Lý thuyết mạch và bài tập có giải

Lý thuyết mạch và bài tập có giải

Chương 3 Phân tích quá trình quá độ trong

mạch điện tuyến tính Tóm tắt lý thuyết

Quá trình quá độ trong mạch điện là quá trình chuyển từ một trạng thái xác lập này của mạch sang một trạng thái xác lập khác Quá trình quá độ trong mạch điện được bắt đầu từ thời điểm “đóng-mở mạch”, thường coi là từ t0=0 Nguyên nhân của quá trình quá độ là sự có mặt của các thông số quán tính L và

C trong mạch Ta biết rằng các thông số quán tính L, C tích luỹ năng lượng WM

và WE nên khi quá trình quá độ diễn ra sẽ có sự phân bố lại năng lượng trong mạch Tốc độ biến thiên của năng lượng chính là công suất: p(t)=

t

W dt

dW Δ

Δ

Như vậy thì tốc độ biến thiên của năng lượng p(t) phải ≠∞, tức không thể tồn tại ΔW≠0 khi Δt=0 Từ đó ta có điện áp trên điện dung uC(t) và dòng điện qua điện cảm iL(t) phải biến thiên liên tục Giá trị của điện áp trên C và dòng điện qua L tại thời điểm bắt đầu diễn ra quá trình quá độ là rất quan trọng Chúng được gọi

là điều kiện ban đầu (ĐKBĐ) - đó chính là các điều kiện biên trong bài toán giải phương trình vi phân Nếu chúng bằng 0 thì gọi là điều kiện ban đầu không

t

f(t)

a)

f(t)

b)

t

f(t)

c)

0

A h

h

H×nh 3.1

Để tiện phân tích mạch trong chế độ quá độ người ta chia nguồn tác động thành các dạng tác động mẫu sau:

-Nguồn bậc thang:

⎩

⎨

⎧

≤

<

=

t khi h

t khi )

t ( f

0

0 0

(Hình 3.1a) (3.1)

-Nguồn xung vuông

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

<

τ

τ

≤

≤

<

=

t khi

t khi h

t khi )

t ( f

0 0

0 0

(Hình 3.1b) (3.2)

-Nguồn xung Dirac δ(t)=

⎩

⎨

⎧

≠

=

∞

0 0

0 t khi

t khi

(đồ thị trùng với trục tung) (3.3) -Nguồn hình sin:

(Hình 3.1c)

⎩

⎨

⎧

≤

<

=

t 0 khi t sin hoăo t cos A

0 t khi 0 ) t (

ω

Mạch điện, ngoài đặc tính tần số còn đặc trưng bởi đặc tính quá độ h(t) và đặc tính xung g(t) Chúng được định nghĩa như sau:

không ĐKBĐ thang

bâc đông tác

mach cua ung phan )

t (

h = (3.5)

không ĐKBĐ đông

tác xung tích Diên

mach cua ung phan )

t (

Phân tích trình quá độ của mạch điện là lập và giải hệ phương trình trạng thái đặc trưng cho mạch bằng công cụ toán thích hợp Hệ phương trình trạng thái của mạch điện tuyến tính thường gặp là một hệ phương trình vi phân tuyến tính

hệ số hằng không thuần nhất Nghiệm của hệ gồm hai thành phần:

- Nghiệm của hệ phương trình vi phân thuần nhất - đây chính là dao động

tự do trong mạch điện Là dao động tự do nên khi t→∞ thì thành phần tự

do phải tiến tới 0

- Thành phần thứ hai là 1 nghiệm riêng - đó chính là dao động cưỡng bức trong mạch điện

Nghiệm tổng quát của hệ là là tổng (tức xếp chồng) của dao động tự do và dao động cưỡng bức

Việc phân tích quá trình quá độ có thể thực hiện bằng một công cụ toán học nào đó để tìm các nghiệm tự do và nghiệm cưỡng bức Ví dụ: chương trứơc

ta đã tìm thành phần cưỡng bức hình sin của mạch điện thông qua công cụ biểu diễn phức

Có hai phương pháp thông dụng phân tích quá trình quá độ: phương pháp kinh điển và phương pháp toán tử Laplas

1 Phương pháp kinh điển là lập và giải hệ phương trình vi phân của mạch điện

Phương pháp này chỉ thực hiện tiện lợi với các mạch giản đơn vì với mạch phức tạp việc giải hệ phương trình vi phân là một công việc nan giải Như vậy phương

pháp này chỉ ứng dụng khi mạch được đặc trưng bởi một phương trình vi phân;

thậm chí là một phương trình vi phân bậc nhất Khi có 1 phương trình vi phân

bậc 2 thì giải bằng toán tử cũng tỏ ra thuận tiện hơn Đặc biệt nếu mạch có một

nguồn tác động là bậc thang hoặc hình sin với mạch chỉ có 1 loại thông số quán tính ta có thể xác định ngay được các dòng điện và điện áp trong mạch thông qua

việc phân tích trực tiếp tiếp trên mạch tại thời điểm t=0 và t→∞ ở đây ta chỉ xét

trường hợp mạch có 1 điện dung C hoặc 1 điện cảm L mắc với nguồn bậc thang

hoặc nguồn hình sin với 1 số điện trở trong mạch

a) Mạch dưới tác động của bậc thang

Lúc đó mọi phản ứng fK(t) (dòng điện hoặc điện áp) ở nhánh thứ k nào đó

sẽ có dạng:

fK(t)=AKe-αt+BK (3.7)

Biến thiên theo quy luật hàm mũ

Như vậy các dòng điện, điện áp trong các nhánh chỉ khác nhau các hằng

số AK và BK, có cùng hệ số tắt dần α Việc giải bài toán thực chất là xác định 3 hằng số α, AK và BK Chúng được xác định như sau:

- Hệ số α: xác định theo đường phóng-nạp của C hoặc L Ae-αt là thành phần dao động tự do có hệ số tắt dần α

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

α

L mét cã chØ ch

¹ m NÕu L

R

C mét cã chØ ch

¹ m NÕu C

R

td td

1

(3.8)

- Trong công thức trên thì Rtđ là điện trở tương đương “nhìn” từ 2

đầu của C hoặc L vào mạch khi cho nguồn tác động bằng 0 (đường phóng-nạp của C hoặc L)

RtđC=τ hoặc

td R

L =τ; τ gọi là hằng số thời gian của mạch (thứ nguyên thời gian) Thực tế thì quá trình quá độ chỉ kéo dải trong khoảng tXL≈3τ tXL gọi là thời gian xác lập của mạch (sau thời gian 3τ trong mạch chỉ còn các dao động cưỡng bức, các thành phần dao động tự do ≈ 0)

- Thành phần BK: từ (3.7) ta thấy khi t→∞ thì chỉ còn lại thành phần BK, lúc này mạch chuyển sang chế độ một chiều vì nguồn tác động là bậc thang Như

t

)

t

(

∞

→ được xác định ở chế độ 1 chiều của mạch

- Thành phần AK: Từ (3.7) ta thấy khi t=0 thì fK(0)=

K k

t ) t (

→ 0 - Giá trị fK(0) xác định theo điều kiện ban đầu Từ đó xác định AK, tức đã tính được fK(t)

Các điện áp và dòng điện khác cũng xác định tương tự hoặc nên sử dụng

các định luật Ôm và Kieckhop để xác định chúng từ f K (t) cho tiện

Như vậy bài toán phải được bắt đầu từ xác định điều kiện ban đầu Từ đó

xác định AK tại thời điểm t=0 Khi đó có 4 điều cần chú ý như sau:

Thứ nhất: Tại thời điểm t=0 mà uC(0)=0 thì C được thay bằng dây dẫn trong sơ đồ tương đương để tính AK

Thứ hai: Tại thời điểm t=0 mà uC(0)≠0 thì C được thay bằng nguồn sđđ trong sơ đồ tương đương để tính AK

Thứ ba: Tại thời điểm t=0 mà iL(0)=0 thì L được thay bằng đoạn hở mạch trong sơ đồ tương đương để tính AK

Thứ tư: Tại thời điểm t=0 mà iL(0)≠0 thì L được thay bằng nguồn dòng trong sơ đồ tương đương để tính AK

b) Mạch dưới tác động của hình sin

Phản ứng của mạch sẽ có dạng:

fK(t)=AKe-αt+BK(t) (3.9)

Trong đó k BK

t ) t (

∞

→ (t) được xác định ở chế độ hình sin xác lập của mạch Chế độ này dùng biểu diễn phức như đã xét trong chương 2 Tiếp theo là

AK cũng xác định theo điều kiện ban đầu

2 Phương pháp toán tử Laplas:

Phương pháp này phải biến đổi hệ phương trình vi phân về hệ phương trình đại số với các hàm ảnh Phương pháp này được tiến hành trong 5 bước:

Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu - xác định các điện áp trên các điện

dung và dòng điện qua các điện cảm tại thời điểm bắt đầu “đóng- mở” mạch

Bước 2: Biến đổi mạch điện về dạng toán tử tương đương

Bước3: Lập hệ phương trình cho mạch ở dạng hàm ảnh

Bước 4: Giải hệ phương trình tìm hàm ảnh

Bước 5: Biến đổi hàm ảnh về dạng bảng để tra bảng 3.1, tìm hàm gốc

Chú ý:+ Bước 2:

-Biến đổi các nguồn tác động mẫu về dạng ảnh dùng bảng 3.1

-Biến đổi thông số R về dạng toán tử - vẫn giữ nguyên R như một giá trị hằng

-Biến đổi điện cảm L được thực hiện như ở hình 3.2 Trong đó mạch ở dạng hàm gốc hình 3.2.a) có quan hệ = ∫ +

t

L I dt ) t ( u L ) t ( i

0

0

Chuyển sang dạng ảnh:

Biến đổi Laplas cả 2 vế (3.9) sẽ có:

hay u ( p ) pLi ( p ) LI ( )

pL

LI ) p ( u p

I pL

) p ( u ) p

(

Công thức 3.11 cho ta sơ đồ tương đương hình 3.2b) khi điều kiện ban đầu không, tức IL0=0; sẽ có mạch tương đương hình 3.2c) khi điều kiện ban đầu khác không, tức IL0≠0 Từ mạch hình 3.2c) có thể chuyển sang mạch nguồn dòng tương đương hình 3.2d) Chú ý: chiều của nguồn sđđ dạng ảnh hình 3.2c) có chiều như chiều của dòng điện ở mạch gốc hình 3.2.a) và có trị số là L.IL0 với L

có thứ nguyên Henri, IL0-Ampe; nguồn dòng hình 3.2d) cũng có chiều như vậy và

có trị số là LIL0/pL=IL0/p

H×nh 3.2

a)

i(t)

L

u(t)

b) i(p) Lp u(p)

c)

i(p) Lp

u(p)

i(p) Lp

u(p) p

IL0

- Biến đổi điện dung C được thực hiện như trên hình 3.3 Mạch ở dạng hàm gốc hình 3.3 a) theo quan hệ: = ∫ti(t)dt+uC

C ) t ( u

0

0

1

(3.12)

Bảng 3.1

A

A

A

At

t )!

1 n (

−

A

Ae-αt

A α +

t 1

n e t )!

1 n (

−

A α

α

−

−

p

A ω

A ω

ω

p

Ap ω

0

2 2 p p

A ω

1 1

ω ω

α

−

0

2 2 p p

Ap ω

1

ω

α ω

−

0 2

2 1

p 2 p

A p A

ω

+

+

) t sin A A t cos A (

1

1 2 1 1

ω

α ω

+

−

A

2

A

16 p(p 2 p )

A

2 0

1 1 1 2

0

ω

α + ω

− ω

α

−

0

1 = ω − α ω

Chuyển sang dạng ảnh:

Biến đổi Laplas cả 2 vế (3.12) sẽ có:

1

1

C C

Cu pC

) p ( u ) p ( i hay p

u ) p ( i pC ) p (

H×nh 3.3

a)

i(t)

C

u(t)

b) i(p)

u(p)

c)

i(p) u(p)

d)

i(p)

u(p)

uC0

−

pC

1 pC

1 pC

1

-CuC0

Công thức 3.13 cho ta sơ đồ tương đương hình 3.3b) khi điều kiện ban đầu không, tức uC0=0; sẽ có mạch tương đương hình 3.3c) khi điều kiện ban đầu khác không, tức uC0≠0 Từ mạch hình 3.3c có thể chuyển sang mạch nguồn dòng tương đương hình 3.2d) Chú ý: nguồn sđđ dạng ảnh hình 3.3c) có chiều như chiều của dòng điện nạp cho điện dung ở mạch gốc hình 3.3.a) thì nó phải mang dấu “-”, nếu lấy ngược chiều-mang dấu “+”; nguồn dòng hình 3.3d) cũng có chiều được xác định như vậy

Buớc 5: Bíên đổi về dạng bảng sử dụng phương pháp hằng số bất định

hoặc công thức Heaviside

Công thức Heaviside khi ảnh của phản ứng FK(p) là tỷ số của hai đai thức hữu tỷ

) p ( N

) p ( M )

p

(

FK = được ứng dụng rất thuận tiện khi đa thức mẫu số có các nghiệm thực Giả sử N(p) là đa thức bậc n, có 1 nghiệm thực bội bậc q là pb và có r=n-q nghiệm thực đơn thì:

q b q

b b

r

r K

) p p (

C

) p p (

C p

p

C p

p

A

p p

A p p

A ) p (

N

) p ( M

)

p

(

F

− + +

−

+

−

+

− + +

−

+

−

=

2

2 1

1 Trong đó: Các hệ số AK xác định theo công thức (3.14) hoặc (3.15):

( )

p p ) p p ( ) p ( N

) p ( M A

k k

=

−

=

( )

p p ) p ( ' N

) p ( M A

k

=

= các hệ số CK xác định theo công thức (3.16) hoặc:

b

q b ]

q [

] q [

b

q b q

b

q b q

p p ] ) p p ( ) p ( N

) p ( M [ dp

d )!

q

(

C

p p ] ) p p ( ) p ( N

) p ( M [ dp

d C

; p p ] ) p p

(

)

p

(

N

)

p

(

M

[

C

=

−

−

=

=

−

=

=

−

=

−

−

−

1

1 1

1

1

3 Phương pháp tích phân Duhamel và tích phân Green: Nếu tác động không

thuộc dạng mẫu ta áp dụng các công thức tích phân để tính phản ứng f2(t) khi tác động là f1(t) Tính được thực hiện qua đặc tính quá độ h(t) và đặc tính xung g(t) với nhánh tương ứng của mạch

Công thức tích phân Duhamen:

t ' t

'

dx ) x ( h )

x t ( f ) t ( h )

( f dx ) x t ( h )

x ( f ) t ( h )

( f )

t

(

f

0 1 1

0 1 1

Công thức tích phân Green:

=∫ − =∫ −

t t

dx ) x ( g )

x t ( f dx ) x t ( g )

x ( f )

t

(

f

0

1 0

1

Tất nhiên nếu tác động thuộc dạng mẫu thì các công thức trên vẫn giữ nguyên hiệu lực

Bài tập

3.1 Mạch điện hình 3.4 là mạch nạp điện cho điện

dung C=20μF, dùng nguồn một chiều E=100V nạo

qua điện trở R=5 KΩ bằng cách đóng cầu dao K tại

thời điểm t=0

1 Tìm uC(t), uR(t), i(t) và vẽ đồ thị của chúng

bằng 2 cách

a) Lập và giải phương trình vi phân

b) Phân tích theo công thức (3.7)

2 Tại sao phải nạp cho C qua R? (Thay R bằng dây dẫn có được không?)

3.2 Cho mạch điện hình 3.5 với L=0,5H, R=100Ω và

nguồn một chiều E=50V Tại thời điểm t=0 khoá K được

đóng lại Tìm uL(t), uR(t), i(t) và vẽ đồ thị của chúng

3.3 Mạch điện gồm hai cuộn cảm mắc nối tiếp có điện trở

và điện cảm tương ứng là R1, L1 và R2, L2, được đóng vào

nguồn một chiều U=300V tại thời điểm t0=0 Biết: hằng số

thời gian củat mạch τ=0,01s, điện áp trên 2 cực của cuộn thứ nhất tại thời điểm

t0=0 là U1(0)=200V, điện áp trên 2 cực của cuộn thứ hai tại thời điểm t1=0,02s là

U2(t1)=186,5V, giá trị của dòng điện khi xác lập là 10A Hãy xác định các thông

số mạch R1, L1 và R2,

L2

3.4 Mạch điện hình

3.6 có R1=20Ω, R2=18

Ω, R3=30Ω, C ≈ 66,67

μF Tại thời điểm t =0

H×nh 3.4

K

C

R E

H×nh 3.5

K

L R

E

H×nh 3.6

K

C R

1

i (t)

i (t)

i (t)

u (t)

2

3 1

C

L

K

E

R

R 2

R 1

i

i 1

i 2

H×nh 3.7

người ta đóng khoá K Tìm i1(t), i2(t), i3(t) và uC(t), biết E=44V,UC0=0

3.5 Trong mạch điện hình 3.7 biết nguồn một chiều E=140,4V, R=24Ω;

R1=18Ω, R2=12Ω, L=0,65H Tìm các dòng điện trong các nhánh của mạch và điện áp trên điện cảm sau khi đóng khoá K tại thời điểm t=0, biết iL(0)=0

3.6 Mạch điện hình 3.8 có R0=R=10Ω, nguồn một chiều E=100V, khoá K được đóng tại thời điểm t=0 Tìm giá trị của điện cảm L, biết điện áp trên cuộn dây là

UC tại thời điểm t1=0,04s có trị số UC(t1)=60V

3.7 Mạch điện hình 3.9 có R1=R2=10 Ω, L=100 mH, nguồn một chiều E=100V Tại thời điểm t=0 khoá K được đóng lại, sau đó1s khoá K được hở ra Tìm biểu thức của các dòng điện i1(t), i2(t), iK(t) và vẽ đồ thị của chúng

3.8 Mạch điện hình 3.10 có các nguồn một chiều một chiều E1=30V, E2=12V,

C1=500μF, C2=200μF, R1=10Ω, R2=15Ω, R3=9 Ω Tại thời điểm t=0 người ta hở khóa K Tìm các dòng điện i1(t), i2(t), i3(t) và các điện áp uC1(t), uC2(t), vẽ đồ thị của chúng; biết rằng trước khi hở khoá K mạch đã xác lập

3.9 Cho mạch điện hình hình 3.11 với nguồn hình sin e(t)=Emsin (100t+αe ) Tại thời điểm điện áp nguồn chuyển qua giá trị cực đại dương thì khoá K được đóng lại Tìm biểu thức dòng điện sau khi đóng khoá K biết R0=R=10Ω, L=0,1H và trước khi đóng khoá K thì Ampe kế chỉ 2 5A

3.10 Người ta đóng mạch RL mắc nối tiếp vào nguồn hình sin e(t)=Emsin(ωt+αe) tại thời điểm t=0 Biết rằng khi xác lập thì điện áp trên điện cảm là:

uL(t)=120 sin314t [V] và R=XL=10Ω Hãy xác định i(t) và uR(t)

3.11 Mạch điện hình 3.12 có nguồn hình sin biên độ Em=100V, tần số góc ω=314rad/s, biết R1=4Ω; R2=2Ω, L1=9,57mH, L2=15,9 mH Tại thời điểm nguồn đạt giá trị dương cực đại thì khoá K được đóng lại Xác định các dòng điện và vẽ đồ thị thời gian của chúng

3.12 Người ta đóng điện dung C vào nguồn 1 chiều E=200V qua điện trở R Biết

hằng số thời gian của mạch là τ=0,25s, dòng điện tại thời điểm đóng mạch i(0)=0,04A

a) Tìm biểu thức của uC(t)

b) Tìm giá trị của R và C

3.13 Mạch điện hình 3.13 có C=1000μF, R=50Ω Tại thời điểm t=0 khoá K được chuyển từ vị trí tiếp điểm 1 sang 2 Biết năng lượng C nạp được tại thời điểm t=0 là WE(0)=5 Jun Hãy xác định

a) uC(t), i(t)

b) Khoảng thời gian mà một nửa năng lượng được biến thành nhiệt năng

3.14 Tụ điện C=5μF được nạp điện từ nguồn một chiều U=200V qua điện trở R=5KΩ Hãy xác định:

a) Năng lượng nạp trong tụ khi tụ đã nạp đầy

b) Nhiệt năng tiêu hao trong quá trình nạp

3.15 Mạch điện hình 3.14 có R1=R2=R3=1Ω, C=1F Hãy xác định hằng số thời gian τ của mạch trong 2 trường hợp:

a) Nguồn tác động là nguồn điện áp

b) Nguồn tác động là nguồn dòng

3.16 Mạch điện hình 3.15 có nguồn một chiều E=150V, R1=75Ω; R2=25Ω; C=80μF Tại thời điểm t=0 khoá K được đóng lại, sau đó 1s khoá K được hở ra Tìm biểu thức uC(t), iC(t) và i1(t) và vẽ đồ thị thời gian của chúng

3.17 Mạch điện hình 3.16 có R=10Ω, C=100μF, khoá K được đóng tại thời điểm t=0 vào nguồn 1 chiều E Bíêt tốc độ biến biến thiên cực đại của năng lượng điện trường là pC(t)max=250 [VA] (Von-Ampe) Hãy xác định:

a) i(t), uC (t)

b) Năng lượng và điện tích điện dung được nạp

c) Năng lương tiêu hao trong quá trình nạp

3.18 Mạch điện hình 3.17 có E=150V, L=20mH, C=133,3μF, hằng số thời gian của các nhánh τ1=1 ms; τ2=2ms Xác định các dòng điện sau khi đóng K

3.19 Mạch điện hình 3.18 có e(t)=60 2sin(1000t+αe)[V], R=R1=20Ω, L=40mH, C=50μF Tại thời điểm nguồn chuyển qua giá trị không thì khoá K hở

ra Hãy xác định iL(t) và uC(t)

3.20 Mạch điện hình 3.19 có e(t)=200sin(1000t+αe)[V], R=50Ω, L=50mH, C=20μF Tại thời điểm nguồn đạt giá trị dương bằng giá trị hiệu dụng thì khoá K

hở ra Hãy xác định iL(t) và uC(t)

3.21 Cho mạch điện hình 2.20 với nguồn một chiều E=150V, R=R1=R2=10Ω, C=40μF Khoá K đóng tại thời điểm t = 0

a) Lập phương trình vi phân đặc trưng cho mạch với các biến khác nhau: i(t),

i1(t), i2(t) và uC(t)

b) Tìm i(t), i1(t), i2(t) và uC(t)