LÝ THUYẾT ELIP và bài tập tự LUẬN

Phương trình elip Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ... Elip nhận trục hoành và trục tung là hai trục đối xứng và nhận  0;0 O làm tâm đối xứng.. Nếu vẽ 4 đường thẳng qua 4 đỉnh của elip và s

I Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa elip

- Cho F và 1 F là hai điểm cố định, độ dài 2 F F1 22 , 2c 0,c  không đổi

M là một điểm thay đổi mà MF1MF2 2 , 2a a2c và 2a không đổi Khi đó quỹ tích điểm M gọi là một đường elip

- Khi đó F và 1 F gọi là hai tiêu điểm của elip 2

- Các đoạn MF và 1 MF gọi là bán kính qua tiêu của elip2

- Độ dài F F1 2 2c gọi là tiêu cự của elip

2 Phương trình elip

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ Phương trình elip

2 2

2 2 1

a b 

3 Tính chất elip

Cho  E : x22 y22 1

a b 

a Mx; y  �E thì

a x a

b y b

 � �

�

� � �

�

b Các đỉnh của elip A1a;0 ;   A a2 ;0 ;B 0; b ;B 0; b1   2 

c Elip nhận trục hoành và trục tung là hai trục đối xứng và nhận

 0;0

O làm tâm đối xứng

d Độ dài A A1 2 2a gọi là độ dài trục lớn

e Nếu vẽ 4 đường thẳng qua 4 đỉnh của elip và song song với hai trục Ox Oy như hình vẽ thì 4 đường thẳng này cắt nhautaoj thành ,

hình chữ nhật cơ sở, chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 2a và chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 2b

f Công thức tính bán kính qua tiêu

x; y  

1

2

cx

MF a

a cx

a

�

�

�

g Tâm sai của elip: tỉ số (0 1)

c

a

gọi là tâm sai của elip

4 Bài tập elip

A Trắc nghiệm.

Câu 1: Elip

2 2

25 9

có tâm sai bằng:

A

4 5

e

5 4

e

C

3 5

e

5 3

e

Câu 2: Cho elip

2 2

Chọn khẳng định sai:

A Điểm A( 3;0) ( ) �E B ( )E có tiêu cự bằng 2 5

C Trục lớn của ( )E có độ dài bằng 6 D ( )E có tâm sai bằng

3 5

5

Câu 3: Phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6và đi qua điểm A(5;0) là

A

2 2

100 81

2 2

15 16

C

2 2

25 9

D

2 2

25 16

Câu 4: Cho elip có phương trình 16x225y2 100 Tính tổng khoảng cách từ điểm

thuộc elip có hoành độ x2 đến hai tiêu điểm

A 3 B 2 2 C 5 D 4 3

B Tự luận.

Câu 1 Lập phương trình elip nếu:

a) elip có tiêu cự bằng 6 , tâm sai bằng 0, 6 b) tiêu cự bằng 6 , trục lớn là 2 10

và a b  10

e) tâm sai là

2

3 và

5 (2; ) ( ) 3

f) ( )E qua (4;A  3) và (2 3;3)B

Câu 2 Cho elip

2 2

a) Tìm tọa độ đỉnh, tiêu điểm và tính tâm sai của ( )E

b) Tìm M�( )E mà MF12MF2

Câu 3 Cho elip ( )E có F1( 3;0) và độ dài trục lớn gấp đôi độ dài trục nhỏ

a) Lập phương trình elip ( )E , tìm tọa độ các đỉnh, tính tâm sai của ( )E

b) Gọi M là một điểm tùy ý thuộc ( )E Chứng minh rằng:MF MF1 2OM2 là hằng số

và tính giá trị biểu thức A MF 12MF223MO2MF MF1 2 với O(0;0)

c) Tìm phương trình đường thẳng d Ox d/ / , �( )E A B,  mà OA OB với O(0;0)

Câu 4 Cho

2 2 1

16 9

và

2 2 2

36 4

a) Lập phương trình đường tròn qua giao điểm của hai elip trên

b) Gọi F1( 7;0) là tiêu điểm trái của ( )E1 Tìm M�( )E1 mà độ dài MF1 đạt GILN, GTNN

Câu 5 Tìm tâm sai của ( )E nếu:

a) độ dài trục lớn gấp đôi độ dài trục nhỏ

b) khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng tiêu cự

c) các đỉnh trên trục nhỏ nhìn đoạn thẳng nối hai tiêu điểm dưới một góc vuông Câu 6 Cho C(2;0) và

2 2

4

x

Tìm A B, trên ( )E biết A B, đối xứng nhau qua

Ox và tam giác ABC đều.

Câu 7 Cho

2 2

Tìm M �( )E mà MF12MF22 đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 8 Cho ( ) : 3E x24y2 12 và M(1;1) Lập phương trình đường thẳng  qua M, cắt ( )E tại hai điểm phân biệt A B, mà M là trung điểm của AB

Câu 9 Cho

2 2

Tìm 4 đỉnh M N P Q, , , trên ( )E nếu MNPQ nhận hai trục tọa độ là hai trục đối xứng và S MNPQ đạt max

Câu 10 Cho

2 2

Gọi F1 và F2 là hai tiêu điểm của ( )E Tìm M�( )E mà 0

M

y  và bán kính đường tròn nội tiếp MF F1 2 là 16

Câu 11 Trong mặt phẳng (Oxy), lập phương trình elip ( )E biết rằng ( )E có một đỉnh và hai tiêu điểm tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở là 12(2 3)

Câu 12 Cho elip

2 2

9

x

Tìm M�( )E mà a)MF1 3MF2

b)M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông

Câu 13 Cho elip

2 2

và A( 3;0); I( 1;0)  Tìm toạ độ B C, trên ( )E sao cho

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 14 Cho elip

2 2

16 9

d cắt ( )E tại B và C mà I là trung điểm BC

Câu 15 Cho A(0;5) Lập phương trình chính tắc ( )E qua A và hình chữ nhật cơ sở của ( )E nội tiếp ( ) : xC 2y2 41

Câu 16 Cho elip

2 2

100 25

Tìm M trên ( )E sao cho �F MF1 2 120o.

Câu 17 Cho

2 2

16 9

và d: 3x4y12 0 Gọi A B, là giao của d với ( )E Tìm

( )

M�E mà diện tích tam giác MAB bằng 6

Câu 18 Cho

2 2

16 9

Gọi M là một điểm trên ( )E và H I, là hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy. Tìm M để S MHOI đạt giá trị lớn nhất

Câu 19 Cho

2 2 ( ) : xC y 16 Lập phương trình chính tắc ( )E mà ( )E cắt (C) tại bốn điểm A B C D, , , mà hình chữ nhật ABCD có AB2BC.

Câu 20 Cho M(2;1) và ( ) : xC 2y2 21 Lập phương trình chính tắc elip biết hình chữ nhật cơ sở của elip nội tiếp trong ( )C và M nhìn hai tiêu điểm elip dưới một góc 60o

Câu 21 Lập phương trình elip biết đường tròn nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh là bốn

đỉnh elip có bán kính là

12

5 và chu vi hình chữ nhật cơ sở là 28

Câu 22 Cho elip

2 2

4

x

và

2 2 ( ; )

3 3

M

Lập phương trình  qua M,   giao (E)

tại hai điểm phân biệt A B, sao cho MA2MB

Câu 23 Cho elip

2 2

Tìm M�( )E mà tổng hoảnh độ và tung độ của M đạt giá trị nhỏ nhất