Vector pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng a.. Vector pháp tuyến của đường thẳng - Cho đường thẳng d, vector nr r≠ 0 gọi là vector pháp tuyến VTPT của đường thẳng d nếu
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. Tóm tắt lý thuyết
1. Vector pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng
a. Vector pháp tuyến của đường thẳng
- Cho đường thẳng (d), vector nr r≠ 0 gọi là vector pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng (d) nếu giá của nr
vuông góc với (d)
- Nhận xét: Nếu nr
là vector pháp tuyến của (d) thì knr
cũng là VTPT của (d)
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng
• Định nghĩa:
Phương trình (d): ax by c+ + =0 trong đó a và b không đồng thời bằng 0 (tức là a2 + ≠b2 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng (D) nhận n a br( ; )là VTPT
• Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng
- (d): ax c+ =0(a≠0) : (d) song song hoặc trùng với Oy
- (d): by c+ =0(b≠0): (d) song song hoặc trùng với Ox
- (d): ax by+ =0(a2 + ≠b2 0)(d) đi qua gốc tọa độ
- Phương trình dạng đoạn chắn: ax by+ =1 nên (d) đi qua A a( ;0), (0; ),( ,B b a b≠0)
- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k y kx m: = + ( k được gọi là hệ số góc của đường thẳng)
2. Vector chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
a. Vector chỉ phương của đường thẳng
- Cho đường thẳng (d), vector ur r≠ 0 Gọi là vector chỉ phương (VTCP) của (d) nếu giá của ur
song song hoặc trùng với (d)
- Nhận xét: Nếu ur
là vector chỉ phương của (d) thì kur cũng là VTCP của (d) VTCP và VTPT vuông góc với
Trang 2nhau, vì vậy nếu (d) có VTCP u a br( ; ) thì n b ar( ; )− Là VTPT của (d)
b. Phương trình tham số của đương thẳng
- Phương trình tham số có dạng:
0
x x at
a b
y y bt
= +
= +
thì đường thẳng (d) đi qua điểm M x y0 ( ; ) 0 0 và nhận ( ; )
u a br
làm VTCP, t là tham số
- Chú ý:
+ Khi thay mỗi t∈ ¡ vào phương trình tham số ta được một điểm M x y( ; ) ( )∈ d
+ Nếu điểm M x y( ; ) ( )∈ d thì sẽ có một t sao cho x,y thỏa mãn phương trình tham số
+ Một đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số(
vì ứng với mỗi t∈ ¡ ta có một phương trình tham số)
c. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:
0 0 ;( , 0)
a b
đường thẳng (d) đi qua điểm
0 ( ; ) 0 0
M x y và nhận u a br( ; ) làm VTCP
d. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A x y( ; )A A và
( ; )B B
B x y có dạng:
+ Nếu
x x
y y
≠
≠
thì đường thẳng qua AB có phương trình chính tắc là:
x x y y
x x y y
+ Nếu x A =x B ⇒ AB x x: = A
+ Nếu y A = y B ⇒ AB y y: = A
e. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng
Trang 3Cho điểm M x y( ; ) 0 0 và đường thẳng ∆:ax by c+ + =0 khoảng cách từ M đến ∆được tính theo công thức sau:
0 0
2 2 ( ; ) ax by c
d M
a b
∆ =
+
f. Góc giữa hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng ( ) :d1 a x b y c1 + 1 + = 1 0 và
( ) :d a x b y c+ + = 0 lần lượt có vector pháp tuyến là
1 ( ; ) 1 1
n a b
ur
và n a buur 2 ( ; ) 2 2
Gọi αlà góc giữa ( )d1 và ( )d2 thì ta
có công thức
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
cos
+
α = =
ur uur
ur uur
3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
- Cho 2 đường thẳng ( ) :d1 a x b y c1 + 1 + = 1 0 và
( ) :d a x b y c+ + = 0 + d1 cắt d2
1 1
2 2
a b
a b
⇔
0
≠
+ d1 / /d2 ⇔
1 1
2 2
0
a b
a b =
và
1 1
2 2
0
b c
b c ≠
hoặc
1 1
2 2
0
a b
a b =
và
1 1
2 2
0
c a
c a ≠
+d1 ⊥d2 ⇔
1 1
2 2
a b
a b = 1 1
2 2
b c
b c = 1 1
2 2
0
c a
c a =
- Lưu ý: nếu a b c2 2 2 ≠ 0thì:
+ Hai đường thẳng cắt nhau nếu:
1 2
1 2
a a
b ≠ b
Trang 4+ Hai đường thẳng song song với nhau nếu:
1 2 1
1 2 2
a a c
b = b ≠ c
+Hai đường thẳng trùng nhau nếu:
1 2 1
1 2 2
a a c
b = b = c
II. Các dạng toán về phương trình đường thẳng
1. Viết phương trình đường thẳng khi biết vector pháp tuyến và 1 điểm thuộc đường thẳng
0 0
( ; )
( ) ( ; )
M x y d
d a x x b y y
d n a b
∈
⊥
Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) biết (d)
đi qua điểm M(1;2)và có VTPT nr=(2; 3)− Giải: Vì (d) đi qua điểm M(1;2) và có VTPT nr=(2; 3)− Nên phương trình tổng quát của đường thẳng (d) là :
2(x− − 1) 3(y− = ⇔ 2) 0 2x− 3y+ = 4 0
2. Viết phương trình đường thẳng khi biết vector chỉ phương và 1 điểm thuộc đường thẳng
( ) / / ( ; ) ( ) ( ; )
M x y d M x y d
d u a b d n b a
d b x x a y y
⊥ −
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d) đi qua điểm M( 1;2)− và có VTCP là ur(2; 1)−
Giải: Vì đường thẳng (d) đi qua điểm M( 1;2)− và có VTCP là (2; 1)
ur − nên phương trình tham số của đường thẳng (d) là
1 2 2
= +
= − −
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng
Trang 50 0
0 0
'
( ; ) ( ) ( ; ) ( )
M x y d
M x y d
d d ax by c d n a b
d a x x b y y
∈
⊥
r
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng :
a) (d) đi qua điểm M(3;2)và song song với đường thẳng
1 2
y t
= +
∆ = −
b) (d) đi qua điểm M(3;2)và song song với ∆: 2x y− − =1 0
Giải:
a) Đường thẳng ∆ có VTCP ur(2; 1)− Vì ( ) / /d ∆ nên (d) nhận (2; 1)
ur − là VTCP , (d) đi qua điểm M(3;2), nên phương trình đường thẳng (d) là :
3 2 2
= +
= −
b) Đường thẳng ∆: 2x y− − =1 0 có VTPT là nr(2; 1)− Đường thẳng ( ) / /d ∆ nên cũng là VTPT của (d)
Phương trình đường thẳng (d) là:
2(x− − − = ⇔ 3) (y 2) 0 2x y− − = 4 0
4. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng
0 0
0 0
( ; ) ( ) ( ; ) ( )
M x y d
M x y d
d d ax by c d n b a
d b x x a y y
∈
∈
⊥ −
r
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng(d):
a) đi qua điểm M( 2;3)− và vuông góc với đường thẳng
: 2x 5y 3 0
b) đi qua điểm M(4; 3)− và vuông góc với đường thẳng
1 2
y t
= +
∆ = −
Giải:
Trang 6a) Đường thẳng ∆: 2x−5y+ =3 0 nên có VTPT là nuur∆(2; 5)− , vì (d) vuông góc với ∆ nên (d) nhận nuur∆(2; 5)− làm VTCP
Phương trình đường thẳng (d) là
2 2
3 5
= − +
= −
b) Đường thẳng ∆ có VTCP là uuur∆(2; 1)− , vì (d) vuông góc với ∆
nên (d) nhận uuur∆(2; 1)− làm VTPT
Phương trình đường thẳng (d) là
2(x− − + = ⇔ 4) (y 3) 0 2x y− − = 11 0
5. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng
Điểm Athuộc đường thẳng ∆:
0
x x at
a b
y y bt
= +
+ ≠
= +
A x +at y +bt
Điểm Athuộc đường thẳng ∆:ax by c+ + =0 có dạng
( ; at c),( 0)
b
− − ≠
hoặc ( ; ),(a 0)
bt c
a
6. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A
và nhận vector uuurAB
làm VTCP( trở về dạng toán 2)
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;2) và (3;4)
B
Giải:
Vì (d) đi qua 2 điểm A,B nên (d) có VTCP là uuurAB= −(3 1;4 2) (2;2)− = Phương trình tham số của (d) là
1 2
2 2
= +
= +
7. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước
Phương trình đường thẳng (d) có dạng y k x x= ( − 0 ) +y0
Trang 7Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M( 1;2)− và
có hệ số góc k=3
Giải:
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M( 1;2)− và có hệ số góc k=3
có dạng y k x x= ( − 0 ) +y0
Vậy phương trình đường thẳng (d) là y=3(x+ + ⇔ =1) 2 y 3x+5
8. Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng
Trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đường thẳng này và nhận vector uuurAB
làm VTPT( trở về dạng toán 1)
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB và đi qua trung điểm của AB biết A(3; 1)− và B(5;3)
Giải:
(d) vuông góc với AB nên nhận vector uuurAB=(2;4)làm VTPT; (d) đi qua trung điểm I của AB và I có tọa độ là
3 5
4
1 3
1
I
I
x x
x
I
y y
y
⇒
Vậy phương trình đường thẳng (d) là:
2(x− + 4) 4(y− = ⇔ 1) 0 2x+ 4y− = ⇔ + 12 0 x 2y− = 6 0
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với trục Ox
1 góc α cho trước
(d) đi qua điểm M x y( ; ) 0 0 và tạo với trục Ox 1 góc α(0o< α <90 )o có dạng y k x x= ( − 0 ) +y0(với k = ± tan α)
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) đi qua điểm (3;2)
M và tạo với chiều dương trục Ox 1 góc bằng 45 o
Giải:
Giả sử đường thẳng (d) có hệ số góc k, như vậy k được cho bởi công thức k = tan α = tan 45 o = 1
Trang 8Vậy phương trình đường thẳng (d) đi qua M(3;2) và có hệ số góc k=1 là y =1(x− + ⇔ = −3) 2 y x 1
10.Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên 1 đường thẳng
Giả sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng (d), ta làm như sau:
- Lập phương trình đường thẳng (d’) qua M vuông góc với (d)
- H là hình chiếu vuông góc của M lên (d) ⇒H là giao của (d) và (d’)
Ví dụ: Tìm hình chiếu của điểm M(3; 1)− lên đường thẳng (d) có phương trình x+2y− =6 0
Giải:
Gọi (d’) là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (d)
(d) có phương trình x+2y− =6 0 nên VTPT của (d) là nuurd =(1;2)
( ') ( )d ⊥ d nên nhận VCPT của (d) làm VTCP ⇒uuurd' = (1;2)
Phương trình đường thẳng (d’) qua điểm M(3; 1)− có VTCP
' (1;2)
d
uuur= là
3
1 2
= +
= − +
H là hình chiếu của M thì H là giao điểm của (d) và (d’) nên có: thay x,y từ (d’) vào phương trình (d) :
(3 + + − +t) 2( 1 2 t) 6 0 − = ⇔ − = ⇔ = 5t 5 0 t 1
4; 1
x y
⇒ = = là tọa độ điểm H
11.Tìm điểm đối xứng của 1 điểm của 1 đường thẳng
Giả sử cần tìm điểm M’ đối xứng với M qua (d) ta làm như sau:
- Tìm hình chiếu H của M lên (d) (theo dạng toán 9)
- M’ là điểm đối xứng với M qua (d) nên M’ đối xứng với M qua H (khi đó H là trung điểm của M và M’)
Ví dụ: Tìm điểm M’ đối xứng với M(3; 1)− qua (d) có phương trình
x+ y− =
Giải:
Trang 9Đầu tiên ta tìm hình chiếu H của điểm M(3; 1)− Theo ví dụ ở dạng
9 ta có H(4;1)
Khi đó H là trung điểm của M(3; 1)− và M x'( M' ;y M' ), ta có:
'
'
2
2
H
H
x x
y
+
=
Điểm đối xứng của M(3; 1)− qua (d) là M'(5;3)
12.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Để xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng ( ) :d1 a x b y c1 + 1 + = 1 0 và
( ) :d a x b y c+ + = 0 Ta giải hệ phương trình:
1 1 1
0 (*) 0
a x b y c
a x b y c
- Hệ (*) vô nghiệm ⇒d1 / /d2
- Hệ (*) vô số nghiệm ⇒d1 trùng d2
- Hệ (*) có nghiệm duy nhất d1 cắt d2 và nghiệm là tọa
độ giao điểm
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng
a) d x y1 : + − = 2 0; : 2d2 x y+ − = 3 0
1 4 : 2 5 0; :
2 2
= −
+ − = = +
Giải:
a) Số giao điểm của d1và d2 là số nghiệm của hệ phương trình
2 0
x y
x y
+ − =
+ − =
Giải hệ ta được nghiệm x=1;y=1
Vậy d1cắt d2 tại điểm có tọa độ (1;1)
b) Từ phương trình đường thẳng d2 ta có x= − 1 4t và y = +2 2t thay vào phương trình đường thẳng d1 ta được
(1 4 ) 2(2 2 ) 5 0 − t + + t − = ⇔ 10 0 = (vô lý)
Vậy 2 đường thẳng không cắt nhau
Trang 1013.Góc giữa hai đường thẳng
Tính góc giữa hai đường thẳng sau a) d x1 : − 3y+ = 1 0 và d x2 : + 2y− = 5 0 b) d1 : 3x y− + = 1 0 và 2
1 2 :
3
d
= +
= +
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm và bán kính đường tròn
Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng thì (C) có tâm I(a,b) và bán kính R Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng thì (C) có tâm I(a,b), bán kính R= Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó
a
b
c
d
e
Bài 2: Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn
a
b
VẤN ĐỀ 2:Lập phương trình đường tròn
Dạng 1:(C) có tâm I và đi qua điểm A
Ta xác định R=IA
VD: Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A
a I(2,4) , A(-1,3)
b I(-3,2) , A(1,-1)
Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆
Ta xác định R=d(I,∆)
VD: Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆
với
Trang 11a.I(3,4), ∆ : 4x-3y+15=0
b I(2,3), ∆ : 5x-12y-7=0
Dạng 3: (C) có đường kính AB
-Tâm I chính là trung điểm của AB
-Bán kính R=
VD : Viết phương trình đường tròn có đường kính AB với
a.A(-2,3), B(6,5)
b.A(0,1), B(5,1)
Dạng 4: (C) đi qua 2 điểm A,B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆
-Viết phương trình đường trung trực d của AB
-Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆
-Bán kính R=IA
VD :Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A,B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆
a.A(2,3),B(-1,1),∆ : x-3y-11=0
b.A(0,4),B(2,6),∆ : x-2y+5=0
Dạng 5: (C) đi qua 2 điểm A , B và tiếp xúc với đường thẳng ∆
- Viết phương trình đường trung trực d của AB
-Toạ độ của tâm I thỏa mãn I∈d và d(I,∆)=IA
-Bán kính R=IA
VD: Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A,B và tiếp xúc với đường thẳng ∆
a.A(1,2),B(3,4), ∆: 3x+y-3=0
b A(6,3),B(3,2), ∆ :x+2y-2=0
Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với ∆ tại B
- Viết phương trình đường trung trực d của AB
- Viết phương trình đường thẳng ∆’ đi qua B và vuông góc với ∆
- Xác định tâm I là giao điểm của ∆’ và ∆
-Bán kính R=IA
VD: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với ∆ tại B
a A(-2,6), ∆: 3x-4y-15=0, B(1,-3)
Trang 12b A(-2,1), ∆: 3x-2y-6=0, B(4,3)
Dạng 7: (C) đi qua A và tíêp xúc với 2 đường thẳng ,
-Tâm I của (C) thỏa mãn d(I,)=d(I,) và d(I,)=IA
-Bán kính R=IA
VD: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với 2 đường thẳng , với
a.A(2,3), :3x-4y+1=0, :4x+3y-7=0
b.A(1,3), :x+2y+2=0, :2x-y+9=0
c.A(3,-6), , ≡Oy
Dạng 8: (C) tíêp xúc với 2 đường thẳng , và có tâm nằm trên đường thẳng d -Tâm I của (C) thỏa mãn : I∈d và d(I,)=d(I,)
-Bán kính R=d(I,)
VD: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng , và có tâm nằm trên đường thẳng d
a : 3x+2y+3=0, : 2x-3y+15=0, d: x-y=0
b : x+y+4=0, : 7x-y-4=0, d: 4x+3y-2=0
Dạng 9: (C) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A,B,C
Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC
-Viết phương trình 2 đường phân giác trong của hai góc trong tam giác
-Tâm I chính là giao điểm của 2 đường phân giác trên
-R=d(I,AB)
VD: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết A(2,6), B(-3,-4), C(5,0)
VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C)
-Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn
-Tính khoảng cách từ I đến d
+ nếu d(I,d) < R khi và chỉ khi d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
+ nếu d(I,d) = R khi và chỉ khi d tiếp xúc với (C)
+ nếu d(I,d) > R khi và chỉ khi d và (C) không có điểm chung
Bài 1: Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C) a.d: mx-y-3m-2=0 (C) :
b d:x+y-1=0 (C) :
Trang 13VẤN ĐỀ 4: Vị tri tương đối của hai đường tròn
+<< (C1) cắt (C2) tại 2 điểm
+= (C1) tiếp xúc ngoài với (C2)
+= (C1) tiếp xúc trong với (C2)
+> (C1), (C2) ngoài nhau
+> (C1) ,(C2) ở trong nhau
VD: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường tròn (C1) : và ( C2) :
VẤN ĐỀ 5: Tiếp tuyến của đường tròn C
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆
∆ tiếp xúc với (C) d(I,∆)=R
Dạng 1: Tiếp tuyến tại (,)∈(C)
-∆ đi qua (,) và có VTPT là I
Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước
-Viết phương trình của ∆ chứa tham số t có phương cho trước -Dựa vào điều kiện d(I,∆)=R để tìm t
Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ điểm A ở ngoài đường tròn
-Viết phương trình của ∆ đi qua A ( chứa 2 tham số)
- Dựa vào điều kiện d(I,∆)=R để tìm được các tham số
Trang 15
-