tan cot 2

BT 15 Giải các phương trình lượng giác:

a) sin 2x2 2 sin xcosx5

d) 1 2 sin  xcosx2sin cosx x 1 2.

Với t 1

22

3 2 (L)2

sinxcosx  Điều kiện: sin 2x0.

Ta có: sin cos 2 2 sin cos 2 2 sin cos

  Điều kiện: sin 2x0

 sin cos 2 2 cos

Đặt sin cos 2 cos , 2

Đặt t sinxcosx điều kiện 0 t 2

Ta có : 2 sin cos 2 1 sin 2 sin cos 1 2 1

BT 16 Giải các phương trình lượng giác:

a) 3tan2x4tanx4cotx3cot2x 2 0 Điều kiện sin 2x0

sin x x x x  Điều kiện sin 2x0.

2 1 cot 2tan 5tan 5cot 4 0

2sin sin 2cos cos 1 0

2sin 1 cos 2cos cos 1 0

2.sin 1 cos 1 cos 1 cos 2cos 1 0

1 cos 2sin 1 cos 2cos 1 0

1 cos 2sin cos 2 sin cos 1 0

 Với cosx  1 x k2

 Với 2sin cosx x2 sin xcosx 1 0

2cos cos 1 2sin sin 0

2cos 1 sin 2sin sin 1 0

2.cos 1 sin 1 sin 1 sin 2sin 1 0

1 sin 2cos 1 sin 2sin 1 0

1 sin 2sin cos 2 sin cos 1 0

 Với 2sin cosx x2 sin xcosx 1 0

2sin sin sin 2cos cos cos

2 sin cos sin cos 1 0

2 sin cos 1 sin cos sin cos 1 0(*)

Ta có 2 sin cos 2 1 2sin cos sin cos 11 2.

sin cos 1 sin cos sin cos 0

2cos 1 5 2.(2 cos )(sin cos )

cos 2 2sin 2cos cos sin cos

2 sin cos cos sin 2 0

Ta có 2 sin cos 2 1 2sin cos sin cos 11 2.

3 2cos 2 1 sin cos 2

2 cos sin cos sin sin cos 1

2 2

1 cos 1 cos

1 sin 1 sin

1 cos . 1 cos 1 cos cos 0

1 sin 1 sin 1 sin sin

1 cos 0

1 sin

1 sin 1 sin sin

TH 1: cosx  1 x k2

TH 2: sin2xcos sinx 2xcos2xsin cosx 2x

sin cos sin  cos sin cos  0

sin cos 0sin cos sin cos 0

Với : sinxcosxsin cosx x0

3 arcsin 24

5 Một số phương trình lượng giác dạng khác

Dạng 1. .sin 2m x n cos2xp.sinx q cosx r 0

Ta luơn viết sin 2x2sin cos ,x x cịn:

2 2

cos sincos 2 2cos 1

at   bt c a t t t t với t1, t2 là hai nghiệm của at2  bt c 0 để xác định lượng nhân tử chung

Ví dụ 1 Giải phương trình: cos2xcosx3sinx 2 0

  phương trình vơ nghiệm

pt4sin cosx x 1 2sin x7sinx2cosx 4 0

2sin2 x 7sinx 3 4sin cosx x 2cosx 0